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二、填空题
4.若某种礼炮的升空高度$h(\mathrm{m})$与飞行时间$t(\mathrm{s})$之间的函数关系式为$h=-\dfrac{5}{3}t^2 +20t$，且礼炮升高到最高处时引爆，则礼炮引爆的时间为
4.若某种礼炮的升空高度$h(\mathrm{m})$与飞行时间$t(\mathrm{s})$之间的函数关系式为$h=-\dfrac{5}{3}t^2 +20t$，且礼炮升高到最高处时引爆，则礼炮引爆的时间为
6 s
。答案
4.6 s
解析
【分析】
礼炮升高到最高处引爆，对应二次函数的最大值点。题目给出的函数是开口向下的二次函数，其顶点处函数值最大，因此我们只需要计算二次函数顶点的横坐标，即可得到引爆时间，可利用九年级所学的二次函数顶点横坐标公式$t=-\frac{b}{2a}$求解。
【解析】
对于二次函数$h=-\dfrac{5}{3}t^2 +20t$，其中二次项系数$a=-\dfrac{5}{3}$，一次项系数$b=20$。
因为$a=-\dfrac{5}{3}＜0$，所以该二次函数图象开口向下，顶点处$h$取得最大值，对应礼炮的最高处。
根据二次函数顶点横坐标公式，顶点对应的时间为：
$t=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{20}{2×(-\dfrac{5}{3})}=-\dfrac{20}{-\dfrac{10}{3}}=20×\dfrac{3}{10}=6\ \mathrm{s}$
【答案】
6 s
【知识点】
二次函数性质，顶点坐标应用
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用题，解题的核心是将实际问题中的“最高处”转化为二次函数的顶点特征，熟练掌握二次函数顶点坐标的计算方法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
礼炮升高到最高处引爆，对应二次函数的最大值点。题目给出的函数是开口向下的二次函数，其顶点处函数值最大，因此我们只需要计算二次函数顶点的横坐标，即可得到引爆时间，可利用九年级所学的二次函数顶点横坐标公式$t=-\frac{b}{2a}$求解。
【解析】
对于二次函数$h=-\dfrac{5}{3}t^2 +20t$，其中二次项系数$a=-\dfrac{5}{3}$，一次项系数$b=20$。
因为$a=-\dfrac{5}{3}＜0$，所以该二次函数图象开口向下，顶点处$h$取得最大值，对应礼炮的最高处。
根据二次函数顶点横坐标公式，顶点对应的时间为：
$t=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{20}{2×(-\dfrac{5}{3})}=-\dfrac{20}{-\dfrac{10}{3}}=20×\dfrac{3}{10}=6\ \mathrm{s}$
【答案】
6 s
【知识点】
二次函数性质，顶点坐标应用
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用题，解题的核心是将实际问题中的“最高处”转化为二次函数的顶点特征，熟练掌握二次函数顶点坐标的计算方法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
5. 如图是6个台阶的示意图,每个台阶的高和宽都为1,每个台阶凸出的角的顶点记作$ T_m $($ m $为1~6的整数).已知$ T_1(6,1) $,函数$ y=-(x-2)^2 +k $的图像记为$ G $.若$ T_1 ∼ T_6 $中有4个台阶顶点落在$ G $与坐标轴围成的封闭图形内(不含边界),则$ k $的取值范围为
$7＜k≤11$
.答案
5.$7＜k≤11$
解析
【分析】首先根据台阶的宽和高均为1，推导得出所有$T_1 ∼ T_6$的坐标；再明确“点落在$G$与坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）”的等价条件：点的横纵坐标满足$y＜-(x-2)^2+k$，变形为$k＞(x-2)^2+y$；最后计算每个点对应的临界值，结合“恰好4个顶点满足条件”的要求，即可确定$k$的取值范围。
【解析】
$\because$ 每个台阶的高和宽都是1，且$T_1(6,1)$，
$\therefore$ 其余顶点坐标为：$T_2(5,2)$，$T_3(4,3)$，$T_4(3,4)$，$T_5(2,5)$，$T_6(1,6)$。
点$T_m(x,y)$落在封闭图形内（不含边界）等价于：对于该点的横坐标，点的纵坐标小于抛物线对应纵坐标，即
$y＜-(x-2)^2+k$，整理得 $k＞(x-2)^2+y$。
