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9. 教材思考变式 [2026上海浦东新区期末]若关于x的一元二次方程$2x^2 + mx + 1 = 0$的两个根分别为1和$\frac{1}{2}$，则$2x^2 + mx + 1$可因式分解为
$(x-1)(2x-1)$(或$2(x-1)(x-\frac{1}{2})$)
。答案
9. $(x - 1)(2x - 1)$(或$2(x - 1)(x - \frac{1}{2})$) 根据题意,得$2x^2 + mx + 1 = 2(x - 1)(x - \frac{1}{2}) = (x - 1)(2x - 1)$.
解析
【分析】
解这道题要用到因式分解法解一元二次方程的逆向逻辑：如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_1$、$x_2$，那么对应的二次三项式$ax^2+bx+c$可以分解为$a(x-x_1)(x-x_2)$的形式。本题已经给出了方程的二次项系数和两个根，直接代入公式即可，也可进一步整理为整系数的因式乘积形式。
【解析】
已知一元二次方程$2x^2 + mx + 1 = 0$的两个根为$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{2}$，二次项系数$a=2$。
根据一元二次方程的根与二次三项式因式分解的对应关系可得：
$2x^2 + mx + 1 = 2(x-1)(x-\frac{1}{2})$
将系数2乘入后一个括号化简，还可得到：
$2(x-1)(x-\frac{1}{2})=(x-1)×[2(x-\frac{1}{2})]=(x-1)(2x-1)$
两种形式均符合要求。
【答案】
$(x - 1)(2x - 1)$(或$2(x - 1)(x - \frac{1}{2})$)
【知识点】
二次三项式因式分解，一元二次方程根的应用，因式分解法逆用
【点评】
本题是基础题，重点考查一元二次方程的根和二次三项式因式分解的对应关系，解题时需注意不要遗漏二次项系数，掌握相关规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
解这道题要用到因式分解法解一元二次方程的逆向逻辑：如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_1$、$x_2$，那么对应的二次三项式$ax^2+bx+c$可以分解为$a(x-x_1)(x-x_2)$的形式。本题已经给出了方程的二次项系数和两个根，直接代入公式即可，也可进一步整理为整系数的因式乘积形式。
【解析】
已知一元二次方程$2x^2 + mx + 1 = 0$的两个根为$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{2}$，二次项系数$a=2$。
根据一元二次方程的根与二次三项式因式分解的对应关系可得：
$2x^2 + mx + 1 = 2(x-1)(x-\frac{1}{2})$
将系数2乘入后一个括号化简，还可得到：
$2(x-1)(x-\frac{1}{2})=(x-1)×[2(x-\frac{1}{2})]=(x-1)(2x-1)$
两种形式均符合要求。
【答案】
$(x - 1)(2x - 1)$(或$2(x - 1)(x - \frac{1}{2})$)
【知识点】
二次三项式因式分解，一元二次方程根的应用，因式分解法逆用
【点评】
本题是基础题，重点考查一元二次方程的根和二次三项式因式分解的对应关系，解题时需注意不要遗漏二次项系数，掌握相关规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
10. [2026西安沣东第一学校期中]已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + (b + c)x + 2(b - c) = 0$，其中$a,b,c$分别为$△ ABC$的三边长.
(1)若$x = -2$是该方程的一个根，判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2)若$△ ABC$是等边三角形，求该一元二次方程的根.
微专题
数学思想 直接开平方法和
(1)若$x = -2$是该方程的一个根，判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2)若$△ ABC$是等边三角形，求该一元二次方程的根.
微专题
数学思想 直接开平方法和
答案
10. 解:(1)$△ABC$是等腰三角形.理由如下:
将$x = -2$代入$ax^2 + (b + c)x + 2(b - c) = 0$,
得$4a - 2(b + c) + 2(b - c) = 0$,
整理得$4a - 4c = 0$,$\therefore a = c$,$\therefore △ABC$是等腰三角形.
(2)$\because △ABC$是等边三角形,$\therefore a = b = c$,
$\therefore ax^2 + (b + c)x + 2(b - c) = 0$可变为$ax^2 + 2ax = 0$.
$\because a ＞ 0$,$\therefore x^2 + 2x = 0$,$\therefore x(x + 2) = 0$,$\therefore x_1 = 0$,$x_2 = -2$.
