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19. (8分)某农场打算用长 32 m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔,现有一面长8 m 的墙可利用.
【解决问题】按图①的围法,若长方形的面积为 78 m²,求长方形的两边长.
【方案设计】若围成长方形的面积恰好为 99 m²,请在图②中画出满足要求的一种方案,并标出每段篱笆的长度.
(第 19 题)
【解决问题】按图①的围法,若长方形的面积为 78 m²,求长方形的两边长.
【方案设计】若围成长方形的面积恰好为 99 m²,请在图②中画出满足要求的一种方案,并标出每段篱笆的长度.
(第 19 题)
答案
19.【解决问题】设垂直于墙面的一边长$x$ m，则平行于墙面的一边为$(32-2x)$m.根据题意，得$x(32-2x)=78$.解得$x=3$或$x=13$.
∴$32-2x=32-2×3=26$(大于8，舍去)或$32-2x=32-2×13=6$.
∴垂直于墙面的一边长13 m，平行于墙面的一边为6 m
【方案设计】设垂直于墙面的一边长$p$ m，平行于墙面的一边为$q$ m.根据题意，得$\begin{cases}2p+2q-8=32,\\pq=99.\end{cases}$解得$\begin{cases}p=9,\\q=11,\end{cases}$或$\begin{cases}p=11,\\q=9.\end{cases}$
∴垂直于墙面的一边长9 m，平行于墙面的一边为11 m 或垂直于墙面的一边长11 m，平行于墙面的一边为9 m.画出如图的一种方案
解析
【分析】
解决问题思路
首先明确图①的围法特征：仅平行于墙面的边可借助8m长的墙，因此篱笆只需围3条边，即2条垂直于墙面的边、1条平行于墙面的边。我们设垂直于墙面的边长为$x$m，那么平行于墙面的边长为篱笆总长减去2倍垂直边长，也就是$(32-2x)$m，同时平行于墙面的边长不能超过墙的长度8m。再根据矩形面积公式“面积=长×宽”列一元二次方程，求解后验证解是否符合墙长限制，舍去不符合实际的解即可得到边长。
方案设计思路
先判断图①的围法能否达到$99\ \mathrm{m}^2$：当平行于墙面的边取最大长度8m时，垂直边长为$(32-8)÷2=12$m，最大面积为$8×12=96\ \mathrm{m}^2＜99\ \mathrm{m}^2$，因此需要调整围法，把8m的墙作为矩形的一段边（即矩形平行于墙的边长大于8m，其中8m用墙体代替，剩余部分用篱笆补齐）。此时设矩形垂直于墙面的边长为$p$m，平行于墙面的边长为$q$m，篱笆总长等于矩形周长减去墙体长度8m，结合面积为$99\ \mathrm{m}^2$列方程组求解，选取合理的解标注长度即可。
【解析】
【解决问题】
设垂直于墙面的一边长为$x$ m，则平行于墙面的一边长为$(32-2x)$ m，根据矩形面积为$78\ \mathrm{m}^2$列方程：
$x(32-2x)=78$
整理得：$x^2-16x+39=0$
因式分解得：$(x-3)(x-13)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=13$
当$x=3$时，$32-2x=26＞8$，超出墙的长度，不符合实际，舍去；
当$x=13$时，$32-2x=6＜8$，符合要求。
【方案设计】
图①围法的最大面积为$96\ \mathrm{m}^2＜99\ \mathrm{m}^2$，因此将墙体作为矩形平行边的一部分，设矩形垂直于墙面的边长为$p$ m，平行于墙面的边长为$q$ m，根据题意联立方程组：
$\begin{cases}2p+2q-8=32\\pq=99\end{cases}$
化简第一个方程得$p+q=20$，即$q=20-p$，代入第二个方程得：
$p(20-p)=99$
整理得$p^2-20p+99=0$，因式分解得$(p-9)(p-11)=0$，解得$\begin{cases}p=9\\q=11\end{cases}$或$\begin{cases}p=11\\q=9\end{cases}$，两组解均符合实际要求，选取其中一组标注长度即可。
【答案】
【解决问题】垂直于墙面的一边长13 m，平行于墙面的一边为6 m。
【方案设计】垂直于墙面的一边长9 m，平行于墙面的一边为11 m（或垂直于墙面的一边长11 m，平行于墙面的一边为9 m），方案如图：
【知识点】
一元二次方程应用；矩形周长与面积计算；实际问题解的检验
【点评】
本题结合围篱笆的生活场景，考查一元二次方程在实际问题中的应用，解题时需注意结合墙体长度的限制对解进行合理性检验，方案设计部分需要突破固定围法的思维限制，灵活利用墙体构建图形，能有效锻炼逻辑思维和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.6
解决问题思路
首先明确图①的围法特征：仅平行于墙面的边可借助8m长的墙，因此篱笆只需围3条边，即2条垂直于墙面的边、1条平行于墙面的边。我们设垂直于墙面的边长为$x$m，那么平行于墙面的边长为篱笆总长减去2倍垂直边长，也就是$(32-2x)$m，同时平行于墙面的边长不能超过墙的长度8m。再根据矩形面积公式“面积=长×宽”列一元二次方程，求解后验证解是否符合墙长限制，舍去不符合实际的解即可得到边长。
方案设计思路
