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20.如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+bx+3(a＜0)$与x轴交于点$A(-1,0)$,$C(6,0)$,与y轴交于点B,连接BC.
(1)直接写出抛物线的解析式.
(2)点P是抛物线上的点,且在直线BC的下方,连接PB,PC,当$S_{△ PBC}=24$时,求点P的坐标.
(1)直接写出抛物线的解析式.
(2)点P是抛物线上的点,且在直线BC的下方,连接PB,PC,当$S_{△ PBC}=24$时,求点P的坐标.
答案
20.(1)$y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x+3$.
(2)过点$P$作$PQ// BC$交$y$轴于点$Q$,连接$CQ$.
则$S_{△ QBC}=S_{△ PBC}=24$,$\therefore \dfrac{1}{2}BQ· CO=24$,
$\because$点$C(6,0)$,$CO=6$,$\therefore BQ=8$,
又$\because B(0,3)$,$\therefore$点$Q(0,-5)$.
$\because B(0,3)$,$C(6,0)$,$\therefore$直线$BC$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$,
$\because PQ// BC$,$\therefore$直线$PQ$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x-5$,
联立$y=-\dfrac{1}{2}x-5$与$y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x+3$,解得$x=-2$或$8$.
故$P_1(-2,-4)$,$P_2(8,-9)$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，且解析式常数项已知，将两个交点坐标代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b，得到抛物线解析式。
(2) 要求△PBC面积为24时P的坐标，可利用平行线间距离处处相等的性质，过P作PQ//BC，此时△PBC和△QBC同底等高、面积相等；先根据面积关系求出Q点坐标，再求直线PQ的解析式，最后联立直线PQ与抛物线解析式，解方程组即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 将$A(-1,0)$、$C(6,0)$代入$y=ax^2+bx+3$，得：
$\begin{cases}a-b+3=0 \\36a+6b+3=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2} \\b=\dfrac{5}{2} \end{cases}$
即抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x+3$。
(2) 当$x=0$时，$y=3$，即$B(0,3)$。
过点$P$作$PQ// BC$交$y$轴于点$Q$，连接$CQ$，如图：
∵$PQ// BC$，
∴点P、Q到直线BC的距离相等，故$S_{△ QBC}=S_{△ PBC}=24$。
$△ QBC$中，BQ为底、OC为高，因此$\dfrac{1}{2}BQ· CO=24$。
∵$C(6,0)$，
∴$CO=6$，代入得$\dfrac{1}{2}× BQ×6=24$，解得$BQ=8$。
∵P在BC下方，
∴Q在B点下方，Q点纵坐标为$3-8=-5$，即$Q(0,-5)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+m$，代入$B(0,3)$、$C(6,0)$得：
$\begin{cases}m=3 \\6k+m=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2} \\m=3 \end{cases}$
即直线BC解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$。
∵$PQ// BC$，
∴直线PQ的斜率与BC相同，又过$Q(0,-5)$，故直线PQ解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x-5$。
联立直线PQ与抛物线解析式：
$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x-5 \\y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x+3 \end{cases}$
消去y整理得$x^2-6x-16=0$，解得$x=-2$或$x=8$。
当$x=-2$时，$y=-4$；当$x=8$时，$y=-9$。
即P点坐标为$(-2,-4)$或$(8,-9)$。
【答案】
(1)$y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x+3$
(2)$P_1(-2,-4)$，$P_2(8,-9)$，辅助线图示：
【知识点】
待定系数法，函数交点求解，三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数常见综合题，第一问为基础考点，难度低；第二问核心是利用平行线转化三角形面积，降低了坐标法求面积的复杂度，同时考察了一次函数与二次函数联立求交点的运算能力，掌握面积转化技巧是解题关键。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，且解析式常数项已知，将两个交点坐标代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b，得到抛物线解析式。
