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一、选择题
1.抛物线 $y=(x+2)^2 -3$ 的顶点坐标是(
A.$(2,-3)$
B.$(-2,-3)$
C.$(2,3)$
D.$(-2,3)$
1.抛物线 $y=(x+2)^2 -3$ 的顶点坐标是(
B
).A.$(2,-3)$
B.$(-2,-3)$
C.$(2,3)$
D.$(-2,3)$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的应用，解题思路为：首先回忆二次函数顶点式的结构特征，明确顶点式中各参数与顶点坐标的对应关系，再将题干给出的解析式与标准顶点式对照，确定对应的h、k值，即可得到顶点坐标，注意括号内是“x加常数”时，对应的h值为该常数的相反数，避免符号出错。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中的抛物线解析式$y=(x+2)^2-3$变形为标准顶点式：$y=[x-(-2)]^2+(-3)$，
由此可得$h=-2$，$k=-3$，即该抛物线的顶点坐标为$(-2,-3)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数顶点式的掌握程度，解题的关键是准确把握顶点式中参数与顶点坐标的对应规律，h的符号是本题的易错点。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数顶点式的应用，解题思路为：首先回忆二次函数顶点式的结构特征，明确顶点式中各参数与顶点坐标的对应关系，再将题干给出的解析式与标准顶点式对照，确定对应的h、k值，即可得到顶点坐标，注意括号内是“x加常数”时，对应的h值为该常数的相反数，避免符号出错。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中的抛物线解析式$y=(x+2)^2-3$变形为标准顶点式：$y=[x-(-2)]^2+(-3)$，
由此可得$h=-2$，$k=-3$，即该抛物线的顶点坐标为$(-2,-3)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数顶点式的掌握程度，解题的关键是准确把握顶点式中参数与顶点坐标的对应规律，h的符号是本题的易错点。
【难度系数】
0.85
2.将抛物线$y=(x+1)^2 -1$向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到的抛物线是(
A.$y=(x-4)^2 +1$
B.$y=(x+2)^2 -1$
C.$y=(x+4)^2 +1$
D.$y=(x-2)^2 +1$
C
).A.$y=(x-4)^2 +1$
B.$y=(x+2)^2 -1$
C.$y=(x+4)^2 +1$
D.$y=(x-2)^2 +1$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的平移规律，解题可以从两个思路入手：①顶点平移法：先确定原抛物线的顶点坐标，根据平移规则计算平移后的顶点坐标，再代入二次函数顶点式得到新解析式；②口诀变形法：直接利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移口诀对原解析式变形。注意平移规则中“左加右减”是针对自变量x本身，不要混淆加减方向。
【解析】
方法一：顶点平移法
原抛物线$y=(x+1)^2 -1$是顶点式，其顶点坐标为$(-1,-1)$。
根据平移规则：向左平移3个单位长度，顶点横坐标变为$-1-3=-4$；向上平移2个单位长度，顶点纵坐标变为$-1+2=1$，即平移后抛物线的顶点坐标为$(-4,1)$。
将新顶点代入顶点式$y=(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），得新抛物线解析式为$y=(x+4)^2+1$。
方法二：口诀变形法
根据平移规律：向左平移3个单位长度，需将自变量$x$替换为$x+3$；向上平移2个单位长度，需给整个解析式加2。
代入原解析式得：
$y=(x+3+1)^2 -1 +2 = (x+4)^2 +1$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的典型基础题，核心是准确掌握平移规则，尤其要注意“左加右减”的作用对象是自变量$x$，涉及多次平移时要逐步运算，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数图象的平移规律，解题可以从两个思路入手：①顶点平移法：先确定原抛物线的顶点坐标，根据平移规则计算平移后的顶点坐标，再代入二次函数顶点式得到新解析式；②口诀变形法：直接利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移口诀对原解析式变形。注意平移规则中“左加右减”是针对自变量x本身，不要混淆加减方向。
【解析】
方法一：顶点平移法
原抛物线$y=(x+1)^2 -1$是顶点式，其顶点坐标为$(-1,-1)$。
根据平移规则：向左平移3个单位长度，顶点横坐标变为$-1-3=-4$；向上平移2个单位长度，顶点纵坐标变为$-1+2=1$，即平移后抛物线的顶点坐标为$(-4,1)$。
将新顶点代入顶点式$y=(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），得新抛物线解析式为$y=(x+4)^2+1$。
