9 [2024金华义乌期末]已知一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是 （）

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$67.5°$

C

【分析】
解决本题的思路如下：首先明确余角和补角的定义：如果两个角的和为90°，则这两个角互余；如果两个角的和为180°，则这两个角互补。我们可以先设这个角的度数为未知数，分别用含未知数的式子表示出它的余角和补角，再根据“补角是余角的4倍”这一等量关系列方程，最后解方程即可求出这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$ x° $。
根据余角和补角的定义，这个角的余角为$ (90-x)° $，补角为$ (180-x)° $。
由题意得方程：
$ 180 - x = 4(90 - x) $
展开右边得：
$ 180 - x = 360 - 4x $
移项得：
$ 4x - x = 360 - 180 $
合并同类项得：
$ 3x = 180 $
解得：
$ x = 60 $
即这个角的度数是$ 60° $。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义、补角的定义、一元一次方程的应用
【点评】
本题是余角补角相关的基础题型，核心考查对余角、补角概念的理解，以及运用方程思想解决角度计算问题的能力，只要准确掌握概念、找准等量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

10 如图,给出下列表示$∠β$的余角的式子:
① $90° - ∠β$;② $∠α - 90°$;③ $\frac{1}{2}(∠α + ∠β)$;
④ $\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$.其中,正确的有 （）

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

B

【分析】
首先回忆余角的定义：和为90°的两个角互为余角，因此∠β的余角的核心特征是与∠β相加等于90°。其次观察图形可得隐含条件：A、O、B在同一直线上，所以∠α+∠β=180°（平角等于180°）。接下来我们只需把四个式子分别变形，验证其与∠β的和是否为90°，或者是否能化简为90°-∠β即可判断正误。
【解析】
解：由图可知，A、O、B共线，因此$∠α + ∠β = 180°$，即$∠α = 180° - ∠β$。
根据余角的定义，$∠β$的余角为$90° - ∠β$：
1. 式子①：$90° - ∠β$，直接符合余角定义，①正确；
2. 式子②：将$∠α = 180° - ∠β$代入，得$∠α - 90° = (180° - ∠β) - 90° = 90° - ∠β$，符合余角定义，②正确；
3. 式子③：$\frac{1}{2}(∠α + ∠β) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，是固定的90°，不是$∠β$的余角，③错误；
4. 式子④：将$∠α = 180° - ∠β$代入，得$\frac{1}{2}(∠α - ∠β) = \frac{1}{2}(180° - ∠β - ∠β) = \frac{1}{2}(180° - 2∠β) = 90° - ∠β$，符合余角定义，④正确。
综上，正确的是①②④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义，平角的性质，角度运算
【点评】
本题重点考查余角的定义以及平角的隐含条件，解题时要先挖掘图形中的平角关系，再通过代入变形对各个式子逐一验证，避免忽略图形条件只看式子导致判断错误。
【难度系数】
0.7

11 如图,某测绘装置有一枚指针,原来指向南偏西$50°$方向,把这枚指针按顺时针方向旋转$\frac{1}{4}$周.
（1）此时指针所指的方向为；
（2）图中互余的角有对,与$∠ BOC$互补的角为,与$∠ BOC$相等的角为.

