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1. 下列方程中,最适合用公式法求解的是 (
A.$(x-1)^2=4$
B.$x^2+2x+1=0$
C.$2x^2 -x -1=0$
D.$2(x+1)^2 -20=0$
C
)A.$(x-1)^2=4$
B.$x^2+2x+1=0$
C.$2x^2 -x -1=0$
D.$2(x+1)^2 -20=0$
答案
C 选项A,D不是一般形式,不能直接用公式法求解;B选项虽是一般形式,但可整理成$(x+1)^2=0$,用直接开平方法计算更方便.
解析
【分析】
要判断哪个方程最适合用公式法求解，首先需要明确一元二次方程不同解法的适用场景：直接开平方法适合左边为完全平方式、右边为非负数的方程；因式分解法适合易分解为两个一次因式乘积等于0的方程；公式法是通用解法，更适合没有特殊简便结构、或不易用前两种方法求解的一般形式的一元二次方程。接下来逐个分析各选项的结构特征，判断其最优解法即可。
【解析】
我们逐一分析各选项的适用解法：
1. 选项A：方程为$(x-1)^2=4$，左边是完全平方式，右边为非负常数，直接开平方法可快速求解，不适合用公式法；
2. 选项B：方程为$x^2+2x+1=0$，可整理为$(x+1)^2=0$，属于完全平方式，用直接开平方法或因式分解法更简便，不适合用公式法；
3. 选项C：方程为$2x^2 -x -1=0$，是一元二次方程的一般形式，且无明显便于直接开平或因式分解的特殊结构，最适合用公式法求解；
4. 选项D：方程为$2(x+1)^2 -20=0$，整理后可得$(x+1)^2=10$，用直接开平方法可快速求解，不适合用公式法。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程解法选择；公式法的适用条件
【点评】
本题主要考查一元二次方程解法的合理选择，解题时需要根据方程的结构特征判断最优解法，既能提升解题效率，也能减少计算失误。
【难度系数】
0.8
要判断哪个方程最适合用公式法求解，首先需要明确一元二次方程不同解法的适用场景：直接开平方法适合左边为完全平方式、右边为非负数的方程；因式分解法适合易分解为两个一次因式乘积等于0的方程；公式法是通用解法，更适合没有特殊简便结构、或不易用前两种方法求解的一般形式的一元二次方程。接下来逐个分析各选项的结构特征，判断其最优解法即可。
【解析】
我们逐一分析各选项的适用解法：
1. 选项A：方程为$(x-1)^2=4$，左边是完全平方式，右边为非负常数，直接开平方法可快速求解，不适合用公式法；
2. 选项B：方程为$x^2+2x+1=0$，可整理为$(x+1)^2=0$，属于完全平方式，用直接开平方法或因式分解法更简便，不适合用公式法；
3. 选项C：方程为$2x^2 -x -1=0$，是一元二次方程的一般形式，且无明显便于直接开平或因式分解的特殊结构，最适合用公式法求解；
4. 选项D：方程为$2(x+1)^2 -20=0$，整理后可得$(x+1)^2=10$，用直接开平方法可快速求解，不适合用公式法。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程解法选择；公式法的适用条件
【点评】
本题主要考查一元二次方程解法的合理选择，解题时需要根据方程的结构特征判断最优解法，既能提升解题效率，也能减少计算失误。
【难度系数】
0.8
2. 若一元二次方程$3x^2 -11x -1=0$的解分别为$m,n$，且$m＞n$，则$m$的值为（
D
）答案
D $\because 3x^2 -11x -1=0,\therefore a=3,b=-11,c=-1,\therefore x= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(-11)\pm \sqrt{(-11)^2 -4×3×(-1)}}{2×3} = \frac{11\pm \sqrt{133}}{6}.\because m＞n,\therefore m=\frac{11+\sqrt{133}}{6}.$
解析
【分析】
本题要求一元二次方程的较大根，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式，确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，需特别注意系数的符号不要出错；其次代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，先计算判别式$b^2-4ac$的值，再得到方程的两个根；最后根据$m＞n$的条件，选择带加号的根（因为$\sqrt{b^2-4ac}$是非负数，加该数得到的根更大）即为m的值。
【解析】
已知一元二次方程为$3x^2 -11x -1=0$，为一般形式，因此二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-11$，常数项$c=-1$。
将a、b、c代入一元二次方程求根公式：
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
先计算判别式：$b^2-4ac=(-11)^2-4×3×(-1)=121+12=133$
代入得：$x=\frac{-(-11)\pm \sqrt{133}}{2×3}=\frac{11\pm \sqrt{133}}{6}$
因为$m＞n$，所以较大的根$m=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程求根公式的掌握，解题的易错点是代入公式时弄错各项系数的符号，只要熟练掌握求根公式的用法，仔细计算即可快速解答。
【难度系数】
0.7
