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10.若一个点的纵坐标是横坐标的3倍,则称这个点为“三倍点”,如$A(1,3),B(-2,-6),C(0,0)$都是“三倍点”.在$-3＜x＜1$的范围内,若二次函数$y=-x^2 -x +c$的图象上至少存在一个“三倍点”,则$c$的取值范围是(
A.$-\dfrac{1}{4}≤ c＜1$
B.$-4≤ c＜-3$
C.$-\dfrac{1}{4}≤ c＜6$
D.$-4≤ c＜5$
D
).A.$-\dfrac{1}{4}≤ c＜1$
B.$-4≤ c＜-3$
C.$-\dfrac{1}{4}≤ c＜6$
D.$-4≤ c＜5$
答案
10.D
解析
【分析】
首先理解“三倍点”的定义：点的纵坐标是横坐标的3倍，即满足$y=3x$。二次函数图象上存在三倍点等价于方程$3x=-x^2-x+c$在区间$-3＜x＜1$内有解，将方程变形为$c=x^2+4x$后，问题转化为求二次函数$c=x^2+4x$在$x\in(-3,1)$的取值范围，即可得到$c$的取值范围。
【解析】
1. 根据“三倍点”定义，三倍点满足$y=3x$，结合二次函数解析式可得方程：
$3x=-x^2 -x +c$
2. 整理方程得：$c=x^2 +4x$，题目要求该方程在$-3＜x＜1$范围内有解，即求二次函数$c=x^2+4x$在$x\in(-3,1)$的取值范围。
3. 二次函数$c=x^2+4x$开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×1}=-2$，对称轴在区间$(-3,1)$内：
当$x=-2$时，$c$取最小值：$c_{\mathrm{min}}=(-2)^2 +4×(-2)=4-8=-4$；
计算区间端点的函数值：
当$x=-3$时，$c=(-3)^2+4×(-3)=9-12=-3$；
当$x=1$时，$c=1^2+4×1=5$。
因为$x$的范围是$-3＜x＜1$，$x=1$取不到，因此$c＜5$。
综上，$c$的取值范围是$-4≤ c＜5$。
【答案】
D
【知识点】
新定义问题，二次函数性质，函数与方程
【点评】
本题结合新定义考查二次函数区间值域的求解，解题关键是将新定义条件转化为方程有解问题，再结合二次函数的性质求参数范围，解题时需注意开区间的端点值能否取到，避免出错。
【难度系数】
0.6
首先理解“三倍点”的定义：点的纵坐标是横坐标的3倍，即满足$y=3x$。二次函数图象上存在三倍点等价于方程$3x=-x^2-x+c$在区间$-3＜x＜1$内有解，将方程变形为$c=x^2+4x$后，问题转化为求二次函数$c=x^2+4x$在$x\in(-3,1)$的取值范围，即可得到$c$的取值范围。
【解析】
1. 根据“三倍点”定义，三倍点满足$y=3x$，结合二次函数解析式可得方程：
$3x=-x^2 -x +c$
2. 整理方程得：$c=x^2 +4x$，题目要求该方程在$-3＜x＜1$范围内有解，即求二次函数$c=x^2+4x$在$x\in(-3,1)$的取值范围。
3. 二次函数$c=x^2+4x$开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×1}=-2$，对称轴在区间$(-3,1)$内：
当$x=-2$时，$c$取最小值：$c_{\mathrm{min}}=(-2)^2 +4×(-2)=4-8=-4$；
计算区间端点的函数值：
当$x=-3$时，$c=(-3)^2+4×(-3)=9-12=-3$；
当$x=1$时，$c=1^2+4×1=5$。
因为$x$的范围是$-3＜x＜1$，$x=1$取不到，因此$c＜5$。
综上，$c$的取值范围是$-4≤ c＜5$。
【答案】
D
【知识点】
新定义问题，二次函数性质，函数与方程
【点评】
本题结合新定义考查二次函数区间值域的求解，解题关键是将新定义条件转化为方程有解问题，再结合二次函数的性质求参数范围，解题时需注意开区间的端点值能否取到，避免出错。
【难度系数】
0.6
11.已知函数$y=(m-3)x^{m^2 -7}$是二次函数，则$m=$
-3
。答案
11.-3
解析
【分析】
要解决本题，需结合二次函数的定义梳理两个核心限制条件：一是x的最高次数必须为2，二是二次项的系数不能为0。解题时先根据次数要求列方程求出m的所有可能取值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
∵ 函数$y=(m-3)x^{m^2 -7}$是二次函数
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. x的指数为2，即：
$m^2 - 7 = 2$
移项得$m^2=9$，解得$m=3$或$m=-3$
2. 二次项系数不为0，即：
$m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$
综合两个条件，可得$m=-3$
【答案】
-3
【知识点】
