22.一次足球训练中,小明从球门(OB)正前方8 m的点 A 处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时,球达到最高点,此时球离地面3 m.现以点 O 为原点建立如图所示的直角坐标系.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)已知球门高 2.4 m,通过计算判断球能否射进球门(忽略球的直径等因素).
(3)已知点 C 为 OB 上一点,OC=2.25 m,若射门路线的形状和最大高度均保持不变,当小明带球向正后方移动 n m 再射门时,足球恰好经过 BC 区域(含点 C 但不含点 B),求 n 的取值范围.

22.(1)$\because 8-6=2$,$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(2,3)$,
设抛物线为$y=a(x-2)^2+3$,
把点$A(8,0)$代入得$36a+3=0$,解得$a=-\dfrac{1}{12}$.
$\therefore$抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$.
(2)当$x=0$时,$y=-\dfrac{1}{12}(0-2)^2+3=\dfrac{8}{3}＞2.4$.
$\therefore$球不能射进球门.
(3)小明移动后的射门路线抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2-n)^2+3$,
把点$(0,2.25)$代入,得$2.25=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$,解得$n=-5$(舍去)或$n=1$,
把点$(0,2.4)$代入,得$2.4=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$,解得$n=-\dfrac{6\sqrt{5}}{5}-2$(舍去)或$n=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}-2$.
$\therefore$足球恰好经过$BC$区域(含点$C$但不含点$B$)时,$n$的取值范围为$\dfrac{6}{5}\sqrt{5}-2＜n≤1$.

【分析】
(1) 求抛物线解析式首先确定顶点坐标：球从A(8,0)出发，水平飞行6m到达最高点，因此最高点横坐标为8-6=2，纵坐标为3，即顶点为(2,3)，选用顶点式设解析式，代入A点坐标即可求出未知系数a。
(2) 判断能否进球门，只需计算球门位置x=0对应的函数值，和球门高度2.4m比较即可。
(3) 小明向后移动n m后，抛物线形状、最大高度不变，仅顶点向右平移n个单位，得到新的解析式；BC区域对应x=0时y的范围是2.25≤y＜2.4，分别代入边界y值求解n，舍去不符合实际的负解即可得到取值范围。
【解析】
(1) 由题意得抛物线顶点坐标为$(2,3)$，设抛物线解析式为$y=a(x-2)^2+3$。
将点$A(8,0)$代入得：$36a+3=0$，解得$a=-\dfrac{1}{12}$。
因此抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$。
(2) 球门对应$x=0$，将$x=0$代入解析式：
$y=-\dfrac{1}{12}(0-2)^2+3=\dfrac{8}{3}$，
$\because \dfrac{8}{3}＞2.4$，
$\therefore$球不能射进球门。
(3) 移动后抛物线顶点横坐标变为$2+n$，新解析式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2-n)^2+3$。
① 将$x=0,y=2.25$代入得：$2.25=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$，解得$n=1$（$n=-5$舍去）；
② 将$x=0,y=2.4$代入得：$2.4=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$，解得$n=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}-2$（负解舍去）。
结合“含点C不含点B”的条件，得$n$的取值范围。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$
(2) 球不能射进球门
(3) $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}-2 ＜ n ≤ 1$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图像与性质；二次函数实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的综合应用，解题核心是将实际条件转化为二次函数的参数，求解取值范围时要注意边界条件的取舍，符合实际意义。
【难度系数】
0.6

23.在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过原点$O$和点$A(3,3a)$。
(1)求$c$的值，并用含$a$的式子表示$b$。
(2)若$a＞0$，过点$P(t,0)$作$x$轴的垂线，交抛物线于点$M$，交直线$y=ax$于点$N$。
①若$a=1$，$t=4$，求$MN$的长。
②已知在点$P$从点$O$运动到点$B(2a,0)$的过程中，$MN$的长随$OP$的长增大而增大，直接写出$a$的取值范围。

23.(1)将点$O(0,0)$代入抛物线,得$c=0$.
将点$A(3,3a)$代入抛物线,得$3a=9a+3b$,$\therefore b=-2a$.
(2)①若$a=1$,则该抛物线的解析式为$y=x^2-2x$,直线的解析式为$y=x$.
当$t=4$时,点$P$的坐标为$(4,0)$,
$\because PM⊥ x$轴,$\therefore x_M=x_N=4$,
将$x=4$代入$y=x^2-2x$,得$M(4,8)$,将$x=4$代入$y=x$,得$N(4,4)$,
$\therefore MN=8-4=4$.

②$0＜a≤\dfrac{3}{4}$.

【分析】
(1) 已知抛物线过原点，将原点坐标代入抛物线解析式可直接求出c的值；再将点A(3,3a)代入代入c=0后的抛物线解析式，整理后即可用含a的式子表示b。
(2) ①将a=1代入(1)的结论，得到抛物线和直线的具体解析式；t=4时M、N的横坐标均为4，分别代入两个函数解析式求出纵坐标，纵坐标作差即可得到MN的长度。
②先用t表示出M、N的纵坐标，得到MN长度关于t的二次函数表达式；点P的运动范围对应t的取值范围为0≤t≤2a，开口向上的二次函数在对称轴左侧单调递增，据此列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过原点$O(0,0)$，
将$x=0,y=0$代入解析式得$c=0$。
将点$A(3,3a)$、$c=0$代入抛物线解析式得：
$3a=9a+3b$，整理得$3b=-6a$，即$b=-2a$。
(2) ①当$a=1$时，$b=-2$，抛物线解析式为$y=x^2-2x$，直线解析式为$y=x$。
当$t=4$时，点$P$坐标为$(4,0)$，
∵$PM⊥ x$轴，
∴$M$、$N$横坐标均为4，
将$x=4$代入$y=x^2-2x$得$y=16-8=8$，即$M(4,8)$，
将$x=4$代入$y=x$得$y=4$，即$N(4,4)$，
∴$MN=8-4=4$。
②由题意得$M(t,at^2-2at)$，$N(t,at)$，
∵$a＞0$，
∴$MN=at^2-2at-at=at^2-3at$，
该二次函数开口向上，对称轴为直线$t=\frac{3}{2}$，
点P运动时t的取值范围为$0≤ t≤2a$，要使MN随t增大而增大，需满足$2a≤\frac{3}{2}$，
解得$a≤\frac{3}{4}$，结合$a＞0$得$0＜a≤\frac{3}{4}$。
【答案】
23.(1)将点$O(0,0)$代入抛物线,得$c=0$.
将点$A(3,3a)$代入抛物线,得$3a=9a+3b$,$\therefore b=-2a$.
(2)①若$a=1$,则该抛物线的解析式为$y=x^2-2x$,直线的解析式为$y=x$.
当$t=4$时,点$P$的坐标为$(4,0)$,
$\because PM⊥ x$轴,$\therefore x_M=x_N=4$,
将$x=4$代入$y=x^2-2x$,得$M(4,8)$,将$x=4$代入$y=x$,得$N(4,4)$,
$\therefore MN=8-4=4$.

②$0＜a≤\dfrac{3}{4}$.
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的增减性，坐标与图形性质
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，考查了函数图象上点的坐标特征、二次函数增减性的应用，解题关键是学会用参数表示线段长度，结合函数性质求解参数范围，兼顾基础考查和综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.65