本题要求一元二次方程的较大根，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式，确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，需特别注意系数的符号不要出错；其次代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，先计算判别式$b^2-4ac$的值，再得到方程的两个根；最后根据$m＞n$的条件，选择带加号的根（因为$\sqrt{b^2-4ac}$是非负数，加该数得到的根更大）即为m的值。
【解析】
已知一元二次方程为$3x^2 -11x -1=0$，为一般形式，因此二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-11$，常数项$c=-1$。
将a、b、c代入一元二次方程求根公式：
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
先计算判别式：$b^2-4ac=(-11)^2-4×3×(-1)=121+12=133$
代入得：$x=\frac{-(-11)\pm \sqrt{133}}{2×3}=\frac{11\pm \sqrt{133}}{6}$
因为$m＞n$，所以较大的根$m=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程求根公式的掌握，解题的易错点是代入公式时弄错各项系数的符号，只要熟练掌握求根公式的用法，仔细计算即可快速解答。
【难度系数】
0.7
3. 新趋势·过程性学习 小明在解方程$x^2 -4x=2$时出现了错误,解答过程如下:
解:∵$a=1,b=-4,c=-2$, …………(第一步)
∴$b^2 -4ac=(-4)^2 -4×1×(-2)=24$, …(第二步)
∴$x=\frac{-4±\sqrt{24}}{2}$, ……………………(第三步)
∴$x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$. …………(第四步)
小明解答过程开始出错的步骤是第
解:∵$a=1,b=-4,c=-2$, …………(第一步)
∴$b^2 -4ac=(-4)^2 -4×1×(-2)=24$, …(第二步)
∴$x=\frac{-4±\sqrt{24}}{2}$, ……………………(第三步)
∴$x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$. …………(第四步)
小明解答过程开始出错的步骤是第
三
步,原因是将a,b,c的值代入公式时,-b的符号错误(意思对即可)
.答案
三 将a,b,c的值代入公式时,-b的符号错误(意思对即可)
解析
【分析】
要解决这道题，需先掌握公式法解一元二次方程的完整步骤和求根公式的结构。我们可逐次核对小明的每一步解题过程：首先确认一元二次方程一般形式下a、b、c的取值是否正确，再核对判别式的计算，最后核对求根公式的代入是否准确，就能快速定位出错步骤和原因。
【解析】
公式法解一元二次方程的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，使用前需先将方程化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式。
1. 核对第一步：原方程$x^2-4x=2$移项得$x^2-4x-2=0$，因此$a=1,b=-4,c=-2$，第一步计算正确。
2. 核对第二步：代入判别式$b^2-4ac$得$(-4)^2-4×1×(-2)=16+8=24$，第二步计算正确。
3. 核对第三步：代入求根公式时，分子应为$-b=-(-4)=4$，但小明误写为$-4$，因此第三步出错，原因是代入求根公式时$-b$的符号处理错误。
【答案】
三；将a,b,c的值代入公式时,-b的符号错误
【知识点】
一元二次方程求根公式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程的易错点，解题时要牢记求根公式的结构，尤其注意$-b$的符号，代入a、b、c的取值时要先确认对应符号，避免因符号失误失分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先掌握公式法解一元二次方程的完整步骤和求根公式的结构。我们可逐次核对小明的每一步解题过程：首先确认一元二次方程一般形式下a、b、c的取值是否正确，再核对判别式的计算，最后核对求根公式的代入是否准确，就能快速定位出错步骤和原因。
【解析】
公式法解一元二次方程的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，使用前需先将方程化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式。
1. 核对第一步：原方程$x^2-4x=2$移项得$x^2-4x-2=0$，因此$a=1,b=-4,c=-2$，第一步计算正确。
2. 核对第二步：代入判别式$b^2-4ac$得$(-4)^2-4×1×(-2)=16+8=24$，第二步计算正确。
3. 核对第三步：代入求根公式时，分子应为$-b=-(-4)=4$，但小明误写为$-4$，因此第三步出错，原因是代入求根公式时$-b$的符号处理错误。
【答案】
三；将a,b,c的值代入公式时,-b的符号错误
【知识点】
一元二次方程求根公式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程的易错点，解题时要牢记求根公式的结构，尤其注意$-b$的符号，代入a、b、c的取值时要先确认对应符号，避免因符号失误失分。
【难度系数】
0.8
4. 用公式法解下列方程：
(1) $(x - 1)(x - 2) = 1$；
(2) $-3x^2 + 5x + 2 = 0$。
(1) $(x - 1)(x - 2) = 1$；
(2) $-3x^2 + 5x + 2 = 0$。
答案
解:(1)将方程$(x - 1)(x - 2) = 1$化为一般形式,得$x^2 - 3x + 1 = 0,\therefore a=1,b=-3,c=1$,
