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一、选择题
1. 观察下列每组三角形，不能判定相似的是 （
1. 观察下列每组三角形，不能判定相似的是 （
D
）答案
1.D
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，需结合相似三角形的判定定理（三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等、两角对应相等），逐一分析每个选项中两个三角形的边、角关系即可，注意要确认边和角的对应关系是否成立。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：大三角形三边长为4、5、6，小三角形三边长为2、2.5、3，计算对应边比值：$\frac{4}{2}=\frac{5}{2.5}=\frac{6}{3}=2$，三边对应成比例，故两三角形相似，不符合题意。
选项B：两个三角形的夹角均为$58°$，夹该角的两组边对应比值为$\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=2$，满足两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意。
选项C：两个三角形有一组对顶角相等，同时另有一组角均为$40°$，满足两角对应相等，故两三角形相似，不符合题意。
选项D：两个三角形虽各有一个$35°$的角，但该角在两个三角形中不是对应角（一个是大三角形的底角，一个是小三角形的内角，无对应关系），无法找到满足相似判定的条件，故不能判定两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题的关键是准确识别对应边和对应角，避免因弄错角的对应关系导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要判断两个三角形是否相似，需结合相似三角形的判定定理（三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等、两角对应相等），逐一分析每个选项中两个三角形的边、角关系即可，注意要确认边和角的对应关系是否成立。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：大三角形三边长为4、5、6，小三角形三边长为2、2.5、3，计算对应边比值：$\frac{4}{2}=\frac{5}{2.5}=\frac{6}{3}=2$，三边对应成比例，故两三角形相似，不符合题意。
选项B：两个三角形的夹角均为$58°$，夹该角的两组边对应比值为$\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=2$，满足两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意。
选项C：两个三角形有一组对顶角相等，同时另有一组角均为$40°$，满足两角对应相等，故两三角形相似，不符合题意。
选项D：两个三角形虽各有一个$35°$的角，但该角在两个三角形中不是对应角（一个是大三角形的底角，一个是小三角形的内角，无对应关系），无法找到满足相似判定的条件，故不能判定两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题的关键是准确识别对应边和对应角，避免因弄错角的对应关系导致判断错误。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在四边形ABCD中,DC⊥BC,E、F为BC边上两点,且AB=AE,∠AEF=∠DFE.若BE=CF,则$\frac{AE}{DF}$的值为 （
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
图 1
图 2
图 3
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
图 1
图 2
图 3
答案
2.A
解析
【分析】
要求$\frac{AE}{DF}$的比值，可结合已知条件构造相似三角形求解：①已知AB=AE，可知△ABE为等腰三角形，过A作BC的垂线，利用等腰三角形三线合一可得到BE的一半与GE相等；②由∠AEF=∠DFE可推出AE//DF，进而得到一组相等的同位角；③结合DC⊥BC的条件，可得到两个含直角的相似三角形，再结合BE=CF的条件即可求出对应边的比值。
【解析】
过点A作$AG⊥ BC$于点G。
1. 由$AB=AE$，$AG⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$GE=\frac{1}{2}BE$。
2. 已知$∠ AEF=∠ DFE$，二者是直线AE、DF被直线BC所截的内错角，因此$AE// DF$，根据平行线的性质可得$∠ AEG=∠ DFC$。
3. 由$AG⊥ BC$，$DC⊥ BC$，可得$∠ AGE=∠ C=90°$。
在$△ AGE$和$△ DCF$中：
$\begin{cases}∠ AGE=∠ C \\∠ AEG=∠ DFC\end{cases}$
因此$△ AGE ∽ △ DCF$（两角分别相等的两个三角形相似），根据相似三角形的性质，对应边成比例，即$\frac{AE}{DF}=\frac{GE}{CF}$。
4. 已知$BE=CF$，代入$GE=\frac{1}{2}BE$可得：
$\frac{GE}{CF}=\frac{\frac{1}{2}BE}{BE}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AE}{DF}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质
【点评】
