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17. (6分)如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的$\odot O$经过点D,与DC交于点E.连接AE,$∠ EAB=∠ EAD$.作$EF⊥ AD$,与AD的延长线交于点F.
(1) 求证:EF是$\odot O$的切线.
(2) 求$∠ C$的度数.
(1) 求证:EF是$\odot O$的切线.
(2) 求$∠ C$的度数.
答案
17.(1) 如图，连接OE.
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA.
∵∠EAB=∠EAD，
∴∠EAD=∠OEA.
∴OE//AF.
∵EF⊥AD，
∴EF⊥OE.
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线
(2) 连接OD，
∵AB//DC，
∴∠BAE=∠DEA.
∵∠EAB=∠EAD，
∴∠EOB=∠EOD.
∴∠EOB=∠EOD=∠DOA=60°.
∴∠C=60°
解析
【分析】
(1) 证明切线常用切线判定定理，需先连接半径OE，再证OE与EF垂直。已知∠EAB=∠EAD，结合同圆半径相等得到的∠OAE=∠OEA，可推出OE与AF平行，再结合EF⊥AD的条件，即可得到OE⊥EF，完成切线证明。
(2) 平行四边形中∠C与∠DAB相等，因此只需计算∠DAB的度数。连接OD，利用平行线的性质和已知的角相等关系，可推导出弧AD、弧DE、弧BE相等，对应的三个圆心角∠DOA、∠EOD、∠EOB相等，三者之和为180°，因此每个圆心角为60°，即可得到∠DAB=60°，即∠C的度数为60°。
【解析】
(1) 证明：连接OE。
∵OA和OE都是⊙O的半径，
∴OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA。
又
∵∠EAB=∠EAD，
∴∠EAD=∠OEA，
∴OE//AF。
∵EF⊥AD，即EF⊥AF，
∴EF⊥OE。
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线。
(2) 解：连接OD。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，∠C=∠DAB，
∴∠BAE=∠DEA。
∵∠EAB=∠EAD，
∴∠DAE=∠DEA，可得弧DE=弧AD，同理弧DE=弧BE，
因此弧AD=弧DE=弧BE，对应的圆心角∠DOA=∠EOD=∠EOB。
∵∠DOA+∠EOD+∠EOB=180°，
∴∠DOA=∠EOD=∠EOB=60°。
∴∠DAB=60°，即∠C=∠DAB=60°。
【答案】
17.(1) 如图，连接OE.
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA.
∵∠EAB=∠EAD，
∴∠EAD=∠OEA.
∴OE//AF.
∵EF⊥AD，
∴EF⊥OE.
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线
(2) 连接OD，
∵AB//DC，
∴∠BAE=∠DEA.
∵∠EAB=∠EAD，
∴∠EOB=∠EOD.
∴∠EOB=∠EOD=∠DOA=60°.
∴∠C=60°
【知识点】
切线的判定；平行四边形的性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆与四边形的综合基础题，既考查了切线判定的常规辅助线作法，也结合了平行四边形和圆的基本性质，解题时需熟练掌握角、线、弧之间的转化关系。
【难度系数】
0.65
(1) 证明切线常用切线判定定理，需先连接半径OE，再证OE与EF垂直。已知∠EAB=∠EAD，结合同圆半径相等得到的∠OAE=∠OEA，可推出OE与AF平行，再结合EF⊥AD的条件，即可得到OE⊥EF，完成切线证明。
(2) 平行四边形中∠C与∠DAB相等，因此只需计算∠DAB的度数。连接OD，利用平行线的性质和已知的角相等关系，可推导出弧AD、弧DE、弧BE相等，对应的三个圆心角∠DOA、∠EOD、∠EOB相等，三者之和为180°，因此每个圆心角为60°，即可得到∠DAB=60°，即∠C的度数为60°。
【解析】
(1) 证明：连接OE。
∵OA和OE都是⊙O的半径，
∴OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA。
又
∵∠EAB=∠EAD，
∴∠EAD=∠OEA，
∴OE//AF。
∵EF⊥AD，即EF⊥AF，
∴EF⊥OE。
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线。
(2) 解：连接OD。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，∠C=∠DAB，
∴∠BAE=∠DEA。
∵∠EAB=∠EAD，
∴∠DAE=∠DEA，可得弧DE=弧AD，同理弧DE=弧BE，
因此弧AD=弧DE=弧BE，对应的圆心角∠DOA=∠EOD=∠EOB。
∵∠DOA+∠EOD+∠EOB=180°，
∴∠DOA=∠EOD=∠EOB=60°。
∴∠DAB=60°，即∠C=∠DAB=60°。
【答案】
17.(1) 如图，连接OE.