二次函数的定义、一元二次方程求解、不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义的典型基础题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，仅根据次数为2误填3。解题时要牢记定义的全部限制条件，避免漏项出错。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合二次函数的定义梳理两个核心限制条件：一是x的最高次数必须为2，二是二次项的系数不能为0。解题时先根据次数要求列方程求出m的所有可能取值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
∵ 函数$y=(m-3)x^{m^2 -7}$是二次函数
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. x的指数为2，即：
$m^2 - 7 = 2$
移项得$m^2=9$，解得$m=3$或$m=-3$
2. 二次项系数不为0，即：
$m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$
综合两个条件，可得$m=-3$
【答案】
-3
【知识点】
二次函数的定义、一元二次方程求解、不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义的典型基础题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，仅根据次数为2误填3。解题时要牢记定义的全部限制条件，避免漏项出错。
【难度系数】
0.7
12.二次函数$y=2x^2 -4x +1$的对称轴是直线
$x=1$
.答案
12.$x=1$
解析
【分析】
本题考查二次函数对称轴的求解，有两种常用解题思路：①公式法：二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴公式为直线$x=-\frac{b}{2a}$，只需先确定解析式中$a$、$b$的取值，代入公式计算即可得到结果；②配方法：将二次函数的一般式通过配方转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，即可直接得到对称轴为直线$x=h$，两种方法均符合当前学段知识要求，公式法计算更简便。
【解析】
方法一（公式法）：
在二次函数$y=2x^2 -4x +1$中，$a=2$，$b=-4$，
将$a$、$b$代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得：
$x=-\frac{-4}{2×2}=\frac{4}{4}=1$，即对称轴为直线$x=1$。
方法二（配方法）：
对$y=2x^2 -4x +1$进行配方：
$\begin{aligned}y&=2(x^2-2x)+1\\&=2(x^2-2x+1-1)+1\\&=2(x-1)^2-2+1\\&=2(x-1)^2-1\end{aligned}$
得到顶点式$y=2(x-1)^2-1$，因此对称轴为直线$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
1. 二次函数对称轴公式
2. 二次函数配方
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题型，两种求解方法都属于二次函数的核心基础技能，需要熟练掌握，为后续求解二次函数顶点、最值等相关问题打好基础。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数对称轴的求解，有两种常用解题思路：①公式法：二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴公式为直线$x=-\frac{b}{2a}$，只需先确定解析式中$a$、$b$的取值，代入公式计算即可得到结果；②配方法：将二次函数的一般式通过配方转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，即可直接得到对称轴为直线$x=h$，两种方法均符合当前学段知识要求，公式法计算更简便。
【解析】
方法一（公式法）：
在二次函数$y=2x^2 -4x +1$中，$a=2$，$b=-4$，
将$a$、$b$代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得：
$x=-\frac{-4}{2×2}=\frac{4}{4}=1$，即对称轴为直线$x=1$。
方法二（配方法）：
对$y=2x^2 -4x +1$进行配方：
$\begin{aligned}y&=2(x^2-2x)+1\\&=2(x^2-2x+1-1)+1\\&=2(x-1)^2-2+1\\&=2(x-1)^2-1\end{aligned}$
得到顶点式$y=2(x-1)^2-1$，因此对称轴为直线$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
1. 二次函数对称轴公式
2. 二次函数配方
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题型，两种求解方法都属于二次函数的核心基础技能，需要熟练掌握，为后续求解二次函数顶点、最值等相关问题打好基础。