分别计算每个点对应的$(x-2)^2+y$的临界值：
$T_1$：$(6-2)^2+1=17$；
$T_2$：$(5-2)^2+2=11$；
$T_3$：$(4-2)^2+3=7$；
$T_4$：$(3-2)^2+4=5$；
$T_5$：$(2-2)^2+5=5$；
$T_6$：$(1-2)^2+6=7$。
要满足有4个顶点在封闭区域内：
1. 当$k＞7$时，$T_3、T_4、T_5、T_6$均满足$k＞$对应临界值，共4个点符合要求；
2. 当$k≤11$时，$T_2$不满足$k＞11$，$T_1$更不满足，不会出现超过4个点符合的情况。
若$k＞11$，则$T_2$也符合要求，共5个点，不符合题意；若$k≤7$，则$T_3、T_6$不符合要求，仅2个点符合，不符合题意。
因此$k$的取值范围是$7＜k≤11$。
【答案】$7＜k≤11$
【知识点】二次函数的性质，点与函数图像的位置关系，不等式求解
【点评】本题核心是将点的位置关系转化为不等式关系，通过计算各顶点的临界值确定参数范围，解题时需注意“不含边界”的条件对不等号方向的影响。
【难度系数】0.6
【解析】
$\because$ 每个台阶的高和宽都是1，且$T_1(6,1)$，
$\therefore$ 其余顶点坐标为：$T_2(5,2)$，$T_3(4,3)$，$T_4(3,4)$，$T_5(2,5)$，$T_6(1,6)$。
点$T_m(x,y)$落在封闭图形内（不含边界）等价于：对于该点的横坐标，点的纵坐标小于抛物线对应纵坐标，即
$y＜-(x-2)^2+k$，整理得 $k＞(x-2)^2+y$。
分别计算每个点对应的$(x-2)^2+y$的临界值：
$T_1$：$(6-2)^2+1=17$；
$T_2$：$(5-2)^2+2=11$；
$T_3$：$(4-2)^2+3=7$；
$T_4$：$(3-2)^2+4=5$；
$T_5$：$(2-2)^2+5=5$；
$T_6$：$(1-2)^2+6=7$。
要满足有4个顶点在封闭区域内：
1. 当$k＞7$时，$T_3、T_4、T_5、T_6$均满足$k＞$对应临界值，共4个点符合要求；
2. 当$k≤11$时，$T_2$不满足$k＞11$，$T_1$更不满足，不会出现超过4个点符合的情况。
若$k＞11$，则$T_2$也符合要求，共5个点，不符合题意；若$k≤7$，则$T_3、T_6$不符合要求，仅2个点符合，不符合题意。
因此$k$的取值范围是$7＜k≤11$。
【答案】$7＜k≤11$
【知识点】二次函数的性质，点与函数图像的位置关系，不等式求解
【点评】本题核心是将点的位置关系转化为不等式关系，通过计算各顶点的临界值确定参数范围，解题时需注意“不含边界”的条件对不等号方向的影响。
【难度系数】0.6
6. 如图
，是一座抛物线型拱桥侧面示意图，水面宽AB与桥长CD均为12 m，在距离点D 3 m的点E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系。如图
，桥面上方有3根高度均为5 m的支柱CG、OH、DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2 m，下面结论正确的是
①图1抛物线型拱桥的函数表达式为$y=-\frac{1}{6}x^2$；
②图2右边钢缆抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2+2$；
③图2左边钢缆抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{3}(x+3)^2+2$；
④图2在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，彩带长度的最小值是3 m.
，是一座抛物线型拱桥侧面示意图，水面宽AB与桥长CD均为12 m，在距离点D 3 m的点E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系。如图，桥面上方有3根高度均为5 m的支柱CG、OH、DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2 m，下面结论正确的是①②③④
.(填序号)①图1抛物线型拱桥的函数表达式为$y=-\frac{1}{6}x^2$；
②图2右边钢缆抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2+2$；
③图2左边钢缆抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{3}(x+3)^2+2$；
④图2在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，彩带长度的最小值是3 m.