本题需要结合等腰三角形、平行线、相似三角形的知识综合求解，解题的突破口是作等腰三角形底边上的高，既利用三线合一得到线段的倍分关系，又构造出了相似的直角三角形，能有效考查学生对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要求$\frac{AE}{DF}$的比值，可结合已知条件构造相似三角形求解：①已知AB=AE，可知△ABE为等腰三角形，过A作BC的垂线，利用等腰三角形三线合一可得到BE的一半与GE相等；②由∠AEF=∠DFE可推出AE//DF，进而得到一组相等的同位角；③结合DC⊥BC的条件，可得到两个含直角的相似三角形，再结合BE=CF的条件即可求出对应边的比值。
【解析】
过点A作$AG⊥ BC$于点G。
1. 由$AB=AE$，$AG⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$GE=\frac{1}{2}BE$。
2. 已知$∠ AEF=∠ DFE$，二者是直线AE、DF被直线BC所截的内错角，因此$AE// DF$，根据平行线的性质可得$∠ AEG=∠ DFC$。
3. 由$AG⊥ BC$，$DC⊥ BC$，可得$∠ AGE=∠ C=90°$。
在$△ AGE$和$△ DCF$中：
$\begin{cases}∠ AGE=∠ C \\∠ AEG=∠ DFC\end{cases}$
因此$△ AGE ∽ △ DCF$（两角分别相等的两个三角形相似），根据相似三角形的性质，对应边成比例，即$\frac{AE}{DF}=\frac{GE}{CF}$。
4. 已知$BE=CF$，代入$GE=\frac{1}{2}BE$可得：
$\frac{GE}{CF}=\frac{\frac{1}{2}BE}{BE}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AE}{DF}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质
【点评】
本题需要结合等腰三角形、平行线、相似三角形的知识综合求解，解题的突破口是作等腰三角形底边上的高，既利用三线合一得到线段的倍分关系，又构造出了相似的直角三角形，能有效考查学生对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
3. 一种燕尾夹如图所示，是闭合状态的示意图，$AE=CF=3\ \mathrm{cm}$，$EF=2.5\ \mathrm{cm}$，$BE=DF=6\ \mathrm{cm}$，是打开状态的示意图，其中$AC=2\ \mathrm{cm}$，则打开状态下B、D两点之间的距离为 （
A.4 cm
B.4.5 cm
C.3 cm
D.3.5 cm
D
）A.4 cm
B.4.5 cm
C.3 cm
D.3.5 cm
答案
3.D
解析
【分析】解题时首先明确燕尾夹的固定量与变量：EF为夹子固定部件，长度始终为2.5cm，AE:BE=CF:DF=1:2，且打开和闭合状态下AC与BD始终平行。结合线段平行的性质，可利用相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例定理，建立AC、BD、EF的数量关系，代入已知AC的长度即可求解B、D两点的距离。
【解析】解：由燕尾夹结构可知，EF长度固定为$2.5\ \mathrm{cm}$，且$AC// EF// BD$。
根据平行线分线段成比例的性质，可得$\frac{AE}{BE}=\frac{EF-AC}{BD-EF}$。
将$AE=3\ \mathrm{cm}$，$BE=6\ \mathrm{cm}$，$EF=2.5\ \mathrm{cm}$，$AC=2\ \mathrm{cm}$代入上式：
$\frac{3}{6}=\frac{2.5-2}{BD-2.5}$
化简得$\frac{1}{2}=\frac{0.5}{BD-2.5}$
交叉相乘解得：$BD=2.5+1=3.5\ \mathrm{cm}$
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例、相似三角形的性质
【点评】本题结合生活实物考查几何性质的应用，解题的关键是挖掘出EF长度固定、AC与BD平行的隐含条件，将实际问题转化为几何比例问题求解。
【难度系数】0.6
【解析】解：由燕尾夹结构可知，EF长度固定为$2.5\ \mathrm{cm}$，且$AC// EF// BD$。
根据平行线分线段成比例的性质，可得$\frac{AE}{BE}=\frac{EF-AC}{BD-EF}$。
将$AE=3\ \mathrm{cm}$，$BE=6\ \mathrm{cm}$，$EF=2.5\ \mathrm{cm}$，$AC=2\ \mathrm{cm}$代入上式：
$\frac{3}{6}=\frac{2.5-2}{BD-2.5}$
化简得$\frac{1}{2}=\frac{0.5}{BD-2.5}$
交叉相乘解得：$BD=2.5+1=3.5\ \mathrm{cm}$
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例、相似三角形的性质
【点评】本题结合生活实物考查几何性质的应用，解题的关键是挖掘出EF长度固定、AC与BD平行的隐含条件，将实际问题转化为几何比例问题求解。
【难度系数】0.6
4 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ABC=90°$,$AB=BC$,$AC=2AD$,$D$ 是 $MC$ 的中点,$AE⊥ AC$,交直线 $CD$ 于点 $E$,$MF⊥ AB$,$MN⊥ AC$. 则下列结论:① $△ CBD≌△ MFD$;② $∠ CMN - ∠ BCD=45°$;③ $MF+BC=2MN$;④ 若 $AN: BD=3: 2$,则 $S_{△ MNC} - S_{△ ABC}=3S_{△ BCD}$. 其中正确的结论是 (
A.①②③④
B.①③④
C.①②③
D.①②④
A
)A.①②③④
B.①③④
C.①②③
D.①②④
答案
4.A 解析:
∵D是MC的中点,
∴CD=MD.
