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21. (10分)商家销售某些饮品时会给杯子套一个杯套，方便拿取.小欣受到启发，准备为家中如图①所示的两种玻璃杯也配上杯套(忽略杯套的连接部分和杯套的厚度).
(1) 小欣家直身杯的杯口直径为7 cm，她要制作高度为6 cm的杯套，则此杯套的面积为
(2) 小欣发现阔口杯近似为圆台形状(即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分)，如图②所示，通过测量，杯子口径$AB=9\ \mathrm{cm}$，底面直径$CD=4\ \mathrm{cm}$，母线长$AC$，$BD$均为$7.5\ \mathrm{cm}$.为了制作此杯套，小欣进行了以下探究：
① 如图③，小欣画出阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分，且$\frac{\overset{\frown}{AA'}\mathrm{的长}}{\overset{\frown}{CC'}\mathrm{的长}}=\frac{AP}{CP}$，请证明这个结论，并求出$\overset{\frown}{AA'}$所对的圆心角$∠ APA'$的度数.
② 图④是小欣画出阔口杯杯套的设计图.现有一张矩形杯套材料，如图⑤所示，$DE=7.5\ \mathrm{cm}$，$EF=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，为了充分利用材料，请在图⑤的矩形中画出杯套侧面展开图示意图(杯套示意图无拼接)，并直接写出用该材料制作此阔口杯套的母线$MN$的最大长度.
(1) 小欣家直身杯的杯口直径为7 cm，她要制作高度为6 cm的杯套，则此杯套的面积为
$42π$
cm²(结果保留π).(2) 小欣发现阔口杯近似为圆台形状(即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分)，如图②所示，通过测量，杯子口径$AB=9\ \mathrm{cm}$，底面直径$CD=4\ \mathrm{cm}$，母线长$AC$，$BD$均为$7.5\ \mathrm{cm}$.为了制作此杯套，小欣进行了以下探究：
① 如图③，小欣画出阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分，且$\frac{\overset{\frown}{AA'}\mathrm{的长}}{\overset{\frown}{CC'}\mathrm{的长}}=\frac{AP}{CP}$，请证明这个结论，并求出$\overset{\frown}{AA'}$所对的圆心角$∠ APA'$的度数.
② 图④是小欣画出阔口杯杯套的设计图.现有一张矩形杯套材料，如图⑤所示，$DE=7.5\ \mathrm{cm}$，$EF=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，为了充分利用材料，请在图⑤的矩形中画出杯套侧面展开图示意图(杯套示意图无拼接)，并直接写出用该材料制作此阔口杯套的母线$MN$的最大长度.
答案
21.(1) 根据题意，得$S=2π rh=42π$
(2) ① 设$\overset{\frown}{AA'}$与$\overset{\frown}{CC'}$所对的圆心角为$n°$，
∴$\overset{\frown}{AA'}$的长$=\dfrac{n}{360}·2π· PA=\dfrac{nπ}{180}· PA$，$\overset{\frown}{CC'}$的长$=\dfrac{n}{360}·2π· PC=\dfrac{nπ}{180}· PC$.
∴$\dfrac{\overset{\frown}{AA'}\mathrm{的长}}{\overset{\frown}{CC'}\mathrm{的长}}=\dfrac{AP}{CP}$.
∵杯子上口径$AB=9$ cm，下底面直径$CD=4$ cm，
∴$\overset{\frown}{AA'}$的长$=9π$，$\overset{\frown}{CC'}$的长$=4π$，$PA=PC+7.5$.设$PC=x$，则$\dfrac{9}{4}=\dfrac{x+7.5}{x}$.解得$x=6$.
∴$PC=6$，$PA=13.5$.
∴$\overset{\frown}{CC'}$的长为$4π$.解得$n=120$，即$\overset{\frown}{AA'}$所对的圆心角$∠APA'$的度数为$120°$.
② 如图，连接$MM'$交$PQ$于点$T$，设$ON=a$ cm，$MN=b$ cm，则$OM=(a+b)$ cm.由①知，$∠MOM'=120°$，由对称性可知，$P$为$DG$的中点，$TM=TM'$，$NR=N'R$，$R$为$EF$的中点，
∴$\overset{\frown}{MM'}$的长$=\dfrac{120}{360}·2π·(a+b)=\dfrac{2}{3}π(a+b)$，$\overset{\frown}{NN'}$的长$=\dfrac{2}{3}π a$，$ER=\dfrac{1}{2}EF=6\sqrt{3}$.作$PQ⊥MM'$，
∴$MM'// EF$.
