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一、选择题
1.抛物线 $y=(x+2)^2 -3$ 的顶点坐标是(
A.$(2,-3)$
B.$(-2,-3)$
C.$(2,3)$
D.$(-2,3)$
1.抛物线 $y=(x+2)^2 -3$ 的顶点坐标是(
B
).A.$(2,-3)$
B.$(-2,-3)$
C.$(2,3)$
D.$(-2,3)$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要回忆二次函数顶点式的结构特征。二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标直接对应为$(h,k)$。解题的关键是准确匹配题目中解析式对应的$h$、$k$的值，注意括号内是减法形式，遇到加法要转化为减去负数的形式再确定$h$，避免符号判断错误。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），对应的顶点坐标为$(h,k)$。
将题中抛物线解析式$y=(x+2)^2 -3$变形为顶点式的标准形式：$y=[x-(-2)]^2 + (-3)$，
对应可得$h=-2$，$k=-3$，因此该抛物线的顶点坐标为$(-2,-3)$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的顶点式
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数顶点式的理解与应用，熟练掌握顶点式的结构特点就能快速得出答案，解题时要重点注意$h$的符号，不要因粗心选错。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要回忆二次函数顶点式的结构特征。二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标直接对应为$(h,k)$。解题的关键是准确匹配题目中解析式对应的$h$、$k$的值，注意括号内是减法形式，遇到加法要转化为减去负数的形式再确定$h$，避免符号判断错误。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），对应的顶点坐标为$(h,k)$。
将题中抛物线解析式$y=(x+2)^2 -3$变形为顶点式的标准形式：$y=[x-(-2)]^2 + (-3)$，
对应可得$h=-2$，$k=-3$，因此该抛物线的顶点坐标为$(-2,-3)$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的顶点式
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数顶点式的理解与应用，熟练掌握顶点式的结构特点就能快速得出答案，解题时要重点注意$h$的符号，不要因粗心选错。
【难度系数】
0.9
2.将抛物线$y=(x+1)^2 -1$向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到的抛物线是(
A.$y=(x-4)^2 +1$
B.$y=(x+2)^2 -1$
C.$y=(x+4)^2 +1$
D.$y=(x-2)^2 +1$
C
).A.$y=(x-4)^2 +1$
B.$y=(x+2)^2 -1$
C.$y=(x+4)^2 +1$
D.$y=(x-2)^2 +1$
答案
2.C
解析
【分析】
解决本题需要用到二次函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”。首先明确平移操作的规则：左右平移是对自变量x进行调整（向左平移给x加平移单位，向右平移给x减平移单位），上下平移是对函数的常数项进行调整（向上平移加平移单位，向下平移减平移单位）。我们先对原抛物线做向左平移的操作，再做向上平移的操作，即可得到平移后的抛物线解析式，匹配对应选项就能得到答案。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=(x+1)^2 -1$。
1. 先进行向左平移3个单位长度的操作：根据“左加右减”原则，将解析式中的$x$替换为$x+3$，可得：
$y=(x+1+3)^2 -1=(x+4)^2 -1$
2. 再进行向上平移2个单位长度的操作：根据“上加下减”原则，在解析式末尾加上2，可得：
$y=(x+4)^2 -1 +2=(x+4)^2 +1$
所得解析式对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移；抛物线顶点式
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，解题核心是准确掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，要特别注意左右平移是仅对自变量x做加减操作，不要混淆加减方向。
【难度系数】
0.8
解决本题需要用到二次函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”。首先明确平移操作的规则：左右平移是对自变量x进行调整（向左平移给x加平移单位，向右平移给x减平移单位），上下平移是对函数的常数项进行调整（向上平移加平移单位，向下平移减平移单位）。我们先对原抛物线做向左平移的操作，再做向上平移的操作，即可得到平移后的抛物线解析式，匹配对应选项就能得到答案。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=(x+1)^2 -1$。
1. 先进行向左平移3个单位长度的操作：根据“左加右减”原则，将解析式中的$x$替换为$x+3$，可得：
$y=(x+1+3)^2 -1=(x+4)^2 -1$
2. 再进行向上平移2个单位长度的操作：根据“上加下减”原则，在解析式末尾加上2，可得：
$y=(x+4)^2 -1 +2=(x+4)^2 +1$
