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2.已知$x_1,x_2$是一元二次方程$3x^2 -8x +5=0$的两个实数根，不解方程，求下列各式的值。
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$；
(2)$x_1^2 + x_2^2$。
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$；
(2)$x_1^2 + x_2^2$。
答案
解：
由一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = \frac{8}{3}$，$x_1x_2 = \frac{5}{3}$。
(1) 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分，得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{8}{5}$。
(2) 由完全平方公式变形，得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (\frac{8}{3})^2 - 2×\frac{5}{3} = \frac{64}{9} - \frac{30}{9} = \frac{34}{9}$。
由一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = \frac{8}{3}$，$x_1x_2 = \frac{5}{3}$。
(1) 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分，得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{8}{5}$。
(2) 由完全平方公式变形，得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (\frac{8}{3})^2 - 2×\frac{5}{3} = \frac{64}{9} - \frac{30}{9} = \frac{34}{9}$。
解析
【分析】
本题要求不解方程求一元二次方程两根相关代数式的值，解题核心是利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式通过恒等变形转化为仅含两根之和、两根之积的形式，最后整体代入计算即可。具体来看，第(1)问的分式和可通过通分转化为两根和与两根积的商，第(2)问的平方和可通过完全平方公式变形为两根和的平方减去两倍的两根积。
【解析】
对于一元二次方程$3x^2 -8x +5=0$，其中$a=3$，$b=-8$，$c=5$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{8}{3}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}$。
(1) 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1x_2} + \frac{x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$
将$x_1 + x_2 = \frac{8}{3}$，$x_1x_2 = \frac{5}{3}$代入得：
原式$=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{8}{5}$
(2) 根据完全平方公式$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$，变形得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入数值计算：
原式$=(\frac{8}{3})^2 - 2×\frac{5}{3} = \frac{64}{9} - \frac{30}{9} = \frac{34}{9}$
【答案】
(1)$\frac{8}{5}$；(2)$\frac{34}{9}$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.完全平方公式变形 3.分式化简
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题关键是熟练掌握代数式的恒等变形技巧，运用整体代入思想计算，避免了求解方程根的繁琐运算，侧重考查代数式变形和整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.8
本题要求不解方程求一元二次方程两根相关代数式的值，解题核心是利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式通过恒等变形转化为仅含两根之和、两根之积的形式，最后整体代入计算即可。具体来看，第(1)问的分式和可通过通分转化为两根和与两根积的商，第(2)问的平方和可通过完全平方公式变形为两根和的平方减去两倍的两根积。
【解析】
对于一元二次方程$3x^2 -8x +5=0$，其中$a=3$，$b=-8$，$c=5$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{8}{3}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}$。
(1) 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1x_2} + \frac{x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$
将$x_1 + x_2 = \frac{8}{3}$，$x_1x_2 = \frac{5}{3}$代入得：
原式$=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{8}{5}$
(2) 根据完全平方公式$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$，变形得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入数值计算：