(2) 要求△PBC面积为24时P的坐标，可利用平行线间距离处处相等的性质，过P作PQ//BC，此时△PBC和△QBC同底等高、面积相等；先根据面积关系求出Q点坐标，再求直线PQ的解析式，最后联立直线PQ与抛物线解析式，解方程组即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 将$A(-1,0)$、$C(6,0)$代入$y=ax^2+bx+3$，得：
$\begin{cases}a-b+3=0 \\36a+6b+3=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2} \\b=\dfrac{5}{2} \end{cases}$
即抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x+3$。
(2) 当$x=0$时，$y=3$，即$B(0,3)$。
过点$P$作$PQ// BC$交$y$轴于点$Q$，连接$CQ$，如图：
∵$PQ// BC$，
∴点P、Q到直线BC的距离相等，故$S_{△ QBC}=S_{△ PBC}=24$。
$△ QBC$中，BQ为底、OC为高，因此$\dfrac{1}{2}BQ· CO=24$。
∵$C(6,0)$，
∴$CO=6$，代入得$\dfrac{1}{2}× BQ×6=24$，解得$BQ=8$。
∵P在BC下方，
∴Q在B点下方，Q点纵坐标为$3-8=-5$，即$Q(0,-5)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+m$，代入$B(0,3)$、$C(6,0)$得：
$\begin{cases}m=3 \\6k+m=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2} \\m=3 \end{cases}$
即直线BC解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$。
∵$PQ// BC$，
∴直线PQ的斜率与BC相同，又过$Q(0,-5)$，故直线PQ解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x-5$。
联立直线PQ与抛物线解析式：
$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x-5 \\y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x+3 \end{cases}$
消去y整理得$x^2-6x-16=0$，解得$x=-2$或$x=8$。
当$x=-2$时，$y=-4$；当$x=8$时，$y=-9$。
即P点坐标为$(-2,-4)$或$(8,-9)$。
【答案】
(1)$y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x+3$
(2)$P_1(-2,-4)$，$P_2(8,-9)$，辅助线图示：
【知识点】
待定系数法，函数交点求解，三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数常见综合题，第一问为基础考点，难度低；第二问核心是利用平行线转化三角形面积，降低了坐标法求面积的复杂度，同时考察了一次函数与二次函数联立求交点的运算能力，掌握面积转化技巧是解题关键。
【难度系数】
0.6
21.已知抛物线$y=ax^2+bx(a≠0)$经过点$(4,0)$.
(1)求该抛物线的对称轴.
(2)点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$分别在抛物线$y=ax^2+bx$和$y=x^2-2x$上$(A,B$与原点都不重合$)$,若$a=\frac{1}{2}$,且$x_1=x_2$,比较$y_1$与$y_2$的大小.
(1)求该抛物线的对称轴.
(2)点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$分别在抛物线$y=ax^2+bx$和$y=x^2-2x$上$(A,B$与原点都不重合$)$,若$a=\frac{1}{2}$,且$x_1=x_2$,比较$y_1$与$y_2$的大小.
答案
21.(1)将点$(4,0)$代入$y=ax^2+bx$得$16a+4b=0$,$\therefore -\dfrac{b}{2a}=2$.
故抛物线的对称轴是直线$x=2$.
(2)由(1)可知$b=-4a$,
又$\because x_1=x_2$,
$\therefore y_2-y_1=(x_2{}^2-2x_2)-(\dfrac{1}{2}x_1{}^2-2x_1)=(x_1{}^2-2x_1)-(\dfrac{1}{2}x_1{}^2-2x_1)=\dfrac{1}{2}x_1{}^2$.
$\because$抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^2-2x$过原点,且点$A$与原点不重合,$\therefore x_1≠0$,
$\therefore \dfrac{1}{2}x_1{}^2＞0$,
$\therefore y_2＞y_1$.
故抛物线的对称轴是直线$x=2$.
(2)由(1)可知$b=-4a$,
又$\because x_1=x_2$,
$\therefore y_2-y_1=(x_2{}^2-2x_2)-(\dfrac{1}{2}x_1{}^2-2x_1)=(x_1{}^2-2x_1)-(\dfrac{1}{2}x_1{}^2-2x_1)=\dfrac{1}{2}x_1{}^2$.
