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20.如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+bx+3(a＜0)$与x轴交于点$A(-1,0)$,$C(6,0)$,与y轴交于点B,连接BC.
(1)直接写出抛物线的解析式.
(2)点P是抛物线上的点,且在直线BC的下方,连接PB,PC,当$S_{△ PBC}=24$时,求点P的坐标.
(1)直接写出抛物线的解析式.
(2)点P是抛物线上的点,且在直线BC的下方,连接PB,PC,当$S_{△ PBC}=24$时,求点P的坐标.
答案
20.(1)$y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x+3$.
(2)过点$P$作$PQ// BC$交$y$轴于点$Q$,连接$CQ$.
则$S_{△ QBC}=S_{△ PBC}=24$,$\therefore \dfrac{1}{2}BQ· CO=24$,
$\because$点$C(6,0)$,$CO=6$,$\therefore BQ=8$,
又$\because B(0,3)$,$\therefore$点$Q(0,-5)$.
$\because B(0,3)$,$C(6,0)$,$\therefore$直线$BC$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$,
$\because PQ// BC$,$\therefore$直线$PQ$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x-5$,
联立$y=-\dfrac{1}{2}x-5$与$y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x+3$,解得$x=-2$或$8$.
故$P_1(-2,-4)$,$P_2(8,-9)$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线过A(-1,0)、C(6,0)两点，且解析式为$y=ax^2+bx+3$，只需将两点坐标代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，得到抛物线解析式。
(2) 要求直线BC下方满足$S_{△ PBC}=24$的点P坐标，直接用坐标计算三角形面积复杂度较高，可利用“平行线间距离相等”的性质，过P作BC的平行线PQ，此时$△ PBC$和$△ QBC$同底等高，面积相等，先通过面积条件求出Q点坐标，再得到直线PQ的解析式，最后联立PQ和抛物线的解析式，解出的交点就是P点坐标。
【解析】
(1) 将A(-1,0)、C(6,0)代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+3$，得：
$\begin{cases} a - b + 3 = 0 \\ 36a + 6b + 3 = 0 \end{cases}$
将第一个方程乘6得$6a - 6b + 18 = 0$，与第二个方程相加得$42a + 21 = 0$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$。
将$a=-\dfrac{1}{2}$代入$a - b + 3 = 0$，解得$b=\dfrac{5}{2}$。
因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x+3$。
(2) 令抛物线解析式中$x=0$，得$y=3$，即$B(0,3)$。
过点$P$作$PQ// BC$交$y$轴于点$Q$，连接$CQ$。
因为$PQ//BC$，$△ PBC$和$△ QBC$同底BC，且平行线间距离相等即高相等，因此$S_{△ QBC}=S_{△ PBC}=24$。
$S_{△ QBC}=\dfrac{1}{2}BQ· CO$，已知$C(6,0)$，$CO=6$，代入得：
$\dfrac{1}{2} × BQ × 6 =24$，解得$BQ=8$。
因为点P在BC下方，所以Q在B的下方，Q点纵坐标为$3-8=-5$，即$Q(0,-5)$。
设直线BC解析式为$y=kx+m$，代入B(0,3)、C(6,0)，解得$k=-\dfrac{1}{2},m=3$，即直线BC的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$。
因为$PQ// BC$，所以直线PQ斜率与BC相同，又过点Q(0,-5)，因此直线PQ的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x-5$。
联立直线PQ和抛物线的解析式：
$\begin{cases} y=-\dfrac{1}{2}x-5 \\ y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x+3 \end{cases}$
消去y整理得$x^2 -6x -16=0$，解得$x=-2$或$x=8$。
代入直线PQ解析式得：当$x=-2$时$y=-4$，当$x=8$时$y=-9$。
【答案】
(1)$y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x+3$.
(2)过点$P$作$PQ// BC$交$y$轴于点$Q$,连接$CQ$.
则$S_{△ QBC}=S_{△ PBC}=24$,$\therefore \dfrac{1}{2}BQ· CO=24$,
$\because$点$C(6,0)$,$CO=6$,$\therefore BQ=8$,
又$\because B(0,3)$,$\therefore$点$Q(0,-5)$.
$\because B(0,3)$,$C(6,0)$,$\therefore$直线$BC$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$,
$\because PQ// BC$,$\therefore$直线$PQ$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x-5$,
联立$y=-\dfrac{1}{2}x-5$与$y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x+3$,解得$x=-2$或$8$.
故$P_1(-2,-4)$,$P_2(8,-9)$.
