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1.一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方等于这个两位数，则这个两位数为。
答案
解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为x+3，该两位数可表示为$10x+(x+3)$。
根据题意列方程：
$(x+3)^2 = 10x + (x+3)$
整理得：
$x^2 -5x +6 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-3)=0$
解得：
$x_1=2,\quad x_2=3$
当$x=2$时，个位数字为$2+3=5$，对应两位数为25；
当$x=3$时，个位数字为$3+3=6$，对应两位数为36。
经检验，25和36均满足题设条件。
答：这个两位数为25或36。
根据题意列方程：
$(x+3)^2 = 10x + (x+3)$
整理得：
$x^2 -5x +6 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-3)=0$
解得：
$x_1=2,\quad x_2=3$
当$x=2$时，个位数字为$2+3=5$，对应两位数为25；
当$x=3$时，个位数字为$3+3=6$，对应两位数为36。
经检验，25和36均满足题设条件。
答：这个两位数为25或36。
解析
【分析】
这是一道数字类的一元二次方程应用题，解题时首先要明确两位数的表示方法：两位数=十位数字×10+个位数字。我们可以先设十位数字为未知数，用含未知数的式子表示出个位数字和这个两位数，再根据“个位数字的平方等于这个两位数”的等量关系列方程，求解方程后要验证得到的数字是否符合数位的取值要求（十位数字为1~9的整数，个位数字为0~9的整数），最终得到正确的两位数。
【解析】
解：设这个两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$x+3$，该两位数可表示为$10x+(x+3)$。
根据题意列方程：
$(x+3)^2 = 10x + (x+3)$
整理得：
$x^2 -5x +6 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-3)=0$
解得：
$x_1=2,\quad x_2=3$
当$x=2$时，个位数字为$2+3=5$，对应两位数为25；
当$x=3$时，个位数字为$3+3=6$，对应两位数为36。
经检验，25和36均满足题设条件。
【答案】
25或36
【知识点】
一元二次方程应用、两位数的表示、因式分解法解方程
【点评】
本题属于基础的方程应用题，核心是掌握多位数的表示方法，准确找到等量关系列方程，解题时要注意数位的取值有范围限制，求得结果后需验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类的一元二次方程应用题，解题时首先要明确两位数的表示方法：两位数=十位数字×10+个位数字。我们可以先设十位数字为未知数，用含未知数的式子表示出个位数字和这个两位数，再根据“个位数字的平方等于这个两位数”的等量关系列方程，求解方程后要验证得到的数字是否符合数位的取值要求（十位数字为1~9的整数，个位数字为0~9的整数），最终得到正确的两位数。
【解析】
解：设这个两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$x+3$，该两位数可表示为$10x+(x+3)$。
根据题意列方程：
$(x+3)^2 = 10x + (x+3)$
整理得：
$x^2 -5x +6 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-3)=0$
解得：
$x_1=2,\quad x_2=3$
当$x=2$时，个位数字为$2+3=5$，对应两位数为25；
当$x=3$时，个位数字为$3+3=6$，对应两位数为36。
经检验，25和36均满足题设条件。
【答案】
25或36
【知识点】
一元二次方程应用、两位数的表示、因式分解法解方程
【点评】
本题属于基础的方程应用题，核心是掌握多位数的表示方法，准确找到等量关系列方程，解题时要注意数位的取值有范围限制，求得结果后需验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
2.已知菱形的面积为20，两条对角线的长度差为3，设其中一条对角线长为x，则另一条长为x+3，根据题意列方程为 ，两条对角线的长分别为 、。
答案
解：
根据菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x+3)=20$
整理方程：
$x^2 + 3x - 40 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x+8)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-8$。
因为对角线长度为正数，舍去$x=-8$，则另一条对角线长为$5+3=8$。
答：所列方程为$\frac{1}{2}x(x+3)=20$，两条对角线的长分别为5、8。
根据菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x+3)=20$
整理方程：
$x^2 + 3x - 40 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x+8)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-8$。
因为对角线长度为正数，舍去$x=-8$，则另一条对角线长为$5+3=8$。
答：所列方程为$\frac{1}{2}x(x+3)=20$，两条对角线的长分别为5、8。
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的面积计算公式：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半。题目已经给出两条对角线的长度分别为x和x+3，已知面积为20，将对应量代入面积公式即可列出方程；接下来解这个一元二次方程，注意对角线长度为正数，解出的负根需要舍去，最后根据保留的正根计算出另一条对角线的长度即可。
【解析】
根据菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x+3)=20$
