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24.已知抛物线$y=x^2 - x - 2$与$x$轴交于$A,B$两点，与$y$轴交于点$C$.
(1)如图①，直接写出点$A,B,C$的坐标.
(2)点$P$在第四象限的抛物线上，$∠ PCB=∠ CAB$，求出点$P$的坐标.
(3)如图②，过原点的直线与抛物线交于点$E,F$（点$E$在$y$轴的右边），过点$E$的直线$l$与抛物线有唯一的公共点，过点$F$作$y$轴的平行线交直线$l$于点$D$.设点$E,F$的横坐标分别为$m,n$，若$△ DEF$的面积为$4$，求$m,n$满足的关系式.
(1)如图①，直接写出点$A,B,C$的坐标.
(2)点$P$在第四象限的抛物线上，$∠ PCB=∠ CAB$，求出点$P$的坐标.
(3)如图②，过原点的直线与抛物线交于点$E,F$（点$E$在$y$轴的右边），过点$E$的直线$l$与抛物线有唯一的公共点，过点$F$作$y$轴的平行线交直线$l$于点$D$.设点$E,F$的横坐标分别为$m,n$，若$△ DEF$的面积为$4$，求$m,n$满足的关系式.
答案
24.(1)$A(-1,0)$,$B(2,0)$,$C(0,-2)$.
(2)作直线$PC$,与$x$轴的负半轴交于点$H$,过点$A$作$AG⊥ AC$,与$CH$交于点$G$,过点$G$作$GK⊥ x$轴于点$K$.
$\because ∠ CAB+∠ ABC+∠ ACB=180°$,$∠ PCB+∠ ACG+∠ ACB=180°$,$∠ CAB=∠ PCB$,
$\therefore ∠ ACG=∠ ABC=45°$,
$\because ∠ AGC=90°-∠ ACG=45°$,$\therefore AC=AG$.
$\because ∠ GAK+∠ OAC=90°$,$∠ GAK+∠ AGK=90°$,$\therefore ∠ OAC=∠ AGK$.
又$\because GK⊥ x$轴,$OC⊥ x$轴,$\therefore △ AOC≌△ GKA(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AK=CO=2$,$GK=AO=1$,$\therefore G(-3,-1)$.
由点$G(-3,-1)$,$C(0,-2)$得直线$CG$的解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x-2$.
联立$\begin{cases} y=x^2 -x -2, \\ y=-\dfrac{1}{3}x -2, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_1=0, \\ y_1=-2, \end{cases}$ $\begin{cases} x_2=\dfrac{2}{3}, \\ y_2=-\dfrac{20}{9}. \end{cases}$
$\therefore$点$P$的坐标为$(\dfrac{2}{3},-\dfrac{20}{9})$.
(3)设$E(m,m^2-m-2)$,$F(n,n^2-n-2)$,$DE$的解析式为$y=kx+b$,
代入点$E$的坐标得$b=m^2-(k+1)m-2$,
联立$\begin{cases} y=x^2 -x -2, \\ y=k(x-m)+m^2 -m -2, \end{cases}$整理得$x^2-(1+k)x+km-m^2+m=0$,
$\because$直线$l$与抛物线有唯一的公共点,即点$E$,$\therefore x_1=x_2=\dfrac{1+k}{2}=m$,
$\therefore$直线$DE$的解析式为$y=(2m-1)x-2-m^2$,$\therefore D(n,2mn-n-m^2-2)$.
$\therefore FD=(n^2-n-2)-(2mn-m^2-n-2)=(m-n)^2$,
$\because FD$边上的高为$m-n$,$\therefore S_{△ DEF}=\dfrac{1}{2}(m-n)^2(m-n)=4$,
$\therefore m-n=2$.
解析
【分析】
(1)求抛物线与x轴交点时令y=0，解一元二次方程即可得到A、B的坐标；求抛物线与y轴交点时令x=0，代入解析式即可得到C的坐标，属于基础计算类问题。
(2)已知∠PCB=∠CAB，先利用三角形内角和推导得出∠ACG=∠ABC=45°，得到△ACG是等腰直角三角形，即AC=AG；再通过构造x轴的垂线证明△AOC≌△GKA，求出G点坐标，进而得到直线CG的解析式，将直线解析式与抛物线联立求解，第四象限内除C外的交点即为所求P点。
(3)先设出直线l的解析式，利用直线l与抛物线只有唯一公共点的性质，可知联立后的方程判别式为0，据此求出直线l的斜率，得到l的解析式；再求出D点坐标，计算FD的长度，结合△DEF的面积公式列等式化简，即可得到m、n的关系式。
【解析】
(1)令$y=0$，即$x^2 -x -2=0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=2$，因此$A(-1,0)$，$B(2,0)$；令$x=0$，代入解析式得$y=-2$，因此$C(0,-2)$。
(2)作直线$PC$,与$x$轴的负半轴交于点$H$,过点$A$作$AG⊥ AC$,与$CH$交于点$G$,过点$G$作$GK⊥ x$轴于点$K$.