$\because$抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^2-2x$过原点,且点$A$与原点不重合,$\therefore x_1≠0$,
$\therefore \dfrac{1}{2}x_1{}^2＞0$,
$\therefore y_2＞y_1$.
解析
【分析】
（1）解题思路：方法一：抛物线$y=ax^2+bx$无常数项，因此恒过原点$(0,0)$，已知抛物线还过点$(4,0)$，二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均值；方法二：将点$(4,0)$代入抛物线解析式，得到$a$与$b$的等量关系，再代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$即可求解。
（2）解题思路：要比较$y_1$和$y_2$的大小，可采用作差法计算$y_2-y_1$的正负。首先根据$a=\frac{1}{2}$和第一问得到的$a$、$b$关系，求出第一条抛物线的解析式，再结合$x_1=x_2$的条件化简$y_2-y_1$，结合“点A与原点不重合”的限制判断差的正负，即可得到大小关系。
【解析】
(1) 将点$(4,0)$代入$y=ax^2+bx$，得：
$16a+4b=0$，整理得$b=-4a$，
代入对称轴公式得：$-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4a}{2a}=2$，
故抛物线的对称轴是直线$x=2$。
(2) 由(1)可知$b=-4a$，已知$a=\frac{1}{2}$，因此$b=-4×\frac{1}{2}=-2$，即第一条抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}x^2-2x$，
又$\because x_1=x_2$，
$\therefore y_2-y_1=(x_2^2-2x_2)-(\dfrac{1}{2}x_1^2-2x_1)=(x_1^2-2x_1)-(\dfrac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\dfrac{1}{2}x_1^2$，
$\because$点A与原点不重合，$\therefore x_1≠0$，
$\therefore \dfrac{1}{2}x_1^2＞0$，即$y_2-y_1＞0$，
$\therefore y_2＞y_1$。
【答案】
(1) 抛物线的对称轴是直线$x=2$；
(2) $y_2＞y_1$
【知识点】
二次函数对称轴计算；作差法比较大小；二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题时既可利用交点对称性快速求对称轴，也可通过代入法结合公式计算，作差法是比较函数值大小的常用技巧，整体侧重对基础公式和运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
（1）解题思路：方法一：抛物线$y=ax^2+bx$无常数项，因此恒过原点$(0,0)$，已知抛物线还过点$(4,0)$，二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均值；方法二：将点$(4,0)$代入抛物线解析式，得到$a$与$b$的等量关系，再代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$即可求解。
（2）解题思路：要比较$y_1$和$y_2$的大小，可采用作差法计算$y_2-y_1$的正负。首先根据$a=\frac{1}{2}$和第一问得到的$a$、$b$关系，求出第一条抛物线的解析式，再结合$x_1=x_2$的条件化简$y_2-y_1$，结合“点A与原点不重合”的限制判断差的正负，即可得到大小关系。
【解析】
(1) 将点$(4,0)$代入$y=ax^2+bx$，得：
$16a+4b=0$，整理得$b=-4a$，
代入对称轴公式得：$-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4a}{2a}=2$，
故抛物线的对称轴是直线$x=2$。
(2) 由(1)可知$b=-4a$，已知$a=\frac{1}{2}$，因此$b=-4×\frac{1}{2}=-2$，即第一条抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}x^2-2x$，
又$\because x_1=x_2$，
$\therefore y_2-y_1=(x_2^2-2x_2)-(\dfrac{1}{2}x_1^2-2x_1)=(x_1^2-2x_1)-(\dfrac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\dfrac{1}{2}x_1^2$，
$\because$点A与原点不重合，$\therefore x_1≠0$，
$\therefore \dfrac{1}{2}x_1^2＞0$，即$y_2-y_1＞0$，
$\therefore y_2＞y_1$。
【答案】
(1) 抛物线的对称轴是直线$x=2$；
(2) $y_2＞y_1$
【知识点】
二次函数对称轴计算；作差法比较大小；二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题时既可利用交点对称性快速求对称轴，也可通过代入法结合公式计算，作差法是比较函数值大小的常用技巧，整体侧重对基础公式和运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
