1. 已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（）。

A.$-2xy^2$
B.$3x^2$
C.$2xy^3$
D.$2x^3$

1.D

【分析】
解题首先要明确单项式的两个核心概念：单项式的系数是单项式中的数字因数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和。我们只需要逐个验证每个选项的系数是否为2、次数是否为3，两个条件同时满足的即为正确答案。
【解析】
我们结合概念逐一排查选项：
1. 选项A：$-2xy^2$的数字因数是$-2$，即系数为$-2$，不满足系数是$2$的要求，排除；
2. 选项B：$3x^2$的数字因数是$3$，即系数为$3$，不满足系数是$2$的要求，排除；
3. 选项C：$2xy^3$的数字因数是$2$，符合系数要求，计算次数：$x$的指数是$1$，$y$的指数是$3$，总次数为$1+3=4$，不满足次数是$3$的要求，排除；
4. 选项D：$2x^3$的数字因数是$2$，符合系数要求，仅含字母$x$且指数为$3$，即次数为$3$，两个条件均满足。
综上选D。
【答案】
D
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是单项式概念考查的常规基础题型，核心考察对单项式相关定义的理解，准确掌握系数和次数的判定规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85

2. 在式子$\frac{ab}{3}, -4x, -\frac{7}{5}abc, π, \frac{m-n}{2}, 0.81, 0$中，单项式共有（）。

A.5个
B.6个
C.7个
D.4个

2.B

【分析】
解题前首先要明确单项式的判定规则：①由数和字母的乘积组成的代数式是单项式；②单独的一个数或者单独的一个字母也属于单项式；③如果式子中含有加减运算，或者分母含有字母，则不属于单项式。接下来我们只需要逐个判断给出的7个式子是否符合上述规则，统计符合的数量即可得到答案。
【解析】
根据单项式的定义逐一判断：
1. $\frac{ab}{3}$是$\frac{1}{3}$与$ab$的乘积，属于单项式；
2. $-4x$是$-4$与$x$的乘积，属于单项式；
3. $-\frac{7}{5}abc$是$-\frac{7}{5}$与$abc$的乘积，属于单项式；
4. $π$是固定的常数，属于单独的数，是单项式；
5. $\frac{m-n}{2}$可变形为$\frac{m}{2}-\frac{n}{2}$，含有减法运算，属于多项式，不是单项式；
6. $0.81$是单独的数，属于单项式；
7. $0$是单独的数，属于单项式。
综上，单项式共有6个，应选B。
【答案】
B
【知识点】
单项式的定义，整式的分类
【点评】
本题核心考查对单项式概念的掌握，易错点是容易误将含加减运算的$\frac{m-n}{2}$判定为单项式，或者误认为$π$是字母不属于单项式，解题时紧扣定义逐一排查即可避免出错。
【难度系数】
0.7

3. (1)一个正方形的周长是 $ m $,则这个正方形的边长是 ;这个式子的系数为 ,次数为 。
(2)一个长方形的长为 $ a $,宽为 $ b $,则它的面积为 ;这个式子的系数为 ,次数为 。
(3)半径为 $ r $ 的圆的面积为 ;这个式子的系数为 ,次数为 。
(4)买售价为 $ x $ 元/千克的苹果 $ 2y $ 千克共需 元;这个式子的系数为 ,次数为 。
(5)一件 T 恤的售价为 $ x $ 元,则打八折后的售价为 元;这个式子的系数为 ,次数为 。

3.(1)$\frac{m}{4}$ $\frac{1}{4}$ 1 (2)$ab$ 1 2 (3)$π r^2$ $π$ 2 (4)$2xy$ 2 2 (5)$0.8x$ 0.8 1

