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三、解答题(共66分)
19.「2026吉林长春期末，★☆」(10分)已知二次函数$y=x^2+bx-2$的图象经过点(1,0).
(1)求b的值.
(2)当$-2≤x≤3$时，求y的取值范围.
19.「2026吉林长春期末，★☆」(10分)已知二次函数$y=x^2+bx-2$的图象经过点(1,0).
(1)求b的值.
(2)当$-2≤x≤3$时，求y的取值范围.
答案
(1)将$(1,0)$代入$y=x^2+bx-2$，得$0=1+b-2$，解得$b=1$.
(2)由(1)得函数解析式为$y=x^2+x-2=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{9}{4}$，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，顶点坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{9}{4})$，$\therefore$ 当$x=-\frac{1}{2}$时，函数有最小值$-\frac{9}{4}$，当$x=-2$时，$y=0$，当$x=3$时，$y=10$.故$y$的取值范围是$-\frac{9}{4}≤y≤10$.
(2)由(1)得函数解析式为$y=x^2+x-2=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{9}{4}$，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，顶点坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{9}{4})$，$\therefore$ 当$x=-\frac{1}{2}$时，函数有最小值$-\frac{9}{4}$，当$x=-2$时，$y=0$，当$x=3$时，$y=10$.故$y$的取值范围是$-\frac{9}{4}≤y≤10$.
20.「★☆」(10分)已知函数$y=(m-1)x^{m^2 - m}$。
(1)若函数$y=(m-1)x^{m^2 - m}$为二次函数，求$m$的值。
(2)在(1)的条件下，若二次函数的图象开口向上，求将该函数图象向上平移2个单位长度后得到的抛物线解析式。
(1)若函数$y=(m-1)x^{m^2 - m}$为二次函数，求$m$的值。
(2)在(1)的条件下，若二次函数的图象开口向上，求将该函数图象向上平移2个单位长度后得到的抛物线解析式。
答案
(1)$\because$ 函数$y=(m-1)x^{m^2 - m}$为二次函数，$\therefore m^2-m=2$且$m-1≠0$，解得$m=2$或$m=-1$.
(2)$\because$ 抛物线的开口向上，$\therefore m-1＞0$，$\therefore m＞1$，$\therefore m=2$，$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=x^2$，$\therefore$ 将该函数图象向上平移2个单位长度后得到的抛物线解析式为$y=x^2+2$.
易错警示 根据二次函数的概念求字母的值时，如果二次项系数中含有字母，要注意字母的取值要使二次项系数不为0.
(2)$\because$ 抛物线的开口向上，$\therefore m-1＞0$，$\therefore m＞1$，$\therefore m=2$，$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=x^2$，$\therefore$ 将该函数图象向上平移2个单位长度后得到的抛物线解析式为$y=x^2+2$.
易错警示 根据二次函数的概念求字母的值时，如果二次项系数中含有字母，要注意字母的取值要使二次项系数不为0.
21.「2026河南商丘期中改编，★★☆」(10分)如图，抛物线$y=x^2+bx+c$经过$A(-2,0),B(4,0)$两点。
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标。
(2)点P为抛物线上一点，若$S_{△ PAB}=12$，求出此时点P的坐标。
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标。
(2)点P为抛物线上一点，若$S_{△ PAB}=12$，求出此时点P的坐标。
答案
(1)将$(-2,0),(4,0)$代入$y=x^2+bx+c$，得$\begin{cases}4-2b+c=0,\\16+4b+c=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=-2,\\c=-8,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=x^2-2x-8=(x-1)^2-9$，$\therefore$ 顶点坐标为$(1,-9)$.
(2)$\because A(-2,0),B(4,0)$，$\therefore AB=4-(-2)=6$，设$P(x,x^2-2x-8)$，则$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}AB· |y_P|=12$，即$\frac{1}{2}×6×|x^2-2x-8|=12$，$\therefore x^2-2x-8=4$或$x^2-2x-8=-4$，解得$x=1\pm\sqrt{13}$或$x=1\pm\sqrt{5}$，$\therefore$ 点$P$的坐标为$(1+\sqrt{13},4)$或$(1-\sqrt{13},4)$或$(1+\sqrt{5},-4)$或$(1-\sqrt{5},-4)$.
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=x^2-2x-8=(x-1)^2-9$，$\therefore$ 顶点坐标为$(1,-9)$.
(2)$\because A(-2,0),B(4,0)$，$\therefore AB=4-(-2)=6$，设$P(x,x^2-2x-8)$，则$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}AB· |y_P|=12$，即$\frac{1}{2}×6×|x^2-2x-8|=12$，$\therefore x^2-2x-8=4$或$x^2-2x-8=-4$，解得$x=1\pm\sqrt{13}$或$x=1\pm\sqrt{5}$，$\therefore$ 点$P$的坐标为$(1+\sqrt{13},4)$或$(1-\sqrt{13},4)$或$(1+\sqrt{5},-4)$或$(1-\sqrt{5},-4)$.