将$x = -2$代入$ax^2 + (b + c)x + 2(b - c) = 0$,
得$4a - 2(b + c) + 2(b - c) = 0$,
整理得$4a - 4c = 0$,$\therefore a = c$,$\therefore △ABC$是等腰三角形.
(2)$\because △ABC$是等边三角形,$\therefore a = b = c$,
$\therefore ax^2 + (b + c)x + 2(b - c) = 0$可变为$ax^2 + 2ax = 0$.
$\because a ＞ 0$,$\therefore x^2 + 2x = 0$,$\therefore x(x + 2) = 0$,$\therefore x_1 = 0$,$x_2 = -2$.
解析
【分析】
(1) 第一问已知x=-2是方程的根，解题时先将根代入原一元二次方程，通过化简等式得到△ABC三边的数量关系，再结合等腰三角形的判定即可判断三角形形状；
(2) 第二问已知△ABC是等边三角形，可得三边a=b=c，将其代入原方程，结合三角形边长a＞0的隐含条件化简方程，再用因式分解法求解方程的根即可。
【解析】
(1) △ABC是等腰三角形，理由如下：
将$x = -2$代入$ax^2 + (b + c)x + 2(b - c) = 0$，
得$4a - 2(b + c) + 2(b - c) = 0$，
整理得$4a - 4c = 0$，$\therefore a = c$，
$\because a,c$是$△ ABC$的边长，$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
(2) $\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore a = b = c$，
$\therefore$原方程可变形为$ax^2 + 2ax = 0$，
$\because a$是三角形边长，$\therefore a ＞ 0$，方程两边同时除以a得$x^2 + 2x = 0$，
因式分解得$x(x + 2) = 0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = -2$。
【答案】
(1) $△ ABC$是等腰三角形；
(2) 方程的根为$x_1=0$，$x_2=-2$。
【知识点】
一元二次方程根的定义，等腰三角形判定，因式分解法解方程
【点评】
本题是三角形性质与一元二次方程结合的基础综合题，既考查了方程根的应用，又考查了特殊三角形的性质，解题时注意挖掘三角形边长为正数的隐含条件即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问已知x=-2是方程的根，解题时先将根代入原一元二次方程，通过化简等式得到△ABC三边的数量关系，再结合等腰三角形的判定即可判断三角形形状；
(2) 第二问已知△ABC是等边三角形，可得三边a=b=c，将其代入原方程，结合三角形边长a＞0的隐含条件化简方程，再用因式分解法求解方程的根即可。
【解析】
(1) △ABC是等腰三角形，理由如下：
将$x = -2$代入$ax^2 + (b + c)x + 2(b - c) = 0$，
得$4a - 2(b + c) + 2(b - c) = 0$，
整理得$4a - 4c = 0$，$\therefore a = c$，
$\because a,c$是$△ ABC$的边长，$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
(2) $\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore a = b = c$，
$\therefore$原方程可变形为$ax^2 + 2ax = 0$，
$\because a$是三角形边长，$\therefore a ＞ 0$，方程两边同时除以a得$x^2 + 2x = 0$，
因式分解得$x(x + 2) = 0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = -2$。
【答案】
(1) $△ ABC$是等腰三角形；
(2) 方程的根为$x_1=0$，$x_2=-2$。
【知识点】
一元二次方程根的定义，等腰三角形判定，因式分解法解方程
【点评】
本题是三角形性质与一元二次方程结合的基础综合题，既考查了方程根的应用，又考查了特殊三角形的性质，解题时注意挖掘三角形边长为正数的隐含条件即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
11. 运算能力 我们知道可用公式 $x^2 + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)$ 分解因式(十字相乘法).
例如:
(1) $x^2 + 6x + 8 = 0$,方程左边分解因式得 $\_\_\_\_\_\_=0$.
(2) $x^2 - 7x - 30 = 0$,方程左边分解因式得 $\_\_\_\_\_\_=0$.
爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法求解.
如:$3x^2 -7x +2 =0$.
解:方程左边分解因式,得$(x-2)(3x-1)=0$,从而可以快速求出方程的解.
(3)请你用此方法解方程:$4x^2 -8x -5 =0$.
答案 P10
因式分解法中的降次、转化思想
请你利用上述思想方法,解下列方程:
(1)$(x-4)^2=(5-2x)^2$;(2)$x^3 -6x^2 +9x =0$.