【分析】
解题分两步进行：第一步，根据对应数量关系列代数式：回忆正方形周长公式、长方形面积公式、圆的面积公式、总价计算公式、打折售价计算公式，代入对应字母写出代数式；第二步，识别单项式的系数和次数：单项式的系数是式子中不含字母的数字因数（注意π是常数，不是字母），次数是式子中所有字母的指数之和，据此判断对应系数和次数即可。
【解析】
(1) 正方形周长=4×边长，已知周长为m，因此边长=$m÷4=\frac{m}{4}$；该单项式的数字因数为$\frac{1}{4}$，故系数为$\frac{1}{4}$，仅含字母m，指数为1，故次数为1。
(2) 长方形面积=长×宽，长为a、宽为b，因此面积为$ab$；该单项式省略的数字因数为1，故系数为1，含字母a、b，指数和为$1+1=2$，故次数为2。
(3) 圆的面积公式为$S=π r^2$，因此半径为r的圆面积为$π r^2$；π是常数，为数字因数，故系数为π，仅含字母r，指数为2，故次数为2。
(4) 总价=单价×重量，单价为x元/千克，重量为2y千克，因此总价为$x×2y=2xy$；数字因数为2，故系数为2，含字母x、y，指数和为$1+1=2$，故次数为2。
(5) 打八折即售价为原价的0.8倍，原价为x元，因此打折后售价为$0.8x$；数字因数为0.8，故系数为0.8，仅含字母x，指数为1，故次数为1。
【答案】
3.(1)$\frac{m}{4}$ $\frac{1}{4}$ 1 (2)$ab$ 1 2 (3)$π r^2$ $π$ 2 (4)$2xy$ 2 2 (5)$0.8x$ 0.8 1
【知识点】
列代数式，单项式的系数与次数，常见数量关系
【点评】
本题为基础概念应用题，结合几何、生活场景的常见数量关系，考察单项式核心概念的掌握情况，易错点是容易误将π当作字母计算次数，以及忽略省略书写的系数1。
【难度系数】
0.8

4. 多项式$-3x^2y + 6x^4y^2 - 0.5x + 7$中，次数最高的项是，一次项的系数是，常数项是，这是次项式。

4.$6x^4y^2$ $-0.5$ 7 六 四

【分析】
解决本题需要先明确多项式的相关基础概念：①多项式中的每个单项式叫做多项式的项，项包含前面的符号；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，多项式的次数由次数最高的项的次数决定；③单项式的系数是单项式中的数字因数，包含符号；④常数项是多项式中不含字母的项。解题时先拆分出多项式的所有项，再分别计算每一项的次数，依次找到最高次项、一次项系数、常数项，最后根据最高次项的次数和总项数确定多项式的类型即可。
【解析】
首先拆分多项式$-3x^2y + 6x^4y^2 - 0.5x + 7$的所有项，分别为：$-3x^2y$、$6x^4y^2$、$-0.5x$、$7$，共4个项。
1. 计算各单项式的次数：
$-3x^2y$的次数为$2+1=3$；
$6x^4y^2$的次数为$4+2=6$；
$-0.5x$的次数为$1$；
$7$是常数项，次数为$0$。
因此次数最高的项是$6x^4y^2$。
2. 一次项为$-0.5x$，其系数为数字部分（含符号），即$-0.5$。
3. 不含字母的项为$7$，即常数项是$7$。
4. 该多项式最高次项的次数为$6$，总共有$4$个项，因此是六次四项式。
【答案】
$6x^4y^2$；$-0.5$；$7$；六；四
【知识点】
多项式的概念；单项式的次数；单项式的系数
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的易错点是容易忽略项前面的符号，计算单项式次数时要注意累加所有字母的指数，熟练掌握相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.8

5. 给出下列代数式：
$3+a, 0, \frac{1}{x}, -a, -\frac{5xy}{3}, \frac{x+2}{4}, 3x^2 -2x +1, a^2 -b^2, a^2b^2$。
单项式：；
多项式：；
整式：。

5. 单项式:$0,-a,-\frac{5xy}{3},a^2b^2$
多项式:$3+a,\frac{x+2}{4},3x^2-2x+1,a^2-b^2$
整式:$0, 3 + a, -a, -\frac{5xy}{3}, \frac{x+2}{4}, 3x^2 - 2x + 1, a^2 - b^2,a^2b^2$