整理方程得：
$x^2 + 3x - 40 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x+8)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-8$
因为对角线长度为正数，因此舍去$x=-8$，则另一条对角线的长度为$5+3=8$。
【答案】
$\frac{1}{2}x(x+3)=20$；5；8
【知识点】
菱形面积计算；一元二次方程求解；实际问题验根
【点评】
本题是几何与方程结合的基础题型，核心是掌握菱形面积公式，同时要注意结合实际意义对一元二次方程的根进行筛选，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆菱形的面积计算公式：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半。题目已经给出两条对角线的长度分别为x和x+3，已知面积为20，将对应量代入面积公式即可列出方程；接下来解这个一元二次方程，注意对角线长度为正数，解出的负根需要舍去，最后根据保留的正根计算出另一条对角线的长度即可。
【解析】
根据菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x+3)=20$
整理方程得：
$x^2 + 3x - 40 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x+8)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-8$
因为对角线长度为正数，因此舍去$x=-8$，则另一条对角线的长度为$5+3=8$。
【答案】
$\frac{1}{2}x(x+3)=20$；5；8
【知识点】
菱形面积计算；一元二次方程求解；实际问题验根
【点评】
本题是几何与方程结合的基础题型，核心是掌握菱形面积公式，同时要注意结合实际意义对一元二次方程的根进行筛选，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
3.一个长方形,将其长缩短 5 cm、宽增加 3 cm后变成了正方形,且面积比原面积减少了$5\ \mathrm{cm}^2$,那么正方形的面积为.
答案
解：设正方形的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，则原长方形的长为$ (x+5)\ \mathrm{cm} $，宽为$ (x-3)\ \mathrm{cm} $。
根据题意列方程：
$(x+5)(x-3) - x^2 = 5$
展开并化简：
$x^2 + 2x - 15 - x^2 = 5$
$2x = 20$
解得：
$x = 10$
正方形的面积为$ 10^2 = 100\ \mathrm{cm}^2 $。
答：正方形的面积为$ 100\ \mathrm{cm}^2 $。
根据题意列方程：
$(x+5)(x-3) - x^2 = 5$
展开并化简：
$x^2 + 2x - 15 - x^2 = 5$
$2x = 20$
解得：
$x = 10$
正方形的面积为$ 10^2 = 100\ \mathrm{cm}^2 $。
答：正方形的面积为$ 100\ \mathrm{cm}^2 $。
解析
【分析】
要解这道题，需抓住“长方形变形为正方形后的边长关系”“面积比原面积减少$5\ \mathrm{cm}^2$”两个核心条件。优先设正方形边长为未知数$x$，可更简便表示原长方形的长和宽：长缩短5cm得到$x$，因此原长为$(x+5)\ \mathrm{cm}$；宽增加3cm得到$x$，因此原宽为$(x-3)\ \mathrm{cm}$。再根据“原长方形面积$-$正方形面积$=5\ \mathrm{cm}^2$”的等量关系列一元一次方程，求解得到$x$后即可计算正方形面积。
【解析】
设正方形的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，则原长方形的长为$ (x+5)\ \mathrm{cm} $，宽为$ (x-3)\ \mathrm{cm} $。
根据题意列方程：
$(x+5)(x-3) - x^2 = 5$
展开并化简：
$x^2 + 2x - 15 - x^2 = 5$
$2x = 20$
解得：$x = 10$
正方形的面积为$ 10^2 = 100\ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
$100\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形与正方形面积计算
【点评】
本题是典型的几何类列方程解应用题，解题关键是准确梳理图形变换前后的边长对应关系、面积等量关系，选择正方形边长作为未知量可简化列方程的难度。
【难度系数】
0.7
要解这道题，需抓住“长方形变形为正方形后的边长关系”“面积比原面积减少$5\ \mathrm{cm}^2$”两个核心条件。优先设正方形边长为未知数$x$，可更简便表示原长方形的长和宽：长缩短5cm得到$x$，因此原长为$(x+5)\ \mathrm{cm}$；宽增加3cm得到$x$，因此原宽为$(x-3)\ \mathrm{cm}$。再根据“原长方形面积$-$正方形面积$=5\ \mathrm{cm}^2$”的等量关系列一元一次方程，求解得到$x$后即可计算正方形面积。
【解析】
设正方形的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，则原长方形的长为$ (x+5)\ \mathrm{cm} $，宽为$ (x-3)\ \mathrm{cm} $。
根据题意列方程：
$(x+5)(x-3) - x^2 = 5$
展开并化简：
$x^2 + 2x - 15 - x^2 = 5$
$2x = 20$
解得：$x = 10$
正方形的面积为$ 10^2 = 100\ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
$100\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形与正方形面积计算
【点评】
本题是典型的几何类列方程解应用题，解题关键是准确梳理图形变换前后的边长对应关系、面积等量关系，选择正方形边长作为未知量可简化列方程的难度。
【难度系数】
0.7
4.如图，8块相同的长方形地砖拼成面积为2400 cm²的大矩形，则小矩形的长为 cm.