$\because ∠ CAB+∠ ABC+∠ ACB=180°$,$∠ PCB+∠ ACG+∠ ACB=180°$,$∠ CAB=∠ PCB$,
$\therefore ∠ ACG=∠ ABC$，由$OB=OC=2$可知$△ OBC$为等腰直角三角形，$∠ ABC=45°$，故$∠ ACG=45°$,
$\because ∠ AGC=90°-∠ ACG=45°$,$\therefore AC=AG$.
$\because ∠ GAK+∠ OAC=90°$,$∠ OAC+∠ ACO=90°$,$\therefore ∠ GAK=∠ ACO$.
又$\because ∠AKG=∠COA=90°$,$AC=AG$,$\therefore △ AOC≌△ GKA(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AK=CO=2$,$GK=AO=1$,因此$G$点横坐标为$-1-2=-3$，纵坐标为$-1$，即$G(-3,-1)$.
设直线$CG$的解析式为$y=kx+b$，代入$C(0,-2)$、$G(-3,-1)$得$\begin{cases}b=-2\\-3k+b=-1\end{cases}$，解得$k=-\dfrac{1}{3}$，$b=-2$，因此直线$CG$的解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x-2$.
联立$\begin{cases} y=x^2 -x -2, \\ y=-\dfrac{1}{3}x -2, \end{cases}$消去$y$整理得$3x^2-2x=0$，解得$\begin{cases} x_1=0, \\ y_1=-2, \end{cases}$ $\begin{cases} x_2=\dfrac{2}{3}, \\ y_2=-\dfrac{20}{9}. \end{cases}$
其中$x=0$对应点$C$，舍去，因此点$P$的坐标为$(\dfrac{2}{3},-\dfrac{20}{9})$.
(3)设$E(m,m^2-m-2)$,$F(n,n^2-n-2)$,直线$l$的解析式为$y=kx+b$,
代入点$E$的坐标得$b=m^2-(k+1)m-2$,因此直线$l$可写作$y=k(x-m)+m^2 -m -2$，
联立$\begin{cases} y=x^2 -x -2, \\ y=k(x-m)+m^2 -m -2, \end{cases}$整理得$x^2-(1+k)x+km-m^2+m=0$,
$\because$直线$l$与抛物线有唯一的公共点$E$,$\therefore$方程有两个相等的实根$x=m$，由韦达定理得$x_1=x_2=\dfrac{1+k}{2}=m$,
解得$k=2m-1$，因此直线$l$的解析式为$y=(2m-1)x-2-m^2$,
$\because FD$平行于$y$轴，$\therefore D$点横坐标为$n$，代入直线$l$得$D(n,2mn-n-m^2-2)$.
$\therefore FD=(n^2-n-2)-(2mn-m^2-n-2)=(m-n)^2$,
$\because FD$边上的高为$E$、$F$横坐标的差$m-n$,$\therefore S_{△ DEF}=\dfrac{1}{2}(m-n)^2(m-n)=4$,
整理得$(m-n)^3=8$，因此$m-n=2$.
【答案】
(1)$A(-1,0)$,$B(2,0)$,$C(0,-2)$.
(2)
点$P$的坐标为$(\dfrac{2}{3},-\dfrac{20}{9})$.
(3)$m-n=2$.