原式$=(\frac{8}{3})^2 - 2×\frac{5}{3} = \frac{64}{9} - \frac{30}{9} = \frac{34}{9}$
【答案】
(1)$\frac{8}{5}$；(2)$\frac{34}{9}$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.完全平方公式变形 3.分式化简
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题关键是熟练掌握代数式的恒等变形技巧，运用整体代入思想计算，避免了求解方程根的繁琐运算，侧重考查代数式变形和整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.8
1. 一元二次方程$x^2 +6x -k=0$的一个根为2，
则另一个根为________，$k=\_\_\_\_\_\_$。
则另一个根为________，$k=\_\_\_\_\_\_$。
答案
另一个根为$\boldsymbol{-8}$，$k=\boldsymbol{16}$。
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根，求另一根及参数k，有两种解题思路：思路一：利用根的定义，将已知根x=2代入原方程先求出k的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路二：利用本节所学的一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），设另一根为m，通过两根之和直接求解m，再通过两根之积求k，该方法计算量更小，解题更高效。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
设方程的另一个根为m，对于一元二次方程$x^2 +6x -k=0$，二次项系数a=1，一次项系数b=6，常数项c=-k。
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-6$，已知其中一个根为2，可得：
$2 + m = -6$，解得$m=-8$，即另一个根为-8。
再根据两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=-k$，代入两根得：
$2×(-8) = -k$，解得$k=16$。
方法二（利用根的定义代入求解）：
将x=2代入原方程得：$2^2 + 6×2 -k=0$
计算得：$4 + 12 -k=0$，解得$k=16$。
将k=16代入原方程得：$x^2 +6x -16=0$
因式分解得：$(x+8)(x-2)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-8$，即另一个根为-8。
【答案】
另一个根为$\boldsymbol{-8}$，$k=\boldsymbol{16}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，两种解题方法均要求掌握，其中韦达定理的应用能简化计算过程，提高解题效率，是需要重点掌握的解题技巧。
【难度系数】
0.85
本题已知一元二次方程的一个根，求另一根及参数k，有两种解题思路：思路一：利用根的定义，将已知根x=2代入原方程先求出k的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路二：利用本节所学的一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），设另一根为m，通过两根之和直接求解m，再通过两根之积求k，该方法计算量更小，解题更高效。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
设方程的另一个根为m，对于一元二次方程$x^2 +6x -k=0$，二次项系数a=1，一次项系数b=6，常数项c=-k。
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-6$，已知其中一个根为2，可得：
$2 + m = -6$，解得$m=-8$，即另一个根为-8。
再根据两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=-k$，代入两根得：
$2×(-8) = -k$，解得$k=16$。
方法二（利用根的定义代入求解）：
将x=2代入原方程得：$2^2 + 6×2 -k=0$
计算得：$4 + 12 -k=0$，解得$k=16$。
将k=16代入原方程得：$x^2 +6x -16=0$
因式分解得：$(x+8)(x-2)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-8$，即另一个根为-8。
【答案】
另一个根为$\boldsymbol{-8}$，$k=\boldsymbol{16}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，两种解题方法均要求掌握，其中韦达定理的应用能简化计算过程，提高解题效率，是需要重点掌握的解题技巧。
【难度系数】
0.85
2.若一元二次方程$x^2 = x + 1$的两个实数根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=$,$x_1x_2=$.
答案
$x_1+x_2=\boldsymbol{1}$，$x_1x_2=\boldsymbol{-1}$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先将给定的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的标准形式，确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，再直接套用根与系数的关系公式：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入计算即可，计算时要注意系数的符号，避免出错。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项得：$x^2 - x - 1 = 0$
由此可得：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-1$
根据一元二次方程根与系数的关系：