∵$∠MOM'=120°$，$OM=OM'$，
∴$∠NMM'=∠ONN'=30°$.
∴$OR=\dfrac{1}{2}ON=\dfrac{1}{2}a$ cm，$MT=\sqrt{3}OT=\dfrac{\sqrt{3}}{2}(a+b)$ cm.
∴$PR=OP-OR=(\dfrac{1}{2}a+b)$ cm.由$\overset{\frown}{MM'}$的长≤杯子口周长，$\overset{\frown}{NN'}$的长≥杯子底周长，$2MT≤ EF$，$PR≤ DE$，得$\begin{cases}\dfrac{2}{3}π(a+b)≤9π,\\\dfrac{2}{3}π a≥4π,\\\sqrt{3}(a+b)≤12\sqrt{3},\\\dfrac{1}{2}a+b≤7.5,\end{cases}$解得$b≤4.5$，即$MN$的最大长度为4.5 cm
解析
【分析】
(1) 直身杯杯套对应圆柱的侧面积，直接利用圆柱侧面积公式$S=2π rh$，代入已知的直径和高度即可计算结果。
(2) ① 要证明弧长比等于对应半径比，可设公共圆心角为$n°$，分别用弧长公式表示两个弧长，作比后消去公共项即可得证；再结合圆台上下底周长等于展开图对应弧长，设小扇形半径为$x$，通过比例关系列方程求出半径，再代入弧长公式即可求出圆心角度数。
② 结合矩形的边长限制和120°圆心角扇形的边角性质，根据弧长要求、矩形长宽限制列不等式组，求解即可得到母线$MN$的最大长度。
【解析】
(1) 直身杯杯口直径为7cm，故半径$r=\frac{7}{2}\ \mathrm{cm}$，杯套高度$h=6\ \mathrm{cm}$，杯套面积为圆柱侧面积：
$S=2π rh=2π×\frac{7}{2}×6=42π\ \mathrm{cm}^2$。
(2) ① 证明：设$\overset{\frown}{AA'}$与$\overset{\frown}{CC'}$所对的圆心角为$n°$，
根据弧长公式得：$\overset{\frown}{AA'}$的长$=\frac{n}{360}·2π· PA=\frac{nπ}{180}· PA$，$\overset{\frown}{CC'}$的长$=\frac{n}{360}·2π· PC=\frac{nπ}{180}· PC$，
两式作比得$\frac{\overset{\frown}{AA'}\mathrm{的长}}{\overset{\frown}{CC'}\mathrm{的长}}=\frac{AP}{CP}$，结论得证。
求圆心角度数：
∵ 杯子上口径$AB=9\ \mathrm{cm}$，下底面直径$CD=4\ \mathrm{cm}$，
∴ $\overset{\frown}{AA'}$的长为上底周长$9π\ \mathrm{cm}$，$\overset{\frown}{CC'}$的长为下底周长$4π\ \mathrm{cm}$，且$PA=PC+7.5$。
设$PC=x\ \mathrm{cm}$，则$PA=(x+7.5)\ \mathrm{cm}$，代入比例得$\frac{9}{4}=\frac{x+7.5}{x}$，解得$x=6$，即$PC=6\ \mathrm{cm}$，$PA=13.5\ \mathrm{cm}$。
将$\overset{\frown}{CC'}=4π$，$PC=6$代入弧长公式：$4π=\frac{nπ×6}{180}$，解得$n=120$，即$∠ APA'$的度数为$120°$。
② 设$ON=a\ \mathrm{cm}$，$MN=b\ \mathrm{cm}$，则$OM=(a+b)\ \mathrm{cm}$，由①知展开图圆心角$∠ MOM'=120°$，由对称性可得$MM'// EF$，等腰$△ MOM'$底角为$30°$，故$MM'=\sqrt{3}(a+b)$，$O$到$NN'$的距离为$\frac{1}{2}a$，$O$到$MM'$的距离为$\frac{1}{2}(a+b)$。
结合限制条件列不等式组：
$\begin{cases}\dfrac{2}{3}π(a+b)≤9π\\\dfrac{2}{3}π a≥4π\\\sqrt{3}(a+b)≤12\sqrt{3}\\\dfrac{1}{2}a+b≤7.5\end{cases}$
化简得$\begin{cases}a+b≤13.5\\a≥6\\a+b≤12\\b≤7.5-\dfrac{a}{2}\end{cases}$，结合$a≥6$得$b≤7.5-3=4.5$，即$MN$的最大长度为4.5 cm。
杯套侧面展开图示意图如下：
【答案】
(1) $\boxed{42π}$
(2) ① 证明见解析，$∠ APA'$的度数为$\boxed{120°}$；② 示意图见解析，$MN$的最大长度为$\boxed{4.5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1. 圆柱侧面积计算
