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如何解方程 $2x^2 -5x +2=0$？
答案
解析
【分析】
拿到该一元二次方程，首先观察到它已经是$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，可优先选择简便的解法：观察左边二次三项式$2x^2-5x+2$的特征，适合用十字相乘法因式分解，若不熟悉因式分解也可以用通用的公式法求解。若用因式分解法，只需将左边分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式为0，转化为一元一次方程求解即可；若用公式法，先确定$a、b、c$的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
解法一：因式分解法
对等式左边的二次三项式进行十字相乘法因式分解：
将$2x^2$拆分为$2x· x$，常数项2拆分为$(-1)·(-2)$，交叉相乘验证：$2x·(-2) + x·(-1) = -5x$，恰好等于一次项，因此可分解为：
$(2x - 1)(x - 2) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，可得：
$2x - 1 = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$2x - 1 = 0$时，$x = \frac{1}{2}$；
当$x - 2 = 0$时，$x = 2$。
解法二：公式法
已知方程为一元二次方程的一般形式，其中$a=2$，$b=-5$，$c=2$，
先计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×2×2 = 25 - 16 = 9 ＞ 0$，
因此方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{5\pm\sqrt{9}}{2×2} = \frac{5\pm3}{4}$
即$x_1 = \frac{5+3}{4} = 2$，$x_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=2$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，旨在考查学生对一元二次方程常用解法的掌握程度，解题时优先选择更简便的方法，可有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.85
拿到该一元二次方程，首先观察到它已经是$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，可优先选择简便的解法：观察左边二次三项式$2x^2-5x+2$的特征，适合用十字相乘法因式分解，若不熟悉因式分解也可以用通用的公式法求解。若用因式分解法，只需将左边分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式为0，转化为一元一次方程求解即可；若用公式法，先确定$a、b、c$的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
解法一：因式分解法
对等式左边的二次三项式进行十字相乘法因式分解：
将$2x^2$拆分为$2x· x$，常数项2拆分为$(-1)·(-2)$，交叉相乘验证：$2x·(-2) + x·(-1) = -5x$，恰好等于一次项，因此可分解为：
$(2x - 1)(x - 2) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，可得：
$2x - 1 = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$2x - 1 = 0$时，$x = \frac{1}{2}$；
当$x - 2 = 0$时，$x = 2$。
解法二：公式法
已知方程为一元二次方程的一般形式，其中$a=2$，$b=-5$，$c=2$，
先计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×2×2 = 25 - 16 = 9 ＞ 0$，
因此方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{5\pm\sqrt{9}}{2×2} = \frac{5\pm3}{4}$
即$x_1 = \frac{5+3}{4} = 2$，$x_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=2$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，旨在考查学生对一元二次方程常用解法的掌握程度，解题时优先选择更简便的方法，可有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.85
例1 解方程：$3x^2 + 8x - 3 = 0$。
答案
两边都除以3，得$x^2 +\frac{8}{3}x -1=0$. 移项，得$x^2 +\frac{8}{3}x=1$. 配方，得$x^2 +\frac{8}{3}x + (\frac{4}{3})^2=1+(\frac{4}{3})^2$，$(x+\frac{4}{3})^2=(\frac{5}{3})^2$. 开平方，得$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3}$. 所以$x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$
解析
【分析】
这道题是求解二次项系数不为1的一元二次方程，可采用配方法求解，解题思路如下：第一步先将二次项系数化为1，给方程两边同时除以二次项系数3；第二步移项，把常数项移到方程右侧，仅保留含未知数的项在左侧；第三步配方，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；第四步对完全平方式开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程；第五步求解一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