(1) 北偏西$40°$ (2) 4，$∠BOE$，$∠AOD$

【分析】
（1）首先明确方向坐标遵循上北下南、左西右东的规则，$\frac{1}{4}$周对应的旋转角度为90°。先结合初始指针的南偏西50°位置，算出初始指针与正西方向的夹角，再结合顺时针旋转90°的条件，计算旋转后指针与正北方向的夹角，即可得到最终指向方向。
（2）根据余角（和为90°的两个角）、补角（和为180°的两个角）的定义，先通过垂直关系和已知角度算出图中各锐角的度数，再逐一匹配互余、互补的角，最后找角度相等的角即可。
【解析】
（1）$\frac{1}{4}$周的角度为$360° × \frac{1}{4}=90°$。
已知指针初始指向南偏西$50°$，即$∠ AOE=50°$，东西方向线与南北方向线垂直，因此$∠ DOE=∠ COD=90°$，可得$∠ AOD=90° - ∠ AOE=90° -50°=40°$。
指针顺时针旋转$90°$后到达OB位置，即$∠ AOB=90°$，因此$∠ BOD=∠ AOB - ∠ AOD=90° -40°=50°$，进而$∠ BOC=∠ COD - ∠ BOD=90° -50°=40°$，即此时指针指向北偏西$40°$方向。
（2）互余的角：由计算得$∠ AOE=∠ BOD=50°$，$∠ AOD=∠ BOC=40°$，和为$90°$的角对有：①$∠ AOE$与$∠ AOD$；②$∠ AOE$与$∠ BOC$；③$∠ BOD$与$∠ AOD$；④$∠ BOD$与$∠ BOC$，共4对。
互补的角：$∠ BOC=40°$，$∠ BOE=∠ BOD+∠ DOE=50° +90°=140°$，$∠ BOC+∠ BOE=180°$，因此与$∠ BOC$互补的角为$∠ BOE$。
相等的角：由计算得$∠ BOC=40°$，$∠ AOD=40°$，因此与$∠ BOC$相等的角为$∠ AOD$。
【答案】
(1) 北偏西$40°$
(2) 4，$∠ BOE$，$∠ AOD$
【知识点】
方向角的表示，余角和补角的定义，角的和差计算
【点评】
本题结合方向角考查余角、补角的基础概念，解题关键是准确计算旋转后各角的度数，再根据定义匹配对应关系，属于基础概念综合应用题。
【难度系数】
0.7

12 [2026 杭州西湖段测]如图，已知$∠ AOC = ∠ BOD = 90°$.
（1）若$∠ BOC = 20°$，求$∠ AOB$的度数.
（2）$∠ COD$与$∠ AOB$互补吗？请说明理由.

（1）因为$∠BOC=20°$，$∠AOC=90°$，所以$∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°+20°=110°$
（2）$∠COD$与$∠AOB$互补 理由:设$∠COD=x$. 因为$∠BOD=90°$，所以$∠BOC=∠BOD-∠COD=90°-x$. 因为$∠AOC=90°$，所以$∠AOB=∠BOC+∠AOC=90°-x+90°=180°-x$. 所以$∠COD+∠AOB=x+180°-x=180°$. 所以$∠COD$与$∠AOB$互补.

【分析】
（1）观察图形可得∠AOB是∠AOC与∠BOC的和，已知两个角的度数，直接通过角的和差计算即可得到结果。
（2）判断两个角是否互补，只需证明两角之和为180°。可先设∠COD的度数为x，结合已知的两个直角，用含x的代数式表示出∠AOB的度数，再计算∠COD与∠AOB的和，根据和的结果判断是否互补。
【解析】
（1）已知∠BOC=20°，∠AOC=90°，
由图形中角的和差关系得：$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC$，
代入数值计算：$∠ AOB = 90° + 20° = 110°$。
（2）∠COD与∠AOB互补，理由如下：
设$∠ COD = x$，
因为$∠ BOD = 90°$，所以$∠ BOC = ∠ BOD - ∠ COD = 90° - x$，
又因为$∠ AOC = 90°$，所以$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = 90° + 90° - x = 180° - x$，
因此$∠ COD + ∠ AOB = x + (180° - x) = 180°$，
根据互补的定义，可知∠COD与∠AOB互补。
【答案】
（1）$∠ AOB = 110°$
（2）∠COD与∠AOB互补，理由见解析
【知识点】
角的和差运算，补角的定义，直角的性质
【点评】
本题是角的计算的基础题，解题的关键是结合图形理清各个角之间的数量关系，掌握互补的判定方法即可轻松解决。
【难度系数】
0.8

13 已知$∠ AOB=40°$,$∠ BOC$与$∠ AOB$互为补角,$OD$是$∠ BOC$的平分线,求$∠ AOD$的度数.

如图①,当OA在$∠BOC$的外部时,因为$∠AOB=40°$,$∠BOC$与$∠AOB$互为补角,所以$∠BOC=180°-∠AOB=180°-40°=140°$. 因为OD是$∠BOC$的平分线,所以$∠BOD=\frac{1}{2}∠BOC=70°$. 所以$∠AOD=∠AOB+∠BOD=40°+70°=110°$. 如图②,当OA在$∠BOC$的内部时,因为$∠AOB=40°$,$∠BOC$与$∠AOB$互为补角,所以$∠BOC=180°-∠AOB=180°-40°=140°$. 因为OD是$∠BOC$的平分线,所以$∠BOD=\frac{1}{2}∠BOC=70°$. 所以$∠AOD=∠BOD-∠AOB=70°-40°=30°$. 综上所述,$∠AOD$的度数为$110°$或$30°$

