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例1 两个连续奇数之积为63，设一个奇数为$ x $，另一个奇数为$ x+2 $，试列方程并求出这两个奇数。
【思路导析】运用两个连续奇数之积为63，列方程，并解方程。
【请你解答】
【思路导析】运用两个连续奇数之积为63，列方程，并解方程。
【请你解答】
答案
解：
根据题意列方程，得
$x(x+2)=63$
整理，得
$x^2 + 2x - 63 = 0$
因式分解，得
$(x - 7)(x + 9) = 0$
则$x - 7 = 0$或$x + 9 = 0$
解得$x_1 = 7$，$x_2 = -9$
当$x=7$时，$x+2=9$；
当$x=-9$时，$x+2=-7$。
答：这两个奇数为7和9，或-9和-7。
根据题意列方程，得
$x(x+2)=63$
整理，得
$x^2 + 2x - 63 = 0$
因式分解，得
$(x - 7)(x + 9) = 0$
则$x - 7 = 0$或$x + 9 = 0$
解得$x_1 = 7$，$x_2 = -9$
当$x=7$时，$x+2=9$；
当$x=-9$时，$x+2=-7$。
答：这两个奇数为7和9，或-9和-7。
解析
【分析】
解题时首先抓住题目核心等量关系：两个连续奇数的乘积为63，题目已明确设较小奇数为x，较大的连续奇数为x+2，可直接根据乘积相等列一元二次方程。接下来求解一元二次方程，本题用因式分解法计算更简便，求出x的两个解后，要分别计算对应的另一个奇数，注意奇数包含正奇数和负奇数，两个解均符合要求，不能漏解。
【解析】
根据题意列方程，得
$x(x+2)=63$
整理，得
$x^2 + 2x - 63 = 0$
因式分解，得
$(x - 7)(x + 9) = 0$
则$x - 7 = 0$或$x + 9 = 0$
解得$x_1 = 7$，$x_2 = -9$
当$x=7$时，$x+2=9$；
当$x=-9$时，$x+2=-7$。
答：这两个奇数为7和9，或-9和-7。
【答案】
这两个奇数为7和9，或-9和-7。
【知识点】
列一元二次方程解应用题；因式分解法解一元二次方程；奇数的概念
【点评】
本题属于一元二次方程应用的基础题型，核心是找准等量关系列方程，解题时需注意奇数可以为负数，避免出现遗漏负根的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住题目核心等量关系：两个连续奇数的乘积为63，题目已明确设较小奇数为x，较大的连续奇数为x+2，可直接根据乘积相等列一元二次方程。接下来求解一元二次方程，本题用因式分解法计算更简便，求出x的两个解后，要分别计算对应的另一个奇数，注意奇数包含正奇数和负奇数，两个解均符合要求，不能漏解。
【解析】
根据题意列方程，得
$x(x+2)=63$
整理，得
$x^2 + 2x - 63 = 0$
因式分解，得
$(x - 7)(x + 9) = 0$
则$x - 7 = 0$或$x + 9 = 0$
解得$x_1 = 7$，$x_2 = -9$
当$x=7$时，$x+2=9$；
当$x=-9$时，$x+2=-7$。
答：这两个奇数为7和9，或-9和-7。
【答案】
这两个奇数为7和9，或-9和-7。
【知识点】
列一元二次方程解应用题；因式分解法解一元二次方程；奇数的概念
【点评】
本题属于一元二次方程应用的基础题型，核心是找准等量关系列方程，解题时需注意奇数可以为负数，避免出现遗漏负根的错误。
【难度系数】
0.8
例2 用一根长24 cm的铁丝围成一个斜边长是10 cm的直角三角形，求两条直角边的边长。
【思路导析】设一条直角边长为x cm，另一条直角边长用含x的式子表示，运用勾股定理列方程求解。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 实际生活应用中的一元二次方程
【思路导析】设一条直角边长为x cm，另一条直角边长用含x的式子表示，运用勾股定理列方程求解。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 实际生活应用中的一元二次方程
答案
解：设其中一条直角边的长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一条直角边的长为$ (24 - 10 - x) = (14 - x) \, \mathrm{cm} $。
根据勾股定理列方程，得：
$x^2 + (14 - x)^2 = 10^2$
整理得：
$x^2 - 14x + 48 = 0$
因式分解得：
$(x - 6)(x - 8) = 0$
解得：
$ x_1 = 6 $，$ x_2 = 8 $。
当$ x = 6 $时，$ 14 - x = 8 $；当$ x = 8 $时，$ 14 - x = 6 $，均符合实际意义。
