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3. 解下列方程：
(1) $2x^2 - 3x - 3 = 0$；
(2) $4x^2 - x - 1 = 0$；
(3) $2y^2 + 5y + 1 = 0$；
(4) $3x^2 + 5 = 9x$；
(1) $2x^2 - 3x - 3 = 0$；
(2) $4x^2 - x - 1 = 0$；
(3) $2y^2 + 5y + 1 = 0$；
(4) $3x^2 + 5 = 9x$；
答案
3. (1) $x_1=\frac{3-\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{3+\sqrt{33}}{4}$ (2) $x_1=\frac{1-\sqrt{17}}{8},x_2=\frac{1+\sqrt{17}}{8}$ (3) $y_1=\frac{-5-\sqrt{17}}{4},y_2=\frac{-5+\sqrt{17}}{4}$ (4) $x_1=\frac{9+\sqrt{21}}{6},x_2=\frac{9-\sqrt{21}}{6}$
解析
【分析】
观察这四个一元二次方程，均难以用直接开平方法或因式分解法求解，因此选择公式法求解。解题思路为：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定系数$a$、$b$、$c$的取值，注意符号不要出错；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的情况：若$\Delta≥0$，方程有实数根，若$\Delta＜0$无实数根；③若$\Delta≥0$，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$，计算得到方程的根。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 - 3x - 3 = 0$，
$a=2$，$b=-3$，$c=-3$，
判别式$\Delta=(-3)^2 - 4×2×(-3)=9+24=33＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{3±\sqrt{33}}{2×2}=\frac{3±\sqrt{33}}{4}$。
(2) 对于方程$4x^2 - x - 1 = 0$，
$a=4$，$b=-1$，$c=-1$，
判别式$\Delta=(-1)^2 - 4×4×(-1)=1+16=17＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{1±\sqrt{17}}{2×4}=\frac{1±\sqrt{17}}{8}$。
(3) 对于方程$2y^2 + 5y + 1 = 0$，
$a=2$，$b=5$，$c=1$，
判别式$\Delta=5^2 - 4×2×1=25-8=17＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$y=\frac{-5±\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-5±\sqrt{17}}{4}$。
(4) 先将方程整理为一般形式：$3x^2 - 9x + 5 = 0$，
$a=3$，$b=-9$，$c=5$，
判别式$\Delta=(-9)^2 - 4×3×5=81-60=21＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{9±\sqrt{21}}{2×3}=\frac{9±\sqrt{21}}{6}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3-\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{3+\sqrt{33}}{4}$
(2) $x_1=\frac{1-\sqrt{17}}{8},x_2=\frac{1+\sqrt{17}}{8}$
(3) $y_1=\frac{-5-\sqrt{17}}{4},y_2=\frac{-5+\sqrt{17}}{4}$
(4) $x_1=\frac{9+\sqrt{21}}{6},x_2=\frac{9-\sqrt{21}}{6}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程判别式；一元二次方程一般式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查公式法的应用，解题的关键是准确将方程化为一般式，正确确定系数的符号，计算判别式时注意运算准确性，代入求根公式时不要漏写系数，避免符号、计算类低级错误。
【难度系数】
0.8
观察这四个一元二次方程，均难以用直接开平方法或因式分解法求解，因此选择公式法求解。解题思路为：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定系数$a$、$b$、$c$的取值，注意符号不要出错；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的情况：若$\Delta≥0$，方程有实数根，若$\Delta＜0$无实数根；③若$\Delta≥0$，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$，计算得到方程的根。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 - 3x - 3 = 0$，
