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22.一次足球训练中,小明从球门(OB)正前方8 m的点 A 处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时,球达到最高点,此时球离地面3 m.现以点 O 为原点建立如图所示的直角坐标系.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)已知球门高 2.4 m,通过计算判断球能否射进球门(忽略球的直径等因素).
(3)已知点 C 为 OB 上一点,OC=2.25 m,若射门路线的形状和最大高度均保持不变,当小明带球向正后方移动 n m 再射门时,足球恰好经过 BC 区域(含点 C 但不含点 B),求 n 的取值范围.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)已知球门高 2.4 m,通过计算判断球能否射进球门(忽略球的直径等因素).
(3)已知点 C 为 OB 上一点,OC=2.25 m,若射门路线的形状和最大高度均保持不变,当小明带球向正后方移动 n m 再射门时,足球恰好经过 BC 区域(含点 C 但不含点 B),求 n 的取值范围.
答案
22.(1)$\because 8-6=2$,$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(2,3)$,
设抛物线为$y=a(x-2)^2+3$,
把点$A(8,0)$代入得$36a+3=0$,解得$a=-\dfrac{1}{12}$.
$\therefore$抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$.
(2)当$x=0$时,$y=-\dfrac{1}{12}(0-2)^2+3=\dfrac{8}{3}＞2.4$.
$\therefore$球不能射进球门.
(3)小明移动后的射门路线抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2-n)^2+3$,
把点$(0,2.25)$代入,得$2.25=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$,解得$n=-5$(舍去)或$n=1$,
把点$(0,2.4)$代入,得$2.4=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$,解得$n=-\dfrac{6\sqrt{5}}{5}-2$(舍去)或$n=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}-2$.
$\therefore$足球恰好经过$BC$区域(含点$C$但不含点$B$)时,$n$的取值范围为$\dfrac{6}{5}\sqrt{5}-2＜n≤1$.
设抛物线为$y=a(x-2)^2+3$,
把点$A(8,0)$代入得$36a+3=0$,解得$a=-\dfrac{1}{12}$.
$\therefore$抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$.
(2)当$x=0$时,$y=-\dfrac{1}{12}(0-2)^2+3=\dfrac{8}{3}＞2.4$.
$\therefore$球不能射进球门.
(3)小明移动后的射门路线抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2-n)^2+3$,
把点$(0,2.25)$代入,得$2.25=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$,解得$n=-5$(舍去)或$n=1$,
把点$(0,2.4)$代入,得$2.4=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$,解得$n=-\dfrac{6\sqrt{5}}{5}-2$(舍去)或$n=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}-2$.
$\therefore$足球恰好经过$BC$区域(含点$C$但不含点$B$)时,$n$的取值范围为$\dfrac{6}{5}\sqrt{5}-2＜n≤1$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式首先确定顶点坐标：已知球飞行水平距离6m时到达最高点，A点坐标为(8,0)，因此顶点横坐标为$8-6=2$，纵坐标为3，即顶点为$(2,3)$，选择顶点式设解析式，代入点A坐标即可求出未知系数。
(2) 判断球能否进球门，只需计算$x=0$（球门所在位置）时抛物线的函数值，和球门高度2.4m比较大小即可得出结论。
(3) 小明向后移动$n$m，抛物线形状和最大高度不变，仅顶点横坐标向右平移$n$个单位，由此写出平移后的解析式；再根据足球经过BC区域的边界条件（含C点$y=2.25$，不含B点对应$y=2.4$），分别代入$x=0$求解对应的$n$值，舍去不符合实际的负解，即可得到$n$的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得抛物线顶点坐标为$(2,3)$，设抛物线解析式为$y=a(x-2)^2+3(a≠0)$。
将$A(8,0)$代入解析式得：$36a+3=0$，解得$a=-\dfrac{1}{12}$。
因此抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$。
(2) 当$x=0$时，代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{12}(0-2)^2+3=\dfrac{8}{3}$。
$\because \dfrac{8}{3}\approx2.67＞2.4$，
$\therefore$球不能射进球门。
(3) 移动后抛物线顶点为$(2+n,3)$，解析式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2-n)^2+3$。
① 将$(0,2.25)$代入解析式得：$2.25=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$，
解得$n=1$或$n=-5$（移动距离为正，舍去）；
② 将$(0,2.4)$代入解析式得：$2.4=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$，
解得$n=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}-2$或$n=-\dfrac{6\sqrt{5}}{5}-2$（舍去）。
$\because$足球经过BC区域（含点C，不含点B），
$\therefore n$的取值范围为$\dfrac{6\sqrt{5}}{5}-2 ＜ n ≤1$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$
(2) 球不能射进球门
(3) $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}-2 ＜ n ≤1$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数的平移