方法二：口诀变形法
根据平移规律：向左平移3个单位长度，需将自变量$x$替换为$x+3$；向上平移2个单位长度，需给整个解析式加2。
代入原解析式得：
$y=(x+3+1)^2 -1 +2 = (x+4)^2 +1$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的典型基础题，核心是准确掌握平移规则，尤其要注意“左加右减”的作用对象是自变量$x$，涉及多次平移时要逐步运算，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.8
3.关于二次函数$y=x^2 -3x -5$的图象与x轴的交点个数的情况，下列说法正确的是(
A.有两个交点
B.有一个交点
C.没有交点
D.无法判断
A
).A.有两个交点
B.有一个交点
C.没有交点
D.无法判断
答案
3.A
解析
【分析】
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可转化为判断对应的一元二次方程的实数根个数，我们可以借助一元二次方程根的判别式Δ来求解：首先令y=0得到对应的一元二次方程，确定方程中a、b、c的取值，代入Δ=b²-4ac计算出结果，再根据Δ的正负判断根的个数，进而得到交点个数。
【解析】
当二次函数$y=x^2 -3x -5$的图象与x轴相交时，y=0，可得一元二次方程：
$x^2 - 3x - 5 = 0$
其中a=1，b=-3，c=-5，代入根的判别式公式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(-5) = 9 + 20 = 29$
因为$\Delta=29＞0$，说明该一元二次方程有两个不相等的实数根，因此二次函数$y=x^2 -3x -5$的图象与x轴有两个交点。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；根的判别式；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是理解二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程实根个数的对应关系，熟练掌握根的判别式的计算和取值意义即可解题。
【难度系数】
0.85
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可转化为判断对应的一元二次方程的实数根个数，我们可以借助一元二次方程根的判别式Δ来求解：首先令y=0得到对应的一元二次方程，确定方程中a、b、c的取值，代入Δ=b²-4ac计算出结果，再根据Δ的正负判断根的个数，进而得到交点个数。
【解析】
当二次函数$y=x^2 -3x -5$的图象与x轴相交时，y=0，可得一元二次方程：
$x^2 - 3x - 5 = 0$
其中a=1，b=-3，c=-5，代入根的判别式公式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(-5) = 9 + 20 = 29$
因为$\Delta=29＞0$，说明该一元二次方程有两个不相等的实数根，因此二次函数$y=x^2 -3x -5$的图象与x轴有两个交点。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；根的判别式；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是理解二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程实根个数的对应关系，熟练掌握根的判别式的计算和取值意义即可解题。
【难度系数】
0.85
4.二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象如图所示，则点 $ P(a,b) $ 在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
).A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
4.D
解析
【分析】
要解决这道题，需先根据二次函数图象的性质判断系数a、b的正负，再结合平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征判断点P所在象限。具体思考路径：①先通过抛物线开口方向确定a的符号；②再结合对称轴的位置，利用对称轴公式推导b的符号；③最后根据a、b的正负判断点P所在的象限。
【解析】
解：1. 判断a的符号
∵ 二次函数图象开口向上
∴ $a＞0$
2. 判断b的符号
∵ 抛物线的对称轴在y轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$
又
∵ $a＞0$，不等式两边乘正数$2a$不等号方向不变
∴ $-b＞0$，即$b＜0$
3. 判断点P所在象限