所得解析式对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移；抛物线顶点式
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，解题核心是准确掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，要特别注意左右平移是仅对自变量x做加减操作，不要混淆加减方向。
【难度系数】
0.8
3.关于二次函数$y=x^2 -3x -5$的图象与x轴的交点个数的情况，下列说法正确的是(
A.有两个交点
B.有一个交点
C.没有交点
D.无法判断
A
).A.有两个交点
B.有一个交点
C.没有交点
D.无法判断
答案
3.A
解析
【分析】
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，核心是利用判别式Δ与交点个数的对应关系：首先明确二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$中$a、b、c$的取值，再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$的值，最后根据Δ的符号判断交点个数：$\Delta＞0$对应2个交点，$\Delta=0$对应1个交点，$\Delta＜0$对应无交点。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其与x轴的交点个数由判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号决定：
1. 当$\Delta＞0$时，图象与x轴有2个交点；
2. 当$\Delta=0$时，图象与x轴有1个交点；
3. 当$\Delta＜0$时，图象与x轴没有交点。
本题中二次函数为$y=x^2 -3x -5$，对应系数$a=1$，$b=-3$，$c=-5$，代入计算判别式：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-5) = 9 + 20 = 29$
因为$29＞0$，所以该二次函数图象与x轴有两个交点，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点判定
2. 根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础常考题，考察判别式和二次函数与x轴交点个数的对应关系，只要熟练掌握判别式的计算方法及对应的交点规律，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，核心是利用判别式Δ与交点个数的对应关系：首先明确二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$中$a、b、c$的取值，再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$的值，最后根据Δ的符号判断交点个数：$\Delta＞0$对应2个交点，$\Delta=0$对应1个交点，$\Delta＜0$对应无交点。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其与x轴的交点个数由判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号决定：
1. 当$\Delta＞0$时，图象与x轴有2个交点；
2. 当$\Delta=0$时，图象与x轴有1个交点；
3. 当$\Delta＜0$时，图象与x轴没有交点。
本题中二次函数为$y=x^2 -3x -5$，对应系数$a=1$，$b=-3$，$c=-5$，代入计算判别式：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-5) = 9 + 20 = 29$
因为$29＞0$，所以该二次函数图象与x轴有两个交点，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点判定
2. 根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础常考题，考察判别式和二次函数与x轴交点个数的对应关系，只要熟练掌握判别式的计算方法及对应的交点规律，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
4.二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象如图所示，则点 $ P(a,b) $ 在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
).A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
4.D
解析
【分析】
解题可按三步推导：第一步先根据二次函数的开口方向判断系数$a$的符号；第二步结合对称轴的位置，利用对称轴公式推导系数$b$的符号；第三步根据$a$、$b$的正负，判断点$P$所在的象限。首先二次函数开口方向由$a$决定，开口向上则$a＞0$，开口向下则$a＜0$；其次对称轴$x=-\frac{b}{2a}$在$y$轴右侧时说明$x＞0$，结合已经得出的$a$的符号就能推出$b$的符号；最后根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标正负特征，即可确定点$P$的位置。
【解析】
1. 判断$a$的符号：由二次函数图象开口向上，可得$a＞0$；
2. 判断$b$的符号：二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，观察图象可知对称轴在$y$轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$，可得$-b＞0$，即$b＜0$；