【知识点】
待定系数法求解析式，平行线的性质，函数交点求解
【点评】
本题是二次函数综合基础题，第一问考查基础的二次函数解析式求解，第二问通过平行线转化三角形面积，将几何面积条件转化为代数函数问题，是二次函数与几何结合的常见考法，需掌握同底等高三角形面积相等的转化技巧。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线过A(-1,0)、C(6,0)两点，且解析式为$y=ax^2+bx+3$，只需将两点坐标代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，得到抛物线解析式。
(2) 要求直线BC下方满足$S_{△ PBC}=24$的点P坐标，直接用坐标计算三角形面积复杂度较高，可利用“平行线间距离相等”的性质，过P作BC的平行线PQ，此时$△ PBC$和$△ QBC$同底等高，面积相等，先通过面积条件求出Q点坐标，再得到直线PQ的解析式，最后联立PQ和抛物线的解析式，解出的交点就是P点坐标。
【解析】
(1) 将A(-1,0)、C(6,0)代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+3$，得：
$\begin{cases} a - b + 3 = 0 \\ 36a + 6b + 3 = 0 \end{cases}$
将第一个方程乘6得$6a - 6b + 18 = 0$，与第二个方程相加得$42a + 21 = 0$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$。
将$a=-\dfrac{1}{2}$代入$a - b + 3 = 0$，解得$b=\dfrac{5}{2}$。
因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x+3$。
(2) 令抛物线解析式中$x=0$，得$y=3$，即$B(0,3)$。
过点$P$作$PQ// BC$交$y$轴于点$Q$，连接$CQ$。
因为$PQ//BC$，$△ PBC$和$△ QBC$同底BC，且平行线间距离相等即高相等，因此$S_{△ QBC}=S_{△ PBC}=24$。
$S_{△ QBC}=\dfrac{1}{2}BQ· CO$，已知$C(6,0)$，$CO=6$，代入得：
$\dfrac{1}{2} × BQ × 6 =24$，解得$BQ=8$。
因为点P在BC下方，所以Q在B的下方，Q点纵坐标为$3-8=-5$，即$Q(0,-5)$。
设直线BC解析式为$y=kx+m$，代入B(0,3)、C(6,0)，解得$k=-\dfrac{1}{2},m=3$，即直线BC的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$。
因为$PQ// BC$，所以直线PQ斜率与BC相同，又过点Q(0,-5)，因此直线PQ的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x-5$。
联立直线PQ和抛物线的解析式：
$\begin{cases} y=-\dfrac{1}{2}x-5 \\ y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x+3 \end{cases}$
消去y整理得$x^2 -6x -16=0$，解得$x=-2$或$x=8$。
代入直线PQ解析式得：当$x=-2$时$y=-4$，当$x=8$时$y=-9$。
【答案】
(1)$y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x+3$.
(2)过点$P$作$PQ// BC$交$y$轴于点$Q$,连接$CQ$.
则$S_{△ QBC}=S_{△ PBC}=24$,$\therefore \dfrac{1}{2}BQ· CO=24$,
$\because$点$C(6,0)$,$CO=6$,$\therefore BQ=8$,
又$\because B(0,3)$,$\therefore$点$Q(0,-5)$.
$\because B(0,3)$,$C(6,0)$,$\therefore$直线$BC$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$,
$\because PQ// BC$,$\therefore$直线$PQ$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x-5$,
联立$y=-\dfrac{1}{2}x-5$与$y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x+3$,解得$x=-2$或$8$.
故$P_1(-2,-4)$,$P_2(8,-9)$.
【知识点】
待定系数法求解析式，平行线的性质，函数交点求解
【点评】
本题是二次函数综合基础题，第一问考查基础的二次函数解析式求解，第二问通过平行线转化三角形面积，将几何面积条件转化为代数函数问题，是二次函数与几何结合的常见考法，需掌握同底等高三角形面积相等的转化技巧。
【难度系数】
0.6
21.已知抛物线$y=ax^2+bx(a≠0)$经过点$(4,0)$.
(1)求该抛物线的对称轴.
(2)点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$分别在抛物线$y=ax^2+bx$和$y=x^2-2x$上$(A,B$与原点都不重合$)$,若$a=\frac{1}{2}$,且$x_1=x_2$,比较$y_1$与$y_2$的大小.
(1)求该抛物线的对称轴.
(2)点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$分别在抛物线$y=ax^2+bx$和$y=x^2-2x$上$(A,B$与原点都不重合$)$,若$a=\frac{1}{2}$,且$x_1=x_2$,比较$y_1$与$y_2$的大小.
答案
21.(1)将点$(4,0)$代入$y=ax^2+bx$得$16a+4b=0$,$\therefore -\dfrac{b}{2a}=2$.
故抛物线的对称轴是直线$x=2$.
(2)由(1)可知$b=-4a$,
又$\because x_1=x_2$,
$\therefore y_2-y_1=(x_2{}^2-2x_2)-(\dfrac{1}{2}x_1{}^2-2x_1)=(x_1{}^2-2x_1)-(\dfrac{1}{2}x_1{}^2-2x_1)=\dfrac{1}{2}x_1{}^2$.
