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18.抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 如图所示，对称轴为直线 $x=1$，图象交 $x$ 轴于 $A(3,0)$，$B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C(0,3)$，根据图象解答下列问题.
(1)写出方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两个根.
(2)写出不等式 $ax^2+bx+c＞0$ 的解集.
(3)写出不等式 $ax^2+bx+c＜3$ 的解集.
(1)写出方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两个根.
(2)写出不等式 $ax^2+bx+c＞0$ 的解集.
(3)写出不等式 $ax^2+bx+c＜3$ 的解集.
答案
18.(1)$\because$二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象交$x$轴于$A(3,0),B(-1,0)$两点，
$\therefore ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=3,x_2=-1$.
(2)由图象可知,不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是$-1＜x＜3$.
(3)$\because$点$C(0,3)$,
$\therefore$点$C$关于对称轴的对称点为$(2,3)$,
$\therefore$不等式$ax^2+bx+c＜3$的解集为$x＜0$或$x＞2$.
$\therefore ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=3,x_2=-1$.
(2)由图象可知,不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是$-1＜x＜3$.
(3)$\because$点$C(0,3)$,
$\therefore$点$C$关于对称轴的对称点为$(2,3)$,
$\therefore$不等式$ax^2+bx+c＜3$的解集为$x＜0$或$x＞2$.
解析
【分析】
（1）一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是抛物线与$x$轴交点的横坐标，已知抛物线对称轴为$x=1$，点$A(3,0)$是抛物线与$x$轴的一个交点，利用二次函数的对称性可求出另一个交点$B$的坐标，即可得到方程的两个根；
（2）不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集对应抛物线图象在$x$轴上方部分的$x$的取值范围，结合$x$轴交点坐标即可写出解集；
（3）不等式$ax^2+bx+c＜3$的解集对应函数值小于3的$x$的取值范围，先找到$y=3$时对应的两个$x$值：已知点$C(0,3)$，利用对称性求出它关于对称轴$x=1$的对称点坐标，再结合图象即可写出解集。
【解析】
(1) 已知抛物线对称轴为直线$x=1$，且与$x$轴交于$A(3,0)$，设另一个交点$B$的坐标为$(x,0)$，根据抛物线对称性，两点横坐标的中点为对称轴横坐标，即$\frac{3+x}{2}=1$，解得$x=-1$，即$B(-1,0)$。
二次函数图象与$x$轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，因此$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=3$，$x_2=-1$。
(2) 不等式$ax^2+bx+c＞0$对应抛物线在$x$轴上方的图象部分，由图可知，当$-1＜x＜3$时，抛物线在$x$轴上方，因此解集为$-1＜x＜3$。
(3) 已知抛物线与$y$轴交于$C(0,3)$，即当$x=0$时，$y=3$。点$C$关于对称轴$x=1$的对称点的横坐标为$2×1 - 0=2$，即对称点为$(2,3)$，也就是当$x=2$时，$y=3$。
不等式$ax^2+bx+c＜3$对应抛物线在直线$y=3$下方的图象部分，由图可知，当$x＜0$或$x＞2$时，函数值小于3，因此解集为$x＜0$或$x＞2$。
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=-1$
(2) $-1＜x＜3$
(3) $x＜0$或$x＞2$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数与不等式的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数图象与方程、不等式的结合，解题核心是利用数形结合思想，结合二次函数的对称性找到对应点的坐标，即可快速求解，属于对二次函数基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8
（1）一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是抛物线与$x$轴交点的横坐标，已知抛物线对称轴为$x=1$，点$A(3,0)$是抛物线与$x$轴的一个交点，利用二次函数的对称性可求出另一个交点$B$的坐标，即可得到方程的两个根；
（2）不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集对应抛物线图象在$x$轴上方部分的$x$的取值范围，结合$x$轴交点坐标即可写出解集；
（3）不等式$ax^2+bx+c＜3$的解集对应函数值小于3的$x$的取值范围，先找到$y=3$时对应的两个$x$值：已知点$C(0,3)$，利用对称性求出它关于对称轴$x=1$的对称点坐标，再结合图象即可写出解集。
【解析】
(1) 已知抛物线对称轴为直线$x=1$，且与$x$轴交于$A(3,0)$，设另一个交点$B$的坐标为$(x,0)$，根据抛物线对称性，两点横坐标的中点为对称轴横坐标，即$\frac{3+x}{2}=1$，解得$x=-1$，即$B(-1,0)$。
二次函数图象与$x$轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，因此$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=3$，$x_2=-1$。
(2) 不等式$ax^2+bx+c＞0$对应抛物线在$x$轴上方的图象部分，由图可知，当$-1＜x＜3$时，抛物线在$x$轴上方，因此解集为$-1＜x＜3$。
(3) 已知抛物线与$y$轴交于$C(0,3)$，即当$x=0$时，$y=3$。点$C$关于对称轴$x=1$的对称点的横坐标为$2×1 - 0=2$，即对称点为$(2,3)$，也就是当$x=2$时，$y=3$。
不等式$ax^2+bx+c＜3$对应抛物线在直线$y=3$下方的图象部分，由图可知，当$x＜0$或$x＞2$时，函数值小于3，因此解集为$x＜0$或$x＞2$。
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=-1$
(2) $-1＜x＜3$
(3) $x＜0$或$x＞2$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数与不等式的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数图象与方程、不等式的结合，解题核心是利用数形结合思想，结合二次函数的对称性找到对应点的坐标，即可快速求解，属于对二次函数基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8
19.在一次长假期间,某公司在电商平台举行了商品打折促销活动.经市场调查发现,某种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数(x为正整数),下表列出了该商品的售价x,周销售量y,周销售利润W(元)的三组对应值数据.