答案
解：设小矩形的长为$ x \, \mathrm{cm} $，宽为$ y \, \mathrm{cm} $。
由图形拼接关系可得：$ x = 3y $，
每块小矩形的面积为$ \frac{2400}{8} = 300 \, \mathrm{cm}^2 $，即$ xy = 300 $。
将$ y = \frac{x}{3} $代入$ xy = 300 $，得：
$x · \frac{x}{3} = 300$
整理得：$ x^2 = 900 $
解得：$ x_1 = 30 $，$ x_2 = -30 $（边长为正，舍去）
答：小矩形的长为$\boldsymbol{30}$ cm。
由图形拼接关系可得：$ x = 3y $，
每块小矩形的面积为$ \frac{2400}{8} = 300 \, \mathrm{cm}^2 $，即$ xy = 300 $。
将$ y = \frac{x}{3} $代入$ xy = 300 $，得：
$x · \frac{x}{3} = 300$
整理得：$ x^2 = 900 $
解得：$ x_1 = 30 $，$ x_2 = -30 $（边长为正，舍去）
答：小矩形的长为$\boldsymbol{30}$ cm。
解析
【分析】
本题是图形拼接与方程结合的应用题，解题思路如下：第一步先观察拼接图形的边长特征，挖掘隐藏的等量关系：小矩形的长等于3个小矩形的宽；第二步根据8块小矩形的总面积计算单块小矩形的面积，得到“长×宽=单块面积”的第二个等量关系；第三步设长、宽为未知数，联立两个等量关系列方程求解，最后结合边长为正数的实际意义舍去不合理的负根，即可得到结果。
【解析】
解：设小矩形的长为$x \, \mathrm{cm}$，宽为$y \, \mathrm{cm}$。
由图形拼接的边长关系可得：$x = 3y$。
每块小矩形的面积为$\frac{2400}{8} = 300 \, \mathrm{cm}^2$，因此有$xy = 300$。
将$y = \frac{x}{3}$代入$xy = 300$，得：
$x · \frac{x}{3} = 300$
整理得：$ x^2 = 900 $
解得：$ x_1 = 30 $，$ x_2 = -30 $，由于矩形边长为正数，故舍去$x=-30$。
【答案】
$\boldsymbol{30}$
【知识点】
图形拼接规律，一元二次方程应用，矩形面积计算
【点评】
本题的解题关键是从拼接图形中准确找出长和宽的数量关系，再结合面积公式列方程求解，注意要结合实际意义舍去不符合要求的解，考察了图形观察能力和方程求解的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是图形拼接与方程结合的应用题，解题思路如下：第一步先观察拼接图形的边长特征，挖掘隐藏的等量关系：小矩形的长等于3个小矩形的宽；第二步根据8块小矩形的总面积计算单块小矩形的面积，得到“长×宽=单块面积”的第二个等量关系；第三步设长、宽为未知数，联立两个等量关系列方程求解，最后结合边长为正数的实际意义舍去不合理的负根，即可得到结果。
【解析】
解：设小矩形的长为$x \, \mathrm{cm}$，宽为$y \, \mathrm{cm}$。
由图形拼接的边长关系可得：$x = 3y$。
每块小矩形的面积为$\frac{2400}{8} = 300 \, \mathrm{cm}^2$，因此有$xy = 300$。
将$y = \frac{x}{3}$代入$xy = 300$，得：
$x · \frac{x}{3} = 300$
整理得：$ x^2 = 900 $
解得：$ x_1 = 30 $，$ x_2 = -30 $，由于矩形边长为正数，故舍去$x=-30$。
【答案】
$\boldsymbol{30}$
【知识点】
图形拼接规律，一元二次方程应用，矩形面积计算
【点评】
本题的解题关键是从拼接图形中准确找出长和宽的数量关系，再结合面积公式列方程求解，注意要结合实际意义舍去不符合要求的解，考察了图形观察能力和方程求解的应用能力。
【难度系数】
0.7
5.一个长为100 m、宽为60 m的矩形游泳池需扩建成一个周长为600 m的矩形水上游乐场，把游泳池的长增加x m后，水上游乐场的面积为20 000 $m^2$. 依题意可列出方程.