3. 判断点$P$的位置：点$P(a,b)$的横坐标为正、纵坐标为负，符合第四象限内点的坐标特征，因此点$P$在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，象限内点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，核心是掌握二次函数开口方向、对称轴位置与系数$a$、$b$的对应关系，熟练掌握该知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题可按三步推导：第一步先根据二次函数的开口方向判断系数$a$的符号；第二步结合对称轴的位置，利用对称轴公式推导系数$b$的符号；第三步根据$a$、$b$的正负，判断点$P$所在的象限。首先二次函数开口方向由$a$决定，开口向上则$a＞0$，开口向下则$a＜0$；其次对称轴$x=-\frac{b}{2a}$在$y$轴右侧时说明$x＞0$，结合已经得出的$a$的符号就能推出$b$的符号；最后根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标正负特征，即可确定点$P$的位置。
【解析】
1. 判断$a$的符号：由二次函数图象开口向上，可得$a＞0$；
2. 判断$b$的符号：二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，观察图象可知对称轴在$y$轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$，可得$-b＞0$，即$b＜0$；
3. 判断点$P$的位置：点$P(a,b)$的横坐标为正、纵坐标为负，符合第四象限内点的坐标特征，因此点$P$在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，象限内点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，核心是掌握二次函数开口方向、对称轴位置与系数$a$、$b$的对应关系，熟练掌握该知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.如图，函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与$x$轴相交于$A$，$B$两点，顶点为点$M$.下列说法不正确的是（
A.$a＜0$
B.当$x=-1$时，函数$y$有最小值$4$
C.图象的对称轴是直线$x=-1$
D.点$B$的坐标为$(-3,0)$
B
）.A.$a＜0$
B.当$x=-1$时，函数$y$有最小值$4$
C.图象的对称轴是直线$x=-1$
D.点$B$的坐标为$(-3,0)$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时先从二次函数图像中提取关键信息：开口方向、对称轴位置、顶点坐标、与x轴一个交点A的坐标，再结合二次函数的性质逐一判断每个选项：①由开口方向判断a的符号；②结合开口方向和顶点坐标判断函数最值；③直接读取对称轴；④利用二次函数的对称性计算点B的坐标。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 判断选项A：抛物线开口向下，根据二次函数性质可得$a＜0$，该说法正确，不符合题意。
2. 判断选项C：由图像中虚线可知，抛物线的对称轴为直线$x=-1$，该说法正确，不符合题意。
3. 判断选项B：抛物线开口向下，顶点为图像最高点，因此当$x=-1$时，函数$y$有最大值4，不是最小值，该说法错误，符合题意。
4. 判断选项D：已知A点坐标为$(1,0)$，抛物线对称轴为$x=-1$，根据二次函数对称性，A、B两点关于对称轴对称，设B点横坐标为$x$，则$\frac{x+1}{2}=-1$，解得$x=-3$，即B点坐标为$(-3,0)$，该说法正确，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础应用题，核心是学会从图像中提取有效信息，结合二次函数的开口方向、对称性、最值特征进行判断，是对二次函数基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.8
解题时先从二次函数图像中提取关键信息：开口方向、对称轴位置、顶点坐标、与x轴一个交点A的坐标，再结合二次函数的性质逐一判断每个选项：①由开口方向判断a的符号；②结合开口方向和顶点坐标判断函数最值；③直接读取对称轴；④利用二次函数的对称性计算点B的坐标。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 判断选项A：抛物线开口向下，根据二次函数性质可得$a＜0$，该说法正确，不符合题意。
2. 判断选项C：由图像中虚线可知，抛物线的对称轴为直线$x=-1$，该说法正确，不符合题意。
3. 判断选项B：抛物线开口向下，顶点为图像最高点，因此当$x=-1$时，函数$y$有最大值4，不是最小值，该说法错误，符合题意。
4. 判断选项D：已知A点坐标为$(1,0)$，抛物线对称轴为$x=-1$，根据二次函数对称性，A、B两点关于对称轴对称，设B点横坐标为$x$，则$\frac{x+1}{2}=-1$，解得$x=-3$，即B点坐标为$(-3,0)$，该说法正确，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础应用题，核心是学会从图像中提取有效信息，结合二次函数的开口方向、对称性、最值特征进行判断，是对二次函数基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.8
6.$A(-2,y_1),B(1,y_2),C(2,y_3)$三点在抛物线$y=-(x+1)^2+k$上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为(
