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例题:求代数式 $y^2 + 6y + 12$ 的最小值.
解:$y^2 +6y +12 = y^2 +6y +9 +3 = (y+3)^2 +3$,
因为$(y+3)^2 ≥ 0$,所以$(y+3)^2 +3 ≥ 3$,
所以代数式 $y^2 +6y +12$ 的最小值为3.
(1)比较 $x^2 +1$ 与 $2x$ 的大小.
①尝试(用“＜”“=”或“＞”填空):
当$x=1$时,$x^2 +1$ ______ $2x$;
当$x=0$时,$x^2 +1$ ______ $2x$;
当$x=-2$时,$x^2 +1$ ______ $2x$.
②归纳:若$x$取任意实数,$x^2 +1$与$2x$有怎样的大小关系?试说明理由.
(2)求代数式 $\frac{1}{2}m^2 +2m +3$ 的最小值.
(3)求证:$2x^2 -4x +5$ 的值不小于3.
(4)拓展:已知实数$x,y$满足 $x^2 +3x +y -3 =0$,求$y -x$的最大值.
(5)应用:某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个矩形花园$ABCD$,花园一边靠墙,另三边用总长为20 m的栅栏围成.如图,设$AB = y$ m,请问:当$y$取何值时,花园的面积最大?最大面积是多少?
解:$y^2 +6y +12 = y^2 +6y +9 +3 = (y+3)^2 +3$,
因为$(y+3)^2 ≥ 0$,所以$(y+3)^2 +3 ≥ 3$,
所以代数式 $y^2 +6y +12$ 的最小值为3.
(1)比较 $x^2 +1$ 与 $2x$ 的大小.
①尝试(用“＜”“=”或“＞”填空):
当$x=1$时,$x^2 +1$ ______ $2x$;
当$x=0$时,$x^2 +1$ ______ $2x$;
当$x=-2$时,$x^2 +1$ ______ $2x$.
②归纳:若$x$取任意实数,$x^2 +1$与$2x$有怎样的大小关系?试说明理由.
(2)求代数式 $\frac{1}{2}m^2 +2m +3$ 的最小值.
(3)求证:$2x^2 -4x +5$ 的值不小于3.
(4)拓展:已知实数$x,y$满足 $x^2 +3x +y -3 =0$,求$y -x$的最大值.
(5)应用:某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个矩形花园$ABCD$,花园一边靠墙,另三边用总长为20 m的栅栏围成.如图,设$AB = y$ m,请问:当$y$取何值时,花园的面积最大?最大面积是多少?
答案
(1)①$=$ ; $＞$ ; $＞$
②$x^2 +1 \ge 2x$. 理由如下:
$\because x^2 +1 -2x=(x-1)^2 \ge 0,\therefore x^2 +1 \ge 2x$.
(2)$\frac{1}{2}m^2 +2m +3=\frac{1}{2}(m^2 +4m +4 -4)+3=\frac{1}{2}(m+2)^2 +1$,
$\because \frac{1}{2}(m+2)^2 \ge 0,\therefore \frac{1}{2}(m+2)^2 +1 \ge 1$,
$\therefore$ 代数式$\frac{1}{2}m^2 +2m +3$的最小值为1.
(3)证明:$2x^2 -4x +5=2(x^2 -2x +1 -1)+5=2(x-1)^2 +3$,
$\because 2(x-1)^2 \ge 0,\therefore 2(x-1)^2 +3 \ge 3$,
$\therefore 2x^2 -4x +5$的值不小于3.
(4)由$x^2 +3x +y -3=0$,得$y=-x^2 -3x +3$,
$\therefore y-x=-x^2 -3x +3 -x=-x^2 -4x +3=-(x^2 +4x +4 -4)+3=-(x+2)^2 +7$,
$\because -(x+2)^2 \le 0,\therefore -(x+2)^2 +7 \le7$,
$\therefore y-x$的最大值为7.
(5)由题意,得花园的面积是$y(20-2y)=-2y^2 +20y$.
$-2y^2 +20y=-2(y^2 -10y +25 -25)=-2(y-5)^2 +50$,
$\because -2(y-5)^2 \le 0,\therefore -2(y-5)^2 +50 \le 50$,
$\therefore$ 当$y=5$时,$-2y^2 +20y$有最大值,最大值为50,
此时$20-2y=10＜15$,符合题意,
$\therefore$ 当$y=5$时,花园的面积最大,最大面积是$50\ \mathrm{m}^2$.