先判断图①的围法能否达到$99\ \mathrm{m}^2$：当平行于墙面的边取最大长度8m时，垂直边长为$(32-8)÷2=12$m，最大面积为$8×12=96\ \mathrm{m}^2＜99\ \mathrm{m}^2$，因此需要调整围法，把8m的墙作为矩形的一段边（即矩形平行于墙的边长大于8m，其中8m用墙体代替，剩余部分用篱笆补齐）。此时设矩形垂直于墙面的边长为$p$m，平行于墙面的边长为$q$m，篱笆总长等于矩形周长减去墙体长度8m，结合面积为$99\ \mathrm{m}^2$列方程组求解，选取合理的解标注长度即可。
【解析】
【解决问题】
设垂直于墙面的一边长为$x$ m，则平行于墙面的一边长为$(32-2x)$ m，根据矩形面积为$78\ \mathrm{m}^2$列方程：
$x(32-2x)=78$
整理得：$x^2-16x+39=0$
因式分解得：$(x-3)(x-13)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=13$
当$x=3$时，$32-2x=26＞8$，超出墙的长度，不符合实际，舍去；
当$x=13$时，$32-2x=6＜8$，符合要求。
【方案设计】
图①围法的最大面积为$96\ \mathrm{m}^2＜99\ \mathrm{m}^2$，因此将墙体作为矩形平行边的一部分，设矩形垂直于墙面的边长为$p$ m，平行于墙面的边长为$q$ m，根据题意联立方程组：
$\begin{cases}2p+2q-8=32\\pq=99\end{cases}$
化简第一个方程得$p+q=20$，即$q=20-p$，代入第二个方程得：
$p(20-p)=99$
整理得$p^2-20p+99=0$，因式分解得$(p-9)(p-11)=0$，解得$\begin{cases}p=9\\q=11\end{cases}$或$\begin{cases}p=11\\q=9\end{cases}$，两组解均符合实际要求，选取其中一组标注长度即可。
【答案】
【解决问题】垂直于墙面的一边长13 m，平行于墙面的一边为6 m。
【方案设计】垂直于墙面的一边长9 m，平行于墙面的一边为11 m（或垂直于墙面的一边长11 m，平行于墙面的一边为9 m），方案如图：
【知识点】
一元二次方程应用；矩形周长与面积计算；实际问题解的检验
【点评】
本题结合围篱笆的生活场景，考查一元二次方程在实际问题中的应用，解题时需注意结合墙体长度的限制对解进行合理性检验，方案设计部分需要突破固定围法的思维限制，灵活利用墙体构建图形，能有效锻炼逻辑思维和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.6
20. (8分)如图,一次函数$y=2x+2$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象相交于点$A(1,a)$,与$x$轴、$y$轴分别相交于点$B,C$.
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 点$P$在线段$AB$上,过点$P$作$x$轴的平行线交反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象于点$Q$,当$PQ=4.5$时,求点$Q$的坐标.
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 点$P$在线段$AB$上,过点$P$作$x$轴的平行线交反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象于点$Q$,当$PQ=4.5$时,求点$Q$的坐标.
答案
20.(1) 依题意，得点$A(1,a)$在一次函数$y=2x+2$的图象上.
∴$a=2×1+2=4$.
∴点$A(1,4)$.
∵点$A(1,4)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$k=1×4=4$.
∴反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$
(2) 对于$y=2x+2$，当$y=0$时，$x=-1$，
∴点$B$的坐标为$(-1,0)$.
∵点$P$在线段$AB$上，
∴设点$P$的坐标为$(t,2t+2)$，其中$-1≤ t≤1$.
∵$PQ// x$轴，
∴点$P$的纵坐标为$2t+2$.
∵点$Q$在反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的图象上，
∴点$Q$的坐标为$(\dfrac{2}{t+1},2t+2)$.
∵$PQ=4.5$，
∴$\dfrac{2}{t+1}-t=4.5$.整理，得$2t^2+11t+5=0$.解得$t=-0.5$，$t=-5$(不合题意，舍去).当$t=-0.5$时，$\dfrac{2}{t+1}=4$，$2t+2=2×(-0.5)+2=1$，
∴点$Q$的坐标为$(4,1)$
∴$a=2×1+2=4$.
∴点$A(1,4)$.
∵点$A(1,4)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$k=1×4=4$.
∴反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$
(2) 对于$y=2x+2$，当$y=0$时，$x=-1$，
∴点$B$的坐标为$(-1,0)$.
∵点$P$在线段$AB$上，
∴设点$P$的坐标为$(t,2t+2)$，其中$-1≤ t≤1$.
∵$PQ// x$轴，
∴点$P$的纵坐标为$2t+2$.
∵点$Q$在反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的图象上，
∴点$Q$的坐标为$(\dfrac{2}{t+1},2t+2)$.