$\therefore x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm \sqrt{9-4}}{2×1}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$,
即$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
(2)$-3x^2 + 5x + 2 = 0$,
$\because a=-3,b=5,c=2,\therefore b^2-4ac=5^2-4×(-3)×2=49$,
$\therefore x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5\pm \sqrt{49}}{2×(-3)}=\frac{-5\pm7}{-6}$,
即$x_1=2,x_2=-\frac{1}{3}$.
$\therefore x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm \sqrt{9-4}}{2×1}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$,
即$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
(2)$-3x^2 + 5x + 2 = 0$,
$\because a=-3,b=5,c=2,\therefore b^2-4ac=5^2-4×(-3)×2=49$,
$\therefore x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5\pm \sqrt{49}}{2×(-3)}=\frac{-5\pm7}{-6}$,
即$x_1=2,x_2=-\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的通用解题思路为：①先把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确识别$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项），注意不要弄错符号；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，确认$\Delta≥0$后再继续计算，若$\Delta＜0$则方程无实数根；③将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，化简得到最终的根。第(1)小题左边是多项式乘积，需要先展开、移项整理为一般式再计算；第(2)小题已经是一般式，可直接确定$a$、$b$、$c$的值代入计算。
【解析】
(1) 先将方程整理为一般形式：
展开左边得$(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$，
原方程可化为$x^2-3x+2=1$，移项得$x^2-3x+1=0$，
$\therefore a=1,b=-3,c=1$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×1×1=5＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2×1}$，
即$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
(2) 方程$-3x^2 + 5x + 2 = 0$已是一般形式：
$\therefore a=-3,b=5,c=2$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=5^2-4×(-3)×2=49＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2×(-3)}=\frac{-5\pm7}{-6}$，
即$x_1=2,x_2=-\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
(2) $x_1=2,x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 一元二次方程的一般形式
3. 根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，重点考察对公式法解题步骤的掌握程度，解题时要注意先将方程化为一般形式，确定$a$、$b$、$c$时需留意正负号，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程的通用解题思路为：①先把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确识别$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项），注意不要弄错符号；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，确认$\Delta≥0$后再继续计算，若$\Delta＜0$则方程无实数根；③将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，化简得到最终的根。第(1)小题左边是多项式乘积，需要先展开、移项整理为一般式再计算；第(2)小题已经是一般式，可直接确定$a$、$b$、$c$的值代入计算。
【解析】
(1) 先将方程整理为一般形式：
展开左边得$(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$，
原方程可化为$x^2-3x+2=1$，移项得$x^2-3x+1=0$，
$\therefore a=1,b=-3,c=1$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×1×1=5＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2×1}$，