A R S D
A R S D
答案
解：
扩建后水上游乐场的长为$(100+x)\ \mathrm{m}$，
由游乐场周长为$600\ \mathrm{m}$，可得其宽为$\frac{600}{2}-(100+x)=(200-x)\ \mathrm{m}$，
根据游乐场面积为$20000\ \mathrm{m}^2$，可列方程：
$\boldsymbol{(100+x)(200-x)=20000}$
扩建后水上游乐场的长为$(100+x)\ \mathrm{m}$，
由游乐场周长为$600\ \mathrm{m}$，可得其宽为$\frac{600}{2}-(100+x)=(200-x)\ \mathrm{m}$，
根据游乐场面积为$20000\ \mathrm{m}^2$，可列方程：
$\boldsymbol{(100+x)(200-x)=20000}$
解析
【分析】
要列出符合题意的方程，核心是先找到等量关系：扩建后水上游乐场的面积=20000$m^2$，接下来分步推导扩建后游乐场的长和宽的表达式：
1. 表示扩建后的长：已知原游泳池长为100m，长增加x m，因此扩建后长为$(100+x)\ \mathrm{m}$；
2. 表示扩建后的宽：矩形周长公式为$周长=2×(长+宽)$，已知扩建后周长为600m，可得扩建后长+宽=$600÷2=300\ \mathrm{m}$，因此宽为$300-(100+x)=(200-x)\ \mathrm{m}$；
3. 最后结合矩形面积公式$面积=长×宽$，代入对应表达式和面积数值即可列方程。
【解析】
首先，扩建后水上游乐场的长为$(100+x)\ \mathrm{m}$；
再根据矩形周长公式，由游乐场周长为600m，可得扩建后长与宽的和为$600÷2=300\ \mathrm{m}$，因此宽为$300-(100+x)=(200-x)\ \mathrm{m}$；
最后根据游乐场面积为20000$m^2$，结合矩形面积公式可列方程：
$(100+x)(200-x)=20000$
【答案】
$(100+x)(200-x)=20000$
【知识点】
一元二次方程实际应用；矩形周长计算；矩形面积计算
【点评】
本题属于图形类列方程的基础题型，解题关键是先用含未知数的代数式正确表示出扩建后矩形的长和宽，再结合面积等量关系列方程，侧重考察对基础几何公式的掌握和用代数式表示未知量的能力。
【难度系数】
0.8
要列出符合题意的方程，核心是先找到等量关系：扩建后水上游乐场的面积=20000$m^2$，接下来分步推导扩建后游乐场的长和宽的表达式：
1. 表示扩建后的长：已知原游泳池长为100m，长增加x m，因此扩建后长为$(100+x)\ \mathrm{m}$；
2. 表示扩建后的宽：矩形周长公式为$周长=2×(长+宽)$，已知扩建后周长为600m，可得扩建后长+宽=$600÷2=300\ \mathrm{m}$，因此宽为$300-(100+x)=(200-x)\ \mathrm{m}$；
3. 最后结合矩形面积公式$面积=长×宽$，代入对应表达式和面积数值即可列方程。
【解析】
首先，扩建后水上游乐场的长为$(100+x)\ \mathrm{m}$；
再根据矩形周长公式，由游乐场周长为600m，可得扩建后长与宽的和为$600÷2=300\ \mathrm{m}$，因此宽为$300-(100+x)=(200-x)\ \mathrm{m}$；
最后根据游乐场面积为20000$m^2$，结合矩形面积公式可列方程：
$(100+x)(200-x)=20000$
【答案】
$(100+x)(200-x)=20000$
【知识点】
一元二次方程实际应用；矩形周长计算；矩形面积计算
【点评】
本题属于图形类列方程的基础题型，解题关键是先用含未知数的代数式正确表示出扩建后矩形的长和宽，再结合面积等量关系列方程，侧重考察对基础几何公式的掌握和用代数式表示未知量的能力。
【难度系数】
0.8
6.如图,在一块长为22 m、宽为17 m的矩形地面上,要修建一条长方形道路LMPQ及一条平行四
第6题图边形道路RSTK,剩余部分种上草坪,草坪面积为$300\ \mathrm{m}^2$.若$LM=RS=x\ \mathrm{m}$,则$x=$.
