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选用适当的方法解下列方程：
(1)$(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=2$；
(2)$6(x-1)^2 -54=0$；
(3)$x^2 -4x +3=0$；
(4)$2x^2 +7x -1=0$；
(5)$x^2 -\frac{\sqrt{2}}{2}x +\frac{1}{8}=0$；
(6)$x^2 +x -2=0$；
(7)$x^2 -4=5(x-2)$；
(8)$(3x+2)^2 -(2x+1)^2=0$；
(9)$(x+2)^2 -10(x+2)+21=0$；
(10)$2(2x-1)^2 -4=-x(x+11)$。
(1)$(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=2$；
(2)$6(x-1)^2 -54=0$；
(3)$x^2 -4x +3=0$；
(4)$2x^2 +7x -1=0$；
(5)$x^2 -\frac{\sqrt{2}}{2}x +\frac{1}{8}=0$；
(6)$x^2 +x -2=0$；
(7)$x^2 -4=5(x-2)$；
(8)$(3x+2)^2 -(2x+1)^2=0$；
(9)$(x+2)^2 -10(x+2)+21=0$；
(10)$2(2x-1)^2 -4=-x(x+11)$。
答案
解:(1)方程$(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=2$可化为$x^2-3=2$,
即$x^2=5$,直接开平方,得$x=\pm\sqrt{5}$,
即$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$.
(2)$6(x-1)^2 -54=0$,移项,得$6(x-1)^2=54$,
方程两边都除以6,得$(x-1)^2=9$,
直接开平方,得$x-1=3$或$x-1=-3$,
解得$x_1=4,x_2=-2$(也可用因式分解法).
(3)$x^2 -4x +3=0$,移项,得$x^2-4x=-3$,
配方,得$(x-2)^2=1$,直接开平方,得$x-2=\pm1$,
$\therefore x=2\pm1$,即$x_1=3,x_2=1$.
(4)$2x^2 +7x -1=0,\because a=2,b=7,c=-1$,
$\therefore b^2-4ac=7^2-4×2×(-1)=57,\therefore x=\frac{-7\pm\sqrt{57}}{4}$,
即$x_1=\frac{-7+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{-7-\sqrt{57}}{4}$.
(5)方程$x^2 -\frac{\sqrt{2}}{2}x +\frac{1}{8}=0$可化为$8x^2-4\sqrt{2}x+1=0$,
则$a=8,b=-4\sqrt{2},c=1$,
$\therefore b^2-4ac=(-4\sqrt{2})^2-4×8×1=0$,
$\therefore x=\frac{-(-4\sqrt{2})\pm\sqrt{0}}{2×8}=\frac{\sqrt{2}}{4},\therefore x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{4}$.
(6)已知$x^2 +x -2=0,\therefore (x-1)(x+2)=0$,
解得$x_1=1,x_2=-2$.
(7)$x^2 -4=5(x-2)$,
分解因式,得$(x+2)(x-2)=5(x-2)$,
移项,得$(x+2)(x-2)-5(x-2)=0$,
提取公因式,得$(x-2)(x+2-5)=0$,
即$x-2=0$或$x+2-5=0$,解得$x_1=2,x_2=3$.
(8)$(3x+2)^2 -(2x+1)^2=0$(移项后也可用直接开平方法),
分解因式,得$(3x+2+2x+1)(3x+2-2x-1)=0$,
即$(5x+3)(x+1)=0$,则$5x+3=0$或$x+1=0$,
解得$x_1=-\frac{3}{5},x_2=-1$.
(9)$(x+2)^2 -10(x+2)+21=0$,
分解因式,得$(x+2-3)(x+2-7)=0$,即$(x-1)(x-5)=0$,
则$x-1=0$或$x-5=0$,解得$x_1=1,x_2=5$.
(10)$2(2x-1)^2 -4=-x(x+11)$,
整理,得$8x^2-8x+2-4=-x^2-11x$,
合并同类项,得$9x^2+3x-2=0,\therefore a=9,b=3,c=-2$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{9-4×9×(-2)}}{2×9}=\frac{-3\pm9}{18}$,
即$x_1=\frac{1}{3},x_2=-\frac{2}{3}$.