【分析】
解题前首先要明确单项式、多项式、整式的核心定义，再按定义逐个筛选给出的代数式即可。相关定义如下：①单项式：数或字母的积组成的代数式，单独的数、单独的字母也属于单项式，分母含字母的式子不是单项式；②多项式：几个单项式的和叫做多项式；③整式：单项式和多项式统称为整式，分母含字母的式子不属于整式。首先排除非整式$\frac{1}{x}$，再从剩余代数式中区分单项式和多项式，最后合并两类得到整式。
【解析】
1. 先排除非整式：$\frac{1}{x}$的分母含有字母，不属于整式，自然也不是单项式或多项式。
2. 筛选单项式：根据定义判断，$0$是单独的数，$-a$是数与字母的积，$-\frac{5xy}{3}$是数与字母的积，$a^2b^2$是字母的积，以上4个均为单项式。
3. 筛选多项式：根据定义判断，$3+a$是两个单项式的和，$\frac{x+2}{4}$可拆为$\frac{x}{4}$和$\frac{1}{2}$两个单项式的和，$3x^2-2x+1$是三个单项式的和，$a^2-b^2$是两个单项式的和，以上4个均为多项式。
4. 整理整式：整式包含所有单项式和多项式，将上述两类代数式汇总即可。
【答案】
单项式:$0,-a,-\frac{5xy}{3},a^2b^2$
多项式:$3+a,\frac{x+2}{4},3x^2-2x+1,a^2-b^2$
整式:$0, 3 + a, -a, -\frac{5xy}{3}, \frac{x+2}{4}, 3x^2 - 2x + 1, a^2 - b^2,a^2b^2$
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题考查整式相关概念的辨析，解题核心是准确掌握三类代数式的定义，尤其要注意分母含字母的代数式不属于整式，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.8

6. 有一组多项式：$a+b^2,a^2-b^4,a^3+b^6,a^4-b^8,\dots$,请观察它们的构成规律,用你发现的规律写出第10个多项式：。

6.$a^{10}-b^{20}$

【分析】
我们可以将每个多项式拆分为a的项、连接符号、b的项三部分，分别找规律：①观察a的次数：第1个多项式a的次数为1，第2个为2，第3个为3，可得第n个多项式中a的次数等于n；②观察b的次数：第1个b的次数为2=2×1，第2个为4=2×2，第3个为6=2×3，可得第n个多项式中b的次数为2n；③观察连接符号：第1个为“+”，第2个为“-”，第3个为“+”，第4个为“-”，可得n为奇数时符号是“+”，n为偶数时符号是“-”。要求第10个多项式，只需将n=10代入上述规律即可。
【解析】
1. 求a的部分：第n个多项式中a的项为$a^n$，当n=10时，a的项为$a^{10}$；
2. 确定连接符号：n=10是偶数，因此连接符号为“-”；
3. 求b的部分：第n个多项式中b的项为$b^{2n}$，当n=10时，b的次数为$2×10=20$，即b的项为$b^{20}$；
将三部分组合，得到第10个多项式为$a^{10}-b^{20}$。
【答案】
$a^{10}-b^{20}$
【知识点】
多项式的概念，数字规律探究
【点评】
本题是典型的规律探究题，解题核心是把复杂的多项式拆分后分别寻找各部分的变化规律，再代入对应序号计算，能够锻炼学生的观察和归纳总结能力。
【难度系数】
0.85

7. 已知多项式$2x^3y - 3xy^2 +5x^2 -1$，按要求解答下列问题：
(1)该多项式的次数是________，常数项是________，三次项的系数是________；
(2)将这个多项式按$x$的降幂重新排列。

7. 解:(1)4 -1 -3
(2)$2x^3y +5x^2 -3xy^2 -1$。

【分析】
首先解决第(1)问：需要回忆多项式的相关定义，①多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数，②常数项是多项式中不含字母的项，③三次项是次数为3的项，系数是项里的数字因数（含符号）。解题时先拆分多项式的每一项，分别计算每一项的次数，对应找到要求的量即可。然后解决第(2)问：按x的降幂排列的规则是，把所有项按x的指数从大到小的顺序排列，注意移动每一项时要带着该项前面的符号一起移动，不能改变项的正负。
【解析】
(1)先拆分该多项式的所有项，分别计算次数：
项$2x^3y$：字母x的指数为3，y的指数为1，总次数为$3+1=4$；
项$-3xy^2$：字母x的指数为1，y的指数为2，总次数为$1+2=3$；
项$5x^2$：次数为2；
项$-1$：不含字母，为常数项，次数为0。
由此可得：该多项式的最高次项次数为4，即多项式次数为4；常数项是$-1$；三次项为$-3xy^2$，其系数为$-3$。
(2)统计每一项中x的指数：
$2x^3y$中x的指数为3，$5x^2$中x的指数为2，$-3xy^2$中x的指数为1，$-1$中x的指数为0，按x的指数从大到小排列，得到：$2x^3y +5x^2 -3xy^2 -1$。
【答案】
(1)$4$，$-1$，$-3$；(2)$2x^3y +5x^2 -3xy^2 -1$
【知识点】
1.多项式的相关概念 2.多项式的降幂排列
【点评】
本题是多项式基础概念的常规考查题，解题的关键是牢记多项式次数、常数项、项的系数的定义，以及按指定字母降幂排列的规则，注意排列时不要遗漏项前的正负号。
【难度系数】
0.8