【难度系数】
0.9
13.已知抛物线$y = ax^2 + x + c$与$x$轴的一个交点的横坐标为$-1$，则$a + c = \_\_\_\_\_\_$。
答案
13.1
解析
【分析】
解题思路：首先明确抛物线与x轴交点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，已知交点横坐标为-1，可得该交点坐标为$(-1,0)$。接下来将交点坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、c的等式，整理等式即可求出$a+c$的值。
【解析】
∵抛物线$y = ax^2 + x + c$与x轴交点的横坐标为$-1$，
∴该交点坐标为$(-1, 0)$，将$x=-1$，$y=0$代入抛物线解析式得：
$a×(-1)^2 + (-1) + c = 0$
化简得：$a - 1 + c = 0$
移项可得：$a + c = 1$
【答案】
1
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 代数式求值
【点评】
本题考查二次函数与x轴交点的相关性质，解题的关键是掌握x轴上点的纵坐标为0，将交点坐标代入函数解析式即可推导得到所求代数式的值，解题时注意代入计算时不要出现符号错误。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先明确抛物线与x轴交点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，已知交点横坐标为-1，可得该交点坐标为$(-1,0)$。接下来将交点坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、c的等式，整理等式即可求出$a+c$的值。
【解析】
∵抛物线$y = ax^2 + x + c$与x轴交点的横坐标为$-1$，
∴该交点坐标为$(-1, 0)$，将$x=-1$，$y=0$代入抛物线解析式得：
$a×(-1)^2 + (-1) + c = 0$
化简得：$a - 1 + c = 0$
移项可得：$a + c = 1$
【答案】
1
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 代数式求值
【点评】
本题考查二次函数与x轴交点的相关性质，解题的关键是掌握x轴上点的纵坐标为0，将交点坐标代入函数解析式即可推导得到所求代数式的值，解题时注意代入计算时不要出现符号错误。
【难度系数】
0.9
14.如图所示,一个运动员推铅球,铅球在点A处出手,铅球落地点在B处,已知铅球经过的路线是抛物线$y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$,则铅球的落地点B到运动员的水平距离为
10
m.答案
14.10
解析
【分析】
要解这道题，首先明确铅球落地点B在x轴上，该点的纵坐标y=0。我们的解题思路是：将y=0代入给出的抛物线解析式，求解对应的x的值，由于水平距离为正数，舍去负的解，得到的正x值就是落地点B到运动员的水平距离（运动员出手时对应x=0的位置）。
【解析】
解：已知铅球落地点B在x轴上，因此B点处y=0，将y=0代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$，得：
$0=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$
移项得：$\frac{1}{12}(x-4)^2=3$
两边同时乘12得：$(x-4)^2=36$
开平方得：$x-4=\pm6$
解得：$x_1=10$，$x_2=-2$
因为水平距离不能为负数，$x=-2$不符合实际意义，故舍去。
所以铅球落地点B到运动员的水平距离为10m。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题，解题核心是结合实际场景明确落地点的纵坐标为0，求解方程后注意结合实际意义对根进行取舍即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先明确铅球落地点B在x轴上，该点的纵坐标y=0。我们的解题思路是：将y=0代入给出的抛物线解析式，求解对应的x的值，由于水平距离为正数，舍去负的解，得到的正x值就是落地点B到运动员的水平距离（运动员出手时对应x=0的位置）。
【解析】
解：已知铅球落地点B在x轴上，因此B点处y=0，将y=0代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$，得：
$0=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$
移项得：$\frac{1}{12}(x-4)^2=3$
两边同时乘12得：$(x-4)^2=36$
开平方得：$x-4=\pm6$
解得：$x_1=10$，$x_2=-2$
因为水平距离不能为负数，$x=-2$不符合实际意义，故舍去。