答案
6.①②③④
解析
【分析】
解题时按以下步骤依次验证4个结论：1. 求拱桥抛物线解析式：已知桥拱顶点在原点，设解析式为$y=ax^2$，结合已知点E的对应坐标代入求a，验证①；2. 求右边钢缆抛物线解析式：已知顶点坐标和过的端点坐标，设顶点式代入求系数，验证②；3. 同理根据对称性求左边钢缆抛物线解析式，验证③；4. 彩带长度为同横坐标下钢缆y值减桥拱y值，构建长度关于x的二次函数，求最小值验证④。
【解析】
1. 验证结论①：
桥拱顶点O为原点，设拱桥抛物线解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意得CD长12m，故D点坐标为$(6,0)$，E距离D3m，故E点横坐标为$6-3=3$，EF=1.5m且桥拱在桥面下方，故F点坐标为$(3,-1.5)$。
将$(3,-1.5)$代入$y=ax^2$得：$-1.5=a×3^2$，解得$a=-\frac{1}{6}$，故拱桥解析式为$y=-\frac{1}{6}x^2$，①正确。
2. 验证结论②：
右边钢缆连接OH顶端$(0,5)$和DI顶端$(6,5)$，最低点到桥面距离为2m，且对称轴为两根支柱中点所在直线$x=\frac{0+6}{2}=3$，故顶点坐标为$(3,2)$。
设右边钢缆解析式为$y=a(x-3)^2+2(a≠0)$，将$(0,5)$代入得：$5=a×(0-3)^2+2$，解得$a=\frac{1}{3}$，故解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2+2$，②正确。
3. 验证结论③：
左边钢缆连接CG顶端$(-6,5)$和OH顶端$(0,5)$，同理得对称轴为$x=-3$，顶点坐标$(-3,2)$。
设解析式为$y=a(x+3)^2+2(a≠0)$，代入$(-6,5)$得$a=\frac{1}{3}$，故解析式为$y=\frac{1}{3}(x+3)^2+2$，③正确。
4. 验证结论④：
彩带长度为同x值下钢缆的y值减去桥拱的y值。
当$x≥0$时，长度$L=\frac{1}{3}(x-3)^2+2 - (-\frac{1}{6}x^2)$，化简得：
$L=\frac{1}{3}x^2 - 2x +3 +2 +\frac{1}{6}x^2=\frac{1}{2}x^2 -2x +5$
该二次函数开口向上，对称轴为$x=\frac{2}{2×\frac{1}{2}}=2$，代入得最小值$L=\frac{1}{2}×2^2 -2×2 +5=3$。
当$x＜0$时，同理可求得长度最小值为3m，故彩带长度最小值为3m，④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数应用、二次函数最值
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的综合应用，需要准确根据题意提取点的坐标，灵活运用顶点式求解析式，掌握二次函数最值的求法即可顺利解题。
【难度系数】
0.65
解题时按以下步骤依次验证4个结论：1. 求拱桥抛物线解析式：已知桥拱顶点在原点，设解析式为$y=ax^2$，结合已知点E的对应坐标代入求a，验证①；2. 求右边钢缆抛物线解析式：已知顶点坐标和过的端点坐标，设顶点式代入求系数，验证②；3. 同理根据对称性求左边钢缆抛物线解析式，验证③；4. 彩带长度为同横坐标下钢缆y值减桥拱y值，构建长度关于x的二次函数，求最小值验证④。
【解析】
1. 验证结论①：
桥拱顶点O为原点，设拱桥抛物线解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意得CD长12m，故D点坐标为$(6,0)$，E距离D3m，故E点横坐标为$6-3=3$，EF=1.5m且桥拱在桥面下方，故F点坐标为$(3,-1.5)$。
将$(3,-1.5)$代入$y=ax^2$得：$-1.5=a×3^2$，解得$a=-\frac{1}{6}$，故拱桥解析式为$y=-\frac{1}{6}x^2$，①正确。
2. 验证结论②：
右边钢缆连接OH顶端$(0,5)$和DI顶端$(6,5)$，最低点到桥面距离为2m，且对称轴为两根支柱中点所在直线$x=\frac{0+6}{2}=3$，故顶点坐标为$(3,2)$。
设右边钢缆解析式为$y=a(x-3)^2+2(a≠0)$，将$(0,5)$代入得：$5=a×(0-3)^2+2$，解得$a=\frac{1}{3}$，故解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2+2$，②正确。
3. 验证结论③：