8. (1)已知$-5x^3y^{|a|}-(a-5)x-6$是关于$x,y$的八次三项式，求$a^2-2a+1$的值。
(2)对于有理数$a,b$定义一种运算：$a\oplus b=-a+b$，计算$-2\oplus1+4$的值。

8. 解:(1)根据题意,得$|a|=5$且$a-5≠0$,所以$a=-5$,所以$a^2-2a+1=(-5)^2-2×(-5)+1=25+10+1=36$。
(2)根据题意得$-2 \oplus 1+4=(2+1)+4=3+4=7$。

【分析】
(1) 解题先明确八次三项式的定义：一是多项式的最高次项的次数为8，二是多项式共有3个非零项。首先找到最高次项为$-5x^3y^{|a|}$，该项次数为x的次数加y的次数，可列等式$3+|a|=8$求出$|a|$的取值；再根据三项式的要求，一次项系数不能为0，即$a-5≠0$，排除不符合的a值，最后将a代入代数式计算即可。
(2) 这是新定义运算题，先理解运算规则$a⊕b=-a+b$，先把$-2⊕1$按规则转化为常规有理数运算，再加上4计算最终结果即可。
【解析】
(1) 已知$-5x^3y^{|a|}-(a-5)x-6$是关于x,y的八次三项式：
① 由最高次项次数为8可得：$3+|a|=8$，解得$|a|=5$，即$a=5$或$a=-5$；
② 由三项式要求可得：一次项系数$a-5≠0$，即$a≠5$；
综上可得$a=-5$。
将$a=-5$代入$a^2-2a+1$计算：
$a^2-2a+1=(-5)^2-2×(-5)+1=25+10+1=36$。
(2) 根据新定义$a⊕b=-a+b$，先计算$-2⊕1$：
将$a=-2,b=1$代入运算规则，得$-2⊕1=-(-2)+1=2+1=3$；
再计算加4的结果：$3+4=7$。
【答案】
(1) 36；(2) 7
【知识点】
多项式的项与次数，新定义运算，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，主要考察对多项式核心概念的理解，以及新定义运算的规则运用。第一问的易错点是容易忽略三项式的要求，漏掉$a-5≠0$的限制条件导致取值错误，计算过程中要注意符号处理。
【难度系数】
0.7

9. 如图 3-1-6 所示，一块正方形纸板剪去四个相同的三角形后留下了阴影部分所示的图形。已知正方形的边长为 $a$，三角形的高为 $h$。
(1)用式子表示阴影部分的面积；
(2)当 $a=2$，$h=\frac{1}{2}$时，求阴影部分的面积。

9. 解:(1)阴影部分的面积为$a^2-4×\frac{1}{2}ah=a^2-2ah$。
(2)当$a=2,h=\frac{1}{2}$时，
阴影部分的面积为$a^2-2ah=2^2-2×2×\frac{1}{2}=2$。

【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影部分是不规则图形，适合用“整体面积减空白部分面积”的思路求解：①先计算整体正方形的面积；②再计算4个空白三角形的总面积；③用正方形面积减去4个三角形的总面积，即可得到阴影部分面积。第二问只需将给定的a、h的值代入第一问得到的代数式中，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 首先计算正方形的面积：正方形边长为$a$，面积为$a × a = a^2$。
每个空白三角形的底为$a$，高为$h$，单个三角形面积为$\frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2}ah$。
4个相同三角形的总面积为$4 × \frac{1}{2}ah = 2ah$。
因此阴影部分面积 = 正方形面积 - 4个三角形总面积 = $a^2 - 2ah$。
(2) 当$a=2$，$h=\frac{1}{2}$时，将数值代入$a^2-2ah$中计算：
原式$=2^2 - 2 × 2 × \frac{1}{2} = 4 - 2 = 2$。
【答案】
(1) $a^2-2ah$；(2) $2$
【知识点】
列代数式，代数式求值，不规则图形面积计算
【点评】
本题解题核心是掌握不规则图形面积的常用求解思路，即通过转化为规则图形的面积和差来计算，代入求值时要注意先算乘方、再算乘法、最后算加减的运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.8