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9.我们知道 $3^2 + 4^2 = 5^2$，这是一个由三个连续正整数组成，且前两个数的平方和等于第三个数的平方的等式，是否还存在另一个“由三个连续正整数组成，且前两个数的平方和等于第三个数的平方”的等式？试说出你的理由。
答案
解：不存在满足条件的另一个等式，理由如下：
设三个连续正整数中最小的数为$x$，则另外两个数分别为$x+1$，$x+2$，其中$x$为正整数。
根据题意列方程：
$x^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2$
展开并整理得：
$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解，得：
$(x-3)(x+1)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-1$。
∵$x$为正整数，
∴$x=-1$不符合题意，舍去。
∴符合条件的正整数$x$只有3，对应的三个连续正整数为3、4、5，不存在其他符合要求的三个连续正整数满足前两个数的平方和等于第三个数的平方。
答：不存在另一个符合要求的等式。
设三个连续正整数中最小的数为$x$，则另外两个数分别为$x+1$，$x+2$，其中$x$为正整数。
根据题意列方程：
$x^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2$
展开并整理得：
$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解，得：
$(x-3)(x+1)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-1$。
∵$x$为正整数，
∴$x=-1$不符合题意，舍去。
∴符合条件的正整数$x$只有3，对应的三个连续正整数为3、4、5，不存在其他符合要求的三个连续正整数满足前两个数的平方和等于第三个数的平方。
答：不存在另一个符合要求的等式。
解析
【分析】
要判断是否存在其他符合要求的等式，可先假设存在，通过设未知数将文字条件转化为一元二次方程求解，再验证解是否为符合要求的正整数即可：首先设三个连续正整数中最小的数为x，则另外两个数为x+1、x+2，再根据“前两个数的平方和等于第三个数的平方”的等量关系列方程，解方程后筛选正整数解，若只有x=3符合要求，则不存在其他满足条件的等式。
【解析】
不存在满足条件的另一个等式，理由如下：
设三个连续正整数中最小的数为$x$，则另外两个数分别为$x+1$，$x+2$，其中$x$为正整数。
根据题意列方程：
$x^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2$
展开并整理得：
$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解，得：
$(x-3)(x+1)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-1$。
∵$x$为正整数，
∴$x=-1$不符合题意，舍去。
∴符合条件的正整数$x$只有3，对应的三个连续正整数为3、4、5，不存在其他符合要求的三个连续正整数满足前两个数的平方和等于第三个数的平方。
【答案】
不存在另一个符合要求的等式。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 因式分解法解方程
3. 方程解的合理性检验
【点评】
本题属于数字规律探究类的存在性问题，解题关键是将文字条件转化为方程模型，求解后要注意结合未知数的取值范围对解进行筛选，排除不符合实际意义的增解。
【难度系数】
0.7
要判断是否存在其他符合要求的等式，可先假设存在，通过设未知数将文字条件转化为一元二次方程求解，再验证解是否为符合要求的正整数即可：首先设三个连续正整数中最小的数为x，则另外两个数为x+1、x+2，再根据“前两个数的平方和等于第三个数的平方”的等量关系列方程，解方程后筛选正整数解，若只有x=3符合要求，则不存在其他满足条件的等式。
【解析】
不存在满足条件的另一个等式，理由如下：
设三个连续正整数中最小的数为$x$，则另外两个数分别为$x+1$，$x+2$，其中$x$为正整数。
根据题意列方程：
$x^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2$
展开并整理得：
$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解，得：
$(x-3)(x+1)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-1$。