$a=2$，$b=-3$，$c=-3$，
判别式$\Delta=(-3)^2 - 4×2×(-3)=9+24=33＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{3±\sqrt{33}}{2×2}=\frac{3±\sqrt{33}}{4}$。
(2) 对于方程$4x^2 - x - 1 = 0$，
$a=4$，$b=-1$，$c=-1$，
判别式$\Delta=(-1)^2 - 4×4×(-1)=1+16=17＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{1±\sqrt{17}}{2×4}=\frac{1±\sqrt{17}}{8}$。
(3) 对于方程$2y^2 + 5y + 1 = 0$，
$a=2$，$b=5$，$c=1$，
判别式$\Delta=5^2 - 4×2×1=25-8=17＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$y=\frac{-5±\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-5±\sqrt{17}}{4}$。
(4) 先将方程整理为一般形式：$3x^2 - 9x + 5 = 0$，
$a=3$，$b=-9$，$c=5$，
判别式$\Delta=(-9)^2 - 4×3×5=81-60=21＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{9±\sqrt{21}}{2×3}=\frac{9±\sqrt{21}}{6}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3-\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{3+\sqrt{33}}{4}$
(2) $x_1=\frac{1-\sqrt{17}}{8},x_2=\frac{1+\sqrt{17}}{8}$
(3) $y_1=\frac{-5-\sqrt{17}}{4},y_2=\frac{-5+\sqrt{17}}{4}$
(4) $x_1=\frac{9+\sqrt{21}}{6},x_2=\frac{9-\sqrt{21}}{6}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程判别式；一元二次方程一般式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查公式法的应用，解题的关键是准确将方程化为一般式，正确确定系数的符号，计算判别式时注意运算准确性，代入求根公式时不要漏写系数，避免符号、计算类低级错误。
【难度系数】
0.8
4. 利用配方法解释方程$2x^2 + 4x + 7 = 0$没有实数根.
答案
4. 原方程可化为$(x+1)^2 = -\frac{5}{2}＜0$,所以方程$2x^2 + 4x + 7 = 0$没有实数根
解析
【分析】
要通过配方法说明方程没有实数根，需按配方法的标准步骤操作：首先把二次项系数化为1，再将常数项移到等号右侧，接着给方程两边加一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式，最后结合平方的非负性判断：若完全平方式等于负数，就不存在满足等式的实数x，方程就没有实数根。
【解析】
解：对原方程$2x^2 + 4x + 7 = 0$按配方法步骤变形：
1. 方程两边同时除以2，将二次项系数化为1：
$x^2 + 2x + \frac{7}{2} = 0$
2. 移项，把常数项移到等号右侧：
$x^2 + 2x = -\frac{7}{2}$
3. 配方，两边同时加一次项系数一半的平方（一次项系数为2，一半是1，平方为1）：
$x^2 + 2x + 1 = -\frac{7}{2} + 1$
4. 整理得：
$(x+1)^2 = -\frac{5}{2}$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(x+1)^2 ≥ 0$，而$-\frac{5}{2} ＜ 0$，
∴ 没有实数x能满足上述等式，因此原方程没有实数根。
【答案】
原方程可化为$(x+1)^2 = -\frac{5}{2}＜0$,所以方程$2x^2 + 4x + 7 = 0$没有实数根
【知识点】
配方法，平方的非负性，一元二次方程根的判断
【点评】
本题主要考查配方法的运用和平方非负性的应用，是配方法判断方程根情况的基础题型，熟练掌握配方法的操作流程是解题的核心。
【难度系数】
0.7
要通过配方法说明方程没有实数根，需按配方法的标准步骤操作：首先把二次项系数化为1，再将常数项移到等号右侧，接着给方程两边加一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式，最后结合平方的非负性判断：若完全平方式等于负数，就不存在满足等式的实数x，方程就没有实数根。
