登录
10.若一个点的纵坐标是横坐标的3倍,则称这个点为“三倍点”,如$A(1,3),B(-2,-6),C(0,0)$都是“三倍点”.在$-3＜x＜1$的范围内,若二次函数$y=-x^2 -x +c$的图象上至少存在一个“三倍点”,则$c$的取值范围是(
A.$-\dfrac{1}{4}≤ c＜1$
B.$-4≤ c＜-3$
C.$-\dfrac{1}{4}≤ c＜6$
D.$-4≤ c＜5$
D
).A.$-\dfrac{1}{4}≤ c＜1$
B.$-4≤ c＜-3$
C.$-\dfrac{1}{4}≤ c＜6$
D.$-4≤ c＜5$
答案
10.D
解析
【分析】
首先理解“三倍点”的定义：点的纵坐标是横坐标的3倍，即满足$y=3x$。要使二次函数图象上在$-3＜x＜1$范围内至少存在一个“三倍点”，本质就是联立二次函数解析式与$y=3x$得到的方程，在$x\in(-3,1)$范围内有实数解。我们可以通过移项将参数$c$单独放在等式一侧，转化为求关于$x$的二次函数在给定区间内的值域问题，即可得到$c$的取值范围。
【解析】
由“三倍点”的定义可知，三倍点满足$y=3x$。
联立二次函数与$y=3x$得：
$3x=-x^2 -x +c$
移项整理得：$c=x^2 +4x$
现在问题转化为：当$x\in(-3,1)$时，求$c=x^2 +4x$的取值范围。
对$c=x^2 +4x$配方：
$c=x^2 +4x=(x+2)^2 -4$
该函数是开口向上的抛物线，对称轴为$x=-2$，且$x=-2$在区间$(-3,1)$内。
① 求最小值：当$x=-2$时，$c$取得最小值，$c_{\mathrm{min}}=(-2+2)^2 -4=-4$，因为$x=-2\in(-3,1)$，所以$c≥-4$。
② 求最大值：比较区间两个端点的函数值：
当$x=-3$时，$c=(-3)^2 +4×(-3)=9-12=-3$；
当$x=1$时，$c=1^2 +4×1=5$；
因为$x$的取值范围是开区间$-3＜x＜1$，所以$x$无法取到1，因此$c＜5$。
综上，$c$的取值范围是$-4≤ c＜5$。
【答案】
D
【知识点】
新定义问题，二次函数的性质，函数与方程转化
【点评】
本题解题的核心是将新定义条件转化为数学方程，再通过分离参数的方法，把参数范围问题转化为二次函数在给定区间的值域问题，解题时要注意给定区间是开区间，端点值能否取到需要单独验证。
【难度系数】
0.6
首先理解“三倍点”的定义：点的纵坐标是横坐标的3倍，即满足$y=3x$。要使二次函数图象上在$-3＜x＜1$范围内至少存在一个“三倍点”，本质就是联立二次函数解析式与$y=3x$得到的方程，在$x\in(-3,1)$范围内有实数解。我们可以通过移项将参数$c$单独放在等式一侧，转化为求关于$x$的二次函数在给定区间内的值域问题，即可得到$c$的取值范围。
【解析】
由“三倍点”的定义可知，三倍点满足$y=3x$。
联立二次函数与$y=3x$得：
$3x=-x^2 -x +c$
移项整理得：$c=x^2 +4x$
现在问题转化为：当$x\in(-3,1)$时，求$c=x^2 +4x$的取值范围。
对$c=x^2 +4x$配方：
$c=x^2 +4x=(x+2)^2 -4$
该函数是开口向上的抛物线，对称轴为$x=-2$，且$x=-2$在区间$(-3,1)$内。
① 求最小值：当$x=-2$时，$c$取得最小值，$c_{\mathrm{min}}=(-2+2)^2 -4=-4$，因为$x=-2\in(-3,1)$，所以$c≥-4$。
② 求最大值：比较区间两个端点的函数值：
当$x=-3$时，$c=(-3)^2 +4×(-3)=9-12=-3$；
当$x=1$时，$c=1^2 +4×1=5$；
因为$x$的取值范围是开区间$-3＜x＜1$，所以$x$无法取到1，因此$c＜5$。
综上，$c$的取值范围是$-4≤ c＜5$。
【答案】
D
【知识点】
新定义问题，二次函数的性质，函数与方程转化
【点评】
本题解题的核心是将新定义条件转化为数学方程，再通过分离参数的方法，把参数范围问题转化为二次函数在给定区间的值域问题，解题时要注意给定区间是开区间，端点值能否取到需要单独验证。
【难度系数】
0.6
11.已知函数$y=(m-3)x^{m^2 -7}$是二次函数，则$m=$
-3
。答案
11.-3
解析
【分析】
要解决这道题，需紧扣二次函数的定义来推导。二次函数需要同时满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0，二次项就消失，不再是二次函数）。解题时先根据次数要求列方程求出m的可能取值，再根据系数不为0的条件排除不符合要求的解，即可得到正确的m值。
【解析】
∵ 函数$y=(m-3)x^{m^2 -7}$是二次函数
∴ 首先满足次数要求：$m^2 -7 = 2$
解这个方程：
$m^2 = 2 +7 =9$
∴ $m=3$或$m=-3$