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{(-1)}{1} = 1$
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$
【答案】
$1$；$-1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根与系数关系的直接应用，解题的关键是先将方程转化为标准形式，准确识别各项系数，代入公式时注意符号不要写错即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先将给定的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的标准形式，确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，再直接套用根与系数的关系公式：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入计算即可，计算时要注意系数的符号，避免出错。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项得：$x^2 - x - 1 = 0$
由此可得：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-1$
根据一元二次方程根与系数的关系：
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{(-1)}{1} = 1$
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$
【答案】
$1$；$-1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根与系数关系的直接应用，解题的关键是先将方程转化为标准形式，准确识别各项系数，代入公式时注意符号不要写错即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
3. 一元二次方程 $7x^2 - x - 11 = 0$ 的两个实数根为 $α, β$，则 $(α - 1)(β - 1) = \_\_\_\_\_\_$。
答案
$\boldsymbol{-\dfrac{5}{7}}$
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的两个根，求变形后的代数式的值，无需直接求解方程的根，可按以下思路解题：首先将所求代数式$(α-1)(β-1)$展开整理，转化为含有$α+β$和$αβ$的形式；再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出$α+β$和$αβ$的值；最后将数值代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$7x^2 - x - 11 = 0$，其中二次项系数$a=7$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-11$。
根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两个实数根$α、β$满足：
$α + β = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{7} = \frac{1}{7}$，$αβ = \frac{c}{a} = \frac{-11}{7} = -\frac{11}{7}$。
将所求代数式展开化简：
$(α -1)(β -1) = αβ - α - β + 1 = αβ - (α+β) + 1$
把$α+β=\frac{1}{7}$，$αβ=-\frac{11}{7}$代入上式：
原式$= -\frac{11}{7} - \frac{1}{7} + 1 = -\frac{12}{7} + \frac{7}{7} = -\frac{5}{7}$
【答案】
$-\dfrac{5}{7}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题核心是将所求代数式转化为两根之和、两根之积的形式，通过整体代入计算简化运算过程，避免了直接求解方程根的复杂计算。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程的两个根，求变形后的代数式的值，无需直接求解方程的根，可按以下思路解题：首先将所求代数式$(α-1)(β-1)$展开整理，转化为含有$α+β$和$αβ$的形式；再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出$α+β$和$αβ$的值；最后将数值代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$7x^2 - x - 11 = 0$，其中二次项系数$a=7$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-11$。
根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两个实数根$α、β$满足：
$α + β = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{7} = \frac{1}{7}$，$αβ = \frac{c}{a} = \frac{-11}{7} = -\frac{11}{7}$。
将所求代数式展开化简：
$(α -1)(β -1) = αβ - α - β + 1 = αβ - (α+β) + 1$
把$α+β=\frac{1}{7}$，$αβ=-\frac{11}{7}$代入上式：
原式$= -\frac{11}{7} - \frac{1}{7} + 1 = -\frac{12}{7} + \frac{7}{7} = -\frac{5}{7}$
【答案】
$-\dfrac{5}{7}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题核心是将所求代数式转化为两根之和、两根之积的形式，通过整体代入计算简化运算过程，避免了直接求解方程根的复杂计算。
【难度系数】
0.8
4.若一元二次方程$x^2 - 2x - 3599 = 0$的两根分别为$a,b$，且$a＞b$，则$2a - b$的值为（）