所以铅球落地点B到运动员的水平距离为10m。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题，解题核心是结合实际场景明确落地点的纵坐标为0，求解方程后注意结合实际意义对根进行取舍即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
15.抛物线$y=ax^2+bx+c$过点$(1,0)$，对称轴为直线$x=-1$，部分图象如图所示。有下列结论：①$abc＞0$；②$b^2-4ac＞0$；③$9a-3b+c=0$；④若函数图象上有两点$(t+1,y_1)$和$(t,y_2)$，且$y_1＞y_2$，则$t＞-\dfrac{3}{2}$。其中正确的结论是________（填序号）。
答案
15.②③④
解析
【分析】
解题时先从已知条件和图像特征入手：1. 先由抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，验证结论①；2. 由抛物线与x轴交点个数判断判别式的符号，验证结论②；3. 结合对称轴和已知交点(1,0)，求出抛物线与x轴的另一个交点，代入解析式验证结论③；4. 利用开口向上的二次函数“离对称轴越远，函数值越大”的性质，列不等式求解t的范围，验证结论④。
【解析】
我们逐个分析结论：
1. 验证结论①：
抛物线开口向上，故$a＞0$；
对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=-1$，推导得$b=2a＞0$；
抛物线与y轴交于负半轴，故$c＜0$；
因此$abc＜0$，结论①错误。
2. 验证结论②：
抛物线与x轴有2个交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，结论②正确。
3. 验证结论③：
抛物线对称轴为$x=-1$，点$(1,0)$关于$x=-1$的对称点坐标为$(-3,0)$，即$x=-3$时$y=0$，代入解析式得：
$a×(-3)^2 + b×(-3) + c=9a-3b+c=0$，结论③正确。
4. 验证结论④：
抛物线开口向上，函数值越大对应点离对称轴越远。
已知$y_1＞y_2$，则点$(t+1,y_1)$到对称轴$x=-1$的距离大于点$(t,y_2)$到对称轴的距离，即：
$|(t+1)-(-1)| ＞ |t-(-1)|$，化简为$|t+2|＞|t+1|$
两边平方得：$(t+2)^2＞(t+1)^2$
展开整理得$2t＞-3$，即$t＞-\dfrac{3}{2}$，结论④正确。
【答案】
②③④
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数对称性；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，需要结合图象特征、对称性、函数值比较规律逐一判断结论，解题核心是熟练掌握二次函数系数与图象的对应关系，以及利用对称性推导交点坐标的方法。
【难度系数】
0.65
解题时先从已知条件和图像特征入手：1. 先由抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，验证结论①；2. 由抛物线与x轴交点个数判断判别式的符号，验证结论②；3. 结合对称轴和已知交点(1,0)，求出抛物线与x轴的另一个交点，代入解析式验证结论③；4. 利用开口向上的二次函数“离对称轴越远，函数值越大”的性质，列不等式求解t的范围，验证结论④。
【解析】
我们逐个分析结论：
1. 验证结论①：
抛物线开口向上，故$a＞0$；
对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=-1$，推导得$b=2a＞0$；
抛物线与y轴交于负半轴，故$c＜0$；
因此$abc＜0$，结论①错误。
2. 验证结论②：
抛物线与x轴有2个交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，结论②正确。
3. 验证结论③：
抛物线对称轴为$x=-1$，点$(1,0)$关于$x=-1$的对称点坐标为$(-3,0)$，即$x=-3$时$y=0$，代入解析式得：
$a×(-3)^2 + b×(-3) + c=9a-3b+c=0$，结论③正确。
4. 验证结论④：
抛物线开口向上，函数值越大对应点离对称轴越远。
已知$y_1＞y_2$，则点$(t+1,y_1)$到对称轴$x=-1$的距离大于点$(t,y_2)$到对称轴的距离，即：
$|(t+1)-(-1)| ＞ |t-(-1)|$，化简为$|t+2|＞|t+1|$
两边平方得：$(t+2)^2＞(t+1)^2$
展开整理得$2t＞-3$，即$t＞-\dfrac{3}{2}$，结论④正确。
【答案】
②③④
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数对称性；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，需要结合图象特征、对称性、函数值比较规律逐一判断结论，解题核心是熟练掌握二次函数系数与图象的对应关系，以及利用对称性推导交点坐标的方法。
【难度系数】
0.65