即$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
(2) 方程$-3x^2 + 5x + 2 = 0$已是一般形式：
$\therefore a=-3,b=5,c=2$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=5^2-4×(-3)×2=49＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2×(-3)}=\frac{-5\pm7}{-6}$，
即$x_1=2,x_2=-\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
(2) $x_1=2,x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 一元二次方程的一般形式
3. 根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，重点考察对公式法解题步骤的掌握程度，解题时要注意先将方程化为一般形式，确定$a$、$b$、$c$时需留意正负号，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8
5. 选用适当的方法解下列方程：
(1)$x^2 + 2x - 4 = 0$；
(2)$2x^2 - 3x - 1 = 0$；
(3)$9x^2 - (x - 1)^2 = 0$；
(4)$(3x - 4)^2 = 9x - 12$。
(1)$x^2 + 2x - 4 = 0$；
(2)$2x^2 - 3x - 1 = 0$；
(3)$9x^2 - (x - 1)^2 = 0$；
(4)$(3x - 4)^2 = 9x - 12$。
答案
解:(1)移项,得$x^2 + 2x = 4$,
配方,得$x^2 + 2x + 1 = 4 + 1$,即$(x+1)^2=5$,
直接开平方,得$x+1=\pm\sqrt{5},\therefore x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$.
(2)$a=2,b=-3,c=-1$,
$b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-1)=17＞0$,
代入求根公式,得$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$,
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$.
(3)分解因式,得$[3x+(x-1)][3x-(x-1)]=0$,
即$(4x-1)(2x+1)=0$,
$\therefore 4x-1=0$或$2x+1=0$,解得$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{2}$.
(4)原方程可化为$(3x-4)^2=3(3x-4)$,
即$(3x-4)^2-3(3x-4)=0$,
分解因式,得$(3x-4)[(3x-4)-3]=0$,
即$(3x-4)(3x-7)=0$,
$\therefore 3x-4=0$或$3x-7=0$,解得$x_1=\frac{4}{3},x_2=\frac{7}{3}$.
配方,得$x^2 + 2x + 1 = 4 + 1$,即$(x+1)^2=5$,
直接开平方,得$x+1=\pm\sqrt{5},\therefore x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$.
(2)$a=2,b=-3,c=-1$,
$b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-1)=17＞0$,
代入求根公式,得$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$,
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$.
(3)分解因式,得$[3x+(x-1)][3x-(x-1)]=0$,
即$(4x-1)(2x+1)=0$,
$\therefore 4x-1=0$或$2x+1=0$,解得$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{2}$.
(4)原方程可化为$(3x-4)^2=3(3x-4)$,
即$(3x-4)^2-3(3x-4)=0$,
分解因式,得$(3x-4)[(3x-4)-3]=0$,
即$(3x-4)(3x-7)=0$,
$\therefore 3x-4=0$或$3x-7=0$,解得$x_1=\frac{4}{3},x_2=\frac{7}{3}$.
解析
【分析】
解一元二次方程需先观察方程结构，灵活选择最简便的解法：1. 方程(1)二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法，先移项将常数项移到等号右侧，再配方转化为完全平方式后开方求解；2. 方程(2)是一元二次方程的一般形式，各项系数无明显因式分解特征，适合用公式法，先确定a、b、c的取值，计算判别式判断根的情况后，代入求根公式求解；3. 方程(3)左侧符合平方差公式结构，适合用因式分解法，利用平方差公式分解为两个一次因式乘积，令每个因式为0即可求解；4. 方程(4)左右两侧含有公因式$(3x-4)$，移项后提取公因式因式分解求解更简便，注意不能直接两边除以公因式，避免漏根。
【解析】
(1)移项,得$x^2 + 2x = 4$,
配方,得$x^2 + 2x + 1 = 4 + 1$,即$(x+1)^2=5$,
直接开平方,得$x+1=\pm\sqrt{5},\therefore x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$.