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_3＞y_1$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
A
).A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_3＞y_1$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
答案
6.A
解析
【分析】
要比较三点的函数值大小，首先分析抛物线的基本性质：该抛物线解析式为顶点式，可直接得到开口方向和对称轴。已知抛物线开口向下时，抛物线上的点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大，因此只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可得到y值的大小关系，也可直接将三点横坐标代入解析式计算y值后比较。
【解析】
方法一：利用抛物线性质求解
抛物线$y=-(x+1)^2+k$中，$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$。
分别计算三点到对称轴的距离：
点$A(-2,y_1)$到$x=-1$的距离：$|-2-(-1)|=1$
点$B(1,y_2)$到$x=-1$的距离：$|1-(-1)|=2$
点$C(2,y_3)$到$x=-1$的距离：$|2-(-1)|=3$
开口向下的抛物线上，点到对称轴距离越小，函数值越大，因为$1＜2＜3$，所以$y_1＞y_2＞y_3$。
方法二：代入计算求解
将三点横坐标分别代入抛物线解析式：
$y_1=-(-2+1)^2+k=-1+k$
$y_2=-(1+1)^2+k=-4+k$
$y_3=-(2+1)^2+k=-9+k$
因为$k$为常数，所以$-1+k＞-4+k＞-9+k$，即$y_1＞y_2＞y_3$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象性质，二次函数顶点式，函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查二次函数开口方向、对称轴与函数值的关系，两种解题方法都较为常规，掌握抛物线的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要比较三点的函数值大小，首先分析抛物线的基本性质：该抛物线解析式为顶点式，可直接得到开口方向和对称轴。已知抛物线开口向下时，抛物线上的点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大，因此只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可得到y值的大小关系，也可直接将三点横坐标代入解析式计算y值后比较。
【解析】
方法一：利用抛物线性质求解
抛物线$y=-(x+1)^2+k$中，$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$。
分别计算三点到对称轴的距离：
点$A(-2,y_1)$到$x=-1$的距离：$|-2-(-1)|=1$
点$B(1,y_2)$到$x=-1$的距离：$|1-(-1)|=2$
点$C(2,y_3)$到$x=-1$的距离：$|2-(-1)|=3$
开口向下的抛物线上，点到对称轴距离越小，函数值越大，因为$1＜2＜3$，所以$y_1＞y_2＞y_3$。
方法二：代入计算求解
将三点横坐标分别代入抛物线解析式：
$y_1=-(-2+1)^2+k=-1+k$
$y_2=-(1+1)^2+k=-4+k$
$y_3=-(2+1)^2+k=-9+k$
因为$k$为常数，所以$-1+k＞-4+k＞-9+k$，即$y_1＞y_2＞y_3$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象性质，二次函数顶点式，函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查二次函数开口方向、对称轴与函数值的关系，两种解题方法都较为常规，掌握抛物线的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7.如图，抛物线形大楼的地面宽度为200 m，两侧距地面高150 m处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100 m，则大楼的高度为(
A.100 m
B.150 m
C.200 m
D.300 m
C
).A.100 m
B.150 m
C.200 m
D.300 m
答案
7.C
解析
【分析】
要解决抛物线形大楼高度的问题，我们可以通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题求解：首先选择合适的坐标系（以地面为x轴，抛物线对称轴为y轴），简化二次函数解析式的形式；其次根据题目的已知条件，确定抛物线上两个已知点的坐标；再用待定系数法求出二次函数解析式，解析式的常数项即为抛物线顶点的纵坐标，也就是大楼的高度。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，以大楼底部所在地面为x轴，抛物线的对称轴为y轴，设抛物线的解析式为$y = ax^2 + h$（其中$h$为大楼的高度，即抛物线顶点的纵坐标）。
根据题意可知：
1. 大楼地面宽度为200m，因此抛物线与x轴的一个交点坐标为$(100, 0)$；
2. 两观光窗高150m、水平距离100m，因此右侧观光窗的坐标为$(50, 150)$。
将两个点代入解析式得方程组：