再满足二次项系数不为0的要求：$m-3 ≠ 0$，即$m≠3$
综上，排除$m=3$，可得$m=-3$
【答案】
-3
【知识点】
二次函数的定义；解一元二次方程；不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义的典型基础题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，直接得出$m=±3$的错误结论，解题时要完整考虑定义的所有约束条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需紧扣二次函数的定义来推导。二次函数需要同时满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0，二次项就消失，不再是二次函数）。解题时先根据次数要求列方程求出m的可能取值，再根据系数不为0的条件排除不符合要求的解，即可得到正确的m值。
【解析】
∵ 函数$y=(m-3)x^{m^2 -7}$是二次函数
∴ 首先满足次数要求：$m^2 -7 = 2$
解这个方程：
$m^2 = 2 +7 =9$
∴ $m=3$或$m=-3$
再满足二次项系数不为0的要求：$m-3 ≠ 0$，即$m≠3$
综上，排除$m=3$，可得$m=-3$
【答案】
-3
【知识点】
二次函数的定义；解一元二次方程；不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义的典型基础题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，直接得出$m=±3$的错误结论，解题时要完整考虑定义的所有约束条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
12.二次函数$y=2x^2 -4x +1$的对称轴是直线
$x=1$
.答案
12.$x=1$
解析
【分析】
本题要求二次函数的对称轴，首先回忆二次函数对称轴的常用求解方法：一是公式法，直接利用二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算；二是配方法，将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$。两种方法均符合当前学段要求，选择任意一种都可快速得到结果。
【解析】
方法一（公式法）：
对于二次函数$y=2x^2 -4x +1$，对应一般式中$a=2$，$b=-4$，$c=1$，
代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$得：
$x=-\frac{-4}{2×2}=\frac{4}{4}=1$，
故对称轴是直线$x=1$。
方法二（配方法）：
将函数解析式配方化为顶点式：
$y=2x^2 -4x +1$
$=2(x^2-2x)+1$
$=2(x^2-2x+1-1)+1$
$=2[(x-1)^2-1]+1$
$=2(x-1)^2-2+1$
$=2(x-1)^2-1$
顶点式中$h=1$，因此对称轴是直线$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 二次函数对称轴公式
3. 配方法变形
【点评】
本题是二次函数的基础考点题型，难度较低，核心考察二次函数对称轴的求解方法，熟练掌握公式法和配方法两种常用思路即可快速作答，是学习二次函数必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
本题要求二次函数的对称轴，首先回忆二次函数对称轴的常用求解方法：一是公式法，直接利用二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算；二是配方法，将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$。两种方法均符合当前学段要求，选择任意一种都可快速得到结果。
【解析】
方法一（公式法）：
对于二次函数$y=2x^2 -4x +1$，对应一般式中$a=2$，$b=-4$，$c=1$，
代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$得：
$x=-\frac{-4}{2×2}=\frac{4}{4}=1$，
故对称轴是直线$x=1$。
方法二（配方法）：
将函数解析式配方化为顶点式：
$y=2x^2 -4x +1$
$=2(x^2-2x)+1$
$=2(x^2-2x+1-1)+1$
$=2[(x-1)^2-1]+1$
$=2(x-1)^2-2+1$
$=2(x-1)^2-1$
顶点式中$h=1$，因此对称轴是直线$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 二次函数对称轴公式