即$x^2=5$,直接开平方,得$x=\pm\sqrt{5}$,
即$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$.
(2)$6(x-1)^2 -54=0$,移项,得$6(x-1)^2=54$,
方程两边都除以6,得$(x-1)^2=9$,
直接开平方,得$x-1=3$或$x-1=-3$,
解得$x_1=4,x_2=-2$(也可用因式分解法).
(3)$x^2 -4x +3=0$,移项,得$x^2-4x=-3$,
配方,得$(x-2)^2=1$,直接开平方,得$x-2=\pm1$,
$\therefore x=2\pm1$,即$x_1=3,x_2=1$.
(4)$2x^2 +7x -1=0,\because a=2,b=7,c=-1$,
$\therefore b^2-4ac=7^2-4×2×(-1)=57,\therefore x=\frac{-7\pm\sqrt{57}}{4}$,
即$x_1=\frac{-7+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{-7-\sqrt{57}}{4}$.
(5)方程$x^2 -\frac{\sqrt{2}}{2}x +\frac{1}{8}=0$可化为$8x^2-4\sqrt{2}x+1=0$,
则$a=8,b=-4\sqrt{2},c=1$,
$\therefore b^2-4ac=(-4\sqrt{2})^2-4×8×1=0$,
$\therefore x=\frac{-(-4\sqrt{2})\pm\sqrt{0}}{2×8}=\frac{\sqrt{2}}{4},\therefore x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{4}$.
(6)已知$x^2 +x -2=0,\therefore (x-1)(x+2)=0$,
解得$x_1=1,x_2=-2$.
(7)$x^2 -4=5(x-2)$,
分解因式,得$(x+2)(x-2)=5(x-2)$,
移项,得$(x+2)(x-2)-5(x-2)=0$,
提取公因式,得$(x-2)(x+2-5)=0$,
即$x-2=0$或$x+2-5=0$,解得$x_1=2,x_2=3$.
(8)$(3x+2)^2 -(2x+1)^2=0$(移项后也可用直接开平方法),
分解因式,得$(3x+2+2x+1)(3x+2-2x-1)=0$,
即$(5x+3)(x+1)=0$,则$5x+3=0$或$x+1=0$,
解得$x_1=-\frac{3}{5},x_2=-1$.
(9)$(x+2)^2 -10(x+2)+21=0$,
分解因式,得$(x+2-3)(x+2-7)=0$,即$(x-1)(x-5)=0$,
则$x-1=0$或$x-5=0$,解得$x_1=1,x_2=5$.
(10)$2(2x-1)^2 -4=-x(x+11)$,
整理,得$8x^2-8x+2-4=-x^2-11x$,
合并同类项,得$9x^2+3x-2=0,\therefore a=9,b=3,c=-2$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{9-4×9×(-2)}}{2×9}=\frac{-3\pm9}{18}$,
即$x_1=\frac{1}{3},x_2=-\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，选择方法的原则是优先选计算简便的：①若方程可变形为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，优先用直接开平方法；②若方程左边易因式分解为两个一次式的乘积、右边为0，优先用因式分解法；③若以上两种方法都不适用，可选用公式法，二次项系数为1且一次项系数为偶数时也可选用配方法。各小题可根据上述原则选方法：(1)展开后是$x^2$等于常数，用直接开平方法；(2)把$(x-1)$看作整体，系数化1后直接开方；(3)二次项系数为1、一次项系数为偶数，用配方法或因式分解法；(4)无简便特征，用公式法；(5)先化为整系数方程，用公式法求解；(6)可十字相乘因式分解，用因式分解法；(7)移项后提公因式$(x-2)$，用因式分解法，注意不能直接约去公因式避免漏根；(8)左边是平方差形式，用因式分解法；(9)把$(x+2)$看作整体十字相乘，用因式分解法；(10)先整理为一般式，再用公式法求解。
【解析】
(1)方程$(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=2$可化为$x^2-3=2$，
即$x^2=5$，直接开平方，得$x=\pm\sqrt{5}$，
即$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$。
(2)$6(x-1)^2 -54=0$，移项，得$6(x-1)^2=54$，
方程两边都除以6，得$(x-1)^2=9$，
直接开平方，得$x-1=3$或$x-1=-3$，