答：两条直角边的边长分别为6 cm和8 cm。
根据勾股定理列方程，得：
$x^2 + (14 - x)^2 = 10^2$
整理得：
$x^2 - 14x + 48 = 0$
因式分解得：
$(x - 6)(x - 8) = 0$
解得：
$ x_1 = 6 $，$ x_2 = 8 $。
当$ x = 6 $时，$ 14 - x = 8 $；当$ x = 8 $时，$ 14 - x = 6 $，均符合实际意义。
答：两条直角边的边长分别为6 cm和8 cm。
解析
【分析】
首先明确铁丝总长就是直角三角形的周长，已知斜边长，可先计算出两条直角边的长度和为24-10=14cm；设其中一条直角边长为x cm，即可用含x的代数式表示另一条直角边长为(14-x)cm；再结合直角三角形的勾股定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方，列出一元二次方程，求解方程后检验解是否符合边长为正的实际要求，最终得到两条直角边的长度。
【解析】
解：设其中一条直角边的长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一条直角边的长为$ 24 - 10 - x = (14 - x) \, \mathrm{cm} $。
根据勾股定理列方程，得：
$x^2 + (14 - x)^2 = 10^2$
整理得：
$x^2 - 14x + 48 = 0$
因式分解得：
$(x - 6)(x - 8) = 0$
解得：
$ x_1 = 6 $，$ x_2 = 8 $。
当$ x = 6 $时，$ 14 - x = 8 $；当$ x = 8 $时，$ 14 - x = 6 $，均为正数，符合边长的实际意义。
【答案】
两条直角边的边长分别为6 cm和8 cm。
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是几何与方程结合的基础应用题，考查了从实际问题中提炼等量关系建立方程模型的能力，解题时需注意解方程后要验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
首先明确铁丝总长就是直角三角形的周长，已知斜边长，可先计算出两条直角边的长度和为24-10=14cm；设其中一条直角边长为x cm，即可用含x的代数式表示另一条直角边长为(14-x)cm；再结合直角三角形的勾股定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方，列出一元二次方程，求解方程后检验解是否符合边长为正的实际要求，最终得到两条直角边的长度。
【解析】
解：设其中一条直角边的长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一条直角边的长为$ 24 - 10 - x = (14 - x) \, \mathrm{cm} $。
根据勾股定理列方程，得：
$x^2 + (14 - x)^2 = 10^2$
整理得：
$x^2 - 14x + 48 = 0$
因式分解得：
$(x - 6)(x - 8) = 0$
解得：
$ x_1 = 6 $，$ x_2 = 8 $。
当$ x = 6 $时，$ 14 - x = 8 $；当$ x = 8 $时，$ 14 - x = 6 $，均为正数，符合边长的实际意义。
【答案】
两条直角边的边长分别为6 cm和8 cm。
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是几何与方程结合的基础应用题，考查了从实际问题中提炼等量关系建立方程模型的能力，解题时需注意解方程后要验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
例3 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则每个支干长出多少个小分支？
【探究点拨】主干数目为1，设支干数目为$x$，则小分支数目为$x^2$，三个数目之和为57，列方程即可求解。
【规范解答】设支干数目为$x$，则长出的小分支数目为$x^2$，依题意列方程
$1+x+x^2=57.$
即$x^2 + x -56=0$，
所以$(x+8)(x-7)=0$，
即$x_1=7, x_2=-8$(舍去).
答：每个支干长出7个小分支。
【探究点拨】主干数目为1，设支干数目为$x$，则小分支数目为$x^2$，三个数目之和为57，列方程即可求解。
【规范解答】设支干数目为$x$，则长出的小分支数目为$x^2$，依题意列方程
$1+x+x^2=57.$
即$x^2 + x -56=0$，
所以$(x+8)(x-7)=0$，
即$x_1=7, x_2=-8$(舍去).