∵$x$为正整数，
∴$x=-1$不符合题意，舍去。
∴符合条件的正整数$x$只有3，对应的三个连续正整数为3、4、5，不存在其他符合要求的三个连续正整数满足前两个数的平方和等于第三个数的平方。
【答案】
不存在另一个符合要求的等式。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 因式分解法解方程
3. 方程解的合理性检验
【点评】
本题属于数字规律探究类的存在性问题，解题关键是将文字条件转化为方程模型，求解后要注意结合未知数的取值范围对解进行筛选，排除不符合实际意义的增解。
【难度系数】
0.7
10.张大叔从市场上买回了一张矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1 m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15 $\mathrm{m}^3$ 的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2 m.现已知购买这种铁皮每平方米需要20元，则张大叔购买这张铁皮共花了多少元？
答案
解：设长方体运输箱底面的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则底面的长为$ (x+2) \, \mathrm{m} $。
由题意可知，围成的无盖长方体运输箱的高为$ 1 \, \mathrm{m} $，根据容积公式列方程：
$x(x+2) × 1 = 15$
整理得：
$x^2 + 2x - 15 = 0$
因式分解得：
$(x+5)(x-3) = 0$
解得：$ x_1 = 3 $，$ x_2 = -5 $。
因为长度不能为负，舍去$ x=-5 $。
所以长方体运输箱底面的宽为$ 3 \, \mathrm{m} $，长为$ 3+2=5 \, \mathrm{m} $。
由此可得原矩形铁皮的宽为$ 3 + 2×1 = 5 \, \mathrm{m} $，长为$ 5 + 2×1 =7 \, \mathrm{m} $。
原矩形铁皮的面积为：$ 7 × 5 = 35 \, \mathrm{m}^2 $。
总花费为：$ 35 × 20 = 700 \, \mathrm{元} $。
答：张大叔购买这张铁皮共花了700元。
由题意可知，围成的无盖长方体运输箱的高为$ 1 \, \mathrm{m} $，根据容积公式列方程：
$x(x+2) × 1 = 15$
整理得：
$x^2 + 2x - 15 = 0$
因式分解得：
$(x+5)(x-3) = 0$
解得：$ x_1 = 3 $，$ x_2 = -5 $。
因为长度不能为负，舍去$ x=-5 $。
所以长方体运输箱底面的宽为$ 3 \, \mathrm{m} $，长为$ 3+2=5 \, \mathrm{m} $。
由此可得原矩形铁皮的宽为$ 3 + 2×1 = 5 \, \mathrm{m} $，长为$ 5 + 2×1 =7 \, \mathrm{m} $。
原矩形铁皮的面积为：$ 7 × 5 = 35 \, \mathrm{m}^2 $。
总花费为：$ 35 × 20 = 700 \, \mathrm{元} $。
答：张大叔购买这张铁皮共花了700元。
解析
【分析】
要计算购买铁皮的总花费，需先求出矩形铁皮的面积，即需要先得到原矩形铁皮的长和宽。四个角各剪去边长1m的正方形后围成的无盖长方体的高为1m，其底面长、宽分别比原铁皮的长、宽少2m（左右、上下各剪去1m）。已知长方体容积（容积=底面积×高）为15$\mathrm{m}^3$，且底面长比宽多2m，因此可先设长方体底面宽为未知数，根据容积公式列一元二次方程求解，再反推原铁皮的长、宽，最后计算面积和总花费，注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：设长方体运输箱底面的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则底面的长为$ (x+2) \, \mathrm{m} $。
由题意可知，无盖长方体运输箱的高等于剪去的正方形边长，为$ 1 \, \mathrm{m} $，根据长方体容积公式列方程：
$x(x+2) × 1 = 15$
整理得：
$x^2 + 2x - 15 = 0$
因式分解得：
$(x+5)(x-3) = 0$
解得：$ x_1 = 3 $，$ x_2 = -5 $。
因为长度不能为负，舍去$ x=-5 $。
所以长方体运输箱底面的宽为$ 3 \, \mathrm{m} $，长为$ 3+2=5 \, \mathrm{m} $。
由此可得原矩形铁皮的宽为$ 3 + 2×1 = 5 \, \mathrm{m} $，长为$ 5 + 2×1 =7 \, \mathrm{m} $。
