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18.抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 如图所示，对称轴为直线 $x=1$，图象交 $x$ 轴于 $A(3,0)$，$B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C(0,3)$，根据图象解答下列问题.
(1)写出方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两个根.
(2)写出不等式 $ax^2+bx+c＞0$ 的解集.
(3)写出不等式 $ax^2+bx+c＜3$ 的解集.
(1)写出方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两个根.
(2)写出不等式 $ax^2+bx+c＞0$ 的解集.
(3)写出不等式 $ax^2+bx+c＜3$ 的解集.
答案
18.(1)$\because$二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象交$x$轴于$A(3,0),B(-1,0)$两点，
$\therefore ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=3,x_2=-1$.
(2)由图象可知,不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是$-1＜x＜3$.
(3)$\because$点$C(0,3)$,
$\therefore$点$C$关于对称轴的对称点为$(2,3)$,
$\therefore$不等式$ax^2+bx+c＜3$的解集为$x＜0$或$x＞2$.
$\therefore ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=3,x_2=-1$.
(2)由图象可知,不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是$-1＜x＜3$.
(3)$\because$点$C(0,3)$,
$\therefore$点$C$关于对称轴的对称点为$(2,3)$,
$\therefore$不等式$ax^2+bx+c＜3$的解集为$x＜0$或$x＞2$.
解析
【分析】
本题解题核心是运用数形结合思想，结合二次函数图象性质求解：(1) 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应抛物线与x轴交点的横坐标，已知对称轴$x=1$和交点$A(3,0)$，利用二次函数的对称性可求出另一个x轴交点B的坐标，即可得到方程的两个根；(2) 不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集对应抛物线在x轴上方部分的x取值范围，结合两个交点坐标即可写出解集；(3) 不等式$ax^2+bx+c＜3$的解集对应抛物线在直线$y=3$下方部分的x取值范围，先找到点$C(0,3)$关于对称轴的对称点，结合图象即可写出解集。
【解析】
(1) $\because$二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象对称轴为$x=1$，交x轴于$A(3,0)$，根据对称性可得另一交点$B(-1,0)$，
$\therefore ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=3,x_2=-1$。
(2) 不等式$ax^2+bx+c＞0$对应抛物线位于x轴上方的部分，由图象可知，此时x的取值范围是$-1＜x＜3$，即不等式的解集为$-1＜x＜3$。
(3) $\because$点$C(0,3)$，点C关于对称轴$x=1$的对称点为$(2,3)$，不等式$ax^2+bx+c＜3$对应抛物线位于直线$y=3$下方的部分，由图象可知，此时x的取值范围是$x＜0$或$x＞2$，即不等式的解集为$x＜0$或$x＞2$。
【答案】
(1)$x_1=3,x_2=-1$
(2)$-1＜x＜3$
(3)$x＜0$或$x＞2$
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数数形结合的典型习题，重点考查利用二次函数对称性求解方程根和不等式解集的能力，解题时需结合图象位置准确判断对应自变量的取值范围，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键。
【难度系数】
0.7
本题解题核心是运用数形结合思想，结合二次函数图象性质求解：(1) 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应抛物线与x轴交点的横坐标，已知对称轴$x=1$和交点$A(3,0)$，利用二次函数的对称性可求出另一个x轴交点B的坐标，即可得到方程的两个根；(2) 不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集对应抛物线在x轴上方部分的x取值范围，结合两个交点坐标即可写出解集；(3) 不等式$ax^2+bx+c＜3$的解集对应抛物线在直线$y=3$下方部分的x取值范围，先找到点$C(0,3)$关于对称轴的对称点，结合图象即可写出解集。
【解析】
(1) $\because$二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象对称轴为$x=1$，交x轴于$A(3,0)$，根据对称性可得另一交点$B(-1,0)$，
$\therefore ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=3,x_2=-1$。
(2) 不等式$ax^2+bx+c＞0$对应抛物线位于x轴上方的部分，由图象可知，此时x的取值范围是$-1＜x＜3$，即不等式的解集为$-1＜x＜3$。
(3) $\because$点$C(0,3)$，点C关于对称轴$x=1$的对称点为$(2,3)$，不等式$ax^2+bx+c＜3$对应抛物线位于直线$y=3$下方的部分，由图象可知，此时x的取值范围是$x＜0$或$x＞2$，即不等式的解集为$x＜0$或$x＞2$。
【答案】
(1)$x_1=3,x_2=-1$
(2)$-1＜x＜3$
(3)$x＜0$或$x＞2$
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数数形结合的典型习题，重点考查利用二次函数对称性求解方程根和不等式解集的能力，解题时需结合图象位置准确判断对应自变量的取值范围，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键。
【难度系数】
0.7
19.在一次长假期间,某公司在电商平台举行了商品打折促销活动.经市场调查发现,某种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数(x为正整数),下表列出了该商品的售价x,周销售量y,周销售利润W(元)的三组对应值数据.