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA.
∵∠EAB=∠EAD，
∴∠EAD=∠OEA.
∴OE//AF.
∵EF⊥AD，
∴EF⊥OE.
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线
(2) 连接OD，
∵AB//DC，
∴∠BAE=∠DEA.
∵∠EAB=∠EAD，
∴∠EOB=∠EOD.
∴∠EOB=∠EOD=∠DOA=60°.
∴∠C=60°
【知识点】
切线的判定；平行四边形的性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆与四边形的综合基础题，既考查了切线判定的常规辅助线作法，也结合了平行四边形和圆的基本性质，解题时需熟练掌握角、线、弧之间的转化关系。
【难度系数】
0.65
18.（8分）分别按要求完成下列作图(保留作图痕迹,不写作法).
(1) 如图①,在△ABC中,∠C=90°,用无刻度的直尺和圆规作Rt△ABC的外接圆.
(2) 如图②,在方格纸中,⊙P经过格点M,N,用无刻度的直尺确定圆心P的位置.
(3) 如图③,△ABC的顶点A,B在⊙O上,点C在⊙O内,∠ACB=90°.用无刻度的直尺画⊙O的内接△ADE,使△ADE有一个内角的度数等于∠BAC的值.
(1) 如图①,在△ABC中,∠C=90°,用无刻度的直尺和圆规作Rt△ABC的外接圆.
(2) 如图②,在方格纸中,⊙P经过格点M,N,用无刻度的直尺确定圆心P的位置.
(3) 如图③,△ABC的顶点A,B在⊙O上,点C在⊙O内,∠ACB=90°.用无刻度的直尺画⊙O的内接△ADE,使△ADE有一个内角的度数等于∠BAC的值.
答案
18.(1) 如图①，作线段AB的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径画圆，则⊙O即为所求
(2) 如图②，设过点M的格线交圆于点A，过点N的格线交圆于点K，T，连接AB，KT交于点P，点P即为所求
(3) 如图③，延长BC交⊙O于点E，连接EO并延长交⊙O于点D，连接AE，AD.或如图④，延长BC交⊙O于点E，连接AO并延长交⊙O于点D，连接AE，ED，△ADE即为所求
解析
【分析】
(1) 直角三角形的外接圆直径为斜边，依据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知Rt△ABC的外接圆直径是AB，圆心为AB的中点。因此只需作出AB的垂直平分线找到AB中点作为圆心，以中点到A的距离为半径画圆即可。
(2) 圆的圆心是圆内任意两条不平行弦的垂直平分线的交点，也可根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，找到圆的两条直径，两条直径的交点即为圆心P。在方格中可借助格线构造圆内的弦，得到两条直径后取交点即可。
(3) 要构造⊙O的内接△ADE，使其有一个内角等于∠BAC，可利用“同弧所对的圆周角相等”的性质：先延长BC交⊙O于点E，得到∠ABC=∠AED，再作出⊙O的一条直径，利用直径所对圆周角为直角，结合∠BAC+∠ABC=90°，即可得到与∠BAC相等的角，完成作图。
【解析】
(1) ①分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于两个交点，过两个交点作直线，即为AB的垂直平分线，该直线交AB于点O；②以O为圆心，OA（或OB）的长度为半径作圆，所得⊙O就是Rt△ABC的外接圆。
(2) 找到过M点的格线与⊙P的另一个交点得到弦，找到过N点的格线与⊙P的两个交点得到另一条弦，利用90°圆周角对应直径的性质，连接对应端点得到两条直径，两条直径的交点就是圆心P。
