5. [2025汉中模拟]对于任意实数$a,b$,定义新运算:$a※b=ab^2 -2b$.如:$3※2=3×2^2 -2×2=8$.若$1※m=8$,则$m$的值为 ()

A.-4
B.4或-2
C.5
D.-3或2

根据题意得,$1※m=1× m^2 -2m=8$,在$m^2 -2m=8$的两边都加上1,得$m^2 -2m +1=9$,即$(m-1)^2=9$,直接开平方,得$m-1=\pm3$,解得$m_1=-2,m_2=4$.

【分析】
解题时首先要准确理解题干给出的新运算规则，将$1※m$按照规则转化为含$m$的常规代数式，列出关于$m$的一元二次方程，再运用配方法求解方程即可，注意开平方运算时需考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
根据新运算定义$a※b=ab^2-2b$，代入$a=1$、$b=m$可得：
$1※m = 1× m^2 - 2m = 8$
整理得：$m^2 - 2m = 8$
对上述方程配方，两边同时加1得：
$m^2 - 2m + 1 = 8 + 1$
即$(m-1)^2 = 9$
直接开平方得：$m-1 = \pm 3$
当$m-1=3$时，解得$m=4$；当$m-1=-3$时，解得$m=-2$。
综上，$m$的值为4或-2。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、配方法解一元二次方程
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的解法，解题关键是正确转化新运算为常规方程，求解时注意开平方不要漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

6. 新趋势·过程性学习 在解方程$2x^2 +4x +1=0$时，对方程进行配方，文本框①中是甲做的，文本框②中是乙做的，则下列说法正确的是（）
①
$2x^2 +4x = -1$，
$4x^2 +8x = -2$，
$4x^2 +8x +4 =2$，
$(2x+2)^2 =2$。
②
$2x^2 +4x = -1$，
$x^2 +2x = -\dfrac{1}{2}$，
$$$^2 +2x +1 = -\dfrac{1}{2} +1$，
$(x+1)^2 = \dfrac{1}{2}$。

A.①②都错
B.①对，②错
C.①错，②对
D.①②都对

D

【分析】
要判断甲乙两人的配方是否正确，需结合配方法的规则和等式的基本性质，逐步骤验证两人的变形是否合理：配方法的核心是将方程左侧构造为完全平方式，变形过程需保证等式两边始终相等。甲的思路是先调整二次项系数为完全平方数再凑完全平方，乙的思路是先将二次项系数化为1再凑完全平方，只要每一步变形符合等式性质、完全平方构造正确即为正确。
【解析】
首先验证甲的配方过程：
1. 移项：将$2x^2+4x+1=0$的常数项移到等号右侧，得$2x^2+4x=-1$，变形正确；
2. 等式两边同时乘2，得$4x^2+8x=-2$，符合等式的基本性质，变形正确；
3. 等式两边同时加4，左侧$4x^2+8x+4=(2x+2)^2$，右侧$-2+4=2$，即$(2x+2)^2=2$，完全平方构造正确，甲的做法正确。
再验证乙的配方过程：
1. 移项同甲，得$2x^2+4x=-1$，变形正确；
2. 等式两边同时除以2，将二次项系数化为1，得$x^2+2x=-\frac{1}{2}$，符合等式的基本性质，变形正确；
3. 等式两边同时加1，左侧$x^2+2x+1=(x+1)^2$，右侧$-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$，即$(x+1)^2=\frac{1}{2}$，完全平方构造正确，乙的做法也正确。
因此①②的做法都正确。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的灵活应用，配方法解一元二次方程时不需要拘泥于固定步骤，既可以先将二次项系数化为1再配方，也可以根据系数特点调整后直接凑完全平方，只要变形符合等式性质、完全平方式构造正确即可。
【难度系数】
0.8

变式 用配方法将方程$3x^2 -6x +2=0$变形为$(x - m)^2 =n$的形式，则$m$，$n$的值分别为。

将方程$3x^2 -6x +2=0$的两边都除以3,得$x^2 -2x +\frac{2}{3}=0$,移项,得$x^2 -2x=-\frac{2}{3}$,配方,得$x^2 -2x +1=-\frac{2}{3}+1$,整理得$(x-1)^2=\frac{1}{3}$,故$m=1,n=\frac{1}{3}$.

【分析】
要将给定的一元二次方程变形为$(x - m)^2 =n$的形式，需按照配方法的标准步骤操作：首先将二次项系数化为1，再将常数项移到等号右侧，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方形式，最后对比目标形式即可得到$m$、$n$的值。
【解析】
首先对原方程$3x^2 -6x +2=0$两边同时除以3，将二次项系数化为1，得：
$x^2 -2x +\frac{2}{3}=0$
移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 -2x=-\frac{2}{3}$
配方，等号两边同时加上一次项系数-2一半的平方，即$1^2=1$，得：
$x^2 -2x +1=-\frac{2}{3}+1$
将左侧整理为完全平方形式，右侧合并同类项，得：
$(x-1)^2=\frac{1}{3}$
对比$(x - m)^2 =n$的形式，可得$m=1$，$n=\frac{1}{3}$。
【答案】
$m=1$，$n=\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 配方法
2. 完全平方公式
3. 等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意配方时需在等式两边同时加相同的数，避免只给左侧加常数项导致等式不成立的错误。
【难度系数】
0.8

7. [2025新余期末]如图,数轴上点A表示的数为$3x+1$,点B表示的数为$x^2 +2x$.若$AB=5$,点A在数轴的负半轴上,求x的值.