A.－57
B.63
C.179
D.181
A.－57
B.63
C.179
D.181
答案
D
解析
【分析】
本题要求2a-b的值，已知a、b是一元二次方程的两根且a＞b，我们可以优先选择配方法解方程：观察方程左边二次项和一次项的特征，$x^2-2x$加上1即可凑成完全平方，常数项加1后得到的3600是完全平方数，能快速求出方程的两个根，再根据$a＞b$确定a、b的取值，最后代入代数式计算即可。也可以结合根与系数的关系求解，配方法在此题中计算更简便，不易出错。
【解析】
解：先解一元二次方程$x^2 - 2x - 3599 = 0$
1. 移项得：$x^2 - 2x = 3599$
2. 配方，两边同时加1得：$x^2 - 2x + 1 = 3599 + 1$，即$(x - 1)^2 = 3600$
3. 开平方得：$x - 1 = ±60$
解得：$x_1 = 1 + 60 = 61$，$x_2 = 1 - 60 = -59$
∵ $a ＞ b$，且a、b是方程的两根
∴ $a = 61$，$b = -59$
将a、b代入$2a - b$得：
$2a - b = 2×61 - (-59) = 122 + 59 = 181$
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题解题的关键是根据方程的特征选择合适的解法，配方法可以大幅简化计算，避免计算大数值的判别式，解题时要注意结合$a＞b$的条件正确对应两根的取值，代入计算时注意符号问题。
【难度系数】
0.7
本题要求2a-b的值，已知a、b是一元二次方程的两根且a＞b，我们可以优先选择配方法解方程：观察方程左边二次项和一次项的特征，$x^2-2x$加上1即可凑成完全平方，常数项加1后得到的3600是完全平方数，能快速求出方程的两个根，再根据$a＞b$确定a、b的取值，最后代入代数式计算即可。也可以结合根与系数的关系求解，配方法在此题中计算更简便，不易出错。
【解析】
解：先解一元二次方程$x^2 - 2x - 3599 = 0$
1. 移项得：$x^2 - 2x = 3599$
2. 配方，两边同时加1得：$x^2 - 2x + 1 = 3599 + 1$，即$(x - 1)^2 = 3600$
3. 开平方得：$x - 1 = ±60$
解得：$x_1 = 1 + 60 = 61$，$x_2 = 1 - 60 = -59$
∵ $a ＞ b$，且a、b是方程的两根
∴ $a = 61$，$b = -59$
将a、b代入$2a - b$得：
$2a - b = 2×61 - (-59) = 122 + 59 = 181$
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题解题的关键是根据方程的特征选择合适的解法，配方法可以大幅简化计算，避免计算大数值的判别式，解题时要注意结合$a＞b$的条件正确对应两根的取值，代入计算时注意符号问题。
【难度系数】
0.7
5.已知一元二次方程$2x^2 -5x +1=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，下列结论正确的是()
A.$x_1+x_2=-\dfrac{5}{2}$
B.$x_1x_2=1$
C.$x_1,x_2$都是有理数
D.$x_1,x_2$都是正数
A.$x_1+x_2=-\dfrac{5}{2}$
B.$x_1x_2=1$
C.$x_1,x_2$都是有理数
D.$x_1,x_2$都是正数
答案
D
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），明确对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，先利用该公式验证A、B选项；再通过根的判别式$\Delta=b^2-4ac$计算判别式的值，结合求根公式判断根是否为有理数，验证C选项；最后根据两根之和、两根之积的正负性，判断两根的正负，验证D选项即可得出正确答案。
【解析】
已知一元二次方程为$2x^2 -5x +1=0$，其中$a=2$，$b=-5$，$c=1$：
1. 验证A选项：根据韦达定理，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}≠-\frac{5}{2}$，故A错误；
2. 验证B选项：根据韦达定理，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}≠1$，故B错误；
3. 验证C选项：计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=25-8=17＞0$，方程有两个不相等的实数根，由求根公式得$x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$，$\sqrt{17}$是无理数，因此$x_1,x_2$都是无理数，故C错误；
4. 验证D选项：由$x_1+x_2=\frac{5}{2}＞0$，$x_1x_2=\frac{1}{2}＞0$，可知两个数的和与乘积均为正，因此$x_1,x_2$都是正数，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
根与系数的关系，根的判别式，实数正负判断
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查韦达定理的应用，同时需要结合根的判别式、有理数的性质等知识点综合判断选项，只要熟练掌握基础公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），明确对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，先利用该公式验证A、B选项；再通过根的判别式$\Delta=b^2-4ac$计算判别式的值，结合求根公式判断根是否为有理数，验证C选项；最后根据两根之和、两根之积的正负性，判断两根的正负，验证D选项即可得出正确答案。
【解析】
已知一元二次方程为$2x^2 -5x +1=0$，其中$a=2$，$b=-5$，$c=1$：
1. 验证A选项：根据韦达定理，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}≠-\frac{5}{2}$，故A错误；
2. 验证B选项：根据韦达定理，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}≠1$，故B错误；
