3. 解下列方程：
(1) $x^2 + 5x = 0$;
(2) $x^2 - x - 2 = 0$;
(3) $x^2 - 4x - 9996 = 0$;
(4) $x(x + 4) = 8x + 12$;

3. (1) $x_1=0,x_2=-5$ (2) $x_1=2,x_2=-1$ (3) $x_1=-98, x_2=102$ (4) $x_1=-2,x_2=6$

【分析】
解一元二次方程可根据方程特征优先选择简便方法：①若方程各项有公因式，先提取公因式因式分解求解；②若方程是二次项系数为1的二次三项式，优先尝试十字相乘法因式分解求解；③若常数项数值较大，可选用配方法计算；④若不是一般形式的方程，先整理为一元二次方程的一般形式，再选择合适方法求解。本题4个小题分别对应上述不同场景，逐个按对应方法计算即可。
【解析】
(1) 对$x^2 +5x=0$提取公因式$x$得：
$x(x+5)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x=0$ 或 $x+5=0$
解得$x_1=0, x_2=-5$。
(2) 对$x^2 -x -2=0$用十字相乘法因式分解得：
$(x-2)(x+1)=0$
可得：$x-2=0$ 或 $x+1=0$
解得$x_1=2, x_2=-1$。
(3) 对$x^2 -4x -9996=0$移项得：
$x^2 -4x =9996$
配方，两边同时加上一次项系数一半的平方$4$得：
$x^2 -4x +4 =9996 +4$
即 $(x-2)^2=10000$
开平方得：$x-2=\pm100$
解得$x=2+100=102$ 或 $x=2-100=-98$，即$x_1=-98, x_2=102$。
(4) 先将$x(x+4)=8x+12$整理为一般形式：
去括号得$x^2 +4x =8x +12$，移项合并同类项得$x^2 -4x -12=0$
用十字相乘法因式分解得：$(x-6)(x+2)=0$
可得：$x-6=0$ 或 $x+2=0$
解得$x_1=-2, x_2=6$。
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=-5$ (2) $x_1=2,x_2=-1$ (3) $x_1=-98, x_2=102$ (4) $x_1=-2,x_2=6$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程 2. 配方法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础练习题，考查根据方程特征灵活选择简便解法的能力，熟练掌握不同解法的适用场景，可有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8

4. 解下列方程：
(1) $x^2 - 2x = 7$;
(2) $x^2 - 6x + 1 = 0$;
(3) $x^2 - 7x = 2$;
(4) $x^2 + 8x + 12 = 8$.

4. (1) $x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$ (2) $x_1=3+2\sqrt{2},x_2=3-2\sqrt{2}$ (3) $x_1=\frac{7+\sqrt{57}}{2},x_2=\frac{7-\sqrt{57}}{2}$ (4) $x_1=-4+2\sqrt{3},x_2=-4-2\sqrt{3}$

