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11.「2026广东惠州惠城期中，★☆」写出一个有最大值，且最大值是2的二次函数的解析式：
$y=-x^2+2$(答案不唯一)
.答案
$y=-x^2+2$(答案不唯一)
解析 $\because$ 二次函数有最大值，$\therefore a＜0$，又$\because$ 最大值是2，$\therefore$ 符合条件的二次函数的解析式可以是$y=-x^2+2$.(答案不唯一)
解析 $\because$ 二次函数有最大值，$\therefore a＜0$，又$\because$ 最大值是2，$\therefore$ 符合条件的二次函数的解析式可以是$y=-x^2+2$.(答案不唯一)
12. 学科$\frac{特色}{多解法}$「2026安徽六安裕安期中，★☆」抛物线$y=(x-4)(x+2)$的对称轴为直线$x=$
$1$
。答案
$1$
解析 【解法一】易知抛物线$y=(x-4)(x+2)$与$x$轴的公共点为$(4,0),(-2,0)$，$\therefore$ 对称轴为直线$x=\frac{4+(-2)}{2}=1$.
【解法二】将抛物线解析式化为顶点式可得$y=(x-4)·(x+2)=x^2-2x-8=(x-1)^2-9$，$\therefore$ 对称轴是直线$x=1$.
知识拓展 当抛物线上两点的纵坐标相等时，如$(x_1,b),(x_2,b)$，该抛物线的对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$.
解析 【解法一】易知抛物线$y=(x-4)(x+2)$与$x$轴的公共点为$(4,0),(-2,0)$，$\therefore$ 对称轴为直线$x=\frac{4+(-2)}{2}=1$.
【解法二】将抛物线解析式化为顶点式可得$y=(x-4)·(x+2)=x^2-2x-8=(x-1)^2-9$，$\therefore$ 对称轴是直线$x=1$.
知识拓展 当抛物线上两点的纵坐标相等时，如$(x_1,b),(x_2,b)$，该抛物线的对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$.
13.「★☆」已知抛物线$y=x^2 -x -1$与$x$轴的一个公共点为$(m,0)$，则$m^2 -m +999=$
$1000$
.答案
$1000$
解析 $\because$ 抛物线$y=x^2-x-1$与$x$轴的一个公共点为$(m,0)$，$\therefore m^2-m-1=0$，即$m^2-m=1$，$\therefore m^2-m+999=1+999=1000$.
解析 $\because$ 抛物线$y=x^2-x-1$与$x$轴的一个公共点为$(m,0)$，$\therefore m^2-m-1=0$，即$m^2-m=1$，$\therefore m^2-m+999=1+999=1000$.
14.「2026浙江绍兴月考，★☆」已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象可以由抛物线$y=-2x^2$平移得到，且其顶点坐标为$(2,-1)$，则该二次函数的表达式为
$y=-2(x-2)^2-1$
。答案
$y=-2(x-2)^2-1$
解析 $\because$ 二次函数图象的顶点坐标为$(2,-1)$，$\therefore$ 设二次函数的解析式为$y=a(x-2)^2-1$，$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象可以由抛物线$y=-2x^2$平移得到，$\therefore a=-2$，$\therefore$ 二次函数的解析式为$y=-2(x-2)^2-1$.
解析 $\because$ 二次函数图象的顶点坐标为$(2,-1)$，$\therefore$ 设二次函数的解析式为$y=a(x-2)^2-1$，$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象可以由抛物线$y=-2x^2$平移得到，$\therefore a=-2$，$\therefore$ 二次函数的解析式为$y=-2(x-2)^2-1$.
15.「2026广东广州天河月考，★★☆」如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=mx+n$交于$A(-2,p)$，$B(3,q)$两点，则不等式$ax^2+bx+c ≤ mx+n$的解集是________。
答案
$-2≤x≤3$
解析 由题意得，不等式$ax^2+bx+c ≤ mx+n$的解集是抛物线$y=ax^2+bx+c$在直线$y=mx+n$下方时自变量的取值范围，$\because$ 抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=mx+n$交于$A(-2,p)$，$B(3,q)$两点，$\therefore$ 结合图象可得，不等式$ax^2+bx+c ≤ mx+n$的解集是$-2≤x≤3$.
解析 由题意得，不等式$ax^2+bx+c ≤ mx+n$的解集是抛物线$y=ax^2+bx+c$在直线$y=mx+n$下方时自变量的取值范围，$\because$ 抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=mx+n$交于$A(-2,p)$，$B(3,q)$两点，$\therefore$ 结合图象可得，不等式$ax^2+bx+c ≤ mx+n$的解集是$-2≤x≤3$.
