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24.已知抛物线$y=x^2 - x - 2$与$x$轴交于$A,B$两点，与$y$轴交于点$C$.
(1)如图①，直接写出点$A,B,C$的坐标.
(2)点$P$在第四象限的抛物线上，$∠ PCB=∠ CAB$，求出点$P$的坐标.
(3)如图②，过原点的直线与抛物线交于点$E,F$（点$E$在$y$轴的右边），过点$E$的直线$l$与抛物线有唯一的公共点，过点$F$作$y$轴的平行线交直线$l$于点$D$.设点$E,F$的横坐标分别为$m,n$，若$△ DEF$的面积为$4$，求$m,n$满足的关系式.
(1)如图①，直接写出点$A,B,C$的坐标.
(2)点$P$在第四象限的抛物线上，$∠ PCB=∠ CAB$，求出点$P$的坐标.
(3)如图②，过原点的直线与抛物线交于点$E,F$（点$E$在$y$轴的右边），过点$E$的直线$l$与抛物线有唯一的公共点，过点$F$作$y$轴的平行线交直线$l$于点$D$.设点$E,F$的横坐标分别为$m,n$，若$△ DEF$的面积为$4$，求$m,n$满足的关系式.
答案
24.(1)$A(-1,0)$,$B(2,0)$,$C(0,-2)$.
(2)作直线$PC$,与$x$轴的负半轴交于点$H$,过点$A$作$AG⊥ AC$,与$CH$交于点$G$,过点$G$作$GK⊥ x$轴于点$K$.
$\because ∠ CAB+∠ ABC+∠ ACB=180°$,$∠ PCB+∠ ACG+∠ ACB=180°$,$∠ CAB=∠ PCB$,
$\therefore ∠ ACG=∠ ABC=45°$,
$\because ∠ AGC=90°-∠ ACG=45°$,$\therefore AC=AG$.
$\because ∠ GAK+∠ OAC=90°$,$∠ GAK+∠ AGK=90°$,$\therefore ∠ OAC=∠ AGK$.
又$\because GK⊥ x$轴,$OC⊥ x$轴,$\therefore △ AOC≌△ GKA(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AK=CO=2$,$GK=AO=1$,$\therefore G(-3,-1)$.
由点$G(-3,-1)$,$C(0,-2)$得直线$CG$的解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x-2$.
联立$\begin{cases} y=x^2 -x -2, \\ y=-\dfrac{1}{3}x -2, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_1=0, \\ y_1=-2, \end{cases}$ $\begin{cases} x_2=\dfrac{2}{3}, \\ y_2=-\dfrac{20}{9}. \end{cases}$
$\therefore$点$P$的坐标为$(\dfrac{2}{3},-\dfrac{20}{9})$.
(3)设$E(m,m^2-m-2)$,$F(n,n^2-n-2)$,$DE$的解析式为$y=kx+b$,
代入点$E$的坐标得$b=m^2-(k+1)m-2$,
联立$\begin{cases} y=x^2 -x -2, \\ y=k(x-m)+m^2 -m -2, \end{cases}$整理得$x^2-(1+k)x+km-m^2+m=0$,
$\because$直线$l$与抛物线有唯一的公共点,即点$E$,$\therefore x_1=x_2=\dfrac{1+k}{2}=m$,
$\therefore$直线$DE$的解析式为$y=(2m-1)x-2-m^2$,$\therefore D(n,2mn-n-m^2-2)$.
$\therefore FD=(n^2-n-2)-(2mn-m^2-n-2)=(m-n)^2$,
$\because FD$边上的高为$m-n$,$\therefore S_{△ DEF}=\dfrac{1}{2}(m-n)^2(m-n)=4$,
$\therefore m-n=2$.