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的综合应用，解题核心是熟练掌握二次函数解析式的求解方法、平移规律，能结合实际限制条件分析取值范围，注意区间开闭的判断。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线解析式首先确定顶点坐标：已知球飞行水平距离6m时到达最高点，A点坐标为(8,0)，因此顶点横坐标为$8-6=2$，纵坐标为3，即顶点为$(2,3)$，选择顶点式设解析式，代入点A坐标即可求出未知系数。
(2) 判断球能否进球门，只需计算$x=0$（球门所在位置）时抛物线的函数值，和球门高度2.4m比较大小即可得出结论。
(3) 小明向后移动$n$m，抛物线形状和最大高度不变，仅顶点横坐标向右平移$n$个单位，由此写出平移后的解析式；再根据足球经过BC区域的边界条件（含C点$y=2.25$，不含B点对应$y=2.4$），分别代入$x=0$求解对应的$n$值，舍去不符合实际的负解，即可得到$n$的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得抛物线顶点坐标为$(2,3)$，设抛物线解析式为$y=a(x-2)^2+3(a≠0)$。
将$A(8,0)$代入解析式得：$36a+3=0$，解得$a=-\dfrac{1}{12}$。
因此抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$。
(2) 当$x=0$时，代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{12}(0-2)^2+3=\dfrac{8}{3}$。
$\because \dfrac{8}{3}\approx2.67＞2.4$，
$\therefore$球不能射进球门。
(3) 移动后抛物线顶点为$(2+n,3)$，解析式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2-n)^2+3$。
① 将$(0,2.25)$代入解析式得：$2.25=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$，
解得$n=1$或$n=-5$（移动距离为正，舍去）；
② 将$(0,2.4)$代入解析式得：$2.4=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$，
解得$n=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}-2$或$n=-\dfrac{6\sqrt{5}}{5}-2$（舍去）。
$\because$足球经过BC区域（含点C，不含点B），
$\therefore n$的取值范围为$\dfrac{6\sqrt{5}}{5}-2 ＜ n ≤1$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$
(2) 球不能射进球门
(3) $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}-2 ＜ n ≤1$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数的平移
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的综合应用，解题核心是熟练掌握二次函数解析式的求解方法、平移规律，能结合实际限制条件分析取值范围，注意区间开闭的判断。
【难度系数】
0.6
23.在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过原点$O$和点$A(3,3a)$。
(1)求$c$的值，并用含$a$的式子表示$b$。
(2)若$a＞0$，过点$P(t,0)$作$x$轴的垂线，交抛物线于点$M$，交直线$y=ax$于点$N$。
①若$a=1$，$t=4$，求$MN$的长。
②已知在点$P$从点$O$运动到点$B(2a,0)$的过程中，$MN$的长随$OP$的长增大而增大，直接写出$a$的取值范围。
(1)求$c$的值，并用含$a$的式子表示$b$。
(2)若$a＞0$，过点$P(t,0)$作$x$轴的垂线，交抛物线于点$M$，交直线$y=ax$于点$N$。
①若$a=1$，$t=4$，求$MN$的长。
②已知在点$P$从点$O$运动到点$B(2a,0)$的过程中，$MN$的长随$OP$的长增大而增大，直接写出$a$的取值范围。
答案
23.(1)将点$O(0,0)$代入抛物线,得$c=0$.
将点$A(3,3a)$代入抛物线,得$3a=9a+3b$,$\therefore b=-2a$.
(2)①若$a=1$,则该抛物线的解析式为$y=x^2-2x$,直线的解析式为$y=x$.
当$t=4$时,点$P$的坐标为$(4,0)$,
$\because PM⊥ x$轴,$\therefore x_M=x_N=4$,
将$x=4$代入$y=x^2-2x$,得$M(4,8)$,将$x=4$代入$y=x$,得$N(4,4)$,
$\therefore MN=8-4=4$.
②$0＜a≤\dfrac{3}{4}$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线经过原点$O(0,0)$，将原点坐标代入抛物线解析式即可直接求出$c$的值；再将点$A(3,3a)$代入去掉$c$的抛物线解析式，整理即可得到$b$和$a$的关系式。
(2) ①先把$a=1$代入(1)的结论，得到抛物线和直线$y=ax$的具体表达式；$t=4$时$M$、$N$横坐标均为$4$，分别代入两个解析式求出纵坐标，纵坐标相减即可得到$MN$的长度。
②先写出$MN$关于$t$的函数表达式，结合二次函数的增减性，根据$t$的取值范围$0≤ t≤2a$，即可求出符合条件的$a$的取值范围。
【解析】
(1) 把$O(0,0)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$0=0+0+c$，$\therefore c=0$。
把$A(3,3a)$、$c=0$代入$y=ax^2+bx$，得$3a = a×3^2 + 3b$，即$3a=9a+3b$，移项整理得$3b=-6a$，$\therefore b=-2a$。
(2) ①当$a=1$时，$b=-2×1=-2$，$\therefore$抛物线解析式为$y=x^2-2x$，直线解析式为$y=x$。
当$t=4$时，点$P$坐标为$(4,0)$，$\because PM⊥ x$轴，$\therefore M$、$N$两点横坐标均为$4$。
将$x=4$代入$y=x^2-2x$得$y=4^2-2×4=8$，$\therefore M(4,8)$；将$x=4$代入$y=x$得$y=4$，$\therefore N(4,4)$。
$\therefore MN=8-4=4$。
②由题可知$t$的取值范围为$0≤ t≤2a$，$M$的纵坐标为$at^2-2at$，$N$的纵坐标为$at$，在$0≤ t≤3$范围内，$MN=at-(at^2-2at)=-at^2+3at$。
该二次函数开口向下，对称轴为$t=\frac{3}{2}$，在$0≤ t≤\frac{3}{2}$时$MN$随$t$增大而增大。要使$P$从$O$运动到$B(2a,0)$过程中$MN$一直增大，则$2a≤\frac{3}{2}$，结合$a＞0$得$0＜a≤\frac{3}{4}$。
【答案】
23.(1)将点$O(0,0)$代入抛物线,得$c=0$.