16.如图,在等边三角形ABC中,边AB上的点D从顶点A出发,向顶点B运动,边BC上的点E从顶点B出发,向顶点C运动,点D和点E同时出发,两点运动的速度大小相等.设AD=x,AE+CD=y,y关于x的函数的图象如图所示,图象过点(0,4),则图象的最低点的纵坐标是
$2\sqrt{3}$
.答案
16.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先根据点D、E运动速度相同得AD=BE，结合函数图象过(0,4)的条件，代入x=0的特殊情况求出等边△ABC的边长；再通过全等三角形判定证明△ABE与△CAD全等，将y=AE+CD转化为y=2AE；最后根据垂线段最短的性质，求出AE的最小值即等边三角形的高，进而得到y的最小值也就是图象最低点的纵坐标。
【解析】
1. 求等边三角形边长：
∵点D和E同时出发，运动速度相等，
∴运动相同时间后AD=BE=x。
当x=0时，D与点A重合，E与点B重合，此时y=AE+CD=AB+AC=4。
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，代入得2AB=4，解得AB=AC=BC=2。
2. 证明全等转化线段：
在△ABE和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}AB=CA=2 \\∠ABE=∠CAD=60° \\BE=AD=x\end{array} $
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AE=CD。
∴$y=AE+CD=2AE$。
3. 求最小值：
根据“垂线段最短”，当AE⊥BC时，AE的长度最小，此时AE是等边△ABC的高，
等边三角形高为$\frac{\sqrt{3}}{2}×边长=\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\sqrt{3}$，
∴y的最小值为$2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，即图象最低点的纵坐标为$2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短
【点评】
本题将函数图象与几何动点问题结合，解题关键是先利用特殊点确定等边三角形的边长，再通过全等转化线段和，将函数最值问题转化为几何中线段最短的问题，解题思路灵活，考验学生的知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先根据点D、E运动速度相同得AD=BE，结合函数图象过(0,4)的条件，代入x=0的特殊情况求出等边△ABC的边长；再通过全等三角形判定证明△ABE与△CAD全等，将y=AE+CD转化为y=2AE；最后根据垂线段最短的性质，求出AE的最小值即等边三角形的高，进而得到y的最小值也就是图象最低点的纵坐标。
【解析】
1. 求等边三角形边长：
∵点D和E同时出发，运动速度相等，
∴运动相同时间后AD=BE=x。
当x=0时，D与点A重合，E与点B重合，此时y=AE+CD=AB+AC=4。
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，代入得2AB=4，解得AB=AC=BC=2。
2. 证明全等转化线段：
在△ABE和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}AB=CA=2 \\∠ABE=∠CAD=60° \\BE=AD=x\end{array} $
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AE=CD。
∴$y=AE+CD=2AE$。
3. 求最小值：
根据“垂线段最短”，当AE⊥BC时，AE的长度最小，此时AE是等边△ABC的高，
等边三角形高为$\frac{\sqrt{3}}{2}×边长=\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\sqrt{3}$，
∴y的最小值为$2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，即图象最低点的纵坐标为$2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短
【点评】
本题将函数图象与几何动点问题结合，解题关键是先利用特殊点确定等边三角形的边长，再通过全等转化线段和，将函数最值问题转化为几何中线段最短的问题，解题思路灵活，考验学生的知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
17.已知二次函数$y=ax^2+2x+3$的图象与$x$轴交于点$A(-1,0)$和点$B$，与$y$轴交于点$C$，求二次函数的解析式和点$B$的坐标。
17.已知二次函数$y=ax^2+2x+3$的图象与$x$轴交于点$A(-1,0)$和点$B$，与$y$轴交于点$C$，求二次函数的解析式和点$B$的坐标。
答案
17.把$A(-1,0)$代入函数解析式得$0=a-2+3$，解得$a=-1$，
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$.