解析
【分析】
(1)求抛物线与坐标轴交点时，令y=0解一元二次方程即可得到x轴交点A、B的坐标，令x=0代入抛物线解析式即可得到y轴交点C的坐标；
(2)已知∠PCB=∠CAB，先推导得出∠ACG=∠ABC=45°，构造等腰直角△ACG，再通过AAS证明△AOC≌△GKA求出点G坐标，进而得到直线CG的解析式，联立直线与抛物线方程，结合点P在第四象限舍去交点C，即可得到P点坐标；
(3)先设出直线l的解析式，利用直线l与抛物线只有唯一公共点，即联立后的一元二次方程判别式为0，求出直线l的解析式，再求出点D坐标，计算FD的长度和△DEF中FD边上的高，结合面积为4化简即可得到m、n的关系式。
【解析】
(1)令$y=0$，则$x^2 -x -2=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=2$，$\therefore A(-1,0)$，$B(2,0)$；令$x=0$，得$y=-2$，$\therefore C(0,-2)$。
(2)作直线$PC$，与$x$轴的负半轴交于点$H$，过点$A$作$AG⊥ AC$，与$CH$交于点$G$，过点$G$作$GK⊥ x$轴于点$K$。
$\because ∠ CAB+∠ ABC+∠ ACB=180°$,$∠ PCB+∠ ACG+∠ ACB=180°$,$∠ CAB=∠ PCB$,
$\therefore ∠ ACG=∠ ABC$，
$\because OB=OC=2$，$∠BOC=90°$，$\therefore ∠ABC=45°$，即$∠ ACG=45°$,
$\because AG⊥AC$，$\therefore ∠ AGC=90°-∠ ACG=45°$,$\therefore AC=AG$.
$\because ∠ GAK+∠ OAC=90°$,$∠ OAC+∠ OCA=90°$,$\therefore ∠ GAK=∠ OCA$,
又$\because ∠AOC=∠GKA=90°$，$AC=AG$,
$\therefore △ AOC≌△ GKA(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AK=CO=2$,$GK=AO=1$,
$\because A(-1,0)$，$K$在$A$左侧，$G$在$x$轴下方，$\therefore G(-3,-1)$.
设直线$CG$的解析式为$y=kx+b$，代入$C(0,-2)$、$G(-3,-1)$得$\begin{cases} b=-2 \\ -3k+b=-1 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-\dfrac{1}{3} \\ b=-2 \end{cases}$，即直线$CG$解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x-2$.
联立$\begin{cases} y=x^2 -x -2, \\ y=-\dfrac{1}{3}x -2, \end{cases}$消去$y$整理得$3x^2-2x=0$，解得$\begin{cases} x_1=0, \\ y_1=-2, \end{cases}$ $\begin{cases} x_2=\dfrac{2}{3}, \\ y_2=-\dfrac{20}{9}. \end{cases}$
$x=0$对应点为$C$，舍去，故点$P$坐标为$(\dfrac{2}{3},-\dfrac{20}{9})$。
(3)设$E(m,m^2-m-2)$，直线$l$的解析式为$y=kx+b$，代入点$E$坐标得$b=m^2-(k+1)m-2$，即直线$l$解析式为$y=k(x-m)+m^2 -m -2$，
联立$\begin{cases} y=x^2 -x -2, \\ y=k(x-m)+m^2 -m -2, \end{cases}$整理得$x^2-(1+k)x+km-m^2+m=0$,
$\because$直线$l$与抛物线有唯一公共点$E$，$\therefore$方程有两个相等的实根$x=m$，由根与系数关系得$2m=1+k$，即$k=2m-1$，
代入直线$l$解析式整理得$y=(2m-1)x-2-m^2$，
$\because FD// y$轴，$F$横坐标为$n$，$\therefore D(n,2mn-n-m^2-2)$，
$\therefore FD=(n^2-n-2)-(2mn-n-m^2-2)=(m-n)^2$,
$△ DEF$中$FD$边上的高为$m-n$，$\therefore S_{△ DEF}=\dfrac{1}{2}(m-n)^2·(m-n)=4$，
化简得$(m-n)^3=8$，$\therefore m-n=2$。
【答案】
(1)$A(-1,0)$,$B(2,0)$,$C(0,-2)$.
(2)
点$P$的坐标为$(\dfrac{2}{3},-\dfrac{20}{9})$.
(3)$m-n=2$.