②$x^2 +1 \ge 2x$. 理由如下:
$\because x^2 +1 -2x=(x-1)^2 \ge 0,\therefore x^2 +1 \ge 2x$.
(2)$\frac{1}{2}m^2 +2m +3=\frac{1}{2}(m^2 +4m +4 -4)+3=\frac{1}{2}(m+2)^2 +1$,
$\because \frac{1}{2}(m+2)^2 \ge 0,\therefore \frac{1}{2}(m+2)^2 +1 \ge 1$,
$\therefore$ 代数式$\frac{1}{2}m^2 +2m +3$的最小值为1.
(3)证明:$2x^2 -4x +5=2(x^2 -2x +1 -1)+5=2(x-1)^2 +3$,
$\because 2(x-1)^2 \ge 0,\therefore 2(x-1)^2 +3 \ge 3$,
$\therefore 2x^2 -4x +5$的值不小于3.
(4)由$x^2 +3x +y -3=0$,得$y=-x^2 -3x +3$,
$\therefore y-x=-x^2 -3x +3 -x=-x^2 -4x +3=-(x^2 +4x +4 -4)+3=-(x+2)^2 +7$,
$\because -(x+2)^2 \le 0,\therefore -(x+2)^2 +7 \le7$,
$\therefore y-x$的最大值为7.
(5)由题意,得花园的面积是$y(20-2y)=-2y^2 +20y$.
$-2y^2 +20y=-2(y^2 -10y +25 -25)=-2(y-5)^2 +50$,
$\because -2(y-5)^2 \le 0,\therefore -2(y-5)^2 +50 \le 50$,
$\therefore$ 当$y=5$时,$-2y^2 +20y$有最大值,最大值为50,
此时$20-2y=10＜15$,符合题意,
$\therefore$ 当$y=5$时,花园的面积最大,最大面积是$50\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
本题所有问题均围绕配方法结合完全平方式的非负性求解：1.比较两个代数式大小采用作差法，将差配方后根据完全平方式≥0的性质判断大小关系；2.求代数式最值时，先通过配方将代数式转化为“常数±完全平方式”的结构，再结合完全平方式的非负性确定最值；3.实际应用类问题先根据题意列出对应代数式，再配方求最值，最后需验证结果是否符合实际限制条件（如本题的墙长限制）。
【解析】
(1)①分别代入x的取值计算：
当x=1时，$x^2+1=1+1=2$，$2x=2$，故$x^2+1=2x$；
当x=0时，$x^2+1=0+1=1$，$2x=0$，故$x^2+1＞2x$；
当x=-2时，$x^2+1=4+1=5$，$2x=-4$，故$x^2+1＞2x$。
②作差配方推导大小关系：
$x^2+1-2x=(x-1)^2$，$\because (x-1)^2\ge0$，$\therefore x^2+1-2x\ge0$，即$x^2+1\ge2x$。
(2)对代数式配方求最值：
$\frac{1}{2}m^2 +2m +3=\frac{1}{2}(m^2 +4m +4 -4)+3=\frac{1}{2}(m+2)^2 +1$
$\because \frac{1}{2}(m+2)^2 \ge 0$，$\therefore \frac{1}{2}(m+2)^2 +1 \ge 1$，即可得到代数式的最小值。
(3)对代数式配方证明结论：
$2x^2 -4x +5=2(x^2 -2x +1 -1)+5=2(x-1)^2 +3$
$\because 2(x-1)^2 \ge 0$，$\therefore 2(x-1)^2 +3 \ge 3$，即可证明原式的值不小于3。
(4)先用x表示y，再代入$y-x$配方求最值：
由$x^2 +3x +y -3 =0$得$y=-x^2 -3x +3$，
则$y-x=-x^2 -3x +3 -x=-x^2 -4x +3=-(x^2 +4x +4 -4)+3=-(x+2)^2 +7$
$\because -(x+2)^2 \le 0$，$\therefore -(x+2)^2 +7 \le7$，即可得到$y-x$的最大值。
(5)先列面积表达式，再配方求最值并验证实际条件：
已知$AB=y\ \mathrm{m}$，则$BC=(20-2y)\ \mathrm{m}$，花园面积$S=y(20-2y)=-2y^2 +20y$，
配方得：$S=-2(y^2 -10y +25 -25)=-2(y-5)^2 +50$，
$\because -2(y-5)^2 \le 0$，$\therefore S=-2(y-5)^2 +50 \le 50$，当$y=5$时S取最大值50，
