1. 教材思考变式 把多项式$a^2 \pm 2ab + b^2$叫做两数和(差)的平方公式,若一个多项式不是两数和(差)的平方公式,可通过恒等“变形”变为两数和(差)的平方公式.方法如下:先添加一个适当的常数项,使式子中出现两数和(差)的平方公式,再减去这个常数项,使整个式子的值不变.这种方法叫做配方法.配方法不仅能将一个看似不能分解的多项式因式分解,还能解决一些最值问题.
(1)用配方法因式分解:$a^2 +4a +3$.
解:$a^2 +4a +3 = a^2 +4a +4 -4 +3 = ······$
(2)求$a^2 +4a +3$的最小值.
解:$a^2 +4a +3 = a^2 +4a +4 -4 +3 = (a^2 +4a +4) + (-4 +3) = (a +2)^2 -1······$
请将上述(1)(2)中的过程补充完整.

(1) $(a^2 +4a +4) + (-4 +3) = (a+2)^2 -1 = (a+2+1)(a+2-1) = (a+1)(a+3)$。
(2) $\because (a+2)^2 \ge 0,\therefore (a+2)^2 -1 \ge -1$，$\therefore a^2 +4a +3$的最小值为$-1$。

【分析】
第(1)问用配方法因式分解，思路为：先针对二次项、一次项的结构凑完全平方，添加常数项4的同时减去4，保证原式的值不变，凑出完全平方后式子转化为平方差的结构，再用平方差公式完成因式分解即可。第(2)问求代数式最值，思路为：将式子配方为“完全平方+常数”的结构后，利用平方的非负性，完全平方的最小值为0，即可推导出整个式子的最小值。
【解析】
(1) 接题目给出的步骤继续计算：
$a^2 +4a +3 = a^2 +4a +4 -4 +3 = (a^2 +4a +4) + (-4 +3) = (a+2)^2 -1$
再利用平方差公式分解：
$(a+2)^2 -1 = (a+2+1)(a+2-1) = (a+1)(a+3)$
(2) 接题目给出的步骤继续推导：
得到$a^2 +4a +3=(a+2)^2 -1$后，
$\because$ 任意实数的平方都是非负数，即$(a+2)^2 \ge 0$，
$\therefore (a+2)^2 -1 \ge 0-1 = -1$，当且仅当$a+2=0$即$a=-2$时，等号成立。
【答案】
(1) $(a^2 +4a +4) + (-4 +3) = (a+2)^2 -1 = (a+2+1)(a+2-1) = (a+1)(a+3)$
(2) $\because (a+2)^2 \ge 0,\therefore (a+2)^2 -1 \ge -1$，$\therefore a^2 +4a +3$的最小值为$-1$。
【知识点】
配方法的应用；因式分解；平方的非负性
【点评】
本题考查配方法的两类基础应用，解题核心是准确掌握完全平方公式的结构，凑完全平方时注意添加的常数项要同步减去，保证原式值不变，同时熟练运用平方差公式、平方非负性完成后续推导，是巩固配方法步骤的典型基础题。
【难度系数】
0.8

2. 将关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + c = 0$配方后得$(x+1)^2 =4$，则$c$的值为（）

A.$-1$
B.$-3$
C.$-4$
D.$4$

将$(x+1)^2=4$展开得$x^2 +2x +1=4$,整理得$x^2 +2x -3=0$,所以$c$的值为$-3$。

【分析】
解题核心是明确配方前后的两个方程是等价的，我们可以先把配方得到的方程展开，整理为一元二次方程的一般形式，再和原方程对比对应项的系数，就能求出常数c的值。具体思考路径：首先回忆完全平方公式的展开规则，再通过移项把展开后的方程整理为和原方程形式一致的一般式，最后对比常数项得到结果。
【解析】
1. 展开配方后的方程：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$(x+1)^2=4$展开得：
$x^2 + 2x + 1 = 4$
2. 整理为一元二次方程一般式：将等号右侧的4移到左侧，合并常数项得：
$x^2 + 2x + 1 - 4 = 0$，即$x^2 + 2x - 3 = 0$
3. 对比原方程$x^2 + 2x + c = 0$，两个方程对应项系数相等，因此常数项$c=-3$。
【答案】
B
【知识点】
配方法，完全平方公式，一元二次方程一般式
【点评】
本题是基础题，考查配方法的逆运用，只要熟练掌握完全平方公式的展开规则，明确配方前后方程等价、对应项系数相等的特点，就能快速解题。
【难度系数】
0.8

变式 [2026 泉州晋江学校期末] 把方程$x^2 - 4x - 2 = 0$配方后可以变形为.