【分析】
本题未明确OA与∠BOC的位置关系，需要分两种情况分类讨论求解。首先根据补角的定义（互为补角的两个角和为180°）求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义得到∠BOD的度数，最后结合两种位置关系，通过角度的和差运算分别计算∠AOD的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 如图①，当OA在∠BOC的外部时：
∵∠AOB=40°，∠BOC与∠AOB互为补角，
∴∠BOC=180°-∠AOB=180°-40°=140°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×140°=70°$，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=40°+70°=110°；
② 如图②，当OA在∠BOC的内部时：
∵∠AOB=40°，∠BOC与∠AOB互为补角，
∴∠BOC=180°-∠AOB=180°-40°=140°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×140°=70°$，
∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=70°-40°=30°。
综上所述，∠AOD的度数为110°或30°。
【答案】
∠AOD的度数为$110°$或$30°$
【知识点】
补角的定义，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易忽略OA位置的两种可能性，仅计算其中一种情况导致漏解。解题时要结合题意考虑所有可能的位置关系，灵活运用角度和差关系、补角及角平分线的性质计算。
【难度系数】
0.6

14 教材 P190 作业题 T6 变式 如图，将一张长方形纸片先沿 CP 折叠，使点 A 落在点 E 处，再将纸片的另一角沿 PD 折叠，使点 B 落在点 F 处，且 PE 与 PF 在同一条直线上.
（1）图中有没有互余的角？若有，请写出四组.
（2）请找出图中与$∠ CPF$互补的角，并说明理由.

(1) 题图中有互余的角 答案不唯一,如$∠CPF$与$∠FPD$,$∠CPF$与$∠BPD$,$∠APC$与$∠FPD$,$∠APC$与$∠BPD$
(2) 题图中与$∠CPF$互补的角为$∠CPB$ 理由:由折叠可知,$∠CPF=∠CPA$. 因为$∠CPA+∠CPB=∠APB=180°$,所以$∠CPF+∠CPB=180°$,即$∠CPF$与$∠CPB$互补.

【分析】
（1）找互余的角需先明确互余定义：两个角的度数和为90°则两角互余。首先根据折叠性质可得折叠前后对应角相等，即∠APC=∠EPC，∠BPD=∠FPD，再结合平角∠APB=180°，可推导出∠CPD=90°，由此即可找出和为90°的角对。
（2）找与∠CPF互补的角需明确互补定义：两个角的度数和为180°则两角互补。先利用折叠性质得到∠CPF=∠CPA，再找和∠CPA和为180°的角，即可得到与∠CPF互补的角。
【解析】
（1）由折叠的性质可得：$∠ APC=∠ EPC$，$∠ BPD=∠ FPD$。
因为$∠ APC+∠ EPC+∠ BPD+∠ FPD=∠ APB=180°$，
所以$2(∠ EPC+∠ FPD)=180°$，即$∠ EPC+∠ FPD=90°$，也就是$∠ CPD=90°$。
结合互余的定义，可得到多组互余的角，例如：
$∠ CPF$与$∠ FPD$、$∠ CPF$与$∠ BPD$、$∠ APC$与$∠ FPD$、$∠ APC$与$∠ BPD$。
（2）与$∠ CPF$互补的角是$∠ CPB$，理由如下：
由折叠的性质可知$∠ CPF=∠ CPA$，
因为$∠ CPA+∠ CPB=∠ APB=180°$，
将$∠ CPA$替换为$∠ CPF$，可得$∠ CPF+∠ CPB=180°$，
根据互补的定义，$∠ CPF$与$∠ CPB$互补。
【答案】
(1) 有互余的角，答案不唯一，如$∠CPF$与$∠FPD$，$∠CPF$与$∠BPD$，$∠APC$与$∠FPD$，$∠APC$与$∠BPD$
(2) 与$∠CPF$互补的角为$∠CPB$。理由:由折叠可知,$∠CPF=∠CPA$. 因为$∠CPA+∠CPB=∠APB=180°$,所以$∠CPF+∠CPB=180°$,即$∠CPF$与$∠CPB$互补。
【知识点】
折叠的性质，余角的定义，补角的定义
【点评】
本题结合折叠背景考查余角、补角的识别与判定，解题核心是利用折叠性质得到相等的角，再结合平角的性质推导角的和差关系，注意互余、互补仅与两个角的度数和相关，和角的位置无关。
【难度系数】
0.7