∵MF⊥AB,CB⊥AB,
∴∠B=∠MFD=90°.
在△CBD和△MFD中,$\begin{cases}∠B=MFD=90°,\\∠BDC=∠MDF,\\CD=MD,\end{cases}$
∴△CBD≌△MFD,
∴①正确.
∵∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA=45°,
∴∠NAF=135°.
∵MF⊥AB,MN⊥AC,
∴∠N+∠MFA=180°,
∴∠FMN+∠FAN=180°,
∴∠FMN=45°.
由①知△CBD≌△MFD,
∴∠BCD=∠FMD,
∴∠CMN - ∠BCD = ∠CMN - ∠FMD = ∠FMN=45°,
∴②正确.
过点B作BH⊥AC于点H,连接AM,DH,如图,
∵∠ABC = 90°, AB = BC, BH⊥AC,
∴$AH=CH=\frac{1}{2}AC$.
∵AC=2AD,
∴AH=AD,
∴$∠ADH=∠AHD=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$.
∵D是MC的中点,H为AC的中点,
∴DH//AM,
∴∠NAM=∠AHD=67.5°.
∵∠NAF=135°,
∴∠NAM=∠FAM=67.5°.
在△NAM和△FAM中,$\begin{cases}∠NAM=∠FAM,\\∠N=∠AFM=90°,\\AM=AM,\end{cases}$
∴△NAM≌△FAM,
∴MN=MF.
由①知△CBD≌△MFD,
∴BC=MF,
∴MF+BC=2MF=2MN,
∴③正确.
由①知△CBD≌△MFD,
∴BD=DF,$S_{△BDC}=S_{△FDM}$.
∵△NAM≌△FAM,
∴AN=AF,$S_{△AMN}=S_{△AMF}$.
∵AN:BD=3:2,
∴设AN=3k,则BD=DF=2k,AF=AN=3k.
∵MN=MF=BC,
∴$\frac{S_{△BDC}}{S_{△AMN}}=\frac{\frac{1}{2}BD·BC}{\frac{1}{2}AN·MN}=\frac{BD}{AN}=\frac{2}{3}$.
∵$S_{△ABC}=S_{△ADC}+S_{△BDC}=S_{△ADC}+S_{△MDF}$,
∴$S_{△MNC}-S_{△ABC}=$四边形ANMF的面积$=S_{△AMN}+S_{△AFM}=2×\frac{3}{2}S_{△BDC}=3S_{△BCD}$,
∴④正确.
故选A.