(2)$a=2,b=-3,c=-1$,
$b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-1)=17＞0$,
代入求根公式,得$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$,
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$.
(3)分解因式,得$[3x+(x-1)][3x-(x-1)]=0$,
即$(4x-1)(2x+1)=0$,
$\therefore 4x-1=0$或$2x+1=0$,解得$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{2}$.
(4)原方程可化为$(3x-4)^2=3(3x-4)$,
即$(3x-4)^2-3(3x-4)=0$,
分解因式,得$(3x-4)[(3x-4)-3]=0$,
即$(3x-4)(3x-7)=0$,
$\therefore 3x-4=0$或$3x-7=0$,解得$x_1=\frac{4}{3},x_2=\frac{7}{3}$.
【答案】
(1)$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$；
(2)$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$；
(3)$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{2}$；
(4)$x_1=\frac{4}{3},x_2=\frac{7}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时优先根据方程特征选择简便解法，可提升解题效率、减少计算失误，使用因式分解法时注意不要随意约去含未知数的公因式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程需先观察方程结构，灵活选择最简便的解法：1. 方程(1)二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法，先移项将常数项移到等号右侧，再配方转化为完全平方式后开方求解；2. 方程(2)是一元二次方程的一般形式，各项系数无明显因式分解特征，适合用公式法，先确定a、b、c的取值，计算判别式判断根的情况后，代入求根公式求解；3. 方程(3)左侧符合平方差公式结构，适合用因式分解法，利用平方差公式分解为两个一次因式乘积，令每个因式为0即可求解；4. 方程(4)左右两侧含有公因式$(3x-4)$，移项后提取公因式因式分解求解更简便，注意不能直接两边除以公因式，避免漏根。
【解析】
(1)移项,得$x^2 + 2x = 4$,
配方,得$x^2 + 2x + 1 = 4 + 1$,即$(x+1)^2=5$,
直接开平方,得$x+1=\pm\sqrt{5},\therefore x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$.
(2)$a=2,b=-3,c=-1$,
$b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-1)=17＞0$,
代入求根公式,得$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$,
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$.
(3)分解因式,得$[3x+(x-1)][3x-(x-1)]=0$,
即$(4x-1)(2x+1)=0$,
$\therefore 4x-1=0$或$2x+1=0$,解得$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{2}$.
(4)原方程可化为$(3x-4)^2=3(3x-4)$,
即$(3x-4)^2-3(3x-4)=0$,
分解因式,得$(3x-4)[(3x-4)-3]=0$,
即$(3x-4)(3x-7)=0$,
$\therefore 3x-4=0$或$3x-7=0$,解得$x_1=\frac{4}{3},x_2=\frac{7}{3}$.
【答案】
(1)$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$；
(2)$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$；
(3)$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{2}$；
(4)$x_1=\frac{4}{3},x_2=\frac{7}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时优先根据方程特征选择简便解法，可提升解题效率、减少计算失误，使用因式分解法时注意不要随意约去含未知数的公因式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
6. [2026庆阳镇原期中]对于实数a,b,定义新运算: $a☆b = a^2 - 3ab + b$.如:$(-1)☆2 = (-1)^2 - 3×(-1)×2 + 2 = 9$.
(1)若$-2☆x=7$,求$x$的值;
(2)若$x☆(x+2)=5$,求$x$的值.
(1)若$-2☆x=7$,求$x$的值;
(2)若$x☆(x+2)=5$,求$x$的值.
答案
解:(1)根据题意,得$(-2)☆x=(-2)^2-3×(-2)x+x=7$,
整理,得$7x=7-4$,解得$x=\frac{3}{7}$.