【解析】
解：对原方程$2x^2 + 4x + 7 = 0$按配方法步骤变形：
1. 方程两边同时除以2，将二次项系数化为1：
$x^2 + 2x + \frac{7}{2} = 0$
2. 移项，把常数项移到等号右侧：
$x^2 + 2x = -\frac{7}{2}$
3. 配方，两边同时加一次项系数一半的平方（一次项系数为2，一半是1，平方为1）：
$x^2 + 2x + 1 = -\frac{7}{2} + 1$
4. 整理得：
$(x+1)^2 = -\frac{5}{2}$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(x+1)^2 ≥ 0$，而$-\frac{5}{2} ＜ 0$，
∴ 没有实数x能满足上述等式，因此原方程没有实数根。
【答案】
原方程可化为$(x+1)^2 = -\frac{5}{2}＜0$,所以方程$2x^2 + 4x + 7 = 0$没有实数根
【知识点】
配方法，平方的非负性，一元二次方程根的判断
【点评】
本题主要考查配方法的运用和平方非负性的应用，是配方法判断方程根情况的基础题型，熟练掌握配方法的操作流程是解题的核心。
【难度系数】
0.7
5. 解关于 x 的方程 $x^2 - 2ax = 2a + 1$（a 为常数）。
答案
5. $x_1=-1,x_2=2a+1$
解析
【分析】
这是一道含常数参数a的一元二次方程求解问题，解题时先将方程移项整理为标准形式，可优先尝试因式分解法简化计算：观察整理后方程的一次项系数和常数项的关系，可通过十字相乘法分解因式；也可通过配方法将左侧转化为完全平方式后开方求解，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
解法1：因式分解法
第一步：移项，将方程整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 2ax - 2a - 1 = 0$
第二步：对左侧多项式十字相乘法因式分解：
将$x^2$的系数拆为$1×1$，常数项$-2a-1$拆为$1×[-(2a+1)]$，交叉相乘的和为$1×[-(2a+1)] + 1×1 = -2a$，与一次项系数相等，因此方程可化为：
$(x + 1)(x - (2a + 1)) = 0$
第三步：令每个因式为0求解：
$x+1=0$ 或 $x-(2a+1)=0$
解得 $x_1=-1$，$x_2=2a+1$
解法2：配方法
第一步：对原方程左侧配方：
$x^2 - 2ax + a^2 - a^2 = 2a + 1$
整理得 $(x - a)^2 = a^2 + 2a + 1$
第二步：右侧整理为完全平方式：
$(x - a)^2 = (a + 1)^2$
第三步：开平方求解：
$x - a = \pm(a + 1)$
当$x - a = a + 1$时，$x=2a+1$；当$x - a = -(a+1)$时，$x=-1$
【答案】
$x_1=-1,x_2=2a+1$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、配方法
【点评】
本题考查含参数的一元二次方程求解，熟练掌握因式分解、配方法等常用解法是解题核心，运算时要注意含参数的整式变形的准确性。
【难度系数】
0.7
这是一道含常数参数a的一元二次方程求解问题，解题时先将方程移项整理为标准形式，可优先尝试因式分解法简化计算：观察整理后方程的一次项系数和常数项的关系，可通过十字相乘法分解因式；也可通过配方法将左侧转化为完全平方式后开方求解，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
解法1：因式分解法
第一步：移项，将方程整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 2ax - 2a - 1 = 0$
第二步：对左侧多项式十字相乘法因式分解：
将$x^2$的系数拆为$1×1$，常数项$-2a-1$拆为$1×[-(2a+1)]$，交叉相乘的和为$1×[-(2a+1)] + 1×1 = -2a$，与一次项系数相等，因此方程可化为：
$(x + 1)(x - (2a + 1)) = 0$
第三步：令每个因式为0求解：
$x+1=0$ 或 $x-(2a+1)=0$
解得 $x_1=-1$，$x_2=2a+1$
解法2：配方法
第一步：对原方程左侧配方：
$x^2 - 2ax + a^2 - a^2 = 2a + 1$
整理得 $(x - a)^2 = a^2 + 2a + 1$
第二步：右侧整理为完全平方式：
$(x - a)^2 = (a + 1)^2$
第三步：开平方求解：
$x - a = \pm(a + 1)$
当$x - a = a + 1$时，$x=2a+1$；当$x - a = -(a+1)$时，$x=-1$
【答案】
$x_1=-1,x_2=2a+1$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、配方法
【点评】
本题考查含参数的一元二次方程求解，熟练掌握因式分解、配方法等常用解法是解题核心，运算时要注意含参数的整式变形的准确性。
【难度系数】
0.7
