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10. 有这样一道题：“计算$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \dfrac{x - 1}{x^2 + x} ÷ (\dfrac{1}{x})^3$的值，其中$x=-2$”. 小明同学把$x=-2$错抄为$x=2$，但是他计算的结果也是正确的. 你说这是怎么回事呢？
答案
10. 解：$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \dfrac{x - 1}{x^2 + x} ÷ (\dfrac{1}{x})^3$
$= \dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x(x+1)}{x-1} · x^3$
$= x^4$，
$∴$当$x=2$或$x=-2$时，
原式的值都等于16.
$∴$小明同学把$x=-2$错抄为$x=2$，他计算的结果也是正确的.
$= \dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x(x+1)}{x-1} · x^3$
$= x^4$，
$∴$当$x=2$或$x=-2$时，
原式的值都等于16.
$∴$小明同学把$x=-2$错抄为$x=2$，他计算的结果也是正确的.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们首先需要对给定的分式乘除混合运算式进行化简。解题思路为：先按照分式运算顺序计算乘方，再将所有除法运算转化为乘法运算，接着对分子、分母中的多项式因式分解，通过约分化简得到最简结果，最后观察最简结果的特点，判断x=2和x=-2代入后的值是否相等，即可解释小明计算结果正确的原因。
【解析】
解：对原式进行化简：
$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \dfrac{x - 1}{x^2 + x} ÷ (\dfrac{1}{x})^3$
$=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x(x+1)}{x-1} · x^3$
$= x^4$
当$x=2$时，$x^4=2^4=16$；当$x=-2$时，$x^4=(-2)^4=16$，
因此x取2和-2时，原式的计算结果相同，均为16。
【答案】
原式化简后为$x^4$，当$x=2$或$x=-2$时，原式的值都等于16，所以小明把$x=-2$错抄为$x=2$，计算结果仍然正确。
【知识点】
分式乘除混合运算、因式分解、偶次幂的性质
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题核心是先将复杂的分式运算化简为最简形式，通过观察最简式的性质就能解释数值抄错结果仍正确的现象，同时也体现了先化简再求值的优势，能大幅减少计算量。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们首先需要对给定的分式乘除混合运算式进行化简。解题思路为：先按照分式运算顺序计算乘方，再将所有除法运算转化为乘法运算，接着对分子、分母中的多项式因式分解，通过约分化简得到最简结果，最后观察最简结果的特点，判断x=2和x=-2代入后的值是否相等，即可解释小明计算结果正确的原因。
【解析】
解：对原式进行化简：
$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \dfrac{x - 1}{x^2 + x} ÷ (\dfrac{1}{x})^3$
$=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x(x+1)}{x-1} · x^3$
$= x^4$
当$x=2$时，$x^4=2^4=16$；当$x=-2$时，$x^4=(-2)^4=16$，
因此x取2和-2时，原式的计算结果相同，均为16。
【答案】
原式化简后为$x^4$，当$x=2$或$x=-2$时，原式的值都等于16，所以小明把$x=-2$错抄为$x=2$，计算结果仍然正确。
【知识点】
分式乘除混合运算、因式分解、偶次幂的性质
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题核心是先将复杂的分式运算化简为最简形式，通过观察最简式的性质就能解释数值抄错结果仍正确的现象，同时也体现了先化简再求值的优势，能大幅减少计算量。
【难度系数】
0.7
11. 如图18.2-2，将四张长、宽分别为a，b的长方形硬纸片拼成一个中间“带孔”的大正方形，已知拼成的大正方形的面积为49，中间小正方形的面积为1，求$(a^4 - b^4) ÷ \frac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)$的值。
答案
11. 解：由题意，得$(a+b)^2=49$，$(a-b)^2=1$，$a＞0$，$b＞0$，$a＞b$.
$∴(a+b)^2-(a-b)^2=48$，$a+b=7$.
$∴a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=48$.
$∴ab=12$.
$∴(a^4 - b^4) ÷ \dfrac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)$
$=(a^2+b^2)(a+b)(a-b) · \dfrac{ab}{a^2+b^2} · \dfrac{1}{6(a-b)}$
$= \dfrac{ab(a+b)}{6}$
$= \dfrac{12×7}{6}$
$=14$.
$∴(a+b)^2-(a-b)^2=48$，$a+b=7$.
$∴a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=48$.
$∴ab=12$.
$∴(a^4 - b^4) ÷ \dfrac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)$
$=(a^2+b^2)(a+b)(a-b) · \dfrac{ab}{a^2+b^2} · \dfrac{1}{6(a-b)}$
$= \dfrac{ab(a+b)}{6}$
$= \dfrac{12×7}{6}$
$=14$.