3. 验证C选项：计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=25-8=17＞0$，方程有两个不相等的实数根，由求根公式得$x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$，$\sqrt{17}$是无理数，因此$x_1,x_2$都是无理数，故C错误；
4. 验证D选项：由$x_1+x_2=\frac{5}{2}＞0$，$x_1x_2=\frac{1}{2}＞0$，可知两个数的和与乘积均为正，因此$x_1,x_2$都是正数，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
根与系数的关系，根的判别式，实数正负判断
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查韦达定理的应用，同时需要结合根的判别式、有理数的性质等知识点综合判断选项，只要熟练掌握基础公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
6.若$a,b$是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个实数根，则$a^2 + 2a + b$的值是（）
A.2023
B.2024
C.2025
D.2026
A.2023
B.2024
C.2025
D.2026
答案
C
解析
【分析】
解题思路如下：首先，已知a是方程的实数根，根据一元二次方程根的定义，将x=a代入方程可得到a²+a的数值；其次，观察所求代数式a²+2a+b，可拆分为(a²+a)+(a+b)，其中a+b是方程两根之和，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解；最后将两个结果代入拆分后的代数式即可算出最终值。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的实数根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 + a - 2026 = 0$，即$a^2 + a = 2026$。
又
∵a、b是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$a + b = -\frac{1}{1} = -1$。
对所求代数式变形得：
$a^2 + 2a + b = (a^2 + a) + (a + b)$
将$a^2 + a = 2026$、$a + b = -1$代入上式得：
原式$= 2026 + (-1) = 2025$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的基础综合考法，解题核心是无需计算两根的具体数值，通过对所求代数式合理拆分，结合根的定义和韦达定理代入计算即可，有效简化了运算过程，是该模块的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先，已知a是方程的实数根，根据一元二次方程根的定义，将x=a代入方程可得到a²+a的数值；其次，观察所求代数式a²+2a+b，可拆分为(a²+a)+(a+b)，其中a+b是方程两根之和，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解；最后将两个结果代入拆分后的代数式即可算出最终值。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的实数根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 + a - 2026 = 0$，即$a^2 + a = 2026$。
又
∵a、b是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$a + b = -\frac{1}{1} = -1$。
对所求代数式变形得：
$a^2 + 2a + b = (a^2 + a) + (a + b)$
将$a^2 + a = 2026$、$a + b = -1$代入上式得：
原式$= 2026 + (-1) = 2025$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的基础综合考法，解题核心是无需计算两根的具体数值，通过对所求代数式合理拆分，结合根的定义和韦达定理代入计算即可，有效简化了运算过程，是该模块的常考题型。
【难度系数】
0.8
7.若一元二次方程$x(2x-3)-4=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则点$(n,m)$在平面直角坐标系中位于()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要将给定的一元二次方程化为一般形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和m、两根之积n，最后根据平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，判断点(n,m)所在的象限。具体步骤为：①整理方程为$ax^2+bx+c=0$的形式，确定a、b、c的取值（注意符号）；②代入根与系数的关系公式计算m和n；③分析点的横、纵坐标的正负，对应象限特征得出结论，注意不要混淆点的横纵坐标顺序。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
展开方程左边得：$2x^2 - 3x - 4 = 0$
可得$a=2$，$b=-3$，$c=-4$，方程有两个实数根，符合根与系数关系的使用条件。
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$m = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}$
两根之积$n = \frac{c}{a} = \frac{-4}{2} = -2$