根据题意,得$(x^2 +2x)-(3x +1)=5$,
整理,得$x^2 -x -6=0$,配方,得$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{25}{4}$,
则$x-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$或$x-\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$,解得$x_1=3,x_2=-2$.
当$x=3$时,$3x+1=10＞0$,不符合题意;
当$x=-2$时,$3x+1=-5＜0$,符合题意.
故$x$的值为$-2$.

【分析】
解题首先利用数轴的基本性质：数轴上右侧点表示的数大于左侧点表示的数，两点间的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，据此可列关于x的方程；接下来用配方法求解得到的一元二次方程；最后结合“点A在数轴负半轴”的限制条件，即点A表示的数小于0，对求出的根进行验证，舍去不符合条件的解即可得到x的取值。
【解析】
解：
∵点B在点A右侧，且AB=5，
∴$(x^2 +2x)-(3x +1)=5$
整理得：$x^2 -x -6=0$
移项得$x^2 -x =6$，配方得：
$x^2 -x +\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$，即$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{25}{4}$
开方得$x-\frac{1}{2}=\pm\frac{5}{2}$，
解得$x_1=3$，$x_2=-2$。
根据点A在负半轴的条件检验：
当$x=3$时，$3x+1=10＞0$，不符合题意，舍去；
当$x=-2$时，$3x+1=-5＜0$，符合题意。
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
数轴两点距离计算，配方法解一元二次方程，方程根的检验
【点评】
本题结合数轴特征考查一元二次方程的解法，易错点是求解方程后容易忽略题目给出的点A在负半轴的限制条件，没有舍去不符合的根，解题时要注意结合题干隐含条件对结果进行验证。
【难度系数】
0.6

8. 已知代数式 $A = 2x^2 + 5x - 3$，$B = x^2 + x - 8$。
(1) 当 $x$ 为何值时，代数式 $A$ 比 $B$ 的值大2？
(2) 求证：对于任意实数 $x$ 的值，代数式 $A - B$ 的值恒为正数。

(1)由题意,得$A-B=(2x^2 +5x -3)-(x^2 +x -8)=2$,
去括号,得$2x^2 +5x -3 -x^2 -x +8=2$,
整理得,$x^2 +4x +3=0$,配方,得$(x+2)^2=1$,
则$x+2=1$或$x+2=-1$,解得$x_1=-1,x_2=-3$,
$\therefore$ 当$x=-1$或$-3$时,代数式$A$比$B$的值大2.
(2)证明:$A-B=(2x^2 +5x -3)-(x^2 +x -8)=2x^2 +5x -3 -x^2 -x +8=x^2 +4x +5=(x+2)^2 +1$.
$\because (x+2)^2 \ge 0,\therefore (x+2)^2 +1 \ge 1＞0$,
$\therefore$ 对于任意实数$x$的值,代数式$A-B$的值恒为正数.

【分析】
(1) 首先根据“A比B的值大2”梳理数量关系，可得$A-B=2$，将已知的A、B代数式代入该等式，通过去括号、合并同类项整理为一元二次方程，再用配方法求解方程即可得到x的取值；
(2) 要证明代数式$A-B$恒为正数，先计算$A-B$的化简结果，再对所得二次三项式进行配方，结合完全平方的非负性，即可证明配方后的结果恒大于0。
【解析】
(1) 由题意，得$A-B=(2x^2 +5x -3)-(x^2 +x -8)=2$，
去括号，得$2x^2 +5x -3 -x^2 -x +8=2$，
整理得，$x^2 +4x +3=0$，配方，得$(x+2)^2=1$，
则$x+2=1$或$x+2=-1$，解得$x_1=-1,x_2=-3$；
(2) 证明：$A-B=(2x^2 +5x -3)-(x^2 +x -8)=2x^2 +5x -3 -x^2 -x +8=x^2 +4x +5=(x+2)^2 +1$，
$\because (x+2)^2 \ge 0$，$\therefore (x+2)^2 +1 \ge 1＞0$，
$\therefore$ 对于任意实数$x$的值，代数式$A-B$的值恒为正数。
【答案】
(1) $x=-1$或$x=-3$；
(2) 证明成立。
【知识点】
配方法解一元二次方程，代数式化简，平方的非负性
【点评】
本题考查代数式运算与配方法的综合应用，既需要根据数量关系列方程求解，又需要利用配方结合非负性完成证明，核心是熟练掌握配方法的操作步骤，是典型的基础代数应用类题目。
【难度系数】
0.8