解析
【分析】
解题时首先结合图形提取数量关系：大正方形的边长为长方形长与宽的和$a+b$，中间小正方形的边长为长方形长与宽的差$a-b$，根据已知的两个正方形面积可得到$(a+b)^2$和$(a-b)^2$的值，再利用完全平方公式求出$a+b$和$ab$的值；接下来对所求的分式运算式化简，先将除法转化为乘法，对$a^4-b^4$因式分解后约分得到最简形式，最后代入数值计算即可。
【解析】
解：由题意得，大正方形边长为$a+b$，面积为49，故$(a+b)^2=49$；中间小正方形边长为$a-b$，面积为1，故$(a-b)^2=1$，其中$a＞0,b＞0,a＞b$。
$\therefore a+b=7$，且$(a+b)^2-(a-b)^2=49-1=48$
展开得：$a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)=48$
化简得：$4ab=48$，解得$ab=12$
再化简所求式子：
$\begin{aligned}&(a^4 - b^4) ÷ \frac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)\\=&(a^2+b^2)(a+b)(a-b) · \frac{ab}{a^2+b^2} · \frac{1}{6(a-b)}\\=&\frac{ab(a+b)}{6}\end{aligned}$
将$a+b=7$，$ab=12$代入得：
原式$=\frac{12×7}{6}=14$
【答案】
14
【知识点】
分式乘除运算；完全平方公式；因式分解
【点评】
本题是数形结合的典型题型，需要先从几何图形中提炼对应代数关系，再结合分式运算规则、乘法公式化简计算，解题时先化简代数式再代值可有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合图形提取数量关系：大正方形的边长为长方形长与宽的和$a+b$，中间小正方形的边长为长方形长与宽的差$a-b$，根据已知的两个正方形面积可得到$(a+b)^2$和$(a-b)^2$的值，再利用完全平方公式求出$a+b$和$ab$的值；接下来对所求的分式运算式化简，先将除法转化为乘法，对$a^4-b^4$因式分解后约分得到最简形式，最后代入数值计算即可。
【解析】
解：由题意得，大正方形边长为$a+b$，面积为49，故$(a+b)^2=49$；中间小正方形边长为$a-b$，面积为1，故$(a-b)^2=1$，其中$a＞0,b＞0,a＞b$。
$\therefore a+b=7$，且$(a+b)^2-(a-b)^2=49-1=48$
展开得：$a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)=48$
化简得：$4ab=48$，解得$ab=12$
再化简所求式子：
$\begin{aligned}&(a^4 - b^4) ÷ \frac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)\\=&(a^2+b^2)(a+b)(a-b) · \frac{ab}{a^2+b^2} · \frac{1}{6(a-b)}\\=&\frac{ab(a+b)}{6}\end{aligned}$
将$a+b=7$，$ab=12$代入得：
原式$=\frac{12×7}{6}=14$
【答案】
14
【知识点】
分式乘除运算；完全平方公式；因式分解
【点评】
本题是数形结合的典型题型，需要先从几何图形中提炼对应代数关系，再结合分式运算规则、乘法公式化简计算，解题时先化简代数式再代值可有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
12. 在学习了分式的乘、除法之后，老师给出了这样一道题，计算：$(a+\frac{1}{a})(a^2+\frac{1}{a^2})(a^4+\frac{1}{a^4}) · (a^8+\frac{1}{a^8})(a^2-1)$。小明将$a^2-1$变形为$a(a-\frac{1}{a})$，然后用平方差公式得出结论。知道他是怎么做的吗？
答案
12. 解：原式$= (a+\dfrac{1}{a})(a^2+\dfrac{1}{a^2})(a^4+\dfrac{1}{a^4}) · (a^8+\dfrac{1}{a^8}) · a · (a-\dfrac{1}{a})$
$= a(a-\dfrac{1}{a})(a+\dfrac{1}{a})(a^2+\dfrac{1}{a^2})(a^4+\dfrac{1}{a^4}) · (a^8+\dfrac{1}{a^8})$
$= a(a^2-\dfrac{1}{a^2})(a^2+\dfrac{1}{a^2})(a^4+\dfrac{1}{a^4})(a^8+\dfrac{1}{a^8})$
$= a(a^4-\dfrac{1}{a^4})(a^4+\dfrac{1}{a^4})(a^8+\dfrac{1}{a^8})$
$= a(a^8-\dfrac{1}{a^8})(a^8+\dfrac{1}{a^8})$
$= a(a^{16}-\dfrac{1}{a^{16}})$
$= a^{17}-\dfrac{1}{a^{15}}$.
$= a(a-\dfrac{1}{a})(a+\dfrac{1}{a})(a^2+\dfrac{1}{a^2})(a^4+\dfrac{1}{a^4}) · (a^8+\dfrac{1}{a^8})$
$= a(a^2-\dfrac{1}{a^2})(a^2+\dfrac{1}{a^2})(a^4+\dfrac{1}{a^4})(a^8+\dfrac{1}{a^8})$
$= a(a^4-\dfrac{1}{a^4})(a^4+\dfrac{1}{a^4})(a^8+\dfrac{1}{a^8})$
$= a(a^8-\dfrac{1}{a^8})(a^8+\dfrac{1}{a^8})$
$= a(a^{16}-\dfrac{1}{a^{16}})$
$= a^{17}-\dfrac{1}{a^{15}}$.