原矩形铁皮的面积为：$ 7 × 5 = 35 \, \mathrm{m}^2 $。
总花费为：$ 35 × 20 = 700 \, \mathrm{元} $。
【答案】
张大叔购买这张铁皮共花了700元。
【知识点】
一元二次方程应用；长方体容积计算；矩形面积计算
【点评】
本题属于生活实际类应用题，解题的核心是找到图形裁剪前后的边长对应关系，结合容积公式建立方程，求解后要注意检验根是否符合实际情况，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
要计算购买铁皮的总花费，需先求出矩形铁皮的面积，即需要先得到原矩形铁皮的长和宽。四个角各剪去边长1m的正方形后围成的无盖长方体的高为1m，其底面长、宽分别比原铁皮的长、宽少2m（左右、上下各剪去1m）。已知长方体容积（容积=底面积×高）为15$\mathrm{m}^3$，且底面长比宽多2m，因此可先设长方体底面宽为未知数，根据容积公式列一元二次方程求解，再反推原铁皮的长、宽，最后计算面积和总花费，注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：设长方体运输箱底面的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则底面的长为$ (x+2) \, \mathrm{m} $。
由题意可知，无盖长方体运输箱的高等于剪去的正方形边长，为$ 1 \, \mathrm{m} $，根据长方体容积公式列方程：
$x(x+2) × 1 = 15$
整理得：
$x^2 + 2x - 15 = 0$
因式分解得：
$(x+5)(x-3) = 0$
解得：$ x_1 = 3 $，$ x_2 = -5 $。
因为长度不能为负，舍去$ x=-5 $。
所以长方体运输箱底面的宽为$ 3 \, \mathrm{m} $，长为$ 3+2=5 \, \mathrm{m} $。
由此可得原矩形铁皮的宽为$ 3 + 2×1 = 5 \, \mathrm{m} $，长为$ 5 + 2×1 =7 \, \mathrm{m} $。
原矩形铁皮的面积为：$ 7 × 5 = 35 \, \mathrm{m}^2 $。
总花费为：$ 35 × 20 = 700 \, \mathrm{元} $。
【答案】
张大叔购买这张铁皮共花了700元。
【知识点】
一元二次方程应用；长方体容积计算；矩形面积计算
【点评】
本题属于生活实际类应用题，解题的核心是找到图形裁剪前后的边长对应关系，结合容积公式建立方程，求解后要注意检验根是否符合实际情况，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
11.如图,老李想用长为70 m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m²的羊圈?
(2)羊圈的面积能达到650 m²吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m²的羊圈?
(2)羊圈的面积能达到650 m²吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
答案
解：
(1) 设垂直于房屋外墙的边长AB为$x\ \mathrm{m}$，则平行于外墙的边长BC为$(70-2x+2)\ \mathrm{m}$，即$(72-2x)\ \mathrm{m}$。
根据题意列方程：
$x(72-2x)=640$
整理得：
$x^2-36x+320=0$
解得：$x_1=16$，$x_2=20$。
当$x=16$时，$72-2x=40$；当$x=20$时，$72-2x=32$，两组解均符合实际意义。
(2) 假设羊圈的面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，则可列方程：
$x(72-2x)=650$
整理得：
$x^2-36x+325=0$
该方程的判别式$\Delta=(-36)^2-4×1×325=-4＜0$，此一元二次方程无实数根。
答：(1) 当羊圈的长为40 m、宽为16 m，或长为32 m、宽为20 m时，能围成面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈；(2) 羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
(1) 设垂直于房屋外墙的边长AB为$x\ \mathrm{m}$，则平行于外墙的边长BC为$(70-2x+2)\ \mathrm{m}$，即$(72-2x)\ \mathrm{m}$。
根据题意列方程：
$x(72-2x)=640$
整理得：
$x^2-36x+320=0$
解得：$x_1=16$，$x_2=20$。