左边钢缆连接CG顶端$(-6,5)$和OH顶端$(0,5)$，同理得对称轴为$x=-3$，顶点坐标$(-3,2)$。
设解析式为$y=a(x+3)^2+2(a≠0)$，代入$(-6,5)$得$a=\frac{1}{3}$，故解析式为$y=\frac{1}{3}(x+3)^2+2$，③正确。
4. 验证结论④：
彩带长度为同x值下钢缆的y值减去桥拱的y值。
当$x≥0$时，长度$L=\frac{1}{3}(x-3)^2+2 - (-\frac{1}{6}x^2)$，化简得：
$L=\frac{1}{3}x^2 - 2x +3 +2 +\frac{1}{6}x^2=\frac{1}{2}x^2 -2x +5$
该二次函数开口向上，对称轴为$x=\frac{2}{2×\frac{1}{2}}=2$，代入得最小值$L=\frac{1}{2}×2^2 -2×2 +5=3$。
当$x＜0$时，同理可求得长度最小值为3m，故彩带长度最小值为3m，④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数应用、二次函数最值
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的综合应用，需要准确根据题意提取点的坐标，灵活运用顶点式求解析式，掌握二次函数最值的求法即可顺利解题。
【难度系数】
0.65
7某工人用水枪浇花(如图 1),手柄 AB 长为 10 cm,BC 长为 $5\sqrt{5}$ cm,点 C 为出水口,点 C 到直线 AB 的距离为 10 cm(如图 2).完全开启后,水流路线可看成一条抛物线,点 B、C 都在这条抛物线上.当 AB 处于铅垂方向时,水流经过垂直向上的树苗 DE 的顶端点 E,并落在草坪 F 处(如图 3),DE=44 cm,点 D 到直线 AB 的距离为 130 cm,点 B 到草坪 DG 的距离为135 cm,点 C、E、G 在一条直线上,则点 C 到草坪 DG 的距离为
140
cm,DF 的长为 20
cm.答案
7.140 20 解析:建立如图所示的平面直角坐标系,过点 C 作$CQ⊥ x$轴于点 Q,作$CZ⊥ y$轴于点 Z.
$\because AB⊥ OG,CQ⊥ OG,CZ⊥ OZ$,
$\therefore$ 四边形 ZOQC 是矩形，
$\therefore ZC=OQ,OZ=CQ$.
$\because CZ⊥ OZ,\therefore △ CZB$ 是直角三角形.
$\because CZ=10\ \mathrm{cm},BC=5\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore ZB=\sqrt{BC^2-CZ^2}=\sqrt{125-100}=5(\mathrm{cm})$.
又$\because BO=135(\mathrm{cm})$,
$\therefore CQ=ZO=140\ \mathrm{cm},OQ=CZ=10\ \mathrm{cm}$.
$\because DO=130\ \mathrm{cm},\therefore DQ=120\ \mathrm{cm}$.
$\because ED⊥ OG,CQ⊥ OG,\therefore △ GED∽△ GCQ$.
$\because ED=44\ \mathrm{cm},\therefore \dfrac{44}{140}=\dfrac{DG}{120+DG}$,
$\therefore DG=55\ \mathrm{cm}$.
设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$,
$\because$ 点 B、C、E、F 都在抛物线上,设点 B 为$(0,135)$,
点$C(10,140)$,点$E(130,44)$,
$\therefore\begin{cases}c=135,\\10^2a+10b+c=140,\\130^2a+130b+c=44,\end{cases}$$\therefore\begin{cases}a=-0.01,\\b=0.6,\\c=135,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-0.01x^2+0.6x+135$,
当$y=0$时,得$x=150$或$x=-90$(舍去),
$\therefore$ 点 F 的坐标为$(150,0),\therefore OF=150\ \mathrm{cm}$,
$\therefore DF=OF-OD=150-130=20(\mathrm{cm})$,
故点 C 到草坪 DG 的距离为 140 cm,DF=20 cm.