因此点$(n,m)$的坐标为$(-2, \frac{3}{2})$，横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限的坐标特征。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根与系数关系的基础应用，解题时需注意先将方程化为标准一般式，准确识别系数的符号，同时要仔细看清楚点的横纵坐标对应的值，避免因看错顺序导致解题错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要将给定的一元二次方程化为一般形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和m、两根之积n，最后根据平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，判断点(n,m)所在的象限。具体步骤为：①整理方程为$ax^2+bx+c=0$的形式，确定a、b、c的取值（注意符号）；②代入根与系数的关系公式计算m和n；③分析点的横、纵坐标的正负，对应象限特征得出结论，注意不要混淆点的横纵坐标顺序。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
展开方程左边得：$2x^2 - 3x - 4 = 0$
可得$a=2$，$b=-3$，$c=-4$，方程有两个实数根，符合根与系数关系的使用条件。
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$m = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}$
两根之积$n = \frac{c}{a} = \frac{-4}{2} = -2$
因此点$(n,m)$的坐标为$(-2, \frac{3}{2})$，横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限的坐标特征。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根与系数关系的基础应用，解题时需注意先将方程化为标准一般式，准确识别系数的符号，同时要仔细看清楚点的横纵坐标对应的值，避免因看错顺序导致解题错误。
【难度系数】
0.7
8.已知$a,b$是关于$x$的一元二次方程$x^2 -2tx + t^2 -2t +4=0$的两个实数根，则$(a+4)(b+4)$的最小值是（）
A.11
B.20
C.28
D.36
A.11
B.20
C.28
D.36
答案
D
解析
【分析】
要求$(a+4)(b+4)$的最小值，首先需结合一元二次方程有两个实根的条件，通过判别式求出参数$t$的取值范围；再利用根与系数的关系（韦达定理）将$a+b$、$ab$用含$t$的代数式表示，展开所求式子后转化为关于$t$的二次函数，最后在$t$的取值范围内求二次函数的最小值即可。
【解析】
1. 求参数$t$的取值范围：
∵ 方程$x^2 -2tx + t^2 -2t +4=0$有两个实数根$a,b$
∴ 判别式$\Delta ≥ 0$
计算得$\Delta = (-2t)^2 - 4×1×(t^2 -2t +4) = 4t^2 -4t^2 +8t -16 = 8t -16$
令$8t -16 ≥ 0$，解得$t ≥ 2$
2. 由韦达定理可得：
$a + b = 2t$，$ab = t^2 - 2t + 4$
3. 展开并化简所求代数式：
$(a+4)(b+4) = ab +4a +4b +16 = ab +4(a+b) +16$
将$a+b$、$ab$代入上式得：
原式$= (t^2 -2t +4) + 4×2t +16 = t^2 -2t +4 +8t +16 = t^2 +6t +20$
4. 求二次函数的最小值：
将$t^2 +6t +20$配方得$(t+3)^2 +11$，该二次函数开口向上，对称轴为$t=-3$，在$t≥2$的范围内函数值随$t$的增大而增大
∴ 当$t=2$时，原式取得最小值，代入计算得：
$2^2 +6×2 +20 = 4 +12 +20 = 36$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次函数的最值
【点评】
本题是一元二次方程与二次函数的综合题，易错点是忽略方程有实根的前提，未求解参数$t$的取值范围，直接取二次函数顶点处的值导致错解，解题时要注意参数的取值限制。
【难度系数】
0.6
要求$(a+4)(b+4)$的最小值，首先需结合一元二次方程有两个实根的条件，通过判别式求出参数$t$的取值范围；再利用根与系数的关系（韦达定理）将$a+b$、$ab$用含$t$的代数式表示，展开所求式子后转化为关于$t$的二次函数，最后在$t$的取值范围内求二次函数的最小值即可。
【解析】
1. 求参数$t$的取值范围：
∵ 方程$x^2 -2tx + t^2 -2t +4=0$有两个实数根$a,b$
∴ 判别式$\Delta ≥ 0$
计算得$\Delta = (-2t)^2 - 4×1×(t^2 -2t +4) = 4t^2 -4t^2 +8t -16 = 8t -16$
令$8t -16 ≥ 0$，解得$t ≥ 2$
2. 由韦达定理可得：
$a + b = 2t$，$ab = t^2 - 2t + 4$
3. 展开并化简所求代数式：
$(a+4)(b+4) = ab +4a +4b +16 = ab +4(a+b) +16$
将$a+b$、$ab$代入上式得：
原式$= (t^2 -2t +4) + 4×2t +16 = t^2 -2t +4 +8t +16 = t^2 +6t +20$
4. 求二次函数的最小值：
将$t^2 +6t +20$配方得$(t+3)^2 +11$，该二次函数开口向上，对称轴为$t=-3$，在$t≥2$的范围内函数值随$t$的增大而增大
∴ 当$t=2$时，原式取得最小值，代入计算得：
$2^2 +6×2 +20 = 4 +12 +20 = 36$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次函数的最值
【点评】
本题是一元二次方程与二次函数的综合题，易错点是忽略方程有实根的前提，未求解参数$t$的取值范围，直接取二次函数顶点处的值导致错解，解题时要注意参数的取值限制。
【难度系数】
0.6
9.若$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2+bx-2b=0$的两个根，且$x_1^2+x_2^2=12$，则$b$的值为()
A.2
B.$-6$
C.2或$-6$
D.6或$-2$
A.2
B.$-6$
C.2或$-6$
D.6或$-2$
答案