解析
【分析】
我们逐个验证4个结论：①已知D是MC中点，结合MF⊥AB、CB⊥AB可得一组直角相等，再加对顶角相等，可用AAS证明△CBD≌△MFD；②由等腰Rt△ABC得∠BAC=45°，结合MF⊥AB、MN⊥AC，利用四边形内角和可推得∠FMN=45°，再结合①全等得到的角相等，即可推导∠CMN - ∠BCD=45°；③先利用等腰直角三角形三线合一得H是AC中点，结合D是MC中点得DH是△AMC中位线，再证△NAM≌△FAM得MN=MF，结合①中BC=MF即可得到MF+BC=2MN；④设AN=3k，BD=2k，结合全等性质将△MNC和△ABC的面积差转化为四边形ANMF的面积，即可证明其等于3倍△BCD的面积，最终判断四个结论均正确。
【解析】
∵D是MC的中点，
∴CD=MD。
∵MF⊥AB，CB⊥AB，
∴∠B=∠MFD=90°。
在△CBD和△MFD中，$\begin{cases}∠B=∠MFD=90°,\\∠BDC=∠MDF,\\CD=MD,\end{cases}$
∴△CBD≌△MFD，
∴①正确。
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠NAF=135°。
∵MF⊥AB，MN⊥AC，
∴∠N=∠MFA=90°，四边形ANMF内角和为360°，
∴∠FMN+∠FAN=180°，
∴∠FMN=45°。
由①知△CBD≌△MFD，
∴∠BCD=∠FMD，
∴∠CMN - ∠BCD = ∠CMN - ∠FMD = ∠FMN=45°，
∴②正确。
过点B作BH⊥AC于点H，连接AM，DH，如图，
∵∠ABC = 90°，AB = BC，BH⊥AC，
∴$AH=CH=\frac{1}{2}AC$。
∵AC=2AD，
∴AH=AD，
∴$∠ADH=∠AHD=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$。
∵D是MC的中点，H为AC的中点，
∴DH是△AMC的中位线，DH//AM，
∴∠NAM=∠AHD=67.5°。
∵∠NAF=135°，
∴∠NAM=∠FAM=67.5°。
在△NAM和△FAM中，$\begin{cases}∠NAM=∠FAM,\\∠N=∠AFM=90°,\\AM=AM,\end{cases}$
∴△NAM≌△FAM，
∴MN=MF。
由①知△CBD≌△MFD，
∴BC=MF，
∴MF+BC=2MF=2MN，
∴③正确。
由①知△CBD≌△MFD，
∴BD=DF，$S_{△BDC}=S_{△FDM}$。
∵△NAM≌△FAM，
∴AN=AF，$S_{△AMN}=S_{△AMF}$。
∵AN:BD=3:2，
∴设AN=3k，则BD=DF=2k，AF=AN=3k。
∵MN=MF=BC，
∴$\frac{S_{△BDC}}{S_{△AMN}}=\frac{\frac{1}{2}BD·BC}{\frac{1}{2}AN·MN}=\frac{BD}{AN}=\frac{2}{3}$，即$S_{△AMN}=\frac{3}{2}S_{△BDC}$。
∵$S_{△ABC}=S_{△ADC}+S_{△BDC}=S_{△ADC}+S_{△MDF}$，
∴$S_{△MNC}-S_{△ABC}=S_{四边形ANMF}=S_{△AMN}+S_{△AFM}=2×\frac{3}{2}S_{△BDC}=3S_{△BCD}$，
∴④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何综合题，将三角形全等、特殊三角形性质、面积计算等知识点结合考查，解题时需结合已知条件逐步推导，注意全等三角形的边角转化、中位线隐藏条件的运用，能较好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
我们逐个验证4个结论：①已知D是MC中点，结合MF⊥AB、CB⊥AB可得一组直角相等，再加对顶角相等，可用AAS证明△CBD≌△MFD；②由等腰Rt△ABC得∠BAC=45°，结合MF⊥AB、MN⊥AC，利用四边形内角和可推得∠FMN=45°，再结合①全等得到的角相等，即可推导∠CMN - ∠BCD=45°；③先利用等腰直角三角形三线合一得H是AC中点，结合D是MC中点得DH是△AMC中位线，再证△NAM≌△FAM得MN=MF，结合①中BC=MF即可得到MF+BC=2MN；④设AN=3k，BD=2k，结合全等性质将△MNC和△ABC的面积差转化为四边形ANMF的面积，即可证明其等于3倍△BCD的面积，最终判断四个结论均正确。
【解析】
∵D是MC的中点，
∴CD=MD。
∵MF⊥AB，CB⊥AB，
∴∠B=∠MFD=90°。
在△CBD和△MFD中，$\begin{cases}∠B=∠MFD=90°,\\∠BDC=∠MDF,\\CD=MD,\end{cases}$
∴△CBD≌△MFD，
∴①正确。
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠NAF=135°。
∵MF⊥AB，MN⊥AC，
∴∠N=∠MFA=90°，四边形ANMF内角和为360°，
∴∠FMN+∠FAN=180°，
∴∠FMN=45°。
由①知△CBD≌△MFD，
∴∠BCD=∠FMD，
∴∠CMN - ∠BCD = ∠CMN - ∠FMD = ∠FMN=45°，
∴②正确。
过点B作BH⊥AC于点H，连接AM，DH，如图，
∵∠ABC = 90°，AB = BC，BH⊥AC，
∴$AH=CH=\frac{1}{2}AC$。
∵AC=2AD，
∴AH=AD，
∴$∠ADH=∠AHD=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$。
∵D是MC的中点，H为AC的中点，
∴DH是△AMC的中位线，DH//AM，