3. 配方法变形
【点评】
本题是二次函数的基础考点题型，难度较低，核心考察二次函数对称轴的求解方法，熟练掌握公式法和配方法两种常用思路即可快速作答，是学习二次函数必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
13.已知抛物线$y = ax^2 + x + c$与$x$轴的一个交点的横坐标为$-1$，则$a + c = \_\_\_\_\_\_$。
答案
13.1
解析
【分析】
解题时首先明确：抛物线与x轴的交点在x轴上，纵坐标为0，因此横坐标为-1的交点坐标是$(-1,0)$。二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，所以将该点坐标代入抛物线的表达式，就能得到包含a、c的等式，整理等式即可求出$a+c$的值。
【解析】
∵ 抛物线$y = ax^2 + x + c$与x轴交点的横坐标为$-1$，
∴ 该交点的坐标为$(-1,0)$（x轴上的点纵坐标为0）。
将$x=-1$，$y=0$代入抛物线解析式得：
$0 = a· (-1)^2 + (-1) + c$
化简得：$0 = a - 1 + c$
移项可得：$a + c = 1$
【答案】
1
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；坐标轴上点的坐标特点
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数图象上的点与函数解析式的对应关系，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一规律就能顺利求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确：抛物线与x轴的交点在x轴上，纵坐标为0，因此横坐标为-1的交点坐标是$(-1,0)$。二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，所以将该点坐标代入抛物线的表达式，就能得到包含a、c的等式，整理等式即可求出$a+c$的值。
【解析】
∵ 抛物线$y = ax^2 + x + c$与x轴交点的横坐标为$-1$，
∴ 该交点的坐标为$(-1,0)$（x轴上的点纵坐标为0）。
将$x=-1$，$y=0$代入抛物线解析式得：
$0 = a· (-1)^2 + (-1) + c$
化简得：$0 = a - 1 + c$
移项可得：$a + c = 1$
【答案】
1
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；坐标轴上点的坐标特点
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数图象上的点与函数解析式的对应关系，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一规律就能顺利求解。
【难度系数】
0.85
14.如图所示,一个运动员推铅球,铅球在点A处出手,铅球落地点在B处,已知铅球经过的路线是抛物线$y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$,则铅球的落地点B到运动员的水平距离为
10
m.答案
14.10
解析
【分析】
要求铅球落地点B到运动员的水平距离，本质是求落地点B对应的横坐标的正数值。落地点B在x轴上，纵坐标为0，因此只需将y=0代入抛物线解析式，求解出x的正根即可，不符合实际意义的负根需要舍去。
【解析】
解：已知铅球运动路线的抛物线解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$。
落地点B处铅球高度为0，即$y=0$，将其代入解析式：
$\displaystyle 0=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$
移项得：$\displaystyle \frac{1}{12}(x-4)^2=3$
两边同时乘12得：$(x-4)^2=36$
开平方得：$x-4=\pm6$
解得：$x_1=10$，$x_2=-2$
由于水平距离为正数，且落地点在x轴正半轴，因此舍去$x=-2$，得$x=10$。
【答案】
10
【知识点】
二次函数实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题的核心是明确落地点的纵坐标为0，代入解析式求解后要结合实际意义对根进行取舍，难度不大。
【难度系数】
0.8
要求铅球落地点B到运动员的水平距离，本质是求落地点B对应的横坐标的正数值。落地点B在x轴上，纵坐标为0，因此只需将y=0代入抛物线解析式，求解出x的正根即可，不符合实际意义的负根需要舍去。