16.「2026山东东营期中，★★☆」如图,某蔬菜大棚的截面图可以近似看成抛物线,其中大棚的一边靠墙,大棚跨径$OA=12\ \mathrm{m}$,顶端$C$到墙体$BO$的水平距离为$4\ \mathrm{m}$,顶端$C$到$OA$的距离为$6\ \mathrm{m}$,则大棚与墙的交点$B$到原点$O$的距离$OB$为
$\frac{9}{2}$
$\mathrm{m}.$答案
$\frac{9}{2}$
解析 由题意得，抛物线的顶点为$C(4,6)$，$A(12,0)$在抛物线上，设二次函数的解析式为$y=a(x-4)^2+6(a≠0)$，将$(12,0)$代入，得$(12-4)^2a+6=0$，解得$a=-\frac{3}{32}$，$\therefore$ 二次函数的解析式为$y=-\frac{3}{32}(x-4)^2+6$，将$x=0$代入，得$y=-\frac{3}{32}×(0-4)^2+6=\frac{9}{2}$，$\therefore B(0,\frac{9}{2})$，$\therefore$ 大棚与墙的交点$B$到原点$O$的距离$OB$为$\frac{9}{2}$ m.
解析 由题意得，抛物线的顶点为$C(4,6)$，$A(12,0)$在抛物线上，设二次函数的解析式为$y=a(x-4)^2+6(a≠0)$，将$(12,0)$代入，得$(12-4)^2a+6=0$，解得$a=-\frac{3}{32}$，$\therefore$ 二次函数的解析式为$y=-\frac{3}{32}(x-4)^2+6$，将$x=0$代入，得$y=-\frac{3}{32}×(0-4)^2+6=\frac{9}{2}$，$\therefore B(0,\frac{9}{2})$，$\therefore$ 大棚与墙的交点$B$到原点$O$的距离$OB$为$\frac{9}{2}$ m.
17.「2025上海金山模拟，★★☆」如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点A，B在抛物线$y=x^2$上，点C在y轴上，A，B两点的横坐标分别为1和b（b＞1），则b的值为
$2$
.答案
$2$
解析 如图，过$B$点作$BE ⊥ y$轴于点$E$，过$A$点作$AD ⊥ y$轴于点$D$，$\therefore ∠ CDA = ∠ BEC = 90°$，在等腰直角三角形$ABC$中，$∠ ACB=90°$，$\therefore AC=BC$，$\because A,B$两点的横坐标分别为1和$b(b＞1)$，$\therefore AD=1$，$BE=b$，$\because$ 点$A,B$在抛物线$y=x^2$上，$\therefore A(1,1),B(b,b^2)$，$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ACD + ∠ BCE=90°$，$\because ∠ ACD + ∠ CAD=90°$，$\therefore ∠ BCE = ∠ CAD$，$\therefore △ BEC ≌ △ CDA(\mathrm{AAS})$，$\therefore CE=AD=1$，$CD=BE=b$，$\therefore OE=OD+CD+CE=1+b+1=2+b$，$\therefore b^2=2+b$，$\therefore b^2-b-2=0$，解得$b=2$或$-1$(舍去)，$\therefore b$的值为2.
18.「2025山东青岛市北期末，★☆」如图，已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象过点$A(1,-2)$和点$B(0,-5)$，当$-3≤ x≤2$时，函数$y=x^2+bx+c$的最大值与最小值的和为
$-3$
。答案
$-3$
解析 $\because$ 二次函数$y=x^2+bx+c$的图象过点$A(1,-2)$和点$B(0,-5)$，$\therefore \begin{cases}1+b+c=-2,\\c=-5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=2,\\c=-5,\end{cases}$ $\therefore$ 二次函数解析式为$y=x^2+2x-5$，$\therefore$ 二次函数图象对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-6)$，$\because$ 当$x=-3$时，$y=-2$，当$x=2$时，$y=3$，$\therefore$ 当$-3≤x≤2$时，函数$y=x^2+bx+c$的最大值为3，最小值为$-6$，$\therefore$ 最大值与最小值的和为$-3$.
解析 $\because$ 二次函数$y=x^2+bx+c$的图象过点$A(1,-2)$和点$B(0,-5)$，$\therefore \begin{cases}1+b+c=-2,\\c=-5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=2,\\c=-5,\end{cases}$ $\therefore$ 二次函数解析式为$y=x^2+2x-5$，$\therefore$ 二次函数图象对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-6)$，$\because$ 当$x=-3$时，$y=-2$，当$x=2$时，$y=3$，$\therefore$ 当$-3≤x≤2$时，函数$y=x^2+bx+c$的最大值为3，最小值为$-6$，$\therefore$ 最大值与最小值的和为$-3$.