第6题图边形道路RSTK,剩余部分种上草坪,草坪面积为$300\ \mathrm{m}^2$.若$LM=RS=x\ \mathrm{m}$,则$x=$.答案
解：
根据题意，将剩余草坪部分平移拼接，可得草坪部分为长$(22-x)\ \mathrm{m}$、宽$(17-x)\ \mathrm{m}$的矩形，
列方程得：
$(22-x)(17-x)=300$
整理得：
$x^2 - 39x + 74 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-37)=0$
解得：
$x_1=2,\quad x_2=37$
因为$x=37＞22$，不符合实际意义，舍去。
所以$x=2$。
答：$x$的值为$\boldsymbol{2}$。
根据题意，将剩余草坪部分平移拼接，可得草坪部分为长$(22-x)\ \mathrm{m}$、宽$(17-x)\ \mathrm{m}$的矩形，
列方程得：
$(22-x)(17-x)=300$
整理得：
$x^2 - 39x + 74 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-37)=0$
解得：
$x_1=2,\quad x_2=37$
因为$x=37＞22$，不符合实际意义，舍去。
所以$x=2$。
答：$x$的值为$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
本题是图形面积类的实际应用题，可采用平移法简化计算：首先观察道路特征，横向长方形道路的宽为x，纵向平行四边形道路的底也为x，我们可以将两条道路分别向矩形的边缘平移，此时剩余的草坪部分可拼接成一个新的规则矩形，新矩形的长等于原矩形的长减去道路宽度x，宽等于原矩形的宽减去道路宽度x。再根据草坪面积为300㎡列出一元二次方程，求解后结合实际情况舍去不符合题意的根即可得到x的值。
【解析】
根据题意，将剩余草坪部分平移拼接，可得草坪部分是长为$(22-x)\ \mathrm{m}$、宽为$(17-x)\ \mathrm{m}$的矩形，根据矩形面积公式列方程：
$(22-x)(17-x)=300$
展开整理得：
$x^2 - 39x + 74 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-37)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=37$
由于道路宽度x不能超过原矩形的长和宽，$x=37＞22$，不符合实际意义，故舍去。
所以$x=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
一元二次方程应用；平移的性质；矩形面积计算
【点评】
本题是典型的面积类实际应用题，解题的核心是利用平移将分散的不规则草坪区域转化为规则矩形，大幅降低计算难度，同时要注意求解实际问题时必须检验方程的根是否符合实际情境，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
本题是图形面积类的实际应用题，可采用平移法简化计算：首先观察道路特征，横向长方形道路的宽为x，纵向平行四边形道路的底也为x，我们可以将两条道路分别向矩形的边缘平移，此时剩余的草坪部分可拼接成一个新的规则矩形，新矩形的长等于原矩形的长减去道路宽度x，宽等于原矩形的宽减去道路宽度x。再根据草坪面积为300㎡列出一元二次方程，求解后结合实际情况舍去不符合题意的根即可得到x的值。
【解析】
根据题意，将剩余草坪部分平移拼接，可得草坪部分是长为$(22-x)\ \mathrm{m}$、宽为$(17-x)\ \mathrm{m}$的矩形，根据矩形面积公式列方程：
$(22-x)(17-x)=300$
展开整理得：