例如:
(1) $x^2 + 6x + 8 = 0$,方程左边分解因式得 $\_\_\_\_\_\_=0$.
(2) $x^2 - 7x - 30 = 0$,方程左边分解因式得 $\_\_\_\_\_\_=0$.
爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法求解.
如:$3x^2 -7x +2 =0$.
解:方程左边分解因式,得$(x-2)(3x-1)=0$,从而可以快速求出方程的解.
(3)请你用此方法解方程:$4x^2 -8x -5 =0$.
答案 P10
因式分解法中的降次、转化思想
请你利用上述思想方法,解下列方程:
(1)$(x-4)^2=(5-2x)^2$;(2)$x^3 -6x^2 +9x =0$.
答案
11. 解:(1)$(x+2)(x+4)$
(2)$(x-10)(x+3)$
(3)$\because 4x^2 -8x -5 = (2x -5)(2x +1)$,
$\therefore 4x^2 -8x -5 = 0$左边分解因式,得$(2x -5)(2x +1) = 0$,
$\therefore 2x -5 = 0$或$2x +1 = 0$,$\therefore x_1 = \frac{5}{2},x_2 = -\frac{1}{2}$.
解:(1)直接开平方法 $(x-4)^2=(5-2x)^2$,
直接开平方,得$x-4=5-2x$或$x-4=-(5-2x)$,
解得$x_1=3,x_2=1$.
因式分解法 $(x-4)^2=(5-2x)^2$,
移项,得$(x-4)^2-(5-2x)^2=0$,
分解因式,得$[(x-4)+(5-2x)][(x-4)-(5-2x)]=0$,
即$(-x+1)(3x-9)=0$,$\therefore -x+1=0$或$3x-9=0$,
解得$x_1=1,x_2=3$.
(2)$x^3 -6x^2 +9x =0$,提取公因式,得$x(x^2 -6x +9)=0$,
$\therefore x(x-3)^2=0$,$\therefore x=0$或$(x-3)^2=0$,解得$x_1=0,x_2=x_3=3$.
(2)$(x-10)(x+3)$
(3)$\because 4x^2 -8x -5 = (2x -5)(2x +1)$,
$\therefore 4x^2 -8x -5 = 0$左边分解因式,得$(2x -5)(2x +1) = 0$,
$\therefore 2x -5 = 0$或$2x +1 = 0$,$\therefore x_1 = \frac{5}{2},x_2 = -\frac{1}{2}$.
解:(1)直接开平方法 $(x-4)^2=(5-2x)^2$,
直接开平方,得$x-4=5-2x$或$x-4=-(5-2x)$,
解得$x_1=3,x_2=1$.
因式分解法 $(x-4)^2=(5-2x)^2$,
移项,得$(x-4)^2-(5-2x)^2=0$,
分解因式,得$[(x-4)+(5-2x)][(x-4)-(5-2x)]=0$,
即$(-x+1)(3x-9)=0$,$\therefore -x+1=0$或$3x-9=0$,
解得$x_1=1,x_2=3$.
(2)$x^3 -6x^2 +9x =0$,提取公因式,得$x(x^2 -6x +9)=0$,
$\therefore x(x-3)^2=0$,$\therefore x=0$或$(x-3)^2=0$,解得$x_1=0,x_2=x_3=3$.
