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11.若$α,β$是方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的两个实数根,求$α^2 + β^2$的值.
答案
解：
对于一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-3$。
由根与系数的关系，可得：
$α + β = -\frac{b}{a} = 2$，
$αβ = \frac{c}{a} = -3$。
将所求式子变形：
$α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ$
代入数值计算：
$α^2 + β^2 = 2^2 - 2×(-3) = 4 + 6 = 10$。
对于一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-3$。
由根与系数的关系，可得：
$α + β = -\frac{b}{a} = 2$，
$αβ = \frac{c}{a} = -3$。
将所求式子变形：
$α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ$
代入数值计算：
$α^2 + β^2 = 2^2 - 2×(-3) = 4 + 6 = 10$。
解析
【分析】
题目要求一元二次方程两个实数根的平方和，若直接解方程求出α、β的值再代入计算也可，但更简便的方法是利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求的α²+β²通过完全平方公式变形为(α+β)²-2αβ，最后代入数值计算即可，这种方法能避免解方程的繁琐，减少计算错误。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$α + β = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} = 2$，
$αβ = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3$。
由完全平方公式变形可得：$α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ$，
将$α+β=2$，$αβ=-3$代入上式得：
$α^2 + β^2 = 2^2 - 2×(-3) = 4 + 6 = 10$。
【答案】
$10$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系的典型基础应用题，无需直接求解方程的根，通过对所求代数式进行合理变形，代入两根和与两根积即可快速得到结果，熟练掌握常见的代数式变形技巧是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
题目要求一元二次方程两个实数根的平方和，若直接解方程求出α、β的值再代入计算也可，但更简便的方法是利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求的α²+β²通过完全平方公式变形为(α+β)²-2αβ，最后代入数值计算即可，这种方法能避免解方程的繁琐，减少计算错误。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$α + β = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} = 2$，
$αβ = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3$。
由完全平方公式变形可得：$α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ$，
将$α+β=2$，$αβ=-3$代入上式得：
$α^2 + β^2 = 2^2 - 2×(-3) = 4 + 6 = 10$。
【答案】
$10$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系的典型基础应用题，无需直接求解方程的根，通过对所求代数式进行合理变形，代入两根和与两根积即可快速得到结果，熟练掌握常见的代数式变形技巧是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
12.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + \sqrt{m}x - 2 = 0$有两个实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)设方程的两根为$x_1, x_2$，且满足$(x_1 - x_2)^2 -17=0$，求$m$的值.
(1)求$m$的取值范围；
(2)设方程的两根为$x_1, x_2$，且满足$(x_1 - x_2)^2 -17=0$，求$m$的值.
答案
解：
(1) ∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 + \sqrt{m}x - 2 = 0$有两个实数根，
∴ 二次根式$\sqrt{m}$有意义，即$m≥0$，
且判别式$\Delta = (\sqrt{m})^2 - 4×1×(-2) = m + 8$。
∵ $m≥0$，
∴ $\Delta = m + 8 ≥ 8 ＞ 0$恒成立，
∴ $m$的取值范围是$m≥0$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -\sqrt{m}$，$x_1x_2 = -2$。
∵ $(x_1 - x_2)^2 - 17 = 0$，
∴ $(x_1 - x_2)^2 = 17$。
又∵ $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，
代入得：$(-\sqrt{m})^2 - 4×(-2) = 17$，
即$m + 8 = 17$，
解得$m = 9$。
∵ $m=9$满足$m≥0$，
∴ $m$的值为9。
(1) ∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 + \sqrt{m}x - 2 = 0$有两个实数根，
∴ 二次根式$\sqrt{m}$有意义，即$m≥0$，