解：方程两边都除以3，得$x^2 +\frac{8}{3}x -1=0$
移项，得$x^2 +\frac{8}{3}x=1$
配方，得$x^2 +\frac{8}{3}x + (\frac{4}{3})^2=1+(\frac{4}{3})^2$，即$(x+\frac{4}{3})^2=(\frac{5}{3})^2$
开平方，得$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3}$
即$x+\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$或$x+\frac{4}{3}=-\frac{5}{3}$
解得$x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$
【答案】
$x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；平方根的意义
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题，解题时要严格按照配方法的步骤操作，尤其需要注意配方时需给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，避免出现漏加右侧常数的错误。
【难度系数】
0.8
这道题是求解二次项系数不为1的一元二次方程，可采用配方法求解，解题思路如下：第一步先将二次项系数化为1，给方程两边同时除以二次项系数3；第二步移项，把常数项移到方程右侧，仅保留含未知数的项在左侧；第三步配方，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；第四步对完全平方式开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程；第五步求解一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
解：方程两边都除以3，得$x^2 +\frac{8}{3}x -1=0$
移项，得$x^2 +\frac{8}{3}x=1$
配方，得$x^2 +\frac{8}{3}x + (\frac{4}{3})^2=1+(\frac{4}{3})^2$，即$(x+\frac{4}{3})^2=(\frac{5}{3})^2$
开平方，得$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3}$
即$x+\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$或$x+\frac{4}{3}=-\frac{5}{3}$
解得$x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$
【答案】
$x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；平方根的意义
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题，解题时要严格按照配方法的步骤操作，尤其需要注意配方时需给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，避免出现漏加右侧常数的错误。
【难度系数】
0.8
例2 向上抛出的物体在没有空气阻力的条件下，有如下表达式：$h=vt-\frac{1}{2}gt^2$，其中h是上升高度，v是初速度，g是重力加速度（为方便计算，本题中的g取10 $\mathrm{m/s}^2$），t是抛出后所经过的时间。如果将一物体以25 m/s的初速度向上抛出，经过多长时间距离抛出点有20 m高？
答案
由$h=vt-\frac{1}{2}gt^2$,得$20=25t-\frac{10}{2}t^2$. 整理，得$t^2 -5t +4=0$. 解这个方程，得$t_1=1,t_2=4$. 所以该物体距离抛出点20 m高的时间有两次：一次在1 s，一次在4 s
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：题目已给出高度h与时间t的关系式，已知h=20m、初速度v=25m/s、g=10$\mathrm{m/s}^2$，我们只需将已知量代入给定公式，即可得到关于t的一元二次方程，再解该方程，最后结合实际运动情景判断解的合理性即可。注意物体上升后会下落，可能存在两个符合要求的时间，不要随意舍去解。
【解析】
将$h=20$、$v=25$、$g=10$代入$h=vt-\frac{1}{2}gt^2$，可得：
$20=25t-\frac{1}{2}×10t^2$
整理方程：
$20=25t-5t^2$
两边同时除以5并移项得：
$t^2-5t+4=0$
因式分解得：
$(t-1)(t-4)=0$
解得：$t_1=1$，$t_2=4$
验证：t=1s是物体上升过程中到达20m高度的时间，t=4s是物体上升到最高点后下落过程中回到20m高度的时间，两个解均符合实际情况。
【答案】
经过1s或4s时物体距离抛出点有20m高。
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程；实际问题解的检验
【点评】
本题属于跨学科的实际应用类题目，核心是将实际情景中的已知量代入给定公式，转化为数学中的一元二次方程求解，解题时要注意结合实际情景判断解的合理性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件：题目已给出高度h与时间t的关系式，已知h=20m、初速度v=25m/s、g=10$\mathrm{m/s}^2$，我们只需将已知量代入给定公式，即可得到关于t的一元二次方程，再解该方程，最后结合实际运动情景判断解的合理性即可。注意物体上升后会下落，可能存在两个符合要求的时间，不要随意舍去解。
【解析】
将$h=20$、$v=25$、$g=10$代入$h=vt-\frac{1}{2}gt^2$，可得：
$20=25t-\frac{1}{2}×10t^2$
整理方程：
$20=25t-5t^2$
两边同时除以5并移项得：
$t^2-5t+4=0$
因式分解得：
$(t-1)(t-4)=0$