【解析】
解：已知铅球运动路线的抛物线解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$。
落地点B处铅球高度为0，即$y=0$，将其代入解析式：
$\displaystyle 0=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$
移项得：$\displaystyle \frac{1}{12}(x-4)^2=3$
两边同时乘12得：$(x-4)^2=36$
开平方得：$x-4=\pm6$
解得：$x_1=10$，$x_2=-2$
由于水平距离为正数，且落地点在x轴正半轴，因此舍去$x=-2$，得$x=10$。
【答案】
10
【知识点】
二次函数实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题的核心是明确落地点的纵坐标为0，代入解析式求解后要结合实际意义对根进行取舍，难度不大。
【难度系数】
0.8
15.抛物线$y=ax^2+bx+c$过点$(1,0)$，对称轴为直线$x=-1$，部分图象如图所示。有下列结论：①$abc＞0$；②$b^2-4ac＞0$；③$9a-3b+c=0$；④若函数图象上有两点$(t+1,y_1)$和$(t,y_2)$，且$y_1＞y_2$，则$t＞-\dfrac{3}{2}$。其中正确的结论是________（填序号）。
答案
15.②③④
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，结合二次函数图象性质推导核心关系：首先由开口方向确定a的符号，结合对称轴公式得到b与a的关系，再代入过点(1,0)的条件得到c的符号，之后利用抛物线对称性求另一个x轴交点，最后通过作差法或距离法判断两点函数值大小对应的t的范围，逐个验证4个结论即可。
【解析】
解：先推导基础性质：
1. 抛物线开口向上，故$a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=-1$，由对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}=-1$，得$b=2a＞0$；
3. 抛物线过$(1,0)$，代入解析式得$a+b+c=0$，把$b=2a$代入得$c=-3a＜0$。
逐个判断结论：
① $abc＞0$：$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$，故$abc＜0$，①错误；
② $b^2-4ac＞0$：抛物线与x轴有2个交点，说明对应一元二次方程有两个不等实根，判别式$b^2-4ac＞0$，②正确；
③ $9a-3b+c=0$：由抛物线对称性，对称轴为$x=-1$，一个交点为$(1,0)$，则另一个交点横坐标为$-1-(1-(-1))=-3$，即抛物线过$(-3,0)$，代入得$9a-3b+c=0$，③正确；
④ 若$y_1＞y_2$，则$t＞-\dfrac{3}{2}$：
$y_1-y_2=a(t+1)^2+b(t+1)+c-(at^2+bt+c)=a(2t+1)+b$，
将$b=2a$代入得$y_1-y_2=a(2t+3)$，
$\because a＞0,y_1＞y_2$，$\therefore 2t+3＞0$，解得$t＞-\dfrac{3}{2}$，④正确。
【答案】
②③④
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数对称性；二次函数与不等式
【点评】
本题重点考查二次函数图象与系数的关系，需要熟练掌握二次函数开口、对称轴、与坐标轴交点等核心性质，结合对称性、不等式运算即可完成结论验证，属于二次函数常考的综合类基础题。
【难度系数】
0.65
解题时先从已知条件入手，结合二次函数图象性质推导核心关系：首先由开口方向确定a的符号，结合对称轴公式得到b与a的关系，再代入过点(1,0)的条件得到c的符号，之后利用抛物线对称性求另一个x轴交点，最后通过作差法或距离法判断两点函数值大小对应的t的范围，逐个验证4个结论即可。
【解析】
解：先推导基础性质：
1. 抛物线开口向上，故$a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=-1$，由对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}=-1$，得$b=2a＞0$；
3. 抛物线过$(1,0)$，代入解析式得$a+b+c=0$，把$b=2a$代入得$c=-3a＜0$。
逐个判断结论：
① $abc＞0$：$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$，故$abc＜0$，①错误；
