12.如图是2024年1月的月历表，用矩形框按如图所示的方法任意框出4个数，请解答下列问题.
（1）若方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数；
（2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，求出最小数；若不能，请说明理由.

解：
(1) 设方框中最小数为$x$，由月历中数字的排列规律可知，最大数为$x+8$。
根据题意列方程：
$x(x+8)=180$
整理得：
$x^2+8x-180=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-18$（不符合实际意义，舍去）。
(2) 假设满足条件的四个数存在，设最小数为$x$，则四个数分别为$x$，$x+1$，$x+7$，$x+8$，最大数为$x+8$。
根据题意列方程：
$x(x+8)+(x+x+1+x+7+x+8)=124$
整理得：
$x^2+12x-108=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-18$（不符合实际意义，舍去）。
观察月历可知，当$x=6$时，$x+1=7$，数字6和7不在同一行，无法用图示的2×2矩形框出，不符合框数规则，因此不存在符合条件的四个数。
答：(1) 最小数为10；(2) 不能，不存在符合条件的数。

【分析】
首先明确月历中数字的排列规律：横向相邻两个数相差1，纵向相邻两个数相差7，因此2×2矩形框出的4个数中，若设最小数为x，则其余三个数分别为x+1、x+7、x+8，最大数为x+8。
（1）第一问根据“最大数与最小数的乘积为180”列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果；
（2）第二问先表示出四个数的和，结合“乘积与和为124”列方程，求解后除了舍去负根，还要验证正根对应的四个数是否符合图示框数的规则，判断是否存在符合条件的数。
【解析】
(1) 设方框中最小数为$x$，根据月历数字排列规律，最大数为$x+8$。
由题意得：
$x(x+8)=180$
整理得$x^2+8x-180=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-18$，
日期为正整数，$-18$不符合实际意义，故舍去。
(2) 假设存在满足条件的四个数，设最小数为$x$，则四个数分别为$x$、$x+1$、$x+7$、$x+8$，最大数为$x+8$。
四个数的和为$x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=4x+16$，
根据题意列方程：
$x(x+8)+(4x+16)=124$
整理得$x^2+12x-108=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-18$，
$-18$不符合实际意义，舍去；
当$x=6$时，$x+1=7$，观察月历可知6在第一行周六，7在第二行周日，二者不在同一行，无法用图示的2×2矩形框出，不符合框数规则，因此不存在符合条件的四个数。
【答案】
(1) 最小数为10；(2) 不能，不存在符合条件的数。
【知识点】
一元二次方程应用，数字规律探究，解的实际检验
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查一元二次方程的实际应用，解题核心是先找准框选数字的排列规律建立方程，需要注意的是解方程得到的根不仅要符合数学运算要求，还要符合实际场景的规则，避免忽略实际限制导致错解。
【难度系数】
0.6

13. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B = 90°, AC = 10\ \mathrm{cm}, BC=6\ \mathrm{cm}$,现有两个动点$P,Q$分别从点$A$和点$B$同时出发,其中点$P$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度,沿$AB$向终点$B$移动;点$Q$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$BC$向终点$C$移动,其中一点到达终点,另一点也随之停止.连接$PQ$.设动点运动时间为$x\ \mathrm{s}$.
(1)用含$x$的代数式表示$BQ,PB$的长度;
(2)是否存在$x$的值,使得四边形$APQC$的面积等于$20\ \mathrm{cm}^2$?若存在,请求出此时$x$的值;若不存在,请说明理由.

解：
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\ \mathrm{cm}$。
根据动点运动速度可知：
$BQ = x\ \mathrm{cm}$，
$AP = 2x\ \mathrm{cm}$，
因此$PB = AB - AP = (8 - 2x)\ \mathrm{cm}$。
(2) 存在满足条件的$x$值。
$Rt△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24\ \mathrm{cm}^2$。
若四边形$APQC$的面积为$20\ \mathrm{cm}^2$，则$Rt△ PBQ$的面积为：
$S_{△ PBQ} = 24 - 20 = 4\ \mathrm{cm}^2$。
又$S_{△ PBQ} = \frac{1}{2} · PB · BQ$，代入得：
$\frac{1}{2} · (8 - 2x) · x = 4$
整理得：$x^2 - 4x + 4 = 0$
即$(x-2)^2 = 0$
解得$x_1 = x_2 = 2$。
由题意可知运动时间$x$满足$0 ≤ x ≤ 4$，$x=2$在该范围内，符合要求。
答：(1) $BQ$的长度为$x\ \mathrm{cm}$，$PB$的长度为$(8-2x)\ \mathrm{cm}$；(2) 存在符合条件的$x$，此时$x$的值为$2$。

【分析】
(1) 解决第一问首先需要在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长度，再根据动点P、Q的运动速度和运动时间x，分别计算出AP和BQ的长度，最后用AB的长度减去AP的长度即可得到PB的长度。
(2) 解决第二问可以采用割补法：四边形APQC是不规则图形，其面积可以转化为Rt△ABC的面积减去Rt△PBQ的面积，先计算出△ABC的总面积，根据题意得到△PBQ的面积，再结合三角形面积公式列关于x的一元二次方程求解，最后验证求出的x值是否在动点的运动时间范围内即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\ \mathrm{cm}$。
由题意得，点Q的运动速度为1cm/s，运动时间为x s，因此$BQ = x\ \mathrm{cm}$；
点P的运动速度为2cm/s，运动时间为x s，因此$AP = 2x\ \mathrm{cm}$，
所以$PB = AB - AP = (8 - 2x)\ \mathrm{cm}$。
(2) 存在满足条件的x值，理由如下：
先计算$Rt△ ABC$的面积：$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24\ \mathrm{cm}^2$。
若四边形$APQC$的面积为$20\ \mathrm{cm}^2$，则$S_{△ PBQ} = S_{△ ABC} - S_{四边形APQC} = 24 - 20 = 4\ \mathrm{cm}^2$。
根据三角形面积公式，$S_{△ PBQ} = \frac{1}{2} · PB · BQ$，将PB、BQ的表达式代入得：
$\frac{1}{2} · (8 - 2x) · x = 4$
整理得：$x^2 - 4x + 4 = 0$，即$(x-2)^2 = 0$
解得$x = 2$。
由题意可知，点P运动到终点B的时间为$8÷2=4\ \mathrm{s}$，点Q运动到终点C的时间为$6÷1=6\ \mathrm{s}$，因为一点到达终点另一点也停止，所以x的取值范围是$0 ≤ x ≤ 4$，$x=2$在该范围内，符合要求。
【答案】
(1) $BQ=x\ \mathrm{cm}$，$PB=(8-2x)\ \mathrm{cm}$；
(2) 存在，此时$x$的值为2。
【知识点】
勾股定理，动点问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题是几何动点与方程结合的基础综合题，核心解题技巧是用割补法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的差，求解后要注意验证解是否符合实际运动的限制条件。
【难度系数】
0.7