解析
【分析】
解题围绕“因式分解降次”的核心思想展开：
1. 二次项系数为1的十字相乘：寻找两个数，满足两数之和等于一次项系数、两数之积等于常数项，即可完成因式分解，对应前两小问。
2. 二次项系数不为1的十字相乘：将二次项拆为两个一次项的乘积、常数项拆为两个常数的乘积，验证交叉相乘的和等于一次项系数后即可分解，对应第(3)小问。
3. 拓展方程(1)：可移项后用平方差公式分解因式，也可直接开平方转化为一次方程求解。
4. 拓展方程(2)：先提取公因式，再对剩余二次式用完全平方公式分解，即可转化为一次式乘积为0的形式求解。
【解析】
(1) 对$x^2+6x+8$，寻找和为6、积为8的两个数，得2和4，因此分解因式结果为$(x+2)(x+4)$。
(2) 对$x^2-7x-30$，寻找和为-7、积为-30的两个数，得-10和3，因此分解因式结果为$(x-10)(x+3)$。
(3) 解方程$4x^2-8x-5=0$：
将$4x^2$拆为$2x×2x$，-5拆为$-5×1$，交叉相乘求和得$2x×1 + 2x×(-5)=-8x$，与一次项一致，因此左边分解得$(2x-5)(2x+1)=0$。
令每个因式为0：$2x-5=0$或$2x+1=0$，解得$x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}$。
拓展(1) 解方程$(x-4)^2=(5-2x)^2$：
移项得$(x-4)^2-(5-2x)^2=0$，用平方差公式分解得$[(x-4)+(5-2x)][(x-4)-(5-2x)]=0$，化简为$(-x+1)(3x-9)=0$。
令因式为0：$-x+1=0$或$3x-9=0$，解得$x_1=1,x_2=3$。
也可直接开平方得$x-4=5-2x$或$x-4=-(5-2x)$，求解结果一致。
拓展(2) 解方程$x^3-6x^2+9x=0$：
先提取公因式$x$得$x(x^2-6x+9)=0$，再用完全平方公式分解得$x(x-3)^2=0$。
令因式为0：$x=0$或$(x-3)^2=0$，解得$x_1=0,x_2=x_3=3$。
【答案】
(1) $(x+2)(x+4)$
(2) $(x-10)(x+3)$
(3) $x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
拓展(1) $x_1=1,x_2=3$
拓展(2) $x_1=0,x_2=x_3=3$
【知识点】
十字相乘法，因式分解法解方程，公式法分解因式
【点评】
本题聚焦因式分解在解方程中的应用，从基础十字相乘法到结合平方差、完全平方公式的拓展求解，渗透了降次转化的数学思想，熟练掌握各类因式分解方法是解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题围绕“因式分解降次”的核心思想展开：
1. 二次项系数为1的十字相乘：寻找两个数，满足两数之和等于一次项系数、两数之积等于常数项，即可完成因式分解，对应前两小问。
2. 二次项系数不为1的十字相乘：将二次项拆为两个一次项的乘积、常数项拆为两个常数的乘积，验证交叉相乘的和等于一次项系数后即可分解，对应第(3)小问。
3. 拓展方程(1)：可移项后用平方差公式分解因式，也可直接开平方转化为一次方程求解。
4. 拓展方程(2)：先提取公因式，再对剩余二次式用完全平方公式分解，即可转化为一次式乘积为0的形式求解。
【解析】
(1) 对$x^2+6x+8$，寻找和为6、积为8的两个数，得2和4，因此分解因式结果为$(x+2)(x+4)$。
(2) 对$x^2-7x-30$，寻找和为-7、积为-30的两个数，得-10和3，因此分解因式结果为$(x-10)(x+3)$。
(3) 解方程$4x^2-8x-5=0$：
将$4x^2$拆为$2x×2x$，-5拆为$-5×1$，交叉相乘求和得$2x×1 + 2x×(-5)=-8x$，与一次项一致，因此左边分解得$(2x-5)(2x+1)=0$。
令每个因式为0：$2x-5=0$或$2x+1=0$，解得$x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}$。
拓展(1) 解方程$(x-4)^2=(5-2x)^2$：
移项得$(x-4)^2-(5-2x)^2=0$，用平方差公式分解得$[(x-4)+(5-2x)][(x-4)-(5-2x)]=0$，化简为$(-x+1)(3x-9)=0$。
令因式为0：$-x+1=0$或$3x-9=0$，解得$x_1=1,x_2=3$。
也可直接开平方得$x-4=5-2x$或$x-4=-(5-2x)$，求解结果一致。
拓展(2) 解方程$x^3-6x^2+9x=0$：
先提取公因式$x$得$x(x^2-6x+9)=0$，再用完全平方公式分解得$x(x-3)^2=0$。
令因式为0：$x=0$或$(x-3)^2=0$，解得$x_1=0,x_2=x_3=3$。
【答案】
(1) $(x+2)(x+4)$
(2) $(x-10)(x+3)$
(3) $x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
拓展(1) $x_1=1,x_2=3$
拓展(2) $x_1=0,x_2=x_3=3$
【知识点】
十字相乘法，因式分解法解方程，公式法分解因式
【点评】
本题聚焦因式分解在解方程中的应用，从基础十字相乘法到结合平方差、完全平方公式的拓展求解，渗透了降次转化的数学思想，熟练掌握各类因式分解方法是解题的核心。
【难度系数】
0.7