$x^2 - 39x + 74 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-37)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=37$
由于道路宽度x不能超过原矩形的长和宽，$x=37＞22$，不符合实际意义，故舍去。
所以$x=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
一元二次方程应用；平移的性质；矩形面积计算
【点评】
本题是典型的面积类实际应用题，解题的核心是利用平移将分散的不规则草坪区域转化为规则矩形，大幅降低计算难度，同时要注意求解实际问题时必须检验方程的根是否符合实际情境，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
7.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积为300 cm³，则原铁皮的边长为（）
A.10 cm
B.13 cm
C.14 cm
D.16 cm
A.10 cm
B.13 cm
C.14 cm
D.16 cm
答案
D
解析
【分析】
这是一道一元二次方程的图形应用类题目，解题思路如下：首先明确无盖长方体盒子的长宽高与原正方形铁皮边长的关系：四角各剪去边长3cm的小正方形后，盒子底面的长和宽均等于原正方形边长减去2个小正方形的边长，盒子的高就是小正方形的边长3cm；再根据长方体容积=长×宽×高的公式列方程求解，最后结合边长为正数的实际意义舍去不符合的根即可得到答案。
【解析】
设原正方形铁皮的边长为$ x $ cm。
由题意可知，无盖盒子的底面长和宽均为$ (x - 3×2)=(x - 6) $ cm，盒子的高为3 cm。
根据长方体容积公式可得方程：
$ 3(x - 6)^2 = 300 $
方程两边同时除以3，得：
$ (x - 6)^2 = 100 $
开平方得：
$ x - 6 = \pm10 $
解得：$ x_1 = 16 $，$ x_2 = -4 $
因为铁皮边长不能为负数，所以舍去$ x_2=-4 $，即原铁皮边长为16 cm。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 长方体容积公式
【点评】
本题属于一元二次方程应用的基础题型，解题的核心是准确梳理出裁剪前后图形边长的对应关系，求解方程后注意要结合实际情况验根，排除不符合现实意义的解。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程的图形应用类题目，解题思路如下：首先明确无盖长方体盒子的长宽高与原正方形铁皮边长的关系：四角各剪去边长3cm的小正方形后，盒子底面的长和宽均等于原正方形边长减去2个小正方形的边长，盒子的高就是小正方形的边长3cm；再根据长方体容积=长×宽×高的公式列方程求解，最后结合边长为正数的实际意义舍去不符合的根即可得到答案。
【解析】
设原正方形铁皮的边长为$ x $ cm。
由题意可知，无盖盒子的底面长和宽均为$ (x - 3×2)=(x - 6) $ cm，盒子的高为3 cm。
根据长方体容积公式可得方程：
$ 3(x - 6)^2 = 300 $
方程两边同时除以3，得：
$ (x - 6)^2 = 100 $
开平方得：
$ x - 6 = \pm10 $
解得：$ x_1 = 16 $，$ x_2 = -4 $
因为铁皮边长不能为负数，所以舍去$ x_2=-4 $，即原铁皮边长为16 cm。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 长方体容积公式
【点评】
本题属于一元二次方程应用的基础题型，解题的核心是准确梳理出裁剪前后图形边长的对应关系，求解方程后注意要结合实际情况验根，排除不符合现实意义的解。
【难度系数】
0.7
8.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售.
