登录
二、拓展性作业
10. 如图3-1-5①,在长为$a$ m、宽为$b$ m的一块草坪上修了一条1 m宽的笔直小路,则余下草坪的面积应该如何表示? 现为了增加美感,把这条笔直小路改为出口宽为1 m且路两边平行的弯曲小路(如图3-1-5②),则此时余下草坪的面积又该如何表示?
10. 如图3-1-5①,在长为$a$ m、宽为$b$ m的一块草坪上修了一条1 m宽的笔直小路,则余下草坪的面积应该如何表示? 现为了增加美感,把这条笔直小路改为出口宽为1 m且路两边平行的弯曲小路(如图3-1-5②),则此时余下草坪的面积又该如何表示?
答案
10. 解:$a(b-1)\ \mathrm{m}^2$,$a(b-1)\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
先分析图①的笔直小路情况：可通过两种思路求解，一是用原草坪总面积减去小路面积，二是将上下两块草坪拼接，得到长仍为a m、宽为(b-1)m的新长方形，直接计算新长方形面积即可。再分析图②的弯曲小路情况：虽然小路形状为不规则曲线，但小路宽度始终为1m，可利用平移法，将小路两侧的草坪向中间拼接，最终得到和图①余下部分相同的长方形，因此面积与图①余下草坪面积相等。
【解析】
1. 计算图①余下草坪面积：
原长方形草坪面积为 $a× b=ab\ \mathrm{m}^2$，笔直小路是长为a m、宽为1m的长方形，小路面积为 $a×1=a\ \mathrm{m}^2$，因此余下草坪面积为：
$ab-a=a(b-1)\ \mathrm{m}^2$
2. 计算图②余下草坪面积：
弯曲小路的宽度处处为1m，将小路两侧的草坪沿水平方向平移拼接，可得到长为a m、宽为$(b-1)\ \mathrm{m}$的长方形，因此余下草坪面积为：
$a×(b-1)=a(b-1)\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$a(b-1)\ \mathrm{m}^2$，$a(b-1)\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
长方形面积计算，平移法应用，列代数式
【点评】
本题核心是利用转化思想求解面积，不要被弯曲小路的不规则形状干扰，只要小路宽度恒定，就可以通过平移将剩余草坪转化为规则图形计算面积，掌握割补、平移的图形处理方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
先分析图①的笔直小路情况：可通过两种思路求解，一是用原草坪总面积减去小路面积，二是将上下两块草坪拼接，得到长仍为a m、宽为(b-1)m的新长方形，直接计算新长方形面积即可。再分析图②的弯曲小路情况：虽然小路形状为不规则曲线，但小路宽度始终为1m，可利用平移法，将小路两侧的草坪向中间拼接，最终得到和图①余下部分相同的长方形，因此面积与图①余下草坪面积相等。
【解析】
1. 计算图①余下草坪面积：
原长方形草坪面积为 $a× b=ab\ \mathrm{m}^2$，笔直小路是长为a m、宽为1m的长方形，小路面积为 $a×1=a\ \mathrm{m}^2$，因此余下草坪面积为：
$ab-a=a(b-1)\ \mathrm{m}^2$
2. 计算图②余下草坪面积：
弯曲小路的宽度处处为1m，将小路两侧的草坪沿水平方向平移拼接，可得到长为a m、宽为$(b-1)\ \mathrm{m}$的长方形，因此余下草坪面积为：
$a×(b-1)=a(b-1)\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$a(b-1)\ \mathrm{m}^2$，$a(b-1)\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
长方形面积计算，平移法应用，列代数式
【点评】
本题核心是利用转化思想求解面积，不要被弯曲小路的不规则形状干扰，只要小路宽度恒定，就可以通过平移将剩余草坪转化为规则图形计算面积，掌握割补、平移的图形处理方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
11. 用数学的眼光观察：
甲、乙两位同学用标有数字1,2,…,9的9张卡片做游戏。甲同学：“你先从这9张卡片中随意抽取两张(按抽取的先后顺序分别称为“卡片A”和“卡片B”)，别告诉我卡片上是什么数字，然后你把卡片A上的数字先乘5，再加7，乘2，最后加上卡片B上的数字，把最后得到的数告诉我，我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦！”乙同学：“这么神奇？我不信。”
用数学的思维思考：
(1)如果乙同学抽出的卡片A上的数字为3，卡片B上的数字为6，他最后得到的数M为
(2)若乙同学最后得到的数M为76，则卡片A上的数字为
用数学的语言表达：
(3)请你说明：对任意告知的数M，甲同学是如何猜到卡片的。
甲、乙两位同学用标有数字1,2,…,9的9张卡片做游戏。甲同学：“你先从这9张卡片中随意抽取两张(按抽取的先后顺序分别称为“卡片A”和“卡片B”)，别告诉我卡片上是什么数字，然后你把卡片A上的数字先乘5，再加7，乘2，最后加上卡片B上的数字，把最后得到的数告诉我，我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦！”乙同学：“这么神奇？我不信。”
用数学的思维思考：
(1)如果乙同学抽出的卡片A上的数字为3，卡片B上的数字为6，他最后得到的数M为
50
；(2)若乙同学最后得到的数M为76，则卡片A上的数字为