且判别式$\Delta = (\sqrt{m})^2 - 4×1×(-2) = m + 8$。
∵ $m≥0$，
∴ $\Delta = m + 8 ≥ 8 ＞ 0$恒成立，
∴ $m$的取值范围是$m≥0$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -\sqrt{m}$，$x_1x_2 = -2$。
∵ $(x_1 - x_2)^2 - 17 = 0$，
∴ $(x_1 - x_2)^2 = 17$。
又∵ $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，
代入得：$(-\sqrt{m})^2 - 4×(-2) = 17$，
即$m + 8 = 17$，
解得$m = 9$。
∵ $m=9$满足$m≥0$，
∴ $m$的值为9。
解析
【分析】
(1) 求解第一问需同时满足两个条件：一是式中二次根式$\sqrt{m}$有意义，即被开方数非负；二是一元二次方程有两个实数根，需判别式$\Delta≥0$。先计算判别式，结合$m$的非负性判断判别式的取值，即可确定$m$的取值范围。
(2) 求解第二问需利用一元二次方程根与系数的关系，先得到两根之和与两根之积的表达式，再将$(x_1-x_2)^2$变形为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入已知等式列方程求解$m$，最后验证所求$m$是否符合第一问的取值范围即可。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 + \sqrt{m}x - 2 = 0$有两个实数根，
∴ 二次根式$\sqrt{m}$有意义，即$m≥0$，
且判别式$\Delta = (\sqrt{m})^2 - 4×1×(-2) = m + 8$。
∵ $m≥0$，
∴ $\Delta = m + 8 ≥ 8 ＞ 0$恒成立，
∴ $m$的取值范围是$m≥0$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -\sqrt{m}$，$x_1x_2 = -2$。
∵ $(x_1 - x_2)^2 - 17 = 0$，
∴ $(x_1 - x_2)^2 = 17$。
又
∵ $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，
代入得：$(-\sqrt{m})^2 - 4×(-2) = 17$，
即$m + 8 = 17$，
解得$m = 9$。
∵ $m=9$满足$m≥0$，
∴ $m$的值为9。
【答案】
(1) $m≥0$；(2) $m=9$
【知识点】
二次根式有意义的条件；一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，解题时需注意不要遗漏二次根式被开方数非负的隐含条件，熟练掌握根与系数的关系及代数式变形技巧是解决第二问的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 求解第一问需同时满足两个条件：一是式中二次根式$\sqrt{m}$有意义，即被开方数非负；二是一元二次方程有两个实数根，需判别式$\Delta≥0$。先计算判别式，结合$m$的非负性判断判别式的取值，即可确定$m$的取值范围。
(2) 求解第二问需利用一元二次方程根与系数的关系，先得到两根之和与两根之积的表达式，再将$(x_1-x_2)^2$变形为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入已知等式列方程求解$m$，最后验证所求$m$是否符合第一问的取值范围即可。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 + \sqrt{m}x - 2 = 0$有两个实数根，
∴ 二次根式$\sqrt{m}$有意义，即$m≥0$，
且判别式$\Delta = (\sqrt{m})^2 - 4×1×(-2) = m + 8$。
∵ $m≥0$，
∴ $\Delta = m + 8 ≥ 8 ＞ 0$恒成立，
∴ $m$的取值范围是$m≥0$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -\sqrt{m}$，$x_1x_2 = -2$。
∵ $(x_1 - x_2)^2 - 17 = 0$，
∴ $(x_1 - x_2)^2 = 17$。
又
∵ $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，
代入得：$(-\sqrt{m})^2 - 4×(-2) = 17$，
即$m + 8 = 17$，
解得$m = 9$。
∵ $m=9$满足$m≥0$，
∴ $m$的值为9。
【答案】
(1) $m≥0$；(2) $m=9$
【知识点】
二次根式有意义的条件；一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，解题时需注意不要遗漏二次根式被开方数非负的隐含条件，熟练掌握根与系数的关系及代数式变形技巧是解决第二问的关键。
【难度系数】
0.8
13.已知实数$m,n$满足$m^2 - m -1=0,n^2 -n -1=0$,且$m≠n$,则$m,n$是方程$x^2 -x -1=0$的两个不相等的实数根,由根与系数的关系可知$m+n=1,mn=-1$.
根据上述材料,解决以下问题.
(1)直接应用:已知实数$a,b$满足$a^2 -7a +1=0,b^2 -7b +1=0$,且$a≠b$,则$a+b=$,$ab=$;
(2)间接应用:在(1)的条件下,求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值;
(3)拓展应用:已知实数$m,n$满足$\frac{1}{m^2}+\frac{1}{m}=7,n^2 -n=7$,且$mn +1≠0$,求$\frac{mn -1}{m}$的值.
根据上述材料,解决以下问题.
(1)直接应用:已知实数$a,b$满足$a^2 -7a +1=0,b^2 -7b +1=0$,且$a≠b$,则$a+b=$,$ab=$;
(2)间接应用:在(1)的条件下,求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值;
(3)拓展应用:已知实数$m,n$满足$\frac{1}{m^2}+\frac{1}{m}=7,n^2 -n=7$,且$mn +1≠0$,求$\frac{mn -1}{m}$的值.