解得：$t_1=1$，$t_2=4$
验证：t=1s是物体上升过程中到达20m高度的时间，t=4s是物体上升到最高点后下落过程中回到20m高度的时间，两个解均符合实际情况。
【答案】
经过1s或4s时物体距离抛出点有20m高。
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程；实际问题解的检验
【点评】
本题属于跨学科的实际应用类题目，核心是将实际情景中的已知量代入给定公式，转化为数学中的一元二次方程求解，解题时要注意结合实际情景判断解的合理性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
1. 用配方法将方程$2x^2 -4x -3=0$变形，结果是(
A.$2(x-1)^2 -4=0$
B.$(x-1)^2 -\dfrac{5}{2}=0$
C.$2(x-1)^2 -\dfrac{5}{2}=0$
D.$(x-1)^2 -5=0$
B
).A.$2(x-1)^2 -4=0$
B.$(x-1)^2 -\dfrac{5}{2}=0$
C.$2(x-1)^2 -\dfrac{5}{2}=0$
D.$(x-1)^2 -5=0$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查用配方法变形一元二次方程，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：第一步，若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；第二步，将常数项移到方程右侧；第三步，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，最后整理为选项呈现的形式即可。也可以先提取二次项系数，对含x的二次项、一次项整体配方后再化简。
【解析】
方法一：
第一步，将二次项系数化为1：方程$2x^2 -4x -3=0$两边同时除以2，得$x^2 - 2x - \frac{3}{2}=0$；
第二步，移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 2x = \frac{3}{2}$；
第三步，配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，左右两边同时加1，得$x^2 -2x +1 = \frac{3}{2} +1$；
第四步，整理：左侧化为完全平方式，右侧计算得$\frac{5}{2}$，即$(x-1)^2 = \frac{5}{2}$，移项得$(x-1)^2 - \frac{5}{2}=0$。
方法二：
先提取二次项系数2，得$2(x^2 - 2x) -3=0$，对括号内的式子配方：$x^2-2x=(x-1)^2 -1$，代入原式得$2[(x-1)^2 -1] -3=0$，展开得$2(x-1)^2 -2 -3=0$，即$2(x-1)^2=5$，两边除以2得$(x-1)^2 - \frac{5}{2}=0$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 配方法的应用
2. 完全平方公式
3. 一元二次方程变形
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法的规范操作，解题时要注意配方时需保证等式两边变形一致，若先提取二次项系数，不要漏乘括号内的常数项，熟练掌握配方法步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法变形一元二次方程，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：第一步，若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；第二步，将常数项移到方程右侧；第三步，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，最后整理为选项呈现的形式即可。也可以先提取二次项系数，对含x的二次项、一次项整体配方后再化简。
【解析】
方法一：
第一步，将二次项系数化为1：方程$2x^2 -4x -3=0$两边同时除以2，得$x^2 - 2x - \frac{3}{2}=0$；
第二步，移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 2x = \frac{3}{2}$；
第三步，配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，左右两边同时加1，得$x^2 -2x +1 = \frac{3}{2} +1$；
第四步，整理：左侧化为完全平方式，右侧计算得$\frac{5}{2}$，即$(x-1)^2 = \frac{5}{2}$，移项得$(x-1)^2 - \frac{5}{2}=0$。
方法二：
先提取二次项系数2，得$2(x^2 - 2x) -3=0$，对括号内的式子配方：$x^2-2x=(x-1)^2 -1$，代入原式得$2[(x-1)^2 -1] -3=0$，展开得$2(x-1)^2 -2 -3=0$，即$2(x-1)^2=5$，两边除以2得$(x-1)^2 - \frac{5}{2}=0$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 配方法的应用
2. 完全平方公式
3. 一元二次方程变形
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法的规范操作，解题时要注意配方时需保证等式两边变形一致，若先提取二次项系数，不要漏乘括号内的常数项，熟练掌握配方法步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 解下列方程：
(1) $2x^2 - 3x = 0$；
(2) $2x^2 + 3x + 1 = 0$；
(3) $3x^2 - x - 2 = 0$；
(4) $4x^2 - 2x - 1 = 0$。
(1) $2x^2 - 3x = 0$；
(2) $2x^2 + 3x + 1 = 0$；
(3) $3x^2 - x - 2 = 0$；
(4) $4x^2 - 2x - 1 = 0$。
答案