答：每个支干长出7个小分支。
答案
解：设每个支干长出$x$个小分支，则支干总数为$x$，小分支总数为$x^2$。
依题意列方程：
$1 + x + x^2 = 57$
整理得：
$x^2 + x - 56 = 0$
因式分解，得：
$(x + 8)(x - 7) = 0$
解得：
$x_1 = 7$，$x_2 = -8$
由于小分支的数量为正整数，$x=-8$不符合实际意义，舍去。
答：每个支干长出7个小分支。
依题意列方程：
$1 + x + x^2 = 57$
整理得：
$x^2 + x - 56 = 0$
因式分解，得：
$(x + 8)(x - 7) = 0$
解得：
$x_1 = 7$，$x_2 = -8$
由于小分支的数量为正整数，$x=-8$不符合实际意义，舍去。
答：每个支干长出7个小分支。
解析
【分析】
解题时首先明确各层级分支的数量关系：主干仅1个；设每个支干长出x个小分支，则主干长出的支干总数为x；每个支干又长出x个小分支，因此小分支总数为x·x=x²。根据三者总数为57的等量关系列一元二次方程，求解后注意结合“分支数量为正整数”的实际意义舍去不符合的根，即可得到正确结果。
【解析】
解：设每个支干长出$x$个小分支，则支干总数为$x$，小分支总数为$x^2$。
依题意列方程：
$1 + x + x^2 = 57$
整理得：
$x^2 + x - 56 = 0$
因式分解，得：
$(x + 8)(x - 7) = 0$
解得：
$x_1 = 7$，$x_2 = -8$
由于小分支的数量为正整数，$x=-8$不符合实际意义，舍去。
答：每个支干长出7个小分支。
【答案】
每个支干长出7个小分支。
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解方程；实际问题根的检验
【点评】
本题是典型的分支类一元二次方程实际应用题，解题核心是准确梳理不同层级分支的数量关系，建立正确的方程模型，求解后注意结合实际场景判断根的合理性，是一元二次方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确各层级分支的数量关系：主干仅1个；设每个支干长出x个小分支，则主干长出的支干总数为x；每个支干又长出x个小分支，因此小分支总数为x·x=x²。根据三者总数为57的等量关系列一元二次方程，求解后注意结合“分支数量为正整数”的实际意义舍去不符合的根，即可得到正确结果。
【解析】
解：设每个支干长出$x$个小分支，则支干总数为$x$，小分支总数为$x^2$。
依题意列方程：
$1 + x + x^2 = 57$
整理得：
$x^2 + x - 56 = 0$
因式分解，得：
$(x + 8)(x - 7) = 0$
解得：
$x_1 = 7$，$x_2 = -8$
由于小分支的数量为正整数，$x=-8$不符合实际意义，舍去。
答：每个支干长出7个小分支。
【答案】
每个支干长出7个小分支。
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解方程；实际问题根的检验
【点评】
本题是典型的分支类一元二次方程实际应用题，解题核心是准确梳理不同层级分支的数量关系，建立正确的方程模型，求解后注意结合实际场景判断根的合理性，是一元二次方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
1.一个直角三角形的三边长为三个连续的整数，求这个直角三角形的面积.
2.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.
2.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.