② $b^2-4ac＞0$：抛物线与x轴有2个交点，说明对应一元二次方程有两个不等实根，判别式$b^2-4ac＞0$，②正确；
③ $9a-3b+c=0$：由抛物线对称性，对称轴为$x=-1$，一个交点为$(1,0)$，则另一个交点横坐标为$-1-(1-(-1))=-3$，即抛物线过$(-3,0)$，代入得$9a-3b+c=0$，③正确；
④ 若$y_1＞y_2$，则$t＞-\dfrac{3}{2}$：
$y_1-y_2=a(t+1)^2+b(t+1)+c-(at^2+bt+c)=a(2t+1)+b$，
将$b=2a$代入得$y_1-y_2=a(2t+3)$，
$\because a＞0,y_1＞y_2$，$\therefore 2t+3＞0$，解得$t＞-\dfrac{3}{2}$，④正确。
【答案】
②③④
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数对称性；二次函数与不等式
【点评】
本题重点考查二次函数图象与系数的关系，需要熟练掌握二次函数开口、对称轴、与坐标轴交点等核心性质，结合对称性、不等式运算即可完成结论验证，属于二次函数常考的综合类基础题。
【难度系数】
0.65
16.如图,在等边三角形ABC中,边AB上的点D从顶点A出发,向顶点B运动,边BC上的点E从顶点B出发,向顶点C运动,点D和点E同时出发,两点运动的速度大小相等.设AD=x,AE+CD=y,y关于x的函数的图象如图所示,图象过点(0,4),则图象的最低点的纵坐标是
$2\sqrt{3}$
.答案
16.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先观察函数图象过点(0,4)，此时x=AD=0，即点D与A重合，点E与B重合，此时AE=AB、CD=AC，结合等边三角形三边相等的性质可求出等边△ABC的边长为2；再根据D、E运动速度相等得AD=BE=x，接下来通过作高构造直角三角形，用勾股定理分别表示出AE、CD的长度，得到y关于x的函数表达式，最后通过配方求函数的最小值即可得到最低点的纵坐标。
【解析】
解：①当x=0时，AD=0，BE=0，即D与A重合，E与B重合，
此时AE=AB，CD=AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∴y=AE+CD=AB+AC=2AB=4，解得AB=2，即等边△ABC的边长为2。
②
∵D、E同时出发、速度相等，
∴AD=BE=x（0≤x≤2）。
③过点A作AF⊥BC于点F，
等边△ABC边长为2，
∴BF=1，AF=√(AB²-BF²)=√(2²-1²)=√3，
EF=|BE - BF|=|x - 1|，
在Rt△AFE中，AE²=AF² + EF²=(√3)² + (x-1)²=x²-2x+4，
∴AE=√(x²-2x+4)。
④同理，过点C作CG⊥AB于点G，可得CD=√(x²-2x+4)。
⑤则y=AE+CD=2√(x²-2x+4)=2√[(x-1)²+3]。
⑥当x=1时，(x-1)²取最小值0，此时y取得最小值，最小值为2√3。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值
【点评】
本题是动点与函数图像结合的几何综合题，解题的核心是先利用特殊点的函数值求出等边三角形的边长，再将几何线段的长度转化为代数函数，通过配方求最值，很好地考察了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
首先观察函数图象过点(0,4)，此时x=AD=0，即点D与A重合，点E与B重合，此时AE=AB、CD=AC，结合等边三角形三边相等的性质可求出等边△ABC的边长为2；再根据D、E运动速度相等得AD=BE=x，接下来通过作高构造直角三角形，用勾股定理分别表示出AE、CD的长度，得到y关于x的函数表达式，最后通过配方求函数的最小值即可得到最低点的纵坐标。
【解析】
解：①当x=0时，AD=0，BE=0，即D与A重合，E与B重合，
此时AE=AB，CD=AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∴y=AE+CD=AB+AC=2AB=4，解得AB=2，即等边△ABC的边长为2。
②
∵D、E同时出发、速度相等，
∴AD=BE=x（0≤x≤2）。
③过点A作AF⊥BC于点F，
等边△ABC边长为2，
∴BF=1，AF=√(AB²-BF²)=√(2²-1²)=√3，
EF=|BE - BF|=|x - 1|，
在Rt△AFE中，AE²=AF² + EF²=(√3)² + (x-1)²=x²-2x+4，
∴AE=√(x²-2x+4)。
④同理，过点C作CG⊥AB于点G，可得CD=√(x²-2x+4)。
⑤则y=AE+CD=2√(x²-2x+4)=2√[(x-1)²+3]。