当$x=16$时，$72-2x=40$；当$x=20$时，$72-2x=32$，两组解均符合实际意义。
(2) 假设羊圈的面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，则可列方程：
$x(72-2x)=650$
整理得：
$x^2-36x+325=0$
该方程的判别式$\Delta=(-36)^2-4×1×325=-4＜0$，此一元二次方程无实数根。
答：(1) 当羊圈的长为40 m、宽为16 m，或长为32 m、宽为20 m时，能围成面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈；(2) 羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
本题是借助外墙围矩形的实际应用问题，解题思路如下：1. 首先明确栅栏只围矩形的3条边，且BC边有2米宽的门不需要栅栏，因此平行于外墙的边BC的长度 = 栅栏总长 - 2倍垂直外墙的边长 + 门的宽度；2. 第一问设垂直外墙的边长为x，结合面积为640m²列一元二次方程，求解后验证解是否符合实际意义即可得到长和宽；3. 第二问假设面积能达到650m²，同样列方程，通过计算一元二次方程的判别式判断方程是否有实数根，即可得出结论。
【解析】
(1) 设垂直于房屋外墙的边长AB为$x\ \mathrm{m}$，则平行于外墙的边长BC为$(70-2x+2)\ \mathrm{m}$，即$(72-2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式列方程：
$x(72-2x)=640$
整理得：
$x^2-36x+320=0$
解得：$x_1=16$，$x_2=20$。
当$x=16$时，$72-2x=40$；当$x=20$时，$72-2x=32$，两组解均为正数，符合实际意义。
(2) 假设羊圈的面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，根据题意列方程：
$x(72-2x)=650$
整理得：
$x^2-36x+325=0$
计算该方程的判别式：$\Delta=(-36)^2-4×1×325=-4＜0$，因此此一元二次方程无实数根。
【答案】
(1) 当羊圈的长为40 m、宽为16 m，或长为32 m、宽为20 m时，能围成面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈；(2) 羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确表示出平行于外墙的边长，注意门的宽度不需要栅栏，不要错算边长；求解后要注意验证解是否符合实际意义，对于“能否达到”类问题，可通过方程根的情况进行判断。
【难度系数】
0.7
本题是借助外墙围矩形的实际应用问题，解题思路如下：1. 首先明确栅栏只围矩形的3条边，且BC边有2米宽的门不需要栅栏，因此平行于外墙的边BC的长度 = 栅栏总长 - 2倍垂直外墙的边长 + 门的宽度；2. 第一问设垂直外墙的边长为x，结合面积为640m²列一元二次方程，求解后验证解是否符合实际意义即可得到长和宽；3. 第二问假设面积能达到650m²，同样列方程，通过计算一元二次方程的判别式判断方程是否有实数根，即可得出结论。
【解析】
(1) 设垂直于房屋外墙的边长AB为$x\ \mathrm{m}$，则平行于外墙的边长BC为$(70-2x+2)\ \mathrm{m}$，即$(72-2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式列方程：
$x(72-2x)=640$
整理得：
$x^2-36x+320=0$
解得：$x_1=16$，$x_2=20$。
当$x=16$时，$72-2x=40$；当$x=20$时，$72-2x=32$，两组解均为正数，符合实际意义。
(2) 假设羊圈的面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，根据题意列方程：
$x(72-2x)=650$
整理得：
$x^2-36x+325=0$
计算该方程的判别式：$\Delta=(-36)^2-4×1×325=-4＜0$，因此此一元二次方程无实数根。
【答案】
(1) 当羊圈的长为40 m、宽为16 m，或长为32 m、宽为20 m时，能围成面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈；(2) 羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确表示出平行于外墙的边长，注意门的宽度不需要栅栏，不要错算边长；求解后要注意验证解是否符合实际意义，对于“能否达到”类问题，可通过方程根的情况进行判断。
【难度系数】
0.7