∴∠NAM=∠AHD=67.5°。
∵∠NAF=135°，
∴∠NAM=∠FAM=67.5°。
在△NAM和△FAM中，$\begin{cases}∠NAM=∠FAM,\\∠N=∠AFM=90°,\\AM=AM,\end{cases}$
∴△NAM≌△FAM，
∴MN=MF。
由①知△CBD≌△MFD，
∴BC=MF，
∴MF+BC=2MF=2MN，
∴③正确。
由①知△CBD≌△MFD，
∴BD=DF，$S_{△BDC}=S_{△FDM}$。
∵△NAM≌△FAM，
∴AN=AF，$S_{△AMN}=S_{△AMF}$。
∵AN:BD=3:2，
∴设AN=3k，则BD=DF=2k，AF=AN=3k。
∵MN=MF=BC，
∴$\frac{S_{△BDC}}{S_{△AMN}}=\frac{\frac{1}{2}BD·BC}{\frac{1}{2}AN·MN}=\frac{BD}{AN}=\frac{2}{3}$，即$S_{△AMN}=\frac{3}{2}S_{△BDC}$。
∵$S_{△ABC}=S_{△ADC}+S_{△BDC}=S_{△ADC}+S_{△MDF}$，
∴$S_{△MNC}-S_{△ABC}=S_{四边形ANMF}=S_{△AMN}+S_{△AFM}=2×\frac{3}{2}S_{△BDC}=3S_{△BCD}$，
∴④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何综合题，将三角形全等、特殊三角形性质、面积计算等知识点结合考查，解题时需结合已知条件逐步推导，注意全等三角形的边角转化、中位线隐藏条件的运用，能较好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
5. 如图，梯形$ABCD$中，$AD// BC$，$∠ B=∠ ACD=90°$，$AB=3$，$BC=2$，则$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DCA}}=$
$\frac{4}{13}$
。答案
5.$\frac{4}{13}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：1. 由AD//BC可得内错角∠ACB=∠CAD，结合已知的两个直角∠B=∠ACD=90°，可通过两角分别相等判定△ABC与△DCA相似；2. 要求两个三角形的面积比，可利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质求解；3. 先用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AC的长度，再找准相似三角形的对应边求出相似比，平方后即可得到面积比。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=3$，$BC=2$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
2. 因为$AD// BC$，所以$∠ ACB=∠ CAD$，又$∠ B=∠ ACD=90°$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ DCA$。
3. 根据相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，两个三角形的相似比为对应边$BC:AC=2:\sqrt{13}$，因此：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DCA}}=(\frac{BC}{AC})^2=(\frac{2}{\sqrt{13}})^2=\frac{4}{13}$
【答案】
$\frac{4}{13}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是相似三角形应用的常规题型，解题核心是准确识别相似三角形的对应角和对应边，结合勾股定理求出相似比，再利用相似三角形面积比的性质计算结果，易错点是相似三角形对应边找错导致相似比计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：1. 由AD//BC可得内错角∠ACB=∠CAD，结合已知的两个直角∠B=∠ACD=90°，可通过两角分别相等判定△ABC与△DCA相似；2. 要求两个三角形的面积比，可利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质求解；3. 先用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AC的长度，再找准相似三角形的对应边求出相似比，平方后即可得到面积比。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=3$，$BC=2$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
2. 因为$AD// BC$，所以$∠ ACB=∠ CAD$，又$∠ B=∠ ACD=90°$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ DCA$。
3. 根据相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，两个三角形的相似比为对应边$BC:AC=2:\sqrt{13}$，因此：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DCA}}=(\frac{BC}{AC})^2=(\frac{2}{\sqrt{13}})^2=\frac{4}{13}$