解得$x_1=4,x_2=-2$。
(3)$x^2 -4x +3=0$，移项，得$x^2-4x=-3$，
配方，得$(x-2)^2=1$，直接开平方，得$x-2=\pm1$，
$\therefore x=2\pm1$，即$x_1=3,x_2=1$。
(4)$2x^2 +7x -1=0,\because a=2,b=7,c=-1$，
$\therefore b^2-4ac=7^2-4×2×(-1)=57,\therefore x=\frac{-7\pm\sqrt{57}}{4}$，
即$x_1=\frac{-7+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{-7-\sqrt{57}}{4}$。
(5)方程$x^2 -\frac{\sqrt{2}}{2}x +\frac{1}{8}=0$可化为$8x^2-4\sqrt{2}x+1=0$，
则$a=8,b=-4\sqrt{2},c=1$，
$\therefore b^2-4ac=(-4\sqrt{2})^2-4×8×1=0$，
$\therefore x=\frac{-(-4\sqrt{2})\pm\sqrt{0}}{2×8}=\frac{\sqrt{2}}{4},\therefore x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
(6)已知$x^2 +x -2=0,\therefore (x-1)(x+2)=0$，
解得$x_1=1,x_2=-2$。
(7)$x^2 -4=5(x-2)$，
分解因式，得$(x+2)(x-2)=5(x-2)$，
移项，得$(x+2)(x-2)-5(x-2)=0$，
提取公因式，得$(x-2)(x+2-5)=0$，
即$x-2=0$或$x+2-5=0$，解得$x_1=2,x_2=3$。
(8)$(3x+2)^2 -(2x+1)^2=0$，
分解因式，得$(3x+2+2x+1)(3x+2-2x-1)=0$，
即$(5x+3)(x+1)=0$，则$5x+3=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=-\frac{3}{5},x_2=-1$。
(9)$(x+2)^2 -10(x+2)+21=0$，
分解因式，得$(x+2-3)(x+2-7)=0$，即$(x-1)(x-5)=0$，
则$x-1=0$或$x-5=0$，解得$x_1=1,x_2=5$。
(10)$2(2x-1)^2 -4=-x(x+11)$，
整理，得$8x^2-8x+2-4=-x^2-11x$，
合并同类项，得$9x^2+3x-2=0,\therefore a=9,b=3,c=-2$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{9-4×9×(-2)}}{2×9}=\frac{-3\pm9}{18}$，
即$x_1=\frac{1}{3},x_2=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$
(2)$x_1=4,x_2=-2$
(3)$x_1=3,x_2=1$
(4)$x_1=\frac{-7+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{-7-\sqrt{57}}{4}$
(5)$x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{4}$
(6)$x_1=1,x_2=-2$
(7)$x_1=2,x_2=3$
(8)$x_1=-\frac{3}{5},x_2=-1$
(9)$x_1=1,x_2=5$
(10)$x_1=\frac{1}{3},x_2=-\frac{2}{3}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，公式法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时要根据方程的特征选择最简便的解法，降低计算量，减少错误；尤其注意处理含公因式的方程时，不要直接约去公因式，否则会出现漏根的情况。
【难度系数】
0.7
解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，选择方法的原则是优先选计算简便的：①若方程可变形为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，优先用直接开平方法；②若方程左边易因式分解为两个一次式的乘积、右边为0，优先用因式分解法；③若以上两种方法都不适用，可选用公式法，二次项系数为1且一次项系数为偶数时也可选用配方法。各小题可根据上述原则选方法：(1)展开后是$x^2$等于常数，用直接开平方法；(2)把$(x-1)$看作整体，系数化1后直接开方；(3)二次项系数为1、一次项系数为偶数，用配方法或因式分解法；(4)无简便特征，用公式法；(5)先化为整系数方程，用公式法求解；(6)可十字相乘因式分解，用因式分解法；(7)移项后提公因式$(x-2)$，用因式分解法，注意不能直接约去公因式避免漏根；(8)左边是平方差形式，用因式分解法；(9)把$(x+2)$看作整体十字相乘，用因式分解法；(10)先整理为一般式，再用公式法求解。