(1)该商品进价为
(2)在销售过程中要求售价不低于进价,售价x为多少时,周销售利润W最大?并求出此时的最大利润.
(1)该商品进价为
20
元/件,y关于x的函数解析式是$y=-3x+300$
（不要求写出自变量的取值范围）.(2)在销售过程中要求售价不低于进价,售价x为多少时,周销售利润W最大?并求出此时的最大利润.
答案
19.(1)20 $y=-3x+300$
(2)由(1)可得$W=(-3x+300)(x-20)=-3(x-60)^2+4\ 800$,
$\because -3＜0$,$\therefore$当$x=60$时,$W$最大,最大值为4 800.
$\therefore$售价为60元/件时,周销售利润$W$最大,最大利润为4 800元.
(2)由(1)可得$W=(-3x+300)(x-20)=-3(x-60)^2+4\ 800$,
$\because -3＜0$,$\therefore$当$x=60$时,$W$最大,最大值为4 800.
$\therefore$售价为60元/件时,周销售利润$W$最大,最大利润为4 800元.
解析
【分析】
（1）求进价可利用“周销售利润=每件利润×周销售量”的公式，任选一组表格中的x、y、W数据代入即可求出进价；求y关于x的函数解析式，已知y是x的一次函数，设解析式为y=kx+b，代入两组x、y的对应值，解二元一次方程组即可得到k、b的值，确定解析式。
（2）周销售利润W等于每件利润（x-进价）乘以周销售量y，代入y的解析式可得到W关于x的二次函数，将二次函数整理为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围（售价不低于进价）即可求出W的最大值及对应的x值。
【解析】
(1) 设该商品的进价为a元/件，根据利润公式，选取x=40，y=180，W=3600代入得：
$180×(40-a)=3600$
解得$a=20$，即进价为20元/件。
设y关于x的函数解析式为$y=kx+b$（k≠0），将$\begin{cases}x=40,y=180\\x=70,y=90\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}40k+b=180\\70k+b=90\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$30k=-90$，解得$k=-3$，
将$k=-3$代入$40k+b=180$，得$-120+b=180$，解得$b=300$，
所以y关于x的函数解析式为$y=-3x+300$。
(2) 由题意得，周销售利润$W=(x-20)y$，代入$y=-3x+300$得：
$W=(x-20)(-3x+300)$
展开并整理为顶点式：
$W=-3x^2+360x-6000=-3(x-60)^2+4800$
$\because -3＜0$，抛物线开口向下，且售价不低于进价即$x≥20$，顶点横坐标60满足取值要求，
$\therefore$当$x=60$时，W取得最大值，最大值为4800元。
【答案】
(1) $\boxed{20}$；$\boxed{y=-3x+300}$
(2) 售价为60元/件时，周销售利润W最大，最大利润为4800元。
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数利润问题；二次函数最值
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，核心是利用利润公式建立函数关系，解题时需要注意结合函数性质判断最值的位置，计算过程难度较低，只要熟练掌握一次函数和二次函数的基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
（1）求进价可利用“周销售利润=每件利润×周销售量”的公式，任选一组表格中的x、y、W数据代入即可求出进价；求y关于x的函数解析式，已知y是x的一次函数，设解析式为y=kx+b，代入两组x、y的对应值，解二元一次方程组即可得到k、b的值，确定解析式。
（2）周销售利润W等于每件利润（x-进价）乘以周销售量y，代入y的解析式可得到W关于x的二次函数，将二次函数整理为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围（售价不低于进价）即可求出W的最大值及对应的x值。
【解析】
(1) 设该商品的进价为a元/件，根据利润公式，选取x=40，y=180，W=3600代入得：
$180×(40-a)=3600$
解得$a=20$，即进价为20元/件。
设y关于x的函数解析式为$y=kx+b$（k≠0），将$\begin{cases}x=40,y=180\\x=70,y=90\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}40k+b=180\\70k+b=90\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$30k=-90$，解得$k=-3$，
将$k=-3$代入$40k+b=180$，得$-120+b=180$，解得$b=300$，
所以y关于x的函数解析式为$y=-3x+300$。
(2) 由题意得，周销售利润$W=(x-20)y$，代入$y=-3x+300$得：
$W=(x-20)(-3x+300)$
展开并整理为顶点式：
$W=-3x^2+360x-6000=-3(x-60)^2+4800$
$\because -3＜0$，抛物线开口向下，且售价不低于进价即$x≥20$，顶点横坐标60满足取值要求，
$\therefore$当$x=60$时，W取得最大值，最大值为4800元。
【答案】
(1) $\boxed{20}$；$\boxed{y=-3x+300}$
(2) 售价为60元/件时，周销售利润W最大，最大利润为4800元。
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数利润问题；二次函数最值
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，核心是利用利润公式建立函数关系，解题时需要注意结合函数性质判断最值的位置，计算过程难度较低，只要熟练掌握一次函数和二次函数的基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