9. 》运算能力【材料阅读】
例1 解方程：$x^2 -4x +4 =0$.
解：$x^2 -4x +4 =0$，则$(x-2)^2 =0$，解得$x_1 =x_2 =2$.
例2 解方程：$x^2 -2x -3 =0$.
解：将方程$x^2 -2x -3 =0$变形为$x^2 -2x +1 -4 =0$，则$(x-1)^2 =4$，
直接开平方，得$x -1 = ±2$，
解得$x_1 =3$，$x_2 = -1$.
例3 已知$x^2 -2x + y^2 +4y +5 =0$，求$x,y$的值.
解：将$x^2 -2x + y^2 +4y +5 =0$变形为$x^2 -2x +1 + y^2 +4y +4 =0$，
则$(x-1)^2 + (y+2)^2 =0$，
所以$(x-1)^2 =0$，$(y+2)^2 =0$，
解得$x=1$，$y=-2$.
【问题解决】
(1)若$a^2 +4a +4 =0$，则$a$的值为；
(2)若$a^2 -2a -8 =0$，求$a$的值；
【拓展应用】
(3)若$x^2 -4x + y^2 +6y +13 =0$，求$(x+y)^{-2027}$的值；
(4)若$a,b,c$表示$△ ABC$的三边长，且$a^2 +b^2 +c^2 -ac -ab -bc =0$，判断$△ ABC$的形状，并说明理由.

(1)$-2$
$\because a^2 +4a +4=0,\therefore (a+2)^2=0,\therefore a+2=0,\therefore a=-2$.
(2)将方程$a^2 -2a -8=0$变形为$a^2 -2a +1 -9=0$,
则$(a-1)^2=9$,直接开平方,得$a-1=\pm3$,
解得$a_1=4,a_2=-2$.
(3)将$x^2 -4x + y^2 +6y +13=0$变形为$x^2 -4x +4 + y^2 +6y +9=0$,则$(x-2)^2 + (y+3)^2=0$,
$\therefore x-2=0,y+3=0$,解得$x=2,y=-3$,
$\therefore (x+y)^{-2027}=(2-3)^{-2027}=-1$.
(4)$△ ABC$是等边三角形.理由如下:
$\because a^2 +b^2 +c^2 -ac -ab -bc=0$,
$\therefore 2a^2 +2b^2 +2c^2 -2ac -2ab -2bc=0$,
$\therefore (a^2 -2ac +c^2)+(b^2 -2bc +c^2)+(a^2 -2ab +b^2)=0$,
$\therefore (a-c)^2 + (b-c)^2 + (a-b)^2=0$,
$\therefore a-c=0,b-c=0,a-b=0$,
$\therefore a=b=c$,$\therefore △ ABC$是等边三角形.

【分析】
本题核心解题方法为配方法，思路是将代数式凑成完全平方的形式，结合平方的非负性或直接开平方求解。各小问思考路径：(1)观察式子直接套用完全平方公式因式分解即可求解；(2)用配方法解一元二次方程，将含a的二次项、一次项凑成完全平方，再开平方求根；(3)拆分常数项，分别和x、y的相关项凑成两个完全平方，利用平方非负性求出x、y后代入计算；(4)给等式两边同时乘2，拆分出三组完全平方，根据非负性得到三边关系，判断三角形形状。
【解析】
(1) 对$a^2 +4a +4 =0$因式分解，得$(a+2)^2=0$，因此$a+2=0$，解得$a=-2$。
(2) 将$a^2 -2a -8 =0$变形为$a^2 -2a +1 -9=0$，整理得$(a-1)^2=9$，直接开平方得$a-1=\pm3$：
当$a-1=3$时，$a=4$；当$a-1=-3$时，$a=-2$，即$a_1=4,a_2=-2$。
(3) 将$x^2 -4x + y^2 +6y +13 =0$拆分为$x^2 -4x +4 + y^2 +6y +9=0$，整理得$(x-2)^2 + (y+3)^2=0$。
由平方的非负性可得$x-2=0$，$y+3=0$，解得$x=2,y=-3$。
代入代数式得$(x+y)^{-2027}=(2-3)^{-2027}=(-1)^{-2027}=-1$。
(4) $△ ABC$是等边三角形，理由如下：
已知$a^2 +b^2 +c^2 -ac -ab -bc =0$，等式两边同时乘2得$2a^2 +2b^2 +2c^2 -2ac -2ab -2bc =0$，分组整理得$(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)=0$，即$(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0$。
由平方的非负性可得$a-b=0,a-c=0,b-c=0$，即$a=b=c$，因此$△ ABC$是等边三角形。
【答案】
(1)$-2$；(2)$a_1=4,a_2=-2$；(3)$-1$；(4)$△ ABC$是等边三角形
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题围绕配方法设置了梯度递进的问题，覆盖方程求解、代数式求值、几何判断三类场景，综合性较强，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的核心。
【难度系数】
0.7