将点$A(3,3a)$代入抛物线,得$3a=9a+3b$,$\therefore b=-2a$.
(2)①若$a=1$,则该抛物线的解析式为$y=x^2-2x$,直线的解析式为$y=x$.
当$t=4$时,点$P$的坐标为$(4,0)$,
$\because PM⊥ x$轴,$\therefore x_M=x_N=4$,
将$x=4$代入$y=x^2-2x$,得$M(4,8)$,将$x=4$代入$y=x$,得$N(4,4)$,
$\therefore MN=8-4=4$.
②$0＜a≤\dfrac{3}{4}$.
【知识点】
二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数和二次函数的综合题，核心考查待定系数法求函数解析式、二次函数增减性的应用，解决动点相关的增减性问题时，要注意结合自变量的取值范围和函数对称轴的位置关系分析。
【难度系数】
0.65
(1) 已知抛物线经过原点$O(0,0)$，将原点坐标代入抛物线解析式即可直接求出$c$的值；再将点$A(3,3a)$代入去掉$c$的抛物线解析式，整理即可得到$b$和$a$的关系式。
(2) ①先把$a=1$代入(1)的结论，得到抛物线和直线$y=ax$的具体表达式；$t=4$时$M$、$N$横坐标均为$4$，分别代入两个解析式求出纵坐标，纵坐标相减即可得到$MN$的长度。
②先写出$MN$关于$t$的函数表达式，结合二次函数的增减性，根据$t$的取值范围$0≤ t≤2a$，即可求出符合条件的$a$的取值范围。
【解析】
(1) 把$O(0,0)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$0=0+0+c$，$\therefore c=0$。
把$A(3,3a)$、$c=0$代入$y=ax^2+bx$，得$3a = a×3^2 + 3b$，即$3a=9a+3b$，移项整理得$3b=-6a$，$\therefore b=-2a$。
(2) ①当$a=1$时，$b=-2×1=-2$，$\therefore$抛物线解析式为$y=x^2-2x$，直线解析式为$y=x$。
当$t=4$时，点$P$坐标为$(4,0)$，$\because PM⊥ x$轴，$\therefore M$、$N$两点横坐标均为$4$。
将$x=4$代入$y=x^2-2x$得$y=4^2-2×4=8$，$\therefore M(4,8)$；将$x=4$代入$y=x$得$y=4$，$\therefore N(4,4)$。
$\therefore MN=8-4=4$。
②由题可知$t$的取值范围为$0≤ t≤2a$，$M$的纵坐标为$at^2-2at$，$N$的纵坐标为$at$，在$0≤ t≤3$范围内，$MN=at-(at^2-2at)=-at^2+3at$。
该二次函数开口向下，对称轴为$t=\frac{3}{2}$，在$0≤ t≤\frac{3}{2}$时$MN$随$t$增大而增大。要使$P$从$O$运动到$B(2a,0)$过程中$MN$一直增大，则$2a≤\frac{3}{2}$，结合$a＞0$得$0＜a≤\frac{3}{4}$。
【答案】
23.(1)将点$O(0,0)$代入抛物线,得$c=0$.
将点$A(3,3a)$代入抛物线,得$3a=9a+3b$,$\therefore b=-2a$.
(2)①若$a=1$,则该抛物线的解析式为$y=x^2-2x$,直线的解析式为$y=x$.
当$t=4$时,点$P$的坐标为$(4,0)$,
$\because PM⊥ x$轴,$\therefore x_M=x_N=4$,
将$x=4$代入$y=x^2-2x$,得$M(4,8)$,将$x=4$代入$y=x$,得$N(4,4)$,
$\therefore MN=8-4=4$.
②$0＜a≤\dfrac{3}{4}$.
【知识点】
二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数和二次函数的综合题，核心考查待定系数法求函数解析式、二次函数增减性的应用，解决动点相关的增减性问题时，要注意结合自变量的取值范围和函数对称轴的位置关系分析。
【难度系数】
0.65