令$y=0$,解得$x_1=-1,x_2=3$,
$\therefore$点$B$的坐标为$(3,0)$.
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$.
令$y=0$,解得$x_1=-1,x_2=3$,
$\therefore$点$B$的坐标为$(3,0)$.
解析
【分析】
要解决本题，第一步先求二次函数解析式：已知二次函数解析式中仅参数$a$未知，且函数图象过点$A(-1,0)$，因此可以将点$A$的横、纵坐标代入函数解析式，得到关于$a$的一元一次方程，解出$a$就能确定完整的二次函数解析式。第二步求点$B$的坐标：点$B$是二次函数图象与$x$轴的交点，$x$轴上所有点的纵坐标均为$0$，因此令解析式中$y=0$，解对应的一元二次方程，排除已知的点$A$对应的根$x=-1$，剩下的根就是点$B$的横坐标，纵坐标为$0$，即可得到点$B$的坐标。
【解析】
1. 求二次函数解析式：
将点$A(-1,0)$代入$y=ax^2+2x+3$，可得：
$0=a×(-1)^2+2×(-1)+3$
化简得$0=a-2+3$，解得$a=-1$
$\therefore$ 二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+3$
2. 求点$B$的坐标：
令$y=0$，即$-x^2+2x+3=0$，整理得$x^2-2x-3=0$
因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$
已知点$A$坐标为$(-1,0)$，因此点$B$的坐标为$(3,0)$
【答案】
二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+3$，点$B$的坐标为$(3,0)$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，以及二次函数与$x$轴交点的求解逻辑，只要掌握“函数图象上的点满足函数解析式”、“$x$轴上点的纵坐标为$0$”这两个核心特征，就能顺利解答本题。
【难度系数】
0.9
要解决本题，第一步先求二次函数解析式：已知二次函数解析式中仅参数$a$未知，且函数图象过点$A(-1,0)$，因此可以将点$A$的横、纵坐标代入函数解析式，得到关于$a$的一元一次方程，解出$a$就能确定完整的二次函数解析式。第二步求点$B$的坐标：点$B$是二次函数图象与$x$轴的交点，$x$轴上所有点的纵坐标均为$0$，因此令解析式中$y=0$，解对应的一元二次方程，排除已知的点$A$对应的根$x=-1$，剩下的根就是点$B$的横坐标，纵坐标为$0$，即可得到点$B$的坐标。
【解析】
1. 求二次函数解析式：
将点$A(-1,0)$代入$y=ax^2+2x+3$，可得：
$0=a×(-1)^2+2×(-1)+3$
化简得$0=a-2+3$，解得$a=-1$
$\therefore$ 二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+3$
2. 求点$B$的坐标：
令$y=0$，即$-x^2+2x+3=0$，整理得$x^2-2x-3=0$
因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$
已知点$A$坐标为$(-1,0)$，因此点$B$的坐标为$(3,0)$
【答案】
二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+3$，点$B$的坐标为$(3,0)$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，以及二次函数与$x$轴交点的求解逻辑，只要掌握“函数图象上的点满足函数解析式”、“$x$轴上点的纵坐标为$0$”这两个核心特征，就能顺利解答本题。
【难度系数】
0.9