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤(用含x的代数式表示)；
(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤(用含x的代数式表示)；
(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
答案
解：
(1) 每天的销售量是$\boldsymbol{100+200x}$斤。
(2) 根据题意，每斤的利润为$(4-2-x)$元，日销售量为$(100+200x)$斤，列方程得：
$(2-x)(100+200x)=300$
整理得：
$2x^2-3x+1=0$
因式分解得：
$(2x-1)(x-1)=0$
解得：
$x_1=0.5,\quad x_2=1$
由每天至少售出260斤，得$100+200x\ge260$，解得$x\ge0.8$。
当$x=0.5$时，日销售量为200斤，小于260斤，不符合要求，舍去；
当$x=1$时，日销售量为300斤，符合要求。
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元。
(1) 每天的销售量是$\boldsymbol{100+200x}$斤。
(2) 根据题意，每斤的利润为$(4-2-x)$元，日销售量为$(100+200x)$斤，列方程得：
$(2-x)(100+200x)=300$
整理得：
$2x^2-3x+1=0$
因式分解得：
$(2x-1)(x-1)=0$
解得：
$x_1=0.5,\quad x_2=1$
由每天至少售出260斤，得$100+200x\ge260$，解得$x\ge0.8$。
当$x=0.5$时，日销售量为200斤，小于260斤，不符合要求，舍去；
当$x=1$时，日销售量为300斤，符合要求。
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元。
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先明确销量变化规则，原日销量为100斤，每降低0.1元多售出20斤。若降价x元，先计算x元包含$\frac{x}{0.1}=10x$个0.1元，对应增加的销量为$10x×20=200x$斤，总销量为原销量加新增销量即可。
(2) 解题思路：销售类问题核心等量关系为“总盈利=每斤利润×日销售量”。先表示出降价后每斤的利润为（售价-进价-降价金额），结合第一问得到的日销售量代入等量关系列一元二次方程求解，最后根据“每天至少售出260斤”的限制条件，对解进行检验，舍去不符合要求的结果。
【解析】
(1) 原日销售量为100斤，降价x元时新增销量为$\frac{x}{0.1}×20=200x$斤，因此每天的销售量是$100+200x$斤。
(2) 根据题意，降价后每斤水果的利润为$(4-2-x)=(2-x)$元，日销售量为$(100+200x)$斤，结合总盈利300元列方程：
$(2-x)(100+200x)=300$
整理得：
$2x^2-3x+1=0$
因式分解得：
$(2x-1)(x-1)=0$
解得：$x_1=0.5$，$x_2=1$
根据每天至少售出260斤的要求，列不等式：$100+200x≥260$，解得$x≥0.8$。
检验：当$x=0.5$时，日销售量为$100+200×0.5=200$斤，$200＜260$，不符合要求，舍去；
当$x=1$时，日销售量为$100+200×1=300$斤，$300≥260$，符合要求。
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{100+200x}$；(2) $\boldsymbol{1}$元
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；实际问题解的检验
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，解题关键是找准利润相关的等量关系列方程，同时要注意题干中的限制条件，对求出的解进行合理取舍，避免漏看条件导致多解错误。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先明确销量变化规则，原日销量为100斤，每降低0.1元多售出20斤。若降价x元，先计算x元包含$\frac{x}{0.1}=10x$个0.1元，对应增加的销量为$10x×20=200x$斤，总销量为原销量加新增销量即可。
(2) 解题思路：销售类问题核心等量关系为“总盈利=每斤利润×日销售量”。先表示出降价后每斤的利润为（售价-进价-降价金额），结合第一问得到的日销售量代入等量关系列一元二次方程求解，最后根据“每天至少售出260斤”的限制条件，对解进行检验，舍去不符合要求的结果。
【解析】
(1) 原日销售量为100斤，降价x元时新增销量为$\frac{x}{0.1}×20=200x$斤，因此每天的销售量是$100+200x$斤。
(2) 根据题意，降价后每斤水果的利润为$(4-2-x)=(2-x)$元，日销售量为$(100+200x)$斤，结合总盈利300元列方程：
$(2-x)(100+200x)=300$
整理得：
$2x^2-3x+1=0$
因式分解得：
$(2x-1)(x-1)=0$
解得：$x_1=0.5$，$x_2=1$
根据每天至少售出260斤的要求，列不等式：$100+200x≥260$，解得$x≥0.8$。
检验：当$x=0.5$时，日销售量为$100+200×0.5=200$斤，$200＜260$，不符合要求，舍去；
当$x=1$时，日销售量为$100+200×1=300$斤，$300≥260$，符合要求。
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{100+200x}$；(2) $\boldsymbol{1}$元
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；实际问题解的检验
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，解题关键是找准利润相关的等量关系列方程，同时要注意题干中的限制条件，对求出的解进行合理取舍，避免漏看条件导致多解错误。
【难度系数】
0.7