点$P(a,b)$的横坐标为正、纵坐标为负，符合第四象限内点的坐标特征，因此点P在第四象限。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数关系；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查二次函数图象性质与系数的对应关系，熟练掌握“开口定a符号，结合对称轴位置用左同右异规律快速判b符号”的技巧，可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先根据二次函数图象的性质判断系数a、b的正负，再结合平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征判断点P所在象限。具体思考路径：①先通过抛物线开口方向确定a的符号；②再结合对称轴的位置，利用对称轴公式推导b的符号；③最后根据a、b的正负判断点P所在的象限。
【解析】
解：1. 判断a的符号
∵ 二次函数图象开口向上
∴ $a＞0$
2. 判断b的符号
∵ 抛物线的对称轴在y轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$
又
∵ $a＞0$，不等式两边乘正数$2a$不等号方向不变
∴ $-b＞0$，即$b＜0$
3. 判断点P所在象限
点$P(a,b)$的横坐标为正、纵坐标为负，符合第四象限内点的坐标特征，因此点P在第四象限。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数关系；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查二次函数图象性质与系数的对应关系，熟练掌握“开口定a符号，结合对称轴位置用左同右异规律快速判b符号”的技巧，可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
5.如图，函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与$x$轴相交于$A$，$B$两点，顶点为点$M$.下列说法不正确的是（
A.$a＜0$
B.当$x=-1$时，函数$y$有最小值$4$
C.图象的对称轴是直线$x=-1$
D.点$B$的坐标为$(-3,0)$
B
）.A.$a＜0$
B.当$x=-1$时，函数$y$有最小值$4$
C.图象的对称轴是直线$x=-1$
D.点$B$的坐标为$(-3,0)$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先从函数图象中提取关键信息：抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴位置、与x轴的交点A的坐标，再结合二次函数的性质逐一判断每个选项的正误。首先看开口判断a的符号，再根据开口方向判断顶点是最大值还是最小值点，再验证对称轴是否正确，最后利用二次函数的对称性求出点B的坐标，最终选出错误的选项。
【解析】
从图象中可得到以下信息：抛物线开口向下，顶点M坐标为(-1,4)，对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点A的坐标为(1,0)。
选项A：抛物线开口向下，因此二次项系数a＜0，该说法正确，不符合题意；
选项B：抛物线开口向下，顶点为图象的最高点，因此当x=-1时，函数y有最大值4，不是最小值，该说法错误，符合题意；
选项C：由图象的虚线可知，图象的对称轴是直线x=-1，该说法正确，不符合题意；
选项D：抛物线关于对称轴x=-1对称，点A(1,0)到对称轴的距离为$1-(-1)=2$，因此点B到对称轴的距离也为2，点B的横坐标为$-1-2=-3$，即B(-3,0)，该说法正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，需要结合图象提取有效信息，再利用性质逐一判断，尤其要注意开口方向决定了顶点是最大值点还是最小值点，避免混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先从函数图象中提取关键信息：抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴位置、与x轴的交点A的坐标，再结合二次函数的性质逐一判断每个选项的正误。首先看开口判断a的符号，再根据开口方向判断顶点是最大值还是最小值点，再验证对称轴是否正确，最后利用二次函数的对称性求出点B的坐标，最终选出错误的选项。
【解析】
从图象中可得到以下信息：抛物线开口向下，顶点M坐标为(-1,4)，对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点A的坐标为(1,0)。
选项A：抛物线开口向下，因此二次项系数a＜0，该说法正确，不符合题意；
选项B：抛物线开口向下，顶点为图象的最高点，因此当x=-1时，函数y有最大值4，不是最小值，该说法错误，符合题意；
选项C：由图象的虚线可知，图象的对称轴是直线x=-1，该说法正确，不符合题意；
选项D：抛物线关于对称轴x=-1对称，点A(1,0)到对称轴的距离为$1-(-1)=2$，因此点B到对称轴的距离也为2，点B的横坐标为$-1-2=-3$，即B(-3,0)，该说法正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，需要结合图象提取有效信息，再利用性质逐一判断，尤其要注意开口方向决定了顶点是最大值点还是最小值点，避免混淆出错。
【难度系数】
0.8
6.$A(-2,y_1),B(1,y_2),C(2,y_3)$三点在抛物线$y=-(x+1)^2+k$上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为(