6
，卡片B上的数字为2
。用数学的语言表达：
(3)请你说明：对任意告知的数M，甲同学是如何猜到卡片的。
答案
11. 解:(1)50
解析:$M=(3×5+7)×2+6=50$。
(2)6 2 解析:设卡片 A 上的数字为 $x$,卡片 B 上的数字为 $y$,
则$(5x+7)×2+y=76$,
$10x+14+y=76$,
$10x+y=62$。
因为 $x,y$ 都是 $1,2,\dots,9$ 这 9 个数字中的一个,
所以 $x=6,y=2$。
(3)设卡片 A 上的数字为 $x$,卡片 B 上的数字为 $y$(其中$x,y$ 均为 $1,2,\dots,9$ 这 9 个数字中的一个),
则 $M=2(5x+7)+y=(10x+y)+14$,
得 $M-14=10x+y$,
所以由告知的 $M$ 的值减去 14,所得两位数的十位上的数字为卡片 A 上的数字 $x$,个位上的数字为卡片 B 上的数字 $y$。
解析:$M=(3×5+7)×2+6=50$。
(2)6 2 解析:设卡片 A 上的数字为 $x$,卡片 B 上的数字为 $y$,
则$(5x+7)×2+y=76$,
$10x+14+y=76$,
$10x+y=62$。
因为 $x,y$ 都是 $1,2,\dots,9$ 这 9 个数字中的一个,
所以 $x=6,y=2$。
(3)设卡片 A 上的数字为 $x$,卡片 B 上的数字为 $y$(其中$x,y$ 均为 $1,2,\dots,9$ 这 9 个数字中的一个),
则 $M=2(5x+7)+y=(10x+y)+14$,
得 $M-14=10x+y$,
所以由告知的 $M$ 的值减去 14,所得两位数的十位上的数字为卡片 A 上的数字 $x$,个位上的数字为卡片 B 上的数字 $y$。
解析
【分析】
（1）第一问直接按照题目给出的运算顺序，将卡片A的数字3、卡片B的数字6代入计算，即可得到结果M。
（2）第二问可设卡片A数字为x，卡片B数字为y，根据运算规则列出关于x、y的方程，化简后结合x、y均为1~9的一位正整数的限制，就能求出x、y的值。
（3）第三问将运算规则转化为关于x、y的代数式，化简后找到M与x、y的对应关系，即可说明猜卡片的原理。
【解析】
(1) 根据题意的运算规则，代入A=3，B=6：
$M=(3×5+7)×2+6=(15+7)×2+6=22×2+6=44+6=50$
(2) 设卡片A上的数字为$x$，卡片B上的数字为$y$（$x,y$均为1~9的正整数），根据运算规则列方程：
$(5x+7)×2+y=76$
展开左边得：$10x+14+y=76$
整理得：$10x+y=62$
因为$x$是1~9的一位数，对应两位数的十位，$y$是1~9的一位数，对应两位数的个位，所以$x=6$，$y=2$。
(3) 设卡片A数字为$x$，卡片B数字为$y$（$x,y$均为1~9的正整数），根据运算规则可得：
$M=2(5x+7)+y=10x+14+y$
移项得：$M-14=10x+y$
其中$10x+y$的十位数字就是$x$（卡片A的数字），个位数字就是$y$（卡片B的数字），因此只要将告知的数M减去14，得到的两位数的十位是卡片A的数字，个位是卡片B的数字。
【答案】
(1) $\boxed{50}$
(2) $\boxed{6}$；$\boxed{2}$
(3) 将得到的数M减去14，所得结果的十位数字为卡片A上的数字，个位数字为卡片B上的数字。
【知识点】
1. 代数式求值
2. 整式化简
3. 数字规律应用
【点评】
本题以游戏为背景考查代数式的实际应用，将抽象的代数式运算和生活场景结合，既考查了基础的运算能力，也锻炼了学生用数学思维解决实际问题的意识，整体设计趣味性较强。
【难度系数】
0.7
（1）第一问直接按照题目给出的运算顺序，将卡片A的数字3、卡片B的数字6代入计算，即可得到结果M。
（2）第二问可设卡片A数字为x，卡片B数字为y，根据运算规则列出关于x、y的方程，化简后结合x、y均为1~9的一位正整数的限制，就能求出x、y的值。
（3）第三问将运算规则转化为关于x、y的代数式，化简后找到M与x、y的对应关系，即可说明猜卡片的原理。
【解析】
(1) 根据题意的运算规则，代入A=3，B=6：
$M=(3×5+7)×2+6=(15+7)×2+6=22×2+6=44+6=50$
(2) 设卡片A上的数字为$x$，卡片B上的数字为$y$（$x,y$均为1~9的正整数），根据运算规则列方程：
$(5x+7)×2+y=76$
展开左边得：$10x+14+y=76$
整理得：$10x+y=62$
因为$x$是1~9的一位数，对应两位数的十位，$y$是1~9的一位数，对应两位数的个位，所以$x=6$，$y=2$。
(3) 设卡片A数字为$x$，卡片B数字为$y$（$x,y$均为1~9的正整数），根据运算规则可得：
$M=2(5x+7)+y=10x+14+y$
移项得：$M-14=10x+y$
其中$10x+y$的十位数字就是$x$（卡片A的数字），个位数字就是$y$（卡片B的数字），因此只要将告知的数M减去14，得到的两位数的十位是卡片A的数字，个位是卡片B的数字。
【答案】
(1) $\boxed{50}$
(2) $\boxed{6}$；$\boxed{2}$
(3) 将得到的数M减去14，所得结果的十位数字为卡片A上的数字，个位数字为卡片B上的数字。
【知识点】
1. 代数式求值
2. 整式化简
3. 数字规律应用
【点评】
本题以游戏为背景考查代数式的实际应用，将抽象的代数式运算和生活场景结合，既考查了基础的运算能力，也锻炼了学生用数学思维解决实际问题的意识，整体设计趣味性较强。
【难度系数】
0.7