【知识点】
二次函数图象与性质，全等三角形判定与性质，函数交点综合
【点评】
本题是二次函数综合题，覆盖了坐标轴交点求解、角度等量关系转化、全等三角形构造、抛物线切线性质、三角形面积计算多个考点，既考查基础知识点的掌握程度，也对几何与代数的综合运用能力有较高要求，是常考的综合题型。
【难度系数】
0.3
(1)求抛物线与坐标轴交点时，令y=0解一元二次方程即可得到x轴交点A、B的坐标，令x=0代入抛物线解析式即可得到y轴交点C的坐标；
(2)已知∠PCB=∠CAB，先推导得出∠ACG=∠ABC=45°，构造等腰直角△ACG，再通过AAS证明△AOC≌△GKA求出点G坐标，进而得到直线CG的解析式，联立直线与抛物线方程，结合点P在第四象限舍去交点C，即可得到P点坐标；
(3)先设出直线l的解析式，利用直线l与抛物线只有唯一公共点，即联立后的一元二次方程判别式为0，求出直线l的解析式，再求出点D坐标，计算FD的长度和△DEF中FD边上的高，结合面积为4化简即可得到m、n的关系式。
【解析】
(1)令$y=0$，则$x^2 -x -2=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=2$，$\therefore A(-1,0)$，$B(2,0)$；令$x=0$，得$y=-2$，$\therefore C(0,-2)$。
(2)作直线$PC$，与$x$轴的负半轴交于点$H$，过点$A$作$AG⊥ AC$，与$CH$交于点$G$，过点$G$作$GK⊥ x$轴于点$K$。
$\because ∠ CAB+∠ ABC+∠ ACB=180°$,$∠ PCB+∠ ACG+∠ ACB=180°$,$∠ CAB=∠ PCB$,
$\therefore ∠ ACG=∠ ABC$，
$\because OB=OC=2$，$∠BOC=90°$，$\therefore ∠ABC=45°$，即$∠ ACG=45°$,
$\because AG⊥AC$，$\therefore ∠ AGC=90°-∠ ACG=45°$,$\therefore AC=AG$.
$\because ∠ GAK+∠ OAC=90°$,$∠ OAC+∠ OCA=90°$,$\therefore ∠ GAK=∠ OCA$,
又$\because ∠AOC=∠GKA=90°$，$AC=AG$,
$\therefore △ AOC≌△ GKA(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AK=CO=2$,$GK=AO=1$,
$\because A(-1,0)$，$K$在$A$左侧，$G$在$x$轴下方，$\therefore G(-3,-1)$.
设直线$CG$的解析式为$y=kx+b$，代入$C(0,-2)$、$G(-3,-1)$得$\begin{cases} b=-2 \\ -3k+b=-1 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-\dfrac{1}{3} \\ b=-2 \end{cases}$，即直线$CG$解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x-2$.
联立$\begin{cases} y=x^2 -x -2, \\ y=-\dfrac{1}{3}x -2, \end{cases}$消去$y$整理得$3x^2-2x=0$，解得$\begin{cases} x_1=0, \\ y_1=-2, \end{cases}$ $\begin{cases} x_2=\dfrac{2}{3}, \\ y_2=-\dfrac{20}{9}. \end{cases}$
$x=0$对应点为$C$，舍去，故点$P$坐标为$(\dfrac{2}{3},-\dfrac{20}{9})$。
(3)设$E(m,m^2-m-2)$，直线$l$的解析式为$y=kx+b$，代入点$E$坐标得$b=m^2-(k+1)m-2$，即直线$l$解析式为$y=k(x-m)+m^2 -m -2$，
联立$\begin{cases} y=x^2 -x -2, \\ y=k(x-m)+m^2 -m -2, \end{cases}$整理得$x^2-(1+k)x+km-m^2+m=0$,
$\because$直线$l$与抛物线有唯一公共点$E$，$\therefore$方程有两个相等的实根$x=m$，由根与系数关系得$2m=1+k$，即$k=2m-1$，
代入直线$l$解析式整理得$y=(2m-1)x-2-m^2$，
$\because FD// y$轴，$F$横坐标为$n$，$\therefore D(n,2mn-n-m^2-2)$，
$\therefore FD=(n^2-n-2)-(2mn-n-m^2-2)=(m-n)^2$,
$△ DEF$中$FD$边上的高为$m-n$，$\therefore S_{△ DEF}=\dfrac{1}{2}(m-n)^2·(m-n)=4$，
化简得$(m-n)^3=8$，$\therefore m-n=2$。
【答案】
(1)$A(-1,0)$,$B(2,0)$,$C(0,-2)$.
(2)
点$P$的坐标为$(\dfrac{2}{3},-\dfrac{20}{9})$.
(3)$m-n=2$.
【知识点】
二次函数图象与性质，全等三角形判定与性质，函数交点综合
【点评】
本题是二次函数综合题，覆盖了坐标轴交点求解、角度等量关系转化、全等三角形构造、抛物线切线性质、三角形面积计算多个考点，既考查基础知识点的掌握程度，也对几何与代数的综合运用能力有较高要求，是常考的综合题型。
【难度系数】
0.3