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_3＞y_1$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
A
).A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_3＞y_1$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
答案
6.A
解析
【分析】要比较抛物线上三点的纵坐标大小，首先分析抛物线的基本性质：该抛物线是顶点式，二次项系数为负，开口向下，对称轴为直线$x=-1$。开口向下的抛物线，点到对称轴的水平距离越近，对应的函数值越大；也可以直接将三点的横坐标代入抛物线解析式，计算出$y_1、y_2、y_3$的表达式再比较大小，两种方法都可快速得出结果。
【解析】方法一：利用二次函数性质比较
已知抛物线解析式为$y=-(x+1)^2+k$，
∵二次项系数$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，
开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越小，对应的函数值越大。
计算三点横坐标到对称轴$x=-1$的距离：
点A到对称轴的距离：$|-2 - (-1)|=1$，
点B到对称轴的距离：$|1 - (-1)|=2$，
点C到对称轴的距离：$|2 - (-1)|=3$，
∵$1＜2＜3$，
∴$y_1＞y_2＞y_3$。
方法二：代入计算比较
将三点横坐标分别代入解析式：
$y_1=-(-2+1)^2 +k = -1 +k$，
$y_2=-(1+1)^2 +k = -4 +k$，
$y_3=-(2+1)^2 +k = -9 +k$，
∵$-1＞-4＞-9$，
∴$y_1＞y_2＞y_3$。
综上，答案选A。
【答案】A
【知识点】1.二次函数图象性质 2.二次函数增减性
【点评】本题是二次函数基础题型，核心考查二次函数增减性的应用，解题时优先通过判断开口方向、对称轴，比较点到对称轴的距离判断函数值大小，比直接代入计算更高效，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键。
【难度系数】0.8
【解析】方法一：利用二次函数性质比较
已知抛物线解析式为$y=-(x+1)^2+k$，
∵二次项系数$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，
开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越小，对应的函数值越大。
计算三点横坐标到对称轴$x=-1$的距离：
点A到对称轴的距离：$|-2 - (-1)|=1$，
点B到对称轴的距离：$|1 - (-1)|=2$，
点C到对称轴的距离：$|2 - (-1)|=3$，
∵$1＜2＜3$，
∴$y_1＞y_2＞y_3$。
方法二：代入计算比较
将三点横坐标分别代入解析式：
$y_1=-(-2+1)^2 +k = -1 +k$，
$y_2=-(1+1)^2 +k = -4 +k$，
$y_3=-(2+1)^2 +k = -9 +k$，
∵$-1＞-4＞-9$，
∴$y_1＞y_2＞y_3$。
综上，答案选A。
【答案】A
【知识点】1.二次函数图象性质 2.二次函数增减性
【点评】本题是二次函数基础题型，核心考查二次函数增减性的应用，解题时优先通过判断开口方向、对称轴，比较点到对称轴的距离判断函数值大小，比直接代入计算更高效，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键。
【难度系数】0.8
7.如图，抛物线形大楼的地面宽度为200 m，两侧距地面高150 m处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100 m，则大楼的高度为(
A.100 m
B.150 m
C.200 m
D.300 m
C
).A.100 m
B.150 m
C.200 m
D.300 m
答案
7.C
解析
【分析】
解决抛物线类实际应用问题，首先需要建立合适的平面直角坐标系，将题目中的实际长度转化为抛物线上点的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式，最终解析式的顶点纵坐标就是大楼的高度。本题可将地面设为x轴，抛物线对称轴设为y轴建立坐标系，此时抛物线解析式可设为顶点式$y=ax^2+k$，能简化计算。
【解析】
解：以地面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为$y=ax^2+k$（$a≠0$，k为抛物线顶点的纵坐标，即大楼高度）。
由题意可知：
1. 抛物线与x轴右交点坐标为$(100,0)$（地面总宽度200m，故半宽为100m）；
2. 右侧观光窗的坐标为$(50,150)$（两观光窗水平距离100m，故半距为50m，高度为150m）。
将两点坐标代入解析式得方程组：
$\begin{cases}100^2a + k = 0 \\50^2a + k = 150\end{cases}$
即
$\begin{cases}10000a + k = 0 ①\\2500a + k = 150 ②\end{cases}$
用①-②消去k得：$7500a=-150$，解得$a=-\frac{1}{50}$。