答案
(1) $\boldsymbol{7}$，$\boldsymbol{1}$；
(2) $\boldsymbol{7}$；
(3) $\boldsymbol{1}$。
(2) $\boldsymbol{7}$；
(3) $\boldsymbol{1}$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：对照材料给出的规律，实数a、b满足相同形式的二次方程且a≠b，可知a、b是一元二次方程$x^2-7x+1=0$的两个不等实根，直接根据根与系数的关系即可求出$a+b$和$ab$的值。
2. 第(2)问：先将所求分式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分变形为$\frac{a+b}{ab}$，再代入第(1)问的结果计算即可。
3. 第(3)问：先将所求式子$\frac{mn-1}{m}$拆分为$n-\frac{1}{m}$，再对已知的两个等式作差，通过因式分解得到$(n+\frac{1}{m})(n-\frac{1}{m}-1)=0$，结合条件$mn+1≠0$推出$n+\frac{1}{m}≠0$，即可得到所求式子的值。
【解析】
(1)
∵实数$a,b$满足$a^2 -7a +1=0,b^2 -7b +1=0$，且$a≠b$，
∴$a、b$是方程$x^2-7x+1=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系得：$a+b=7$，$ab=1$。
(2) 先对所求式子通分变形：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}$，
将$a+b=7$，$ab=1$代入得：原式$=\frac{7}{1}=7$。
(3) 先变形所求式子：
$\frac{mn-1}{m}=\frac{mn}{m}-\frac{1}{m}=n-\frac{1}{m}$，
已知$\frac{1}{m^2}+\frac{1}{m}=7$ ①，$n^2 -n=7$ ②，
用②-①得：$n^2 -n - (\frac{1}{m^2}+\frac{1}{m})=0$，
整理得：$n^2-\frac{1}{m^2}-n-\frac{1}{m}=0$，
由平方差公式分解得：$(n-\frac{1}{m})(n+\frac{1}{m})-(n+\frac{1}{m})=0$，
提取公因式得：$(n+\frac{1}{m})(n-\frac{1}{m}-1)=0$，
∵$mn+1≠0$，且$m≠0$，两边同时除以$m$得$n+\frac{1}{m}≠0$，
∴$n-\frac{1}{m}-1=0$，即$n-\frac{1}{m}=1$，
故$\frac{mn-1}{m}=1$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{7}$，$\boldsymbol{1}$；(2)$\boldsymbol{7}$；(3)$\boldsymbol{1}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简，因式分解应用
【点评】
本题为材料阅读类题型，核心考查一元二次方程根与系数关系的灵活应用，解题关键是根据已知等式的结构特征合理变形，结合给定的限制条件排除不合题意的情况，考察了学生的知识迁移和代数变形能力。
【难度系数】
0.65
1. 第(1)问：对照材料给出的规律，实数a、b满足相同形式的二次方程且a≠b，可知a、b是一元二次方程$x^2-7x+1=0$的两个不等实根，直接根据根与系数的关系即可求出$a+b$和$ab$的值。
2. 第(2)问：先将所求分式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分变形为$\frac{a+b}{ab}$，再代入第(1)问的结果计算即可。
3. 第(3)问：先将所求式子$\frac{mn-1}{m}$拆分为$n-\frac{1}{m}$，再对已知的两个等式作差，通过因式分解得到$(n+\frac{1}{m})(n-\frac{1}{m}-1)=0$，结合条件$mn+1≠0$推出$n+\frac{1}{m}≠0$，即可得到所求式子的值。
【解析】
(1)
∵实数$a,b$满足$a^2 -7a +1=0,b^2 -7b +1=0$，且$a≠b$，
∴$a、b$是方程$x^2-7x+1=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系得：$a+b=7$，$ab=1$。
(2) 先对所求式子通分变形：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}$，
将$a+b=7$，$ab=1$代入得：原式$=\frac{7}{1}=7$。
(3) 先变形所求式子：
$\frac{mn-1}{m}=\frac{mn}{m}-\frac{1}{m}=n-\frac{1}{m}$，
已知$\frac{1}{m^2}+\frac{1}{m}=7$ ①，$n^2 -n=7$ ②，
用②-①得：$n^2 -n - (\frac{1}{m^2}+\frac{1}{m})=0$，
整理得：$n^2-\frac{1}{m^2}-n-\frac{1}{m}=0$，
由平方差公式分解得：$(n-\frac{1}{m})(n+\frac{1}{m})-(n+\frac{1}{m})=0$，
提取公因式得：$(n+\frac{1}{m})(n-\frac{1}{m}-1)=0$，
∵$mn+1≠0$，且$m≠0$，两边同时除以$m$得$n+\frac{1}{m}≠0$，
∴$n-\frac{1}{m}-1=0$，即$n-\frac{1}{m}=1$，
故$\frac{mn-1}{m}=1$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{7}$，$\boldsymbol{1}$；(2)$\boldsymbol{7}$；(3)$\boldsymbol{1}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简，因式分解应用
【点评】
本题为材料阅读类题型，核心考查一元二次方程根与系数关系的灵活应用，解题关键是根据已知等式的结构特征合理变形，结合给定的限制条件排除不合题意的情况，考察了学生的知识迁移和代数变形能力。
【难度系数】
0.65