⑥当x=1时，(x-1)²取最小值0，此时y取得最小值，最小值为2√3。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值
【点评】
本题是动点与函数图像结合的几何综合题，解题的核心是先利用特殊点的函数值求出等边三角形的边长，再将几何线段的长度转化为代数函数，通过配方求最值，很好地考察了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
三、解答题
17.已知二次函数$y=ax^2+2x+3$的图象与$x$轴交于点$A(-1,0)$和点$B$，与$y$轴交于点$C$，求二次函数的解析式和点$B$的坐标。
17.已知二次函数$y=ax^2+2x+3$的图象与$x$轴交于点$A(-1,0)$和点$B$，与$y$轴交于点$C$，求二次函数的解析式和点$B$的坐标。
答案
17.把$A(-1,0)$代入函数解析式得$0=a-2+3$，解得$a=-1$，
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$.
令$y=0$,解得$x_1=-1,x_2=3$,
$\therefore$点$B$的坐标为$(3,0)$.
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$.
令$y=0$,解得$x_1=-1,x_2=3$,
$\therefore$点$B$的坐标为$(3,0)$.
解析
【分析】
解题可分两步思考：第一步，已知二次函数图象过点A(-1,0)，使用待定系数法，将点A坐标代入函数解析式，求出未知参数a的值，即可得到完整的二次函数解析式；第二步，点B是函数与x轴的另一个交点，x轴上点的纵坐标均为0，因此令解析式中y=0，解对应的一元二次方程，排除点A的横坐标，剩余的根就是点B的横坐标，进而得到点B的坐标。
【解析】
解：将点$A(-1,0)$代入二次函数解析式$y=ax^2+2x+3$，得：
$0=a×(-1)^2+2×(-1)+3$
化简得$0=a-2+3$，解得$a=-1$
$\therefore$二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+3$
令$y=0$，可得方程：$-x^2+2x+3=0$
整理得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=3$
$\because$点A坐标为$(-1,0)$，$\therefore$点B的坐标为$(3,0)$
【答案】
二次函数的解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$，点B的坐标为$\boldsymbol{(3,0)}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数与x轴交点求解
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于二次函数基础常规题，核心考察待定系数法的应用以及二次函数与坐标轴交点的求解逻辑，熟练掌握基础运算和对应概念即可轻松得分。
【难度系数】
0.85
解题可分两步思考：第一步，已知二次函数图象过点A(-1,0)，使用待定系数法，将点A坐标代入函数解析式，求出未知参数a的值，即可得到完整的二次函数解析式；第二步，点B是函数与x轴的另一个交点，x轴上点的纵坐标均为0，因此令解析式中y=0，解对应的一元二次方程，排除点A的横坐标，剩余的根就是点B的横坐标，进而得到点B的坐标。
【解析】
解：将点$A(-1,0)$代入二次函数解析式$y=ax^2+2x+3$，得：
$0=a×(-1)^2+2×(-1)+3$
化简得$0=a-2+3$，解得$a=-1$
$\therefore$二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+3$
令$y=0$，可得方程：$-x^2+2x+3=0$
整理得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=3$
$\because$点A坐标为$(-1,0)$，$\therefore$点B的坐标为$(3,0)$
【答案】
二次函数的解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$，点B的坐标为$\boldsymbol{(3,0)}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数与x轴交点求解
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于二次函数基础常规题，核心考察待定系数法的应用以及二次函数与坐标轴交点的求解逻辑，熟练掌握基础运算和对应概念即可轻松得分。
【难度系数】
0.85