【分析】
这四道题都是二次项系数为1的一元二次方程，适合用配方法求解，解题思路如下：①先把方程整理为左侧仅含二次项、一次项，右侧为常数项的形式；②方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；③对变形后的方程开平方，转化为两个一元一次方程；④求解一元一次方程得到原方程的根，注意开平方时不要遗漏负根。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2x = 7$配方：
两边同时加$(\frac{-2}{2})^2=1$，得$x^2-2x+1=7+1$，
即$(x-1)^2=8$，
开平方得$x-1=\pm2\sqrt{2}$，
解得$x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$。
(2) 对$x^2 - 6x + 1 = 0$移项得$x^2-6x=-1$，
配方：两边加$(\frac{-6}{2})^2=9$，得$x^2-6x+9=-1+9$，
即$(x-3)^2=8$，
开平方得$x-3=\pm2\sqrt{2}$，
解得$x_1=3+2\sqrt{2},x_2=3-2\sqrt{2}$。
(3) 对$x^2 - 7x = 2$配方：
两边加$(\frac{-7}{2})^2=\frac{49}{4}$，得$x^2-7x+\frac{49}{4}=2+\frac{49}{4}$，
即$(x-\frac{7}{2})^2=\frac{57}{4}$，
开平方得$x-\frac{7}{2}=\pm\frac{\sqrt{57}}{2}$，
解得$x_1=\frac{7+\sqrt{57}}{2},x_2=\frac{7-\sqrt{57}}{2}$。
(4) 先整理$x^2 + 8x + 12 = 8$，移项得$x^2+8x=8-12=-4$，
配方：两边加$(\frac{8}{2})^2=16$，得$x^2+8x+16=-4+16$，
即$(x+4)^2=12$，
开平方得$x+4=\pm2\sqrt{3}$，
解得$x_1=-4+2\sqrt{3},x_2=-4-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$
(2) $x_1=3+2\sqrt{2},x_2=3-2\sqrt{2}$
(3) $x_1=\frac{7+\sqrt{57}}{2},x_2=\frac{7-\sqrt{57}}{2}$
(4) $x_1=-4+2\sqrt{3},x_2=-4-2\sqrt{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，开平方运算
【点评】
本题是解一元二次方程的基础训练题，重点考查配方法的应用，解题时要注意配方时等式两边需同时加一次项系数一半的平方，开平方不要漏负号，移项注意符号变化，熟练掌握配方法步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.7

5. 用配方法解方程 $x^2 + px + q = 0 (p^2 - 4q ≥ 0).$

$x_1=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2},x_2=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}$

【分析】
本题要求用配方法解一元二次方程，解题思路遵循配方法的固定步骤：首先将常数项移到方程右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程左侧变形为完全平方式，结合题目给出的$p^2-4q≥0$的条件，可直接对等式两边开平方，最终整理得到方程的根。
【解析】
解：移项，得 $\displaystyle x^2 + px = -q$，
配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方$\displaystyle (\frac{p}{2})^2$，得：
$\displaystyle x^2 + px + (\frac{p}{2})^2 = -q + (\frac{p}{2})^2$，
整理得 $\displaystyle (x + \frac{p}{2})^2 = \frac{p^2 - 4q}{4}$，
$\because p^2 - 4q ≥ 0$，
$\therefore$ 两边直接开平方，得 $\displaystyle x + \frac{p}{2} = \pm \frac{\sqrt{p^2 - 4q}}{2}$，
移项得 $\displaystyle x = -\frac{p}{2} \pm \frac{\sqrt{p^2 - 4q}}{2}$，
即 $\displaystyle x_1=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2},x_2=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}$。
【答案】
$\displaystyle x_1=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2},x_2=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法的基础应用类题目，完整展现了配方法解一元二次方程的通用步骤，同时也是一元二次方程求根公式的推导过程，能够帮助掌握配方法的原理，加深对求根公式来源的理解。
【难度系数】
0.8

6. 把多项式$x^2+3x+1$分解因式.

$x^2+3x+1=(x+\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2})(x+\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2})$

【分析】
观察多项式$x^2+3x+1$为二次三项式，无法用十字相乘法在有理数范围内分解，因此考虑在实数范围内分解。根据所学知识，若二次三项式$ax^2+bx+c(a≠0)$对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个实根$x_1、x_2$，则$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$。解题时先求方程$x^2+3x+1=0$的两个实数根，再代入公式即可完成因式分解。
【解析】
1. 令$x^2+3x+1=0$，该一元二次方程中$a=1$，$b=3$，$c=1$。
2. 计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=3^2-4×1×1=5＞0$，方程有两个不相等的实数根。
3. 由求根公式得根：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$，即$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$。
4. 代入因式分解公式：
$x^2+3x+1=(x-x_1)(x-x_2)=(x-(-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}))(x-(-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}))=(x+\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2})(x+\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2})$
【答案】
$(x+\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2})(x+\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2})$
【知识点】
1. 求根法因式分解
2. 一元二次方程求根公式
3. 实数范围内因式分解
【点评】
本题考查二次三项式的因式分解方法，核心是掌握利用一元二次方程的根分解二次三项式的规则，解题时需注意准确计算方程的根，代入分解时不要弄错根的符号。
【难度系数】
0.7