$\begin{cases}100^2 a + h = 0 \\50^2 a + h = 150\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}10000a + h = 0 \quad \mathrm{①} \\2500a + h = 150 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用①-②消去$h$，得：
$7500a = -150$，解得$a = -\frac{1}{50}$。
将$a = -\frac{1}{50}$代入①式，得：
$10000×(-\frac{1}{50}) + h = 0$，解得$h = 200$。
即大楼的高度为200m。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的常见题型，核心是通过建立合理的平面直角坐标系构造二次函数模型，再结合已知点坐标求解参数，考查学生的建模能力和基本计算能力。
【难度系数】
0.7
要解决抛物线形大楼高度的问题，我们可以通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题求解：首先选择合适的坐标系（以地面为x轴，抛物线对称轴为y轴），简化二次函数解析式的形式；其次根据题目的已知条件，确定抛物线上两个已知点的坐标；再用待定系数法求出二次函数解析式，解析式的常数项即为抛物线顶点的纵坐标，也就是大楼的高度。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，以大楼底部所在地面为x轴，抛物线的对称轴为y轴，设抛物线的解析式为$y = ax^2 + h$（其中$h$为大楼的高度，即抛物线顶点的纵坐标）。
根据题意可知：
1. 大楼地面宽度为200m，因此抛物线与x轴的一个交点坐标为$(100, 0)$；
2. 两观光窗高150m、水平距离100m，因此右侧观光窗的坐标为$(50, 150)$。
将两个点代入解析式得方程组：
$\begin{cases}100^2 a + h = 0 \\50^2 a + h = 150\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}10000a + h = 0 \quad \mathrm{①} \\2500a + h = 150 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用①-②消去$h$，得：
$7500a = -150$，解得$a = -\frac{1}{50}$。
将$a = -\frac{1}{50}$代入①式，得：
$10000×(-\frac{1}{50}) + h = 0$，解得$h = 200$。
即大楼的高度为200m。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的常见题型，核心是通过建立合理的平面直角坐标系构造二次函数模型，再结合已知点坐标求解参数，考查学生的建模能力和基本计算能力。
【难度系数】
0.7
8.抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（
A.$b+c＞1$
B.$b=2$
C.$b^2+4c＜0$
D.$c＜0$
A
）.A.$b+c＞1$
B.$b=2$
C.$b^2+4c＜0$
D.$c＜0$
答案
8.A
解析
【分析】
首先明确抛物线开口方向：本题中二次项系数为-1＜0，所以抛物线开口向下。已知抛物线与x轴的两个交点分别在x=1的两侧，说明x=1落在两个交点之间，对于开口向下的抛物线，两个交点之间的点对应的函数值均大于0，因此将x=1代入函数解析式得到的y值大于0，即可推导相关不等式，也可通过举反例排除错误选项。
【解析】
1. 分析开口方向与x=1处的函数值：
抛物线$y=-x^2+bx+c$的二次项系数为$-1＜0$，因此抛物线开口向下。
因为抛物线与x轴的两个交点横坐标一个大于1、一个小于1，即x=1在两个交点之间，开口向下的抛物线在两个零点之间的函数值恒大于0，因此当$x=1$时，$y＞0$。
2. 代入x=1推导式子：
将$x=1$代入解析式得：$y=-1^2 + b×1 + c = -1 + b + c ＞ 0$，整理得$b+c＞1$，故A选项正确。
3. 排除其他选项：
B选项：举反例，取$b=3,c=0$，抛物线$y=-x^2+3x$与x轴交点为$(0,0)$、$(3,0)$，满足题意，此时$b≠2$，B错误。
C选项：抛物线与x轴有两个交点，判别式$\Delta = b^2 - 4×(-1)× c = b^2+4c ＞ 0$，C错误。
D选项：举反例，取$b=0,c=2$，抛物线$y=-x^2+2$与x轴交点为$(\sqrt{2},0)$、$(-\sqrt{2},0)$，满足题意，此时$c＞0$，D错误。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数与x轴交点问题；判别式的应用
【点评】
本题属于二次函数的基础综合题，解题核心是利用交点位置确定特殊点x=1处的函数值符号，也可通过举反例快速排除错误选项，需要熟练掌握二次函数的图像特征。
【难度系数】
0.7
首先明确抛物线开口方向：本题中二次项系数为-1＜0，所以抛物线开口向下。已知抛物线与x轴的两个交点分别在x=1的两侧，说明x=1落在两个交点之间，对于开口向下的抛物线，两个交点之间的点对应的函数值均大于0，因此将x=1代入函数解析式得到的y值大于0，即可推导相关不等式，也可通过举反例排除错误选项。
【解析】
1. 分析开口方向与x=1处的函数值：
抛物线$y=-x^2+bx+c$的二次项系数为$-1＜0$，因此抛物线开口向下。
因为抛物线与x轴的两个交点横坐标一个大于1、一个小于1，即x=1在两个交点之间，开口向下的抛物线在两个零点之间的函数值恒大于0，因此当$x=1$时，$y＞0$。
2. 代入x=1推导式子：
将$x=1$代入解析式得：$y=-1^2 + b×1 + c = -1 + b + c ＞ 0$，整理得$b+c＞1$，故A选项正确。