【解析】
(1)方程$(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=2$可化为$x^2-3=2$，
即$x^2=5$，直接开平方，得$x=\pm\sqrt{5}$，
即$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$。
(2)$6(x-1)^2 -54=0$，移项，得$6(x-1)^2=54$，
方程两边都除以6，得$(x-1)^2=9$，
直接开平方，得$x-1=3$或$x-1=-3$，
解得$x_1=4,x_2=-2$。
(3)$x^2 -4x +3=0$，移项，得$x^2-4x=-3$，
配方，得$(x-2)^2=1$，直接开平方，得$x-2=\pm1$，
$\therefore x=2\pm1$，即$x_1=3,x_2=1$。
(4)$2x^2 +7x -1=0,\because a=2,b=7,c=-1$，
$\therefore b^2-4ac=7^2-4×2×(-1)=57,\therefore x=\frac{-7\pm\sqrt{57}}{4}$，
即$x_1=\frac{-7+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{-7-\sqrt{57}}{4}$。
(5)方程$x^2 -\frac{\sqrt{2}}{2}x +\frac{1}{8}=0$可化为$8x^2-4\sqrt{2}x+1=0$，
则$a=8,b=-4\sqrt{2},c=1$，
$\therefore b^2-4ac=(-4\sqrt{2})^2-4×8×1=0$，
$\therefore x=\frac{-(-4\sqrt{2})\pm\sqrt{0}}{2×8}=\frac{\sqrt{2}}{4},\therefore x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
(6)已知$x^2 +x -2=0,\therefore (x-1)(x+2)=0$，
解得$x_1=1,x_2=-2$。
(7)$x^2 -4=5(x-2)$，
分解因式，得$(x+2)(x-2)=5(x-2)$，
移项，得$(x+2)(x-2)-5(x-2)=0$，
提取公因式，得$(x-2)(x+2-5)=0$，
即$x-2=0$或$x+2-5=0$，解得$x_1=2,x_2=3$。
(8)$(3x+2)^2 -(2x+1)^2=0$，
分解因式，得$(3x+2+2x+1)(3x+2-2x-1)=0$，
即$(5x+3)(x+1)=0$，则$5x+3=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=-\frac{3}{5},x_2=-1$。
(9)$(x+2)^2 -10(x+2)+21=0$，
分解因式，得$(x+2-3)(x+2-7)=0$，即$(x-1)(x-5)=0$，
则$x-1=0$或$x-5=0$，解得$x_1=1,x_2=5$。
(10)$2(2x-1)^2 -4=-x(x+11)$，
整理，得$8x^2-8x+2-4=-x^2-11x$，
合并同类项，得$9x^2+3x-2=0,\therefore a=9,b=3,c=-2$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{9-4×9×(-2)}}{2×9}=\frac{-3\pm9}{18}$，
即$x_1=\frac{1}{3},x_2=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$
(2)$x_1=4,x_2=-2$
(3)$x_1=3,x_2=1$
(4)$x_1=\frac{-7+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{-7-\sqrt{57}}{4}$
(5)$x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{4}$
(6)$x_1=1,x_2=-2$
(7)$x_1=2,x_2=3$
(8)$x_1=-\frac{3}{5},x_2=-1$
(9)$x_1=1,x_2=5$
(10)$x_1=\frac{1}{3},x_2=-\frac{2}{3}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，公式法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时要根据方程的特征选择最简便的解法，降低计算量，减少错误；尤其注意处理含公因式的方程时，不要直接约去公因式，否则会出现漏根的情况。
【难度系数】
0.7