A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：1. 先根据韦达定理写出两根之和与两根之积的表达式；2. 利用完全平方公式的变形，将$x_1^2+x_2^2$转化为含两根之和、两根之积的形式，代入已知条件得到关于$b$的方程，求解得到$b$的候选值；3. 因为方程有两个实根，所以需要用根的判别式验证候选$b$值是否满足$\Delta≥0$，舍去不符合要求的增根，即可得到正确结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2+bx-2b=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数为$b$，常数项为$-2b$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -b$，$x_1x_2 = \frac{-2b}{a} = -2b$。
由完全平方公式变形得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入$x_1^2+x_2^2=12$得：
$(-b)^2 - 2×(-2b) = 12$
整理得：$b^2 +4b -12=0$
因式分解得：$(b+6)(b-2)=0$
解得：$b_1=-6$，$b_2=2$。
接下来验证根的判别式$\Delta = b^2 -4ac = b^2 -4×1×(-2b) = b^2+8b$：
当$b=-6$时，$\Delta = (-6)^2 +8×(-6) = 36-48=-12＜0$，此时方程无实数根，不符合题意，舍去；
当$b=2$时，$\Delta = 2^2 +8×2 =4+16=20＞0$，此时方程有两个实数根，符合题意。
综上，$b=2$。
【答案】
A
【知识点】
根与系数的关系，完全平方公式变形，根的判别式
【点评】
本题易错点是求解出$b$的两个值后直接选择，忽略了一元二次方程有两个实数根的前提是判别式非负，解题时要注意验证根的存在性，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：1. 先根据韦达定理写出两根之和与两根之积的表达式；2. 利用完全平方公式的变形，将$x_1^2+x_2^2$转化为含两根之和、两根之积的形式，代入已知条件得到关于$b$的方程，求解得到$b$的候选值；3. 因为方程有两个实根，所以需要用根的判别式验证候选$b$值是否满足$\Delta≥0$，舍去不符合要求的增根，即可得到正确结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2+bx-2b=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数为$b$，常数项为$-2b$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -b$，$x_1x_2 = \frac{-2b}{a} = -2b$。
由完全平方公式变形得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入$x_1^2+x_2^2=12$得：
$(-b)^2 - 2×(-2b) = 12$
整理得：$b^2 +4b -12=0$
因式分解得：$(b+6)(b-2)=0$
解得：$b_1=-6$，$b_2=2$。
接下来验证根的判别式$\Delta = b^2 -4ac = b^2 -4×1×(-2b) = b^2+8b$：
当$b=-6$时，$\Delta = (-6)^2 +8×(-6) = 36-48=-12＜0$，此时方程无实数根，不符合题意，舍去；
当$b=2$时，$\Delta = 2^2 +8×2 =4+16=20＞0$，此时方程有两个实数根，符合题意。
综上，$b=2$。
【答案】
A
【知识点】
根与系数的关系，完全平方公式变形，根的判别式
【点评】
本题易错点是求解出$b$的两个值后直接选择，忽略了一元二次方程有两个实数根的前提是判别式非负，解题时要注意验证根的存在性，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
10. 求下列一元二次方程的两个实数根的和与积.
(1)$5x + 6 = x^2 + x$;
(2)$(3 - x)^2 = 4x^2 + 5$;
(3)$x^2 - 4x + 4 = (5 - 2x)^2$.
(1)$5x + 6 = x^2 + x$;
(2)$(3 - x)^2 = 4x^2 + 5$;
(3)$x^2 - 4x + 4 = (5 - 2x)^2$.
答案
解：
(1) 将方程整理为一般形式：
$x^2 - 4x - 6 = 0$
其中$a=1$，$b=-4$，$c=-6$，
判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-6) = 40 ＞ 0$，方程有两个实数根。
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -6$。
(2) 将方程展开并整理为一般形式：
$9 - 6x + x^2 = 4x^2 + 5$
$3x^2 + 6x - 4 = 0$
其中$a=3$，$b=6$，$c=-4$，
判别式$\Delta = 6^2 - 4×3×(-4) = 84 ＞ 0$，方程有两个实数根。
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{4}{3}$。
(3) 将方程展开并整理为一般形式：
$x^2 - 4x + 4 = 4x^2 - 20x + 25$
$3x^2 - 16x + 21 = 0$
其中$a=3$，$b=-16$，$c=21$，
判别式$\Delta = (-16)^2 - 4×3×21 = 4 ＞ 0$，方程有两个实数根。
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{16}{3}$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 7$。
(1) 将方程整理为一般形式：
$x^2 - 4x - 6 = 0$
其中$a=1$，$b=-4$，$c=-6$，
判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-6) = 40 ＞ 0$，方程有两个实数根。
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -6$。