将$a=-\frac{1}{50}$代入①得：$10000×(-\frac{1}{50}) +k=0$，解得$k=200$。
即抛物线顶点纵坐标为200m，也就是大楼的高度为200m。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数实际应用的常见题型，解题核心是合理建立坐标系，把实际问题转化为二次函数的代数问题，通过待定系数法求解即可，解题时注意坐标与实际长度的对应关系不要出错。
【难度系数】
0.7
解决抛物线类实际应用问题，首先需要建立合适的平面直角坐标系，将题目中的实际长度转化为抛物线上点的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式，最终解析式的顶点纵坐标就是大楼的高度。本题可将地面设为x轴，抛物线对称轴设为y轴建立坐标系，此时抛物线解析式可设为顶点式$y=ax^2+k$，能简化计算。
【解析】
解：以地面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为$y=ax^2+k$（$a≠0$，k为抛物线顶点的纵坐标，即大楼高度）。
由题意可知：
1. 抛物线与x轴右交点坐标为$(100,0)$（地面总宽度200m，故半宽为100m）；
2. 右侧观光窗的坐标为$(50,150)$（两观光窗水平距离100m，故半距为50m，高度为150m）。
将两点坐标代入解析式得方程组：
$\begin{cases}100^2a + k = 0 \\50^2a + k = 150\end{cases}$
即
$\begin{cases}10000a + k = 0 ①\\2500a + k = 150 ②\end{cases}$
用①-②消去k得：$7500a=-150$，解得$a=-\frac{1}{50}$。
将$a=-\frac{1}{50}$代入①得：$10000×(-\frac{1}{50}) +k=0$，解得$k=200$。
即抛物线顶点纵坐标为200m，也就是大楼的高度为200m。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数实际应用的常见题型，解题核心是合理建立坐标系，把实际问题转化为二次函数的代数问题，通过待定系数法求解即可，解题时注意坐标与实际长度的对应关系不要出错。
【难度系数】
0.7
8.抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（
A.$b+c＞1$
B.$b=2$
C.$b^2+4c＜0$
D.$c＜0$
A
）.A.$b+c＞1$
B.$b=2$
C.$b^2+4c＜0$
D.$c＜0$
答案
8.A
解析
【分析】
解题思路：首先明确抛物线开口向下（a=-1＜0），若抛物线与x轴的两个交点分别在x=1的两侧，那么x=1对应的点在两个交点之间，此时该点的函数值大于0；我们将x=1代入函数解析式得到不等式，即可判断A选项，再结合判别式性质、举反例的方法逐一排除其余错误选项。
【解析】
已知抛物线$y=-x^2+bx+c$，其中二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下。
1. 判断A选项：
因为抛物线与x轴的两个交点横坐标一个大于1、一个小于1，所以x=1对应的点在两个交点之间，此时函数值大于0。
将$x=1$代入解析式得：
$y=-1^2 + b×1 + c = -1 + b + c ＞ 0$
移项可得$b+c＞1$，故A选项正确。
2. 排除其余选项：
B选项：b的取值不唯一，例如抛物线$y=-x^2+3x$，与x轴交点为$(0,0)$和$(3,0)$，满足题意，此时$b=3≠2$，故B错误。
C选项：抛物线与x轴有两个交点，说明判别式$\Delta＞0$，$\Delta=b^2-4ac = b^2 - 4×(-1)× c = b^2+4c＞0$，故C错误。
D选项：c可以为正，例如抛物线$y=-x^2+3x+1$，计算得两个交点约为$(-0.3,0)$和$(3.3,0)$，满足题意，此时$c=1＞0$，故D错误。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数与一元二次方程；根的判别式
【点评】
本题考查二次函数交点相关性质，利用特殊点x=1的函数值符号求解是核心突破口，同时可通过举反例快速排除错误选项，是二次函数部分的典型基础应用题型。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确抛物线开口向下（a=-1＜0），若抛物线与x轴的两个交点分别在x=1的两侧，那么x=1对应的点在两个交点之间，此时该点的函数值大于0；我们将x=1代入函数解析式得到不等式，即可判断A选项，再结合判别式性质、举反例的方法逐一排除其余错误选项。
【解析】
已知抛物线$y=-x^2+bx+c$，其中二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下。
1. 判断A选项：
因为抛物线与x轴的两个交点横坐标一个大于1、一个小于1，所以x=1对应的点在两个交点之间，此时函数值大于0。
将$x=1$代入解析式得：
$y=-1^2 + b×1 + c = -1 + b + c ＞ 0$
移项可得$b+c＞1$，故A选项正确。
2. 排除其余选项：
B选项：b的取值不唯一，例如抛物线$y=-x^2+3x$，与x轴交点为$(0,0)$和$(3,0)$，满足题意，此时$b=3≠2$，故B错误。