【答案】
$\frac{4}{13}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是相似三角形应用的常规题型，解题核心是准确识别相似三角形的对应角和对应边，结合勾股定理求出相似比，再利用相似三角形面积比的性质计算结果，易错点是相似三角形对应边找错导致相似比计算错误。
【难度系数】
0.7
6.如图，DE是$△ ABC$的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则$S_{△ NDM}:S_{\mathrm{四边形}ANME}=$
1:5
.答案
6.1:5
解析
【分析】
解题时首先利用三角形中位线的性质，得到DE与BC平行且长度为BC的一半，结合M是DE中点可推出DM与BC的长度比；再由平行线判定△NDM和△NBC相似，得到相似比、对应线段比与面积比；接着通过线段比例关系求出NB与AB的比值，结合同高三角形面积比等于底之比求出△ABC的总面积；再根据中位线分三角形的面积比得到△ADE的面积，最后作差求出四边形ANME的面积，即可得到两者的比值。
【解析】
解：
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，$DE=\frac{1}{2}BC$，D为AB中点，且$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=(\frac{DE}{BC})^2=1:4$。
∵M是DE的中点，
∴$DM=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{4}BC$。
∵DE//BC，
∴$△ NDM ∽ △ NBC$，相似比为$DM:BC=1:4$，
∴$S_{△ NDM}:S_{△ NBC}=1^2:4^2=1:16$，且对应边比$ND:NB=1:4$。
设$ND=x$，则$NB=4x$，因此$DB=NB-ND=3x$。
∵D是AB中点，
∴$AB=2DB=6x$，则$NB:AB=4x:6x=2:3$。
△NBC与△ABC同高，面积比等于底之比，即$S_{△ NBC}:S_{△ ABC}=2:3$。
设$S_{△ NDM}=a$，则$S_{△ NBC}=16a$，代入得$16a:S_{△ ABC}=2:3$，解得$S_{△ ABC}=24a$。
由$S_{△ ADE}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$，得$S_{△ ADE}=\frac{1}{4}×24a=6a$。
∴$S_{四边形ANME}=S_{△ ADE}-S_{△ NDM}=6a-a=5a$，
∴$S_{△ NDM}:S_{四边形ANME}=a:5a=1:5$。
【答案】
$1:5$
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题将中位线性质与相似三角形的性质结合考查，需要学生掌握相似三角形的面积比与相似比的关系、同高三角形的面积比与底的关系，解题的核心是通过相似比建立线段和面积的转化关系，具有一定的综合性。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用三角形中位线的性质，得到DE与BC平行且长度为BC的一半，结合M是DE中点可推出DM与BC的长度比；再由平行线判定△NDM和△NBC相似，得到相似比、对应线段比与面积比；接着通过线段比例关系求出NB与AB的比值，结合同高三角形面积比等于底之比求出△ABC的总面积；再根据中位线分三角形的面积比得到△ADE的面积，最后作差求出四边形ANME的面积，即可得到两者的比值。
【解析】
解：
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，$DE=\frac{1}{2}BC$，D为AB中点，且$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=(\frac{DE}{BC})^2=1:4$。
∵M是DE的中点，
∴$DM=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{4}BC$。
∵DE//BC，
∴$△ NDM ∽ △ NBC$，相似比为$DM:BC=1:4$，
∴$S_{△ NDM}:S_{△ NBC}=1^2:4^2=1:16$，且对应边比$ND:NB=1:4$。
设$ND=x$，则$NB=4x$，因此$DB=NB-ND=3x$。
∵D是AB中点，
∴$AB=2DB=6x$，则$NB:AB=4x:6x=2:3$。
△NBC与△ABC同高，面积比等于底之比，即$S_{△ NBC}:S_{△ ABC}=2:3$。
设$S_{△ NDM}=a$，则$S_{△ NBC}=16a$，代入得$16a:S_{△ ABC}=2:3$，解得$S_{△ ABC}=24a$。
由$S_{△ ADE}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$，得$S_{△ ADE}=\frac{1}{4}×24a=6a$。
∴$S_{四边形ANME}=S_{△ ADE}-S_{△ NDM}=6a-a=5a$，
∴$S_{△ NDM}:S_{四边形ANME}=a:5a=1:5$。
【答案】
$1:5$
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题将中位线性质与相似三角形的性质结合考查，需要学生掌握相似三角形的面积比与相似比的关系、同高三角形的面积比与底的关系，解题的核心是通过相似比建立线段和面积的转化关系，具有一定的综合性。
【难度系数】
0.6