2. 弧长公式应用
3. 扇形性质
【点评】
本题结合生活实际场景命题，综合考查了几何体侧面积、弧长公式、扇形性质的应用，既要求熟练掌握基础公式，也需要结合图形特征建立方程、不等式关系求解，能够锻炼综合分析问题、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.4
(1) 直身杯杯套对应圆柱的侧面积，直接利用圆柱侧面积公式$S=2π rh$，代入已知的直径和高度即可计算结果。
(2) ① 要证明弧长比等于对应半径比，可设公共圆心角为$n°$，分别用弧长公式表示两个弧长，作比后消去公共项即可得证；再结合圆台上下底周长等于展开图对应弧长，设小扇形半径为$x$，通过比例关系列方程求出半径，再代入弧长公式即可求出圆心角度数。
② 结合矩形的边长限制和120°圆心角扇形的边角性质，根据弧长要求、矩形长宽限制列不等式组，求解即可得到母线$MN$的最大长度。
【解析】
(1) 直身杯杯口直径为7cm，故半径$r=\frac{7}{2}\ \mathrm{cm}$，杯套高度$h=6\ \mathrm{cm}$，杯套面积为圆柱侧面积：
$S=2π rh=2π×\frac{7}{2}×6=42π\ \mathrm{cm}^2$。
(2) ① 证明：设$\overset{\frown}{AA'}$与$\overset{\frown}{CC'}$所对的圆心角为$n°$，
根据弧长公式得：$\overset{\frown}{AA'}$的长$=\frac{n}{360}·2π· PA=\frac{nπ}{180}· PA$，$\overset{\frown}{CC'}$的长$=\frac{n}{360}·2π· PC=\frac{nπ}{180}· PC$，
两式作比得$\frac{\overset{\frown}{AA'}\mathrm{的长}}{\overset{\frown}{CC'}\mathrm{的长}}=\frac{AP}{CP}$，结论得证。
求圆心角度数：
∵ 杯子上口径$AB=9\ \mathrm{cm}$，下底面直径$CD=4\ \mathrm{cm}$，
∴ $\overset{\frown}{AA'}$的长为上底周长$9π\ \mathrm{cm}$，$\overset{\frown}{CC'}$的长为下底周长$4π\ \mathrm{cm}$，且$PA=PC+7.5$。
设$PC=x\ \mathrm{cm}$，则$PA=(x+7.5)\ \mathrm{cm}$，代入比例得$\frac{9}{4}=\frac{x+7.5}{x}$，解得$x=6$，即$PC=6\ \mathrm{cm}$，$PA=13.5\ \mathrm{cm}$。
将$\overset{\frown}{CC'}=4π$，$PC=6$代入弧长公式：$4π=\frac{nπ×6}{180}$，解得$n=120$，即$∠ APA'$的度数为$120°$。
② 设$ON=a\ \mathrm{cm}$，$MN=b\ \mathrm{cm}$，则$OM=(a+b)\ \mathrm{cm}$，由①知展开图圆心角$∠ MOM'=120°$，由对称性可得$MM'// EF$，等腰$△ MOM'$底角为$30°$，故$MM'=\sqrt{3}(a+b)$，$O$到$NN'$的距离为$\frac{1}{2}a$，$O$到$MM'$的距离为$\frac{1}{2}(a+b)$。
结合限制条件列不等式组：
$\begin{cases}\dfrac{2}{3}π(a+b)≤9π\\\dfrac{2}{3}π a≥4π\\\sqrt{3}(a+b)≤12\sqrt{3}\\\dfrac{1}{2}a+b≤7.5\end{cases}$
化简得$\begin{cases}a+b≤13.5\\a≥6\\a+b≤12\\b≤7.5-\dfrac{a}{2}\end{cases}$，结合$a≥6$得$b≤7.5-3=4.5$，即$MN$的最大长度为4.5 cm。
杯套侧面展开图示意图如下：
【答案】
(1) $\boxed{42π}$
(2) ① 证明见解析，$∠ APA'$的度数为$\boxed{120°}$；② 示意图见解析，$MN$的最大长度为$\boxed{4.5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1. 圆柱侧面积计算
2. 弧长公式应用
3. 扇形性质
【点评】
本题结合生活实际场景命题，综合考查了几何体侧面积、弧长公式、扇形性质的应用，既要求熟练掌握基础公式，也需要结合图形特征建立方程、不等式关系求解，能够锻炼综合分析问题、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.4