(3) 方法一：①延长BC，交⊙O于点E；②连接EO并延长，交⊙O于点D；③连接AD、AE，得到△ADE。
方法二：①延长BC，交⊙O于点E；②连接AO并延长，交⊙O于点D；③连接ED、AE，得到△ADE。
【答案】
18.(1) 如图①，作线段AB的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径画圆，则⊙O即为所求
(2) 如图②，设过点M的格线交圆于点A，过点N的格线交圆于点K，T，连接AB，KT交于点P，点P即为所求
(3) 如图③，延长BC交⊙O于点E，连接EO并延长交⊙O于点D，连接AE，AD.或如图④，延长BC交⊙O于点E，连接AO并延长交⊙O于点D，连接AE，ED，△ADE即为所求
【知识点】
外接圆的作法，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题为几何作图综合题，结合圆的核心性质考查动手操作能力，需要熟练掌握直角三角形外接圆的特征、圆心的确定方法以及圆周角相关定理，结合图形特征灵活运用性质完成作图。
【难度系数】
0.6
(1) 直角三角形的外接圆直径为斜边，依据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知Rt△ABC的外接圆直径是AB，圆心为AB的中点。因此只需作出AB的垂直平分线找到AB中点作为圆心，以中点到A的距离为半径画圆即可。
(2) 圆的圆心是圆内任意两条不平行弦的垂直平分线的交点，也可根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，找到圆的两条直径，两条直径的交点即为圆心P。在方格中可借助格线构造圆内的弦，得到两条直径后取交点即可。
(3) 要构造⊙O的内接△ADE，使其有一个内角等于∠BAC，可利用“同弧所对的圆周角相等”的性质：先延长BC交⊙O于点E，得到∠ABC=∠AED，再作出⊙O的一条直径，利用直径所对圆周角为直角，结合∠BAC+∠ABC=90°，即可得到与∠BAC相等的角，完成作图。
【解析】
(1) ①分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于两个交点，过两个交点作直线，即为AB的垂直平分线，该直线交AB于点O；②以O为圆心，OA（或OB）的长度为半径作圆，所得⊙O就是Rt△ABC的外接圆。
(2) 找到过M点的格线与⊙P的另一个交点得到弦，找到过N点的格线与⊙P的两个交点得到另一条弦，利用90°圆周角对应直径的性质，连接对应端点得到两条直径，两条直径的交点就是圆心P。
(3) 方法一：①延长BC，交⊙O于点E；②连接EO并延长，交⊙O于点D；③连接AD、AE，得到△ADE。
方法二：①延长BC，交⊙O于点E；②连接AO并延长，交⊙O于点D；③连接ED、AE，得到△ADE。
【答案】
18.(1) 如图①，作线段AB的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径画圆，则⊙O即为所求
(2) 如图②，设过点M的格线交圆于点A，过点N的格线交圆于点K，T，连接AB，KT交于点P，点P即为所求
(3) 如图③，延长BC交⊙O于点E，连接EO并延长交⊙O于点D，连接AE，AD.或如图④，延长BC交⊙O于点E，连接AO并延长交⊙O于点D，连接AE，ED，△ADE即为所求
【知识点】
外接圆的作法，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题为几何作图综合题，结合圆的核心性质考查动手操作能力，需要熟练掌握直角三角形外接圆的特征、圆心的确定方法以及圆周角相关定理，结合图形特征灵活运用性质完成作图。
【难度系数】
0.6