∵$PQ=4.5$，
∴$\dfrac{2}{t+1}-t=4.5$.整理，得$2t^2+11t+5=0$.解得$t=-0.5$，$t=-5$(不合题意，舍去).当$t=-0.5$时，$\dfrac{2}{t+1}=4$，$2t+2=2×(-0.5)+2=1$，
∴点$Q$的坐标为$(4,1)$
解析
【分析】
(1) 要确定反比例函数的表达式，需先求出点A的坐标：点A在一次函数图象上，将A的横坐标代入一次函数解析式即可求出纵坐标a，得到A点坐标后，代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$即可求出k的值，得到反比例函数表达式。
(2) PQ平行于x轴，说明P、Q两点纵坐标相等。先设线段AB上点P的横坐标为t，用t表示出P的纵坐标，再根据Q在反比例函数图象上且纵坐标与P相同，写出Q的坐标，根据PQ长度为4.5（Q在P右侧，横坐标差等于PQ长度）列方程求解，结合t的取值范围舍去不符合的解，最终得到Q的坐标。
【解析】
(1)
∵点$A(1,a)$在一次函数$y=2x+2$的图象上
∴将$x=1$代入一次函数解析式，得$a=2×1+2=4$，即A点坐标为$(1,4)$
又
∵点$A(1,4)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上
∴将A点坐标代入反比例函数，得$k=1×4=4$
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$
(2) 先求一次函数与x轴交点B的坐标：令$y=2x+2$中$y=0$，解得$x=-1$，即$B(-1,0)$
∵点P在线段AB上，设点P的坐标为$(t,2t+2)$，其中t的取值范围为$-1≤t≤1$
∵$PQ// x$轴，
∴Q点的纵坐标与P点相同，为$2t+2$
又
∵Q在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，将$y=2t+2$代入得$x=\frac{4}{2t+2}=\frac{2}{t+1}$，即Q点坐标为$(\frac{2}{t+1},2t+2)$
∵$PQ=4.5$，且Q在P的右侧，横坐标差等于PQ长度，因此列方程：
$\frac{2}{t+1}-t=4.5$
整理得$2t^2+11t+5=0$，解得$t_1=-0.5$，$t_2=-5$
∵$-5$不在t的取值范围$-1≤t≤1$内，舍去$t=-5$
将$t=-0.5$代入Q点坐标：横坐标$\frac{2}{-0.5+1}=4$，纵坐标$2×(-0.5)+2=1$
∴Q点坐标为$(4,1)$
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{4}{x}}$；(2) 点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(4,1)}$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 一次函数图象上点的坐标特征
3. 平行于坐标轴的线段长度计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题关键是利用函数图象上点的坐标满足对应解析式，结合平行于x轴的点纵坐标相等的性质建立方程求解，求解后要注意根据点的位置对所得的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定反比例函数的表达式，需先求出点A的坐标：点A在一次函数图象上，将A的横坐标代入一次函数解析式即可求出纵坐标a，得到A点坐标后，代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$即可求出k的值，得到反比例函数表达式。
(2) PQ平行于x轴，说明P、Q两点纵坐标相等。先设线段AB上点P的横坐标为t，用t表示出P的纵坐标，再根据Q在反比例函数图象上且纵坐标与P相同，写出Q的坐标，根据PQ长度为4.5（Q在P右侧，横坐标差等于PQ长度）列方程求解，结合t的取值范围舍去不符合的解，最终得到Q的坐标。
【解析】
(1)
∵点$A(1,a)$在一次函数$y=2x+2$的图象上
∴将$x=1$代入一次函数解析式，得$a=2×1+2=4$，即A点坐标为$(1,4)$
又
∵点$A(1,4)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上
∴将A点坐标代入反比例函数，得$k=1×4=4$
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$
(2) 先求一次函数与x轴交点B的坐标：令$y=2x+2$中$y=0$，解得$x=-1$，即$B(-1,0)$
∵点P在线段AB上，设点P的坐标为$(t,2t+2)$，其中t的取值范围为$-1≤t≤1$
∵$PQ// x$轴，
∴Q点的纵坐标与P点相同，为$2t+2$
又
∵Q在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，将$y=2t+2$代入得$x=\frac{4}{2t+2}=\frac{2}{t+1}$，即Q点坐标为$(\frac{2}{t+1},2t+2)$
∵$PQ=4.5$，且Q在P的右侧，横坐标差等于PQ长度，因此列方程：
$\frac{2}{t+1}-t=4.5$
整理得$2t^2+11t+5=0$，解得$t_1=-0.5$，$t_2=-5$
∵$-5$不在t的取值范围$-1≤t≤1$内，舍去$t=-5$
将$t=-0.5$代入Q点坐标：横坐标$\frac{2}{-0.5+1}=4$，纵坐标$2×(-0.5)+2=1$
∴Q点坐标为$(4,1)$
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{4}{x}}$；(2) 点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(4,1)}$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 一次函数图象上点的坐标特征
3. 平行于坐标轴的线段长度计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题关键是利用函数图象上点的坐标满足对应解析式，结合平行于x轴的点纵坐标相等的性质建立方程求解，求解后要注意根据点的位置对所得的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