C选项：抛物线与x轴有两个交点，说明判别式$\Delta＞0$，$\Delta=b^2-4ac = b^2 - 4×(-1)× c = b^2+4c＞0$，故C错误。
D选项：c可以为正，例如抛物线$y=-x^2+3x+1$，计算得两个交点约为$(-0.3,0)$和$(3.3,0)$，满足题意，此时$c=1＞0$，故D错误。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数与一元二次方程；根的判别式
【点评】
本题考查二次函数交点相关性质，利用特殊点x=1的函数值符号求解是核心突破口，同时可通过举反例快速排除错误选项，是二次函数部分的典型基础应用题型。
【难度系数】
0.7
9.抛物线$y=x^2+ax+3$的对称轴为直线$x=1$.若关于$x$的方程$x^2+ax+3-t=0$($t$为实数)在$-2＜x＜3$的范围内有实数根,则$t$的取值范围是(
A.$6＜t＜11$
B.$t≥2$
C.$2≤ t＜11$
D.$2≤ t＜6$
C
).A.$6＜t＜11$
B.$t≥2$
C.$2≤ t＜11$
D.$2≤ t＜6$
答案
9.C
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，先利用二次函数对称轴公式求出参数a的值，确定抛物线的解析式；第二步，将方程$x^2+ax+3-t=0$在$-2＜x＜3$范围内有实根的问题，转化为求二次函数$y=x^2+ax+3$在$x∈(-2,3)$时的取值范围问题（即t的取值等于该二次函数的函数值）；第三步，结合二次函数的开口方向、顶点坐标、区间端点的函数值，确定t的取值范围。
【解析】
1. 求参数a的值：
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$。
本题中抛物线$y=x^2+ax+3$的对称轴为$x=1$，其中$A=1$，$B=a$，代入得：
$-\frac{a}{2×1}=1$，解得$a=-2$。
2. 确定抛物线解析式：
将$a=-2$代入得$y=x^2-2x+3$，配方得$y=(x-1)^2+2$，可知抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,2)$，函数最小值为2。
3. 转化问题求取值范围：
方程$x^2+ax+3-t=0$在$-2＜x＜3$有实根，等价于$t=x^2-2x+3$在$x∈(-2,3)$时有对应的值，即求$y=x^2-2x+3$在$x∈(-2,3)$的值域：
当$x=1$时，$y$取最小值2，$x=1$在区间$(-2,3)$内，故$t≥2$；
分别计算区间端点的函数值：当$x=-2$时，$y=(-2)^2-2×(-2)+3=11$；当$x=3$时，$y=3^2-2×3+3=6$。
抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，$x=-2$离对称轴$x=1$更远，所以区间内函数最大值小于11，即$t＜11$。
综上，t的取值范围是$2≤t＜11$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题将方程根的存在性问题转化为二次函数值域问题，是二次函数性质的典型应用，解题时需注意自变量区间的开闭会影响取值范围的端点是否可取。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步，先利用二次函数对称轴公式求出参数a的值，确定抛物线的解析式；第二步，将方程$x^2+ax+3-t=0$在$-2＜x＜3$范围内有实根的问题，转化为求二次函数$y=x^2+ax+3$在$x∈(-2,3)$时的取值范围问题（即t的取值等于该二次函数的函数值）；第三步，结合二次函数的开口方向、顶点坐标、区间端点的函数值，确定t的取值范围。
【解析】
1. 求参数a的值：
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$。
本题中抛物线$y=x^2+ax+3$的对称轴为$x=1$，其中$A=1$，$B=a$，代入得：
$-\frac{a}{2×1}=1$，解得$a=-2$。
2. 确定抛物线解析式：
将$a=-2$代入得$y=x^2-2x+3$，配方得$y=(x-1)^2+2$，可知抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,2)$，函数最小值为2。
3. 转化问题求取值范围：
方程$x^2+ax+3-t=0$在$-2＜x＜3$有实根，等价于$t=x^2-2x+3$在$x∈(-2,3)$时有对应的值，即求$y=x^2-2x+3$在$x∈(-2,3)$的值域：
当$x=1$时，$y$取最小值2，$x=1$在区间$(-2,3)$内，故$t≥2$；
分别计算区间端点的函数值：当$x=-2$时，$y=(-2)^2-2×(-2)+3=11$；当$x=3$时，$y=3^2-2×3+3=6$。
抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，$x=-2$离对称轴$x=1$更远，所以区间内函数最大值小于11，即$t＜11$。
综上，t的取值范围是$2≤t＜11$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题将方程根的存在性问题转化为二次函数值域问题，是二次函数性质的典型应用，解题时需注意自变量区间的开闭会影响取值范围的端点是否可取。
【难度系数】
0.7