(2) 将方程展开并整理为一般形式：
$9 - 6x + x^2 = 4x^2 + 5$
$3x^2 + 6x - 4 = 0$
其中$a=3$，$b=6$，$c=-4$，
判别式$\Delta = 6^2 - 4×3×(-4) = 84 ＞ 0$，方程有两个实数根。
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{4}{3}$。
(3) 将方程展开并整理为一般形式：
$x^2 - 4x + 4 = 4x^2 - 20x + 25$
$3x^2 - 16x + 21 = 0$
其中$a=3$，$b=-16$，$c=21$，
判别式$\Delta = (-16)^2 - 4×3×21 = 4 ＞ 0$，方程有两个实数根。
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{16}{3}$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 7$。
解析
【分析】
要求一元二次方程两个实数根的和与积，解题思路如下：1. 先将每个方程通过去括号、移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定$a,b,c$的取值；2. 计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，验证$\Delta＞0$，确保方程存在两个实数根，这是使用根与系数关系的前提；3. 若判别式符合要求，根据韦达定理：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 将方程整理为一般形式：
$x^2 - 4x - 6 = 0$
其中$a=1$，$b=-4$，$c=-6$，
判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-6) = 40 ＞ 0$，方程有两个实数根。
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -6$。
(2) 将方程展开并整理为一般形式：
$9 - 6x + x^2 = 4x^2 + 5$
$3x^2 + 6x - 4 = 0$
其中$a=3$，$b=6$，$c=-4$，
判别式$\Delta = 6^2 - 4×3×(-4) = 84 ＞ 0$，方程有两个实数根。
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{4}{3}$。
(3) 将方程展开并整理为一般形式：
$x^2 - 4x + 4 = 4x^2 - 20x + 25$
$3x^2 - 16x + 21 = 0$
其中$a=3$，$b=-16$，$c=21$，
判别式$\Delta = (-16)^2 - 4×3×21 = 4 ＞ 0$，方程有两个实数根。
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{16}{3}$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 7$。
【答案】
(1) 两根和为$4$，两根积为$-6$；
(2) 两根和为$-2$，两根积为$-\frac{4}{3}$；
(3) 两根和为$\frac{16}{3}$，两根积为$7$。
【知识点】
一元二次方程的一般形式，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题时需注意去括号、移项过程中的符号问题，必须先验证判别式大于0，确认方程有两个实根后再套用韦达定理计算，不可直接对未整理的原式套用公式，避免出现符号或前提不符的错误。
【难度系数】
0.8
要求一元二次方程两个实数根的和与积，解题思路如下：1. 先将每个方程通过去括号、移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定$a,b,c$的取值；2. 计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，验证$\Delta＞0$，确保方程存在两个实数根，这是使用根与系数关系的前提；3. 若判别式符合要求，根据韦达定理：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 将方程整理为一般形式：
$x^2 - 4x - 6 = 0$
其中$a=1$，$b=-4$，$c=-6$，
判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-6) = 40 ＞ 0$，方程有两个实数根。
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -6$。
(2) 将方程展开并整理为一般形式：
$9 - 6x + x^2 = 4x^2 + 5$
$3x^2 + 6x - 4 = 0$
其中$a=3$，$b=6$，$c=-4$，
判别式$\Delta = 6^2 - 4×3×(-4) = 84 ＞ 0$，方程有两个实数根。
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{4}{3}$。
(3) 将方程展开并整理为一般形式：
$x^2 - 4x + 4 = 4x^2 - 20x + 25$
$3x^2 - 16x + 21 = 0$
其中$a=3$，$b=-16$，$c=21$，
判别式$\Delta = (-16)^2 - 4×3×21 = 4 ＞ 0$，方程有两个实数根。
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{16}{3}$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 7$。
【答案】
(1) 两根和为$4$，两根积为$-6$；
(2) 两根和为$-2$，两根积为$-\frac{4}{3}$；
(3) 两根和为$\frac{16}{3}$，两根积为$7$。
【知识点】
一元二次方程的一般形式，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题时需注意去括号、移项过程中的符号问题，必须先验证判别式大于0，确认方程有两个实根后再套用韦达定理计算，不可直接对未整理的原式套用公式，避免出现符号或前提不符的错误。
【难度系数】
0.8