$x^2 -4x -2 =0$,移项,得$x^2 -4x =2$,配方,得$x^2 -4x +4 =2+4$,整理得$(x-2)^2=6$。

【分析】
本题考查用配方法对一元二次方程变形，解题思路如下：第一步先将方程中的常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；第二步结合完全平方公式的结构，在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，此时左侧可凑成完全平方式，右侧合并常数项后即可得到配方后的结果。
【解析】
对原方程$x^2 - 4x - 2 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 - 4x = 2$
2. 配方，一次项系数为$-4$，它的一半的平方为$(-2)^2=4$，在等号两边同时加4，得：$x^2 - 4x + 4 = 2 + 4$
3. 整理后左侧为完全平方式，得：$(x-2)^2 = 6$
【答案】
$(x-2)^2=6$
【知识点】
配方法；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，核心是掌握配方法的操作步骤，尤其要注意配方时必须在等式两边同时加上相同的数，保证等式仍然成立，熟练掌握该知识点是后续用配方法解一元二次方程、求二次函数顶点式的基础。
【难度系数】
0.8

3. ▶新趋势·过程性学习 下面是小华同学解方程$2x^2 -4x -6=0$的过程.
解方程:$2x^2 -4x -6=0.$
解:将方程$2x^2 -4x -6=0$的两边都除以2,得$x^2 -2x -3=0.$ ………………………………………… 第一步
移项,得$x^2 -2x=3.$ ………………………………………… 第二步
配方,得$x^2 -2x +1=3$,即$(x-1)^2=3.$ …… 第三步
直接开平方,得$x-1=\pm\sqrt{3}.$ …………………… 第四步
解得$x_1=\sqrt{3}+1,x_2=-\sqrt{3}+1.$ ……………… 第五步
(1)在解题过程中,小华用到的基本思想方法是.(填序号)
①方程思想;②转化思想;③整体思想.
(2)第二步的依据是.
(3)小华的解题过程从第步开始出错,正确的解为.

(1)②;(2)等式的基本性质1;(3)三，$x_1=3,x_2=-1$

【分析】
本题围绕配方法解一元二次方程的过程设置三个问题，解题思路如下：(1)思考解一元二次方程的核心思路：将二次方程降次转化为一次方程求解，对应转化思想；(2)回忆移项的原理：移项是在等式两边同时加或减同一个项，对应等式的基本性质1；(3)逐行检查解方程的步骤，配方时需保证等式两边同时加上相同的数，由此判断错误步骤，再按正确步骤计算方程的解。
【解析】
(1) 小华用配方法解一元二次方程，本质是将二次方程转化为可直接开平方的低次方程求解，用到的是转化思想，故选②。
(2) 第二步是移项，依据是等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。
(3) 第三步配方时，左边加了1使式子构成完全平方式，根据等式的性质，右边也需要同时加1，小华仅修改了左边，因此从第三步开始出错。
正确计算过程：配方得$x^2 -2x +1=3+1$，即$(x-1)^2=4$，直接开平方得$x-1=\pm2$，解得$x_1=1+2=3$，$x_2=1-2=-1$。
【答案】
(1)②；(2)等式的基本性质1；(3)三，$x_1=3,x_2=-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程，等式的基本性质，转化思想
【点评】
本题结合解方程的完整过程，既考查了配方法的操作规范，也考查了解方程的原理和背后的数学思想，解答时要注意配方时等式两边需同时加上相同的常数，避免漏加导致错误。
【难度系数】
0.7

4. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 +8x -9=0$； (2)$-x^2 +9x=8$；
(3)$2x^2 -3=4x$； (4)$-5x^2 -20x +30=0$。