解析
【分析】
观察原式结构，前4个因式依次为$(a+\frac{1}{a})$、$(a^2+\frac{1}{a^2})$、$(a^4+\frac{1}{a^4})$、$(a^8+\frac{1}{a^8})$，均为两数和的形式，且a的次数是2的正整数次幂，符合连续使用平方差公式的特征，只需补充因式$(a-\frac{1}{a})$即可凑出平方差公式的结构。此时可将最后一个因式$a^2-1$恒等变形为$a(a-\frac{1}{a})$（分式有意义的前提下$a≠0$，变形成立），之后将$(a-\frac{1}{a})$移到前面，连续运用平方差公式逐步计算，即可简化运算得到结果。
【解析】
解：原式$= (a+\dfrac{1}{a})(a^2+\dfrac{1}{a^2})(a^4+\dfrac{1}{a^4})(a^8+\dfrac{1}{a^8}) · a · (a-\dfrac{1}{a})$
利用乘法交换律调整因式顺序：
$= a(a-\dfrac{1}{a})(a+\dfrac{1}{a})(a^2+\dfrac{1}{a^2})(a^4+\dfrac{1}{a^4})(a^8+\dfrac{1}{a^8})$
运用平方差公式计算$(a-\dfrac{1}{a})(a+\dfrac{1}{a})=a^2-\dfrac{1}{a^2}$：
$= a(a^2-\dfrac{1}{a^2})(a^2+\dfrac{1}{a^2})(a^4+\dfrac{1}{a^4})(a^8+\dfrac{1}{a^8})$
再次运用平方差公式计算$(a^2-\dfrac{1}{a^2})(a^2+\dfrac{1}{a^2})=a^4-\dfrac{1}{a^4}$：
$= a(a^4-\dfrac{1}{a^4})(a^4+\dfrac{1}{a^4})(a^8+\dfrac{1}{a^8})$
继续重复运用平方差公式：
$= a(a^8-\dfrac{1}{a^8})(a^8+\dfrac{1}{a^8})$
$= a(a^{16}-\dfrac{1}{a^{16}})$
去括号计算得：
$= a^{17}-\dfrac{1}{a^{15}}$
【答案】
$a^{17}-\dfrac{1}{a^{15}}$
【知识点】
平方差公式；分式乘除运算；代数式恒等变形
【点评】
本题重点考查公式的灵活运用能力，解题关键是观察式子的结构特征，对已知因式进行合理变形，构造出平方差公式的适用条件，有效避免了直接展开计算的繁琐，能很好地检验学生的观察能力和运算技巧。
【难度系数】
0.6
观察原式结构，前4个因式依次为$(a+\frac{1}{a})$、$(a^2+\frac{1}{a^2})$、$(a^4+\frac{1}{a^4})$、$(a^8+\frac{1}{a^8})$，均为两数和的形式，且a的次数是2的正整数次幂，符合连续使用平方差公式的特征，只需补充因式$(a-\frac{1}{a})$即可凑出平方差公式的结构。此时可将最后一个因式$a^2-1$恒等变形为$a(a-\frac{1}{a})$（分式有意义的前提下$a≠0$，变形成立），之后将$(a-\frac{1}{a})$移到前面，连续运用平方差公式逐步计算，即可简化运算得到结果。
【解析】
解：原式$= (a+\dfrac{1}{a})(a^2+\dfrac{1}{a^2})(a^4+\dfrac{1}{a^4})(a^8+\dfrac{1}{a^8}) · a · (a-\dfrac{1}{a})$
利用乘法交换律调整因式顺序：
$= a(a-\dfrac{1}{a})(a+\dfrac{1}{a})(a^2+\dfrac{1}{a^2})(a^4+\dfrac{1}{a^4})(a^8+\dfrac{1}{a^8})$
运用平方差公式计算$(a-\dfrac{1}{a})(a+\dfrac{1}{a})=a^2-\dfrac{1}{a^2}$：
$= a(a^2-\dfrac{1}{a^2})(a^2+\dfrac{1}{a^2})(a^4+\dfrac{1}{a^4})(a^8+\dfrac{1}{a^8})$
再次运用平方差公式计算$(a^2-\dfrac{1}{a^2})(a^2+\dfrac{1}{a^2})=a^4-\dfrac{1}{a^4}$：
$= a(a^4-\dfrac{1}{a^4})(a^4+\dfrac{1}{a^4})(a^8+\dfrac{1}{a^8})$
继续重复运用平方差公式：
$= a(a^8-\dfrac{1}{a^8})(a^8+\dfrac{1}{a^8})$
$= a(a^{16}-\dfrac{1}{a^{16}})$
去括号计算得：
$= a^{17}-\dfrac{1}{a^{15}}$
【答案】
$a^{17}-\dfrac{1}{a^{15}}$
【知识点】
平方差公式；分式乘除运算；代数式恒等变形
【点评】
本题重点考查公式的灵活运用能力，解题关键是观察式子的结构特征，对已知因式进行合理变形，构造出平方差公式的适用条件，有效避免了直接展开计算的繁琐，能很好地检验学生的观察能力和运算技巧。
【难度系数】
0.6