此时$BC=20-2×5=10\ \mathrm{m}＜15\ \mathrm{m}$，符合墙长限制。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{=}$；$\boldsymbol{＞}$；$\boldsymbol{＞}$
②$\boldsymbol{x^2 +1\ge 2x}$，理由见解析
(2)最小值为$\boldsymbol{1}$
(3)证明见解析
(4)最大值为$\boldsymbol{7}$
(5)当$\boldsymbol{y=5\ \mathrm{m}}$时花园面积最大，最大面积为$\boldsymbol{50\ \mathrm{m^2}}$
【知识点】
配方法；完全平方式的非负性；二次函数实际应用
【点评】
本题从代数式大小比较、代数式最值求解到实际应用逐层递进，核心考查配方法的灵活运用和对完全平方式非负性的理解，实际问题部分需要注意验证结果是否符合题目限制条件，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
本题所有问题均围绕配方法结合完全平方式的非负性求解：1.比较两个代数式大小采用作差法，将差配方后根据完全平方式≥0的性质判断大小关系；2.求代数式最值时，先通过配方将代数式转化为“常数±完全平方式”的结构，再结合完全平方式的非负性确定最值；3.实际应用类问题先根据题意列出对应代数式，再配方求最值，最后需验证结果是否符合实际限制条件（如本题的墙长限制）。
【解析】
(1)①分别代入x的取值计算：
当x=1时，$x^2+1=1+1=2$，$2x=2$，故$x^2+1=2x$；
当x=0时，$x^2+1=0+1=1$，$2x=0$，故$x^2+1＞2x$；
当x=-2时，$x^2+1=4+1=5$，$2x=-4$，故$x^2+1＞2x$。
②作差配方推导大小关系：
$x^2+1-2x=(x-1)^2$，$\because (x-1)^2\ge0$，$\therefore x^2+1-2x\ge0$，即$x^2+1\ge2x$。
(2)对代数式配方求最值：
$\frac{1}{2}m^2 +2m +3=\frac{1}{2}(m^2 +4m +4 -4)+3=\frac{1}{2}(m+2)^2 +1$
$\because \frac{1}{2}(m+2)^2 \ge 0$，$\therefore \frac{1}{2}(m+2)^2 +1 \ge 1$，即可得到代数式的最小值。
(3)对代数式配方证明结论：
$2x^2 -4x +5=2(x^2 -2x +1 -1)+5=2(x-1)^2 +3$
$\because 2(x-1)^2 \ge 0$，$\therefore 2(x-1)^2 +3 \ge 3$，即可证明原式的值不小于3。
(4)先用x表示y，再代入$y-x$配方求最值：
由$x^2 +3x +y -3 =0$得$y=-x^2 -3x +3$，
则$y-x=-x^2 -3x +3 -x=-x^2 -4x +3=-(x^2 +4x +4 -4)+3=-(x+2)^2 +7$
$\because -(x+2)^2 \le 0$，$\therefore -(x+2)^2 +7 \le7$，即可得到$y-x$的最大值。
(5)先列面积表达式，再配方求最值并验证实际条件：
已知$AB=y\ \mathrm{m}$，则$BC=(20-2y)\ \mathrm{m}$，花园面积$S=y(20-2y)=-2y^2 +20y$，
配方得：$S=-2(y^2 -10y +25 -25)=-2(y-5)^2 +50$，
$\because -2(y-5)^2 \le 0$，$\therefore S=-2(y-5)^2 +50 \le 50$，当$y=5$时S取最大值50，
此时$BC=20-2×5=10\ \mathrm{m}＜15\ \mathrm{m}$，符合墙长限制。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{=}$；$\boldsymbol{＞}$；$\boldsymbol{＞}$
②$\boldsymbol{x^2 +1\ge 2x}$，理由见解析
(2)最小值为$\boldsymbol{1}$
(3)证明见解析
(4)最大值为$\boldsymbol{7}$
(5)当$\boldsymbol{y=5\ \mathrm{m}}$时花园面积最大，最大面积为$\boldsymbol{50\ \mathrm{m^2}}$
【知识点】
配方法；完全平方式的非负性；二次函数实际应用
【点评】
本题从代数式大小比较、代数式最值求解到实际应用逐层递进，核心考查配方法的灵活运用和对完全平方式非负性的理解，实际问题部分需要注意验证结果是否符合题目限制条件，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