解析
【分析】
本题是二次函数结合几何的实际应用问题，解题思路如下：首先建立平面直角坐标系，将实际场景中的长度转化为坐标系中点的坐标相关量；先利用勾股定理计算点C相对点B的垂直高度，结合点B到草坪的高度，即可求出点C到草坪的距离；再确定抛物线上B、C、E三个已知点的坐标，代入求出抛物线的解析式；最后求解抛物线与草坪所在x轴的交点F的坐标，结合D点的横坐标即可算出DF的长度。
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，过点C作$CQ⊥ x$轴于点Q，作$CZ⊥ y$轴于点Z。
$\because AB⊥ OG,CQ⊥ OG,CZ⊥ OZ$,
$\therefore$ 四边形 ZOQC 是矩形，
$\therefore ZC=OQ,OZ=CQ$。
$\because CZ⊥ OZ$，$\therefore △ CZB$是直角三角形。
已知点C到直线AB的距离为$10\ \mathrm{cm}$，即$CZ=10\ \mathrm{cm}$，$BC=5\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore ZB=\sqrt{BC^2-CZ^2}=\sqrt{125-100}=5(\mathrm{cm})$。
又$\because$点B到草坪DG的距离为$135\ \mathrm{cm}$，即$BO=135\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$点C到草坪DG的距离$CQ=ZO=ZB+BO=5+135=140\ \mathrm{cm}$，此时点C坐标为$(10,140)$，点B坐标为$(0,135)$。
$\because$点D到直线AB的距离为$130\ \mathrm{cm}$，$DE=44\ \mathrm{cm}$且$DE⊥DG$，$\therefore$点E坐标为$(130,44)$。
设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将B、C、E三点坐标代入得：
$\begin{cases}c=135\\10^2a+10b+c=140\\130^2a+130b+c=44\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-0.01\\b=0.6\\c=135\end{cases}$
$\therefore$抛物线的表达式为$y=-0.01x^2+0.6x+135$。
水流落在草坪F处，即F为抛物线与x轴的交点，令$y=0$，得：
$-0.01x^2+0.6x+135=0$
解得$x=150$或$x=-90$（不符合实际情况，舍去）
$\therefore$点F的坐标为$(150,0)$，即$OF=150\ \mathrm{cm}$。
又$\because$点D的横坐标为130，即$OD=130\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DF=OF-OD=150-130=20(\mathrm{cm})$。
【答案】
140；20
【知识点】
二次函数的应用，勾股定理，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生活中的浇花场景，将几何计算与二次函数知识相融合，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，涵盖了坐标系建立、函数解析式求解、函数与方程的关系等核心内容，综合性较强，能有效检验知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数结合几何的实际应用问题，解题思路如下：首先建立平面直角坐标系，将实际场景中的长度转化为坐标系中点的坐标相关量；先利用勾股定理计算点C相对点B的垂直高度，结合点B到草坪的高度，即可求出点C到草坪的距离；再确定抛物线上B、C、E三个已知点的坐标，代入求出抛物线的解析式；最后求解抛物线与草坪所在x轴的交点F的坐标，结合D点的横坐标即可算出DF的长度。
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，过点C作$CQ⊥ x$轴于点Q，作$CZ⊥ y$轴于点Z。
$\because AB⊥ OG,CQ⊥ OG,CZ⊥ OZ$,
$\therefore$ 四边形 ZOQC 是矩形，
$\therefore ZC=OQ,OZ=CQ$。
$\because CZ⊥ OZ$，$\therefore △ CZB$是直角三角形。
已知点C到直线AB的距离为$10\ \mathrm{cm}$，即$CZ=10\ \mathrm{cm}$，$BC=5\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore ZB=\sqrt{BC^2-CZ^2}=\sqrt{125-100}=5(\mathrm{cm})$。
又$\because$点B到草坪DG的距离为$135\ \mathrm{cm}$，即$BO=135\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$点C到草坪DG的距离$CQ=ZO=ZB+BO=5+135=140\ \mathrm{cm}$，此时点C坐标为$(10,140)$，点B坐标为$(0,135)$。
$\because$点D到直线AB的距离为$130\ \mathrm{cm}$，$DE=44\ \mathrm{cm}$且$DE⊥DG$，$\therefore$点E坐标为$(130,44)$。
设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将B、C、E三点坐标代入得：
$\begin{cases}c=135\\10^2a+10b+c=140\\130^2a+130b+c=44\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-0.01\\b=0.6\\c=135\end{cases}$
$\therefore$抛物线的表达式为$y=-0.01x^2+0.6x+135$。
水流落在草坪F处，即F为抛物线与x轴的交点，令$y=0$，得：
$-0.01x^2+0.6x+135=0$
解得$x=150$或$x=-90$（不符合实际情况，舍去）
$\therefore$点F的坐标为$(150,0)$，即$OF=150\ \mathrm{cm}$。
又$\because$点D的横坐标为130，即$OD=130\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DF=OF-OD=150-130=20(\mathrm{cm})$。
【答案】
140；20
【知识点】
二次函数的应用，勾股定理，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生活中的浇花场景，将几何计算与二次函数知识相融合，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，涵盖了坐标系建立、函数解析式求解、函数与方程的关系等核心内容，综合性较强，能有效检验知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