3. 排除其他选项：
B选项：举反例，取$b=3,c=0$，抛物线$y=-x^2+3x$与x轴交点为$(0,0)$、$(3,0)$，满足题意，此时$b≠2$，B错误。
C选项：抛物线与x轴有两个交点，判别式$\Delta = b^2 - 4×(-1)× c = b^2+4c ＞ 0$，C错误。
D选项：举反例，取$b=0,c=2$，抛物线$y=-x^2+2$与x轴交点为$(\sqrt{2},0)$、$(-\sqrt{2},0)$，满足题意，此时$c＞0$，D错误。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数与x轴交点问题；判别式的应用
【点评】
本题属于二次函数的基础综合题，解题核心是利用交点位置确定特殊点x=1处的函数值符号，也可通过举反例快速排除错误选项，需要熟练掌握二次函数的图像特征。
【难度系数】
0.7
9.抛物线$y=x^2+ax+3$的对称轴为直线$x=1$.若关于$x$的方程$x^2+ax+3-t=0$($t$为实数)在$-2＜x＜3$的范围内有实数根,则$t$的取值范围是(
A.$6＜t＜11$
B.$t≥2$
C.$2≤ t＜11$
D.$2≤ t＜6$
C
).A.$6＜t＜11$
B.$t≥2$
C.$2≤ t＜11$
D.$2≤ t＜6$
答案
9.C
解析
【分析】
解题时首先利用二次函数的对称轴公式求出参数a的值，将方程有实数根的问题转化为求二次函数$y=x^2+ax+3$在区间$-2＜x＜3$内的函数值取值范围问题，t的取值范围就是该二次函数在对应区间内的值域。具体步骤为：①先求a，确定抛物线解析式；②求抛物线顶点坐标，得到函数最小值；③计算区间两个端点的函数值，结合开口方向确定函数最大值的边界；④最终确定t的取值范围。
【解析】
第一步：求参数a的值
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$。
已知抛物线$y=x^2+ax+3$的对称轴为$x=1$，其中$A=1$，$B=a$，代入得：
$-\frac{a}{2×1}=1$，解得$a=-2$。
因此抛物线解析式为$y=x^2-2x+3$。
第二步：将方程转化为函数值域问题
方程$x^2+ax+3-t=0$在$-2＜x＜3$范围内有实根，等价于$t=x^2-2x+3$在$-2＜x＜3$范围内有解，即t的取值等于二次函数$y=x^2-2x+3$在$-2＜x＜3$内的函数值。
第三步：求二次函数在对应区间的值域
对解析式配方得：$y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,2)$。
顶点$x=1$在区间$-2＜x＜3$内，因此函数的最小值为$2$，可以取到。
计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=(-2)^2-2×(-2)+3=11$；
当$x=3$时，$y=3^2-2×3+3=6$。
因为区间是开区间$-2＜x＜3$，所以函数值小于端点的最大值11，即$y＜11$。
综上，函数$y=x^2-2x+3$在$-2＜x＜3$内的取值范围是$2≤ y＜11$，因此t的取值范围是$2≤ t＜11$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数最值；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题解题的核心是运用转化思想，将方程有实根的问题转化为二次函数在给定区间内的值域问题，要注意区分开区间和闭区间对端点值取等的影响，避免漏判或多判等号。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用二次函数的对称轴公式求出参数a的值，将方程有实数根的问题转化为求二次函数$y=x^2+ax+3$在区间$-2＜x＜3$内的函数值取值范围问题，t的取值范围就是该二次函数在对应区间内的值域。具体步骤为：①先求a，确定抛物线解析式；②求抛物线顶点坐标，得到函数最小值；③计算区间两个端点的函数值，结合开口方向确定函数最大值的边界；④最终确定t的取值范围。
【解析】
第一步：求参数a的值
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$。
已知抛物线$y=x^2+ax+3$的对称轴为$x=1$，其中$A=1$，$B=a$，代入得：
$-\frac{a}{2×1}=1$，解得$a=-2$。
因此抛物线解析式为$y=x^2-2x+3$。
第二步：将方程转化为函数值域问题
方程$x^2+ax+3-t=0$在$-2＜x＜3$范围内有实根，等价于$t=x^2-2x+3$在$-2＜x＜3$范围内有解，即t的取值等于二次函数$y=x^2-2x+3$在$-2＜x＜3$内的函数值。
第三步：求二次函数在对应区间的值域
对解析式配方得：$y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,2)$。
顶点$x=1$在区间$-2＜x＜3$内，因此函数的最小值为$2$，可以取到。
计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=(-2)^2-2×(-2)+3=11$；
当$x=3$时，$y=3^2-2×3+3=6$。
因为区间是开区间$-2＜x＜3$，所以函数值小于端点的最大值11，即$y＜11$。
综上，函数$y=x^2-2x+3$在$-2＜x＜3$内的取值范围是$2≤ y＜11$，因此t的取值范围是$2≤ t＜11$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数最值；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题解题的核心是运用转化思想，将方程有实根的问题转化为二次函数在给定区间内的值域问题，要注意区分开区间和闭区间对端点值取等的影响，避免漏判或多判等号。
【难度系数】
0.7