答案
第1题
解：设这个直角三角形的三边长分别为$x-1$，$x$，$x+1$（$x$为正整数，斜边长为$x+1$）。
根据勾股定理列方程：
$(x-1)^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开整理得：
$x^2 -4x = 0$
因式分解得$x(x-4)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=0$（边长不能为0，舍去）。
则两直角边长为$4-1=3$、$4$，三角形面积为：
$\frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$
答：这个直角三角形的面积为6。
---
第2题
解：设原来两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$5-x$。
原两位数为$10x+(5-x)=9x+5$，对调后新两位数为$10(5-x)+x=50-9x$。
根据题意列方程：
$(9x+5)(50-9x) = 736$
展开整理得：
$x^2 -5x +6 = 0$
因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$。
当$x=2$时，原两位数为23；当$x=3$时，原两位数为32。
答：原来的两位数为23或32。
解：设这个直角三角形的三边长分别为$x-1$，$x$，$x+1$（$x$为正整数，斜边长为$x+1$）。
根据勾股定理列方程：
$(x-1)^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开整理得：
$x^2 -4x = 0$
因式分解得$x(x-4)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=0$（边长不能为0，舍去）。
则两直角边长为$4-1=3$、$4$，三角形面积为：
$\frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$
答：这个直角三角形的面积为6。
---
第2题
解：设原来两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$5-x$。
原两位数为$10x+(5-x)=9x+5$，对调后新两位数为$10(5-x)+x=50-9x$。
根据题意列方程：
$(9x+5)(50-9x) = 736$
展开整理得：
$x^2 -5x +6 = 0$
因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$。
当$x=2$时，原两位数为23；当$x=3$时，原两位数为32。
答：原来的两位数为23或32。
解析
【分析】
第1题：已知直角三角形三边长为连续整数，结合直角三角形斜边最长的性质，设中间长度的边为$x$，则三边长可表示为$x-1$、$x$、$x+1$（$x+1$为斜边），再利用勾股定理列一元二次方程，求解后舍去不符合边长为正的无效解，得到两直角边长度后即可计算面积。
第2题：本题为数字类应用题，首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。已知十位与个位数字之和为5，设十位数字为$x$，则个位数字为$5-x$，分别写出原两位数和对调后的新两位数，根据两者乘积为736列方程求解，检验解符合数字取值范围即可得到结果。
【解析】
第1题
解：设这个直角三角形的三边长分别为$x-1$，$x$，$x+1$（$x$为正整数，斜边长为$x+1$）。
根据勾股定理列方程：
$(x-1)^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开整理得：
$x^2 -4x = 0$
因式分解得$x(x-4)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=0$（边长不能为0，舍去）。
则两直角边长为$4-1=3$、$4$，三角形面积为：
$\frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$
第2题
解：设原来两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$5-x$。
原两位数为$10x+(5-x)=9x+5$，对调后新两位数为$10(5-x)+x=50-9x$。
根据题意列方程：
$(9x+5)(50-9x) = 736$
展开整理得：
$x^2 -5x +6 = 0$
因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$。
当$x=2$时，原两位数为23；当$x=3$时，原两位数为32。
【答案】
1. 这个直角三角形的面积为$\boxed{6}$；
2. 原来的两位数为$\boxed{23}$或$\boxed{32}$。
【知识点】
勾股定理、一元二次方程的应用、数字表示规则
【点评】
两道题均为一元二次方程实际应用的基础典型题，解题时要注意结合实际场景的隐含条件（如边长为正、数位数字为0-9的整数）对解进行取舍，数字类问题要熟练掌握多位数的表示方法，避免漏解。
【难度系数】
0.75
第1题：已知直角三角形三边长为连续整数，结合直角三角形斜边最长的性质，设中间长度的边为$x$，则三边长可表示为$x-1$、$x$、$x+1$（$x+1$为斜边），再利用勾股定理列一元二次方程，求解后舍去不符合边长为正的无效解，得到两直角边长度后即可计算面积。
第2题：本题为数字类应用题，首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。已知十位与个位数字之和为5，设十位数字为$x$，则个位数字为$5-x$，分别写出原两位数和对调后的新两位数，根据两者乘积为736列方程求解，检验解符合数字取值范围即可得到结果。
【解析】
第1题
解：设这个直角三角形的三边长分别为$x-1$，$x$，$x+1$（$x$为正整数，斜边长为$x+1$）。
根据勾股定理列方程：
$(x-1)^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开整理得：
$x^2 -4x = 0$
因式分解得$x(x-4)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=0$（边长不能为0，舍去）。
则两直角边长为$4-1=3$、$4$，三角形面积为：
$\frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$
第2题
解：设原来两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$5-x$。
原两位数为$10x+(5-x)=9x+5$，对调后新两位数为$10(5-x)+x=50-9x$。
根据题意列方程：
$(9x+5)(50-9x) = 736$
展开整理得：
$x^2 -5x +6 = 0$
因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$。
当$x=2$时，原两位数为23；当$x=3$时，原两位数为32。
【答案】
1. 这个直角三角形的面积为$\boxed{6}$；
2. 原来的两位数为$\boxed{23}$或$\boxed{32}$。
【知识点】
勾股定理、一元二次方程的应用、数字表示规则
【点评】
两道题均为一元二次方程实际应用的基础典型题，解题时要注意结合实际场景的隐含条件（如边长为正、数位数字为0-9的整数）对解进行取舍，数字类问题要熟练掌握多位数的表示方法，避免漏解。
【难度系数】
0.75