$\because$抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^2-2x$过原点,且点$A$与原点不重合,$\therefore x_1≠0$,
$\therefore \dfrac{1}{2}x_1{}^2＞0$,
$\therefore y_2＞y_1$.
故抛物线的对称轴是直线$x=2$.
(2)由(1)可知$b=-4a$,
又$\because x_1=x_2$,
$\therefore y_2-y_1=(x_2{}^2-2x_2)-(\dfrac{1}{2}x_1{}^2-2x_1)=(x_1{}^2-2x_1)-(\dfrac{1}{2}x_1{}^2-2x_1)=\dfrac{1}{2}x_1{}^2$.
$\because$抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^2-2x$过原点,且点$A$与原点不重合,$\therefore x_1≠0$,
$\therefore \dfrac{1}{2}x_1{}^2＞0$,
$\therefore y_2＞y_1$.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
（1）求抛物线对称轴时，先将已知点$(4,0)$代入抛物线解析式，得到$a$与$b$的数量关系，再结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入化简即可求出对称轴，无需计算$a$、$b$的具体值。
（2）比较$y_1$和$y_2$的大小优先选用作差法：先根据第一问得到的$a$、$b$关系，结合$a=\frac{1}{2}$求出$b$的值，写出点$A$所在抛物线的解析式；由于$x_1=x_2$，将两个函数值作差化简，再结合“$A$与原点不重合”的条件判断差的正负，即可得到两个函数值的大小关系。
【解析】
(1) 将点$(4,0)$代入$y=ax^2+bx(a≠0)$，得：
$16a+4b=0$，整理得$b=-4a$
根据二次函数对称轴公式，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，将$b=-4a$代入得：
$x=-\frac{-4a}{2a}=2$
(2) 由(1)可知$b=-4a$，当$a=\frac{1}{2}$时，$b=-4×\frac{1}{2}=-2$，因此点$A$所在抛物线解析式为$y_1=\frac{1}{2}x_1^2-2x_1$
已知$x_1=x_2$，将两个函数值作差得：
$y_2-y_1=(x_2^2-2x_2)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)$
代入$x_2=x_1$化简：
$y_2-y_1=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\frac{1}{2}x_1^2$
因为点$A$与原点不重合，所以$x_1≠0$，因此$\frac{1}{2}x_1^2＞0$，即$y_2-y_1＞0$
【答案】
(1) 该抛物线的对称轴是直线$x=2$
(2) $y_2＞y_1$
【知识点】
二次函数对称轴计算；作差法比较大小；二次函数点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，第一问侧重考查待定系数法和对称轴公式的应用，可通过参数关系直接推导结果，无需计算参数的具体取值；第二问的作差法是比较代数式大小的常用方法，解题时需注意题目中“与原点不重合”的限定条件，整体对基础知识的掌握要求较高。
【难度系数】
0.75
本题分为两小问，解题思路如下：
（1）求抛物线对称轴时，先将已知点$(4,0)$代入抛物线解析式，得到$a$与$b$的数量关系，再结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入化简即可求出对称轴，无需计算$a$、$b$的具体值。
（2）比较$y_1$和$y_2$的大小优先选用作差法：先根据第一问得到的$a$、$b$关系，结合$a=\frac{1}{2}$求出$b$的值，写出点$A$所在抛物线的解析式；由于$x_1=x_2$，将两个函数值作差化简，再结合“$A$与原点不重合”的条件判断差的正负，即可得到两个函数值的大小关系。
【解析】
(1) 将点$(4,0)$代入$y=ax^2+bx(a≠0)$，得：
$16a+4b=0$，整理得$b=-4a$
根据二次函数对称轴公式，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，将$b=-4a$代入得：
$x=-\frac{-4a}{2a}=2$
(2) 由(1)可知$b=-4a$，当$a=\frac{1}{2}$时，$b=-4×\frac{1}{2}=-2$，因此点$A$所在抛物线解析式为$y_1=\frac{1}{2}x_1^2-2x_1$
已知$x_1=x_2$，将两个函数值作差得：
$y_2-y_1=(x_2^2-2x_2)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)$
代入$x_2=x_1$化简：
$y_2-y_1=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\frac{1}{2}x_1^2$
因为点$A$与原点不重合，所以$x_1≠0$，因此$\frac{1}{2}x_1^2＞0$，即$y_2-y_1＞0$
【答案】
(1) 该抛物线的对称轴是直线$x=2$
(2) $y_2＞y_1$
【知识点】
二次函数对称轴计算；作差法比较大小；二次函数点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，第一问侧重考查待定系数法和对称轴公式的应用，可通过参数关系直接推导结果，无需计算参数的具体取值；第二问的作差法是比较代数式大小的常用方法，解题时需注意题目中“与原点不重合”的限定条件，整体对基础知识的掌握要求较高。
【难度系数】
0.75