(2)根据题意,得$x☆(x+2)=x^2-3x(x+2)+x+2=5$,
整理,得$2x^2+5x+3=0,\therefore b^2-4ac=5^2-4×2×3=1$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{-5\pm1}{4}$,
即$x_1=-1,x_2=-\frac{3}{2}$.
整理,得$7x=7-4$,解得$x=\frac{3}{7}$.
(2)根据题意,得$x☆(x+2)=x^2-3x(x+2)+x+2=5$,
整理,得$2x^2+5x+3=0,\therefore b^2-4ac=5^2-4×2×3=1$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{-5\pm1}{4}$,
即$x_1=-1,x_2=-\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题核心是准确理解给出的新运算规则：$a☆b = a^2 - 3ab + b$，即运算结果为第一个数的平方减去3倍两数乘积再加第二个数。解题时先将运算符号前后的量对应替换为$a$和$b$，转化为熟悉的整式方程再求解。第(1)问代入后得到一元一次方程，移项合并同类项即可求解；第(2)问代入后得到一元二次方程，整理为一般形式后用公式法求解即可。
【解析】
(1) 根据新运算定义，将$a=-2$，$b=x$代入运算公式，得：
$(-2)☆x=(-2)^2-3×(-2)x+x=7$
整理得：$4 + 7x = 7$，即$7x=3$
解得：$x=\frac{3}{7}$
(2) 根据新运算定义，将$a=x$，$b=x+2$代入运算公式，得：
$x☆(x+2)=x^2-3x(x+2)+x+2=5$
展开并整理为一元二次方程一般形式：$2x^2+5x+3=0$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=5^2-4×2×3=1＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{-5\pm1}{4}$
即$x_1=\frac{-5+1}{4}=-1$，$x_2=\frac{-5-1}{4}=-\frac{3}{2}$
【答案】
(1) $x=\frac{3}{7}$；(2) $x_1=-1$，$x_2=-\frac{3}{2}$
【知识点】
新定义运算、解一元一次方程、公式法解一元二次方程
【点评】
本题是新定义与解方程结合的基础题型，关键是正确对应新运算中$a$、$b$的取值，准确代入列出方程，计算时注意符号处理，解一元二次方程时要先确认方程的一般形式，再正确套用求根公式，避免粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义运算类题目，解题核心是准确理解给出的新运算规则：$a☆b = a^2 - 3ab + b$，即运算结果为第一个数的平方减去3倍两数乘积再加第二个数。解题时先将运算符号前后的量对应替换为$a$和$b$，转化为熟悉的整式方程再求解。第(1)问代入后得到一元一次方程，移项合并同类项即可求解；第(2)问代入后得到一元二次方程，整理为一般形式后用公式法求解即可。
【解析】
(1) 根据新运算定义，将$a=-2$，$b=x$代入运算公式，得：
$(-2)☆x=(-2)^2-3×(-2)x+x=7$
整理得：$4 + 7x = 7$，即$7x=3$
解得：$x=\frac{3}{7}$
(2) 根据新运算定义，将$a=x$，$b=x+2$代入运算公式，得：
$x☆(x+2)=x^2-3x(x+2)+x+2=5$
展开并整理为一元二次方程一般形式：$2x^2+5x+3=0$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=5^2-4×2×3=1＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{-5\pm1}{4}$
即$x_1=\frac{-5+1}{4}=-1$，$x_2=\frac{-5-1}{4}=-\frac{3}{2}$
【答案】
(1) $x=\frac{3}{7}$；(2) $x_1=-1$，$x_2=-\frac{3}{2}$
【知识点】
新定义运算、解一元一次方程、公式法解一元二次方程
【点评】
本题是新定义与解方程结合的基础题型，关键是正确对应新运算中$a$、$b$的取值，准确代入列出方程，计算时注意符号处理，解一元二次方程时要先确认方程的一般形式，再正确套用求根公式，避免粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