(1)$x^2 +8x -9=0$可化为$x^2 +8x =9$,
配方(两边都加上16),
得$x^2 +8x +16 =9+16$,即$(x+4)^2=25$,
直接开平方,得$x+4=\pm5$,
$\therefore x=-4\pm5$,即$x_1=1,x_2=-9$.
(2)将方程$-x^2 +9x=8$的两边都乘$-1$,得$x^2 -9x=-8$,
配方[两边同时加上$(\frac{9}{2})^2$],
得$x^2 -9x + (\frac{9}{2})^2 = -8 + (\frac{9}{2})^2$,整理,得$(x-\frac{9}{2})^2=\frac{49}{4}$,
直接开平方,得$x-\frac{9}{2}=\pm\frac{7}{2}$,
则$x-\frac{9}{2}=\frac{7}{2}$或$x-\frac{9}{2}=-\frac{7}{2}$,解得$x_1=8,x_2=1$.
(3)$2x^2 -3=4x$可化为$2x^2 -4x=3$,
方程两边都除以2,得$x^2 -2x=\frac{3}{2}$,
配方,得$x^2 -2x +1=\frac{3}{2}+1$,即$(x-1)^2=\frac{5}{2}$,
直接开平方,得$x-1=\frac{\sqrt{10}}{2}$或$x-1=-\frac{\sqrt{10}}{2}$,
$\therefore x_1=1+\frac{\sqrt{10}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{10}}{2}$.
(4)$-5x^2 -20x +30=0$,方程两边都除以$-5$,
得$x^2 +4x -6=0$,
整理,得$x^2 +4x=6$,配方,得$x^2 +4x +4=6+4$,
整理,得$(x+2)^2=10$,
则$x+2=\sqrt{10}$或$x+2=-\sqrt{10}$,
解得$x_1=\sqrt{10}-2,x_2=-\sqrt{10}-2$.

【分析】
用配方法解一元二次方程需遵循固定步骤：①将方程整理为含未知数的项在左边、常数项在右边的形式；②若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；④用直接开平方法求解即可。各小题对应调整操作：(1)二次项系数已为1，直接移常数项后配方；(2)先将二次项系数化为正，再移项配方；(3)先移项，再将二次项系数化为1后配方；(4)先将二次项系数化为1，再移项配方。
【解析】
(1) $x^2 +8x -9=0$可化为$x^2 +8x =9$,
配方(两边都加上16),
得$x^2 +8x +16 =9+16$,即$(x+4)^2=25$,
直接开平方,得$x+4=\pm5$,
$\therefore x=-4\pm5$,即$x_1=1,x_2=-9$.
(2)将方程$-x^2 +9x=8$的两边都乘$-1$,得$x^2 -9x=-8$,
配方[两边同时加上$(\frac{9}{2})^2$],
得$x^2 -9x + (\frac{9}{2})^2 = -8 + (\frac{9}{2})^2$,整理,得$(x-\frac{9}{2})^2=\frac{49}{4}$,
直接开平方,得$x-\frac{9}{2}=\pm\frac{7}{2}$,
则$x-\frac{9}{2}=\frac{7}{2}$或$x-\frac{9}{2}=-\frac{7}{2}$,解得$x_1=8,x_2=1$.
(3)$2x^2 -3=4x$可化为$2x^2 -4x=3$,
方程两边都除以2,得$x^2 -2x=\frac{3}{2}$,
配方,得$x^2 -2x +1=\frac{3}{2}+1$,即$(x-1)^2=\frac{5}{2}$,
直接开平方,得$x-1=\frac{\sqrt{10}}{2}$或$x-1=-\frac{\sqrt{10}}{2}$,
$\therefore x_1=1+\frac{\sqrt{10}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{10}}{2}$.
(4)$-5x^2 -20x +30=0$,方程两边都除以$-5$,
得$x^2 +4x -6=0$,
整理,得$x^2 +4x=6$,配方,得$x^2 +4x +4=6+4$,
整理,得$(x+2)^2=10$,
则$x+2=\sqrt{10}$或$x+2=-\sqrt{10}$,
解得$x_1=\sqrt{10}-2,x_2=-\sqrt{10}-2$.
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=-9$；(2)$x_1=8,x_2=1$；(3)$x_1=1+\frac{\sqrt{10}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{10}}{2}$；(4)$x_1=\sqrt{10}-2,x_2=-\sqrt{10}-2$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解方程的基础训练题，需牢记配方法的操作流程，尤其注意配方时方程两边要同时加一次项系数一半的平方，二次项系数不为1时先化1再计算，避免漏项、漏乘出错。
【难度系数】
0.8