(1)该商品进价为
(2)在销售过程中要求售价不低于进价,售价x为多少时,周销售利润W最大?并求出此时的最大利润.
(1)该商品进价为
20
元/件,y关于x的函数解析式是$y=-3x+300$
（不要求写出自变量的取值范围）.(2)在销售过程中要求售价不低于进价,售价x为多少时,周销售利润W最大?并求出此时的最大利润.
答案
19.(1)20 $y=-3x+300$
(2)由(1)可得$W=(-3x+300)(x-20)=-3(x-60)^2+4\ 800$,
$\because -3＜0$,$\therefore$当$x=60$时,$W$最大,最大值为4 800.
$\therefore$售价为60元/件时,周销售利润$W$最大,最大利润为4 800元.
(2)由(1)可得$W=(-3x+300)(x-20)=-3(x-60)^2+4\ 800$,
$\because -3＜0$,$\therefore$当$x=60$时,$W$最大,最大值为4 800.
$\therefore$售价为60元/件时,周销售利润$W$最大,最大利润为4 800元.
解析
【分析】
(1) 求进价可利用“单件利润=周销售利润÷周销售量”，再用“售价-单件利润=进价”计算即可；y是x的一次函数，设出一次函数一般式，代入表格中两组x、y的对应值，解二元一次方程组即可求得函数解析式。
(2) 周销售利润=单件利润×周销售量，先列出W关于x的函数关系式，可知为二次函数，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围（售价不低于进价），即可求出W的最大值及对应x的值。
【解析】
(1) 取表格第一组数据计算：当x=40时，周销售量y=180件，周销售利润W=3600元，
则单件利润为 $3600÷180=20$ 元，
∴ 商品进价为 $40-20=20$ 元/件。
设y关于x的函数解析式为 $y=kx+b\ (k≠0)$，
将 $\begin{cases}x=40,y=180\\x=70,y=90\end{cases}$ 代入解析式得：
$\begin{cases}40k+b=180\\70k+b=90\end{cases}$，
用第二个方程减第一个方程得：$30k=-90$，解得 $k=-3$，
将 $k=-3$ 代入 $40k+b=180$，得 $-120+b=180$，解得 $b=300$，
∴ y关于x的函数解析式为 $y=-3x+300$。
(2) 由题意得，单件利润为 $(x-20)$ 元，周销售量为 $(-3x+300)$ 件，
则周销售利润 $W=(x-20)(-3x+300)$，
展开并配方得：
$W=-3x^2+360x-6000=-3(x-60)^2+4800$，
∵ $-3＜0$，
∴ 抛物线开口向下，函数有最大值，
又
∵ 售价不低于进价，即 $x≥20$，
∴ 当 $x=60$ 时，W取得最大值，最大值为4800元。
【答案】
(1) 20；$y=-3x+300$
(2) 售价为60元/件时，周销售利润W最大，最大利润为4800元。
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题以商品销售利润为背景，考查一次函数与二次函数的综合应用，解题的核心是理清利润、销量、售价之间的数量关系，结合函数性质求解最值，是函数实际应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求进价可利用“单件利润=周销售利润÷周销售量”，再用“售价-单件利润=进价”计算即可；y是x的一次函数，设出一次函数一般式，代入表格中两组x、y的对应值，解二元一次方程组即可求得函数解析式。
(2) 周销售利润=单件利润×周销售量，先列出W关于x的函数关系式，可知为二次函数，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围（售价不低于进价），即可求出W的最大值及对应x的值。
【解析】
(1) 取表格第一组数据计算：当x=40时，周销售量y=180件，周销售利润W=3600元，
则单件利润为 $3600÷180=20$ 元，
∴ 商品进价为 $40-20=20$ 元/件。
设y关于x的函数解析式为 $y=kx+b\ (k≠0)$，
将 $\begin{cases}x=40,y=180\\x=70,y=90\end{cases}$ 代入解析式得：
$\begin{cases}40k+b=180\\70k+b=90\end{cases}$，
用第二个方程减第一个方程得：$30k=-90$，解得 $k=-3$，
将 $k=-3$ 代入 $40k+b=180$，得 $-120+b=180$，解得 $b=300$，
∴ y关于x的函数解析式为 $y=-3x+300$。
(2) 由题意得，单件利润为 $(x-20)$ 元，周销售量为 $(-3x+300)$ 件，
则周销售利润 $W=(x-20)(-3x+300)$，
展开并配方得：
$W=-3x^2+360x-6000=-3(x-60)^2+4800$，
∵ $-3＜0$，
∴ 抛物线开口向下，函数有最大值，
又
∵ 售价不低于进价，即 $x≥20$，
∴ 当 $x=60$ 时，W取得最大值，最大值为4800元。
【答案】
(1) 20；$y=-3x+300$
(2) 售价为60元/件时，周销售利润W最大，最大利润为4800元。
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题以商品销售利润为背景，考查一次函数与二次函数的综合应用，解题的核心是理清利润、销量、售价之间的数量关系，结合函数性质求解最值，是函数实际应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7