2. (1) $x_1=0,x_2=\frac{3}{2}$ (2) $x_1=-\frac{1}{2},x_2=-1$ (3) $x_1=-\frac{2}{3},x_2=1$ (4) $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{4},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$
解析
【分析】
解一元二次方程可优先尝试因式分解法：将方程左侧分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于0，转化为一元一次方程即可快速求解；若方程难以因式分解，可使用公式法：先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta ≥ 0$时，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$即可得到方程的根。
【解析】
(1) 对$2x^2 - 3x = 0$提取公因式，得：
$x(2x-3)=0$
令两个因式分别为0，得$x=0$或$2x-3=0$
解得$x_1=0,x_2=\frac{3}{2}$
(2) 对$2x^2 + 3x + 1 = 0$用十字相乘法因式分解，得：
$(2x+1)(x+1)=0$
令两个因式分别为0，得$2x+1=0$或$x+1=0$
解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=-1$
(3) 对$3x^2 - x - 2 = 0$用十字相乘法因式分解，得：
$(3x+2)(x-1)=0$
令两个因式分别为0，得$3x+2=0$或$x-1=0$
解得$x_1=-\frac{2}{3},x_2=1$
(4) 对$4x^2 - 2x - 1 = 0$，确定$a=4,b=-2,c=-1$
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-2)^2-4×4×(-1)=4+16=20＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{20}}{2×4}=\frac{2\pm2\sqrt{5}}{8}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{4}$
解得$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{4},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=\frac{3}{2}$ (2) $x_1=-\frac{1}{2},x_2=-1$ (3) $x_1=-\frac{2}{3},x_2=1$ (4) $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{4},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，公式法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练，解题时优先选择简便的因式分解法可提升解题效率，使用公式法时要先确认判别式非负，注意计算过程不要出错。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程可优先尝试因式分解法：将方程左侧分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于0，转化为一元一次方程即可快速求解；若方程难以因式分解，可使用公式法：先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta ≥ 0$时，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$即可得到方程的根。
【解析】
(1) 对$2x^2 - 3x = 0$提取公因式，得：
$x(2x-3)=0$
令两个因式分别为0，得$x=0$或$2x-3=0$
解得$x_1=0,x_2=\frac{3}{2}$
(2) 对$2x^2 + 3x + 1 = 0$用十字相乘法因式分解，得：
$(2x+1)(x+1)=0$
令两个因式分别为0，得$2x+1=0$或$x+1=0$
解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=-1$
(3) 对$3x^2 - x - 2 = 0$用十字相乘法因式分解，得：
$(3x+2)(x-1)=0$
令两个因式分别为0，得$3x+2=0$或$x-1=0$
解得$x_1=-\frac{2}{3},x_2=1$
(4) 对$4x^2 - 2x - 1 = 0$，确定$a=4,b=-2,c=-1$
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-2)^2-4×4×(-1)=4+16=20＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{20}}{2×4}=\frac{2\pm2\sqrt{5}}{8}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{4}$
解得$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{4},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=\frac{3}{2}$ (2) $x_1=-\frac{1}{2},x_2=-1$ (3) $x_1=-\frac{2}{3},x_2=1$ (4) $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{4},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，公式法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练，解题时优先选择简便的因式分解法可提升解题效率，使用公式法时要先确认判别式非负，注意计算过程不要出错。
【难度系数】
0.8