【知识点】
抛物线与坐标轴交点求解；全等三角形的判定与性质；二次函数与一次函数综合
【点评】
本题为二次函数综合题，第一问属于基础送分题，难度较低；第二问需要结合角相等的条件构造全等三角形实现条件转化，对几何知识的运用能力有一定要求；第三问需要将直线与抛物线相切的性质转化为代数关系，结合三角形面积公式化简，考察代数变形能力，整体需要熟练掌握数形结合的思想方法，能灵活转化几何与代数条件。
【难度系数】
0.3
(1)求抛物线与x轴交点时令y=0，解一元二次方程即可得到A、B的坐标；求抛物线与y轴交点时令x=0，代入解析式即可得到C的坐标，属于基础计算类问题。
(2)已知∠PCB=∠CAB，先利用三角形内角和推导得出∠ACG=∠ABC=45°，得到△ACG是等腰直角三角形，即AC=AG；再通过构造x轴的垂线证明△AOC≌△GKA，求出G点坐标，进而得到直线CG的解析式，将直线解析式与抛物线联立求解，第四象限内除C外的交点即为所求P点。
(3)先设出直线l的解析式，利用直线l与抛物线只有唯一公共点的性质，可知联立后的方程判别式为0，据此求出直线l的斜率，得到l的解析式；再求出D点坐标，计算FD的长度，结合△DEF的面积公式列等式化简，即可得到m、n的关系式。
【解析】
(1)令$y=0$，即$x^2 -x -2=0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=2$，因此$A(-1,0)$，$B(2,0)$；令$x=0$，代入解析式得$y=-2$，因此$C(0,-2)$。
(2)作直线$PC$,与$x$轴的负半轴交于点$H$,过点$A$作$AG⊥ AC$,与$CH$交于点$G$,过点$G$作$GK⊥ x$轴于点$K$.
$\because ∠ CAB+∠ ABC+∠ ACB=180°$,$∠ PCB+∠ ACG+∠ ACB=180°$,$∠ CAB=∠ PCB$,
$\therefore ∠ ACG=∠ ABC$，由$OB=OC=2$可知$△ OBC$为等腰直角三角形，$∠ ABC=45°$，故$∠ ACG=45°$,
$\because ∠ AGC=90°-∠ ACG=45°$,$\therefore AC=AG$.
$\because ∠ GAK+∠ OAC=90°$,$∠ OAC+∠ ACO=90°$,$\therefore ∠ GAK=∠ ACO$.
又$\because ∠AKG=∠COA=90°$,$AC=AG$,$\therefore △ AOC≌△ GKA(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AK=CO=2$,$GK=AO=1$,因此$G$点横坐标为$-1-2=-3$，纵坐标为$-1$，即$G(-3,-1)$.
设直线$CG$的解析式为$y=kx+b$，代入$C(0,-2)$、$G(-3,-1)$得$\begin{cases}b=-2\\-3k+b=-1\end{cases}$，解得$k=-\dfrac{1}{3}$，$b=-2$，因此直线$CG$的解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x-2$.
联立$\begin{cases} y=x^2 -x -2, \\ y=-\dfrac{1}{3}x -2, \end{cases}$消去$y$整理得$3x^2-2x=0$，解得$\begin{cases} x_1=0, \\ y_1=-2, \end{cases}$ $\begin{cases} x_2=\dfrac{2}{3}, \\ y_2=-\dfrac{20}{9}. \end{cases}$
其中$x=0$对应点$C$，舍去，因此点$P$的坐标为$(\dfrac{2}{3},-\dfrac{20}{9})$.
(3)设$E(m,m^2-m-2)$,$F(n,n^2-n-2)$,直线$l$的解析式为$y=kx+b$,
代入点$E$的坐标得$b=m^2-(k+1)m-2$,因此直线$l$可写作$y=k(x-m)+m^2 -m -2$，
联立$\begin{cases} y=x^2 -x -2, \\ y=k(x-m)+m^2 -m -2, \end{cases}$整理得$x^2-(1+k)x+km-m^2+m=0$,
$\because$直线$l$与抛物线有唯一的公共点$E$,$\therefore$方程有两个相等的实根$x=m$，由韦达定理得$x_1=x_2=\dfrac{1+k}{2}=m$,
解得$k=2m-1$，因此直线$l$的解析式为$y=(2m-1)x-2-m^2$,
$\because FD$平行于$y$轴，$\therefore D$点横坐标为$n$，代入直线$l$得$D(n,2mn-n-m^2-2)$.
$\therefore FD=(n^2-n-2)-(2mn-m^2-n-2)=(m-n)^2$,
$\because FD$边上的高为$E$、$F$横坐标的差$m-n$,$\therefore S_{△ DEF}=\dfrac{1}{2}(m-n)^2(m-n)=4$,
整理得$(m-n)^3=8$，因此$m-n=2$.
【答案】
(1)$A(-1,0)$,$B(2,0)$,$C(0,-2)$.
(2)
点$P$的坐标为$(\dfrac{2}{3},-\dfrac{20}{9})$.
(3)$m-n=2$.
【知识点】
抛物线与坐标轴交点求解；全等三角形的判定与性质；二次函数与一次函数综合
【点评】
本题为二次函数综合题，第一问属于基础送分题，难度较低；第二问需要结合角相等的条件构造全等三角形实现条件转化，对几何知识的运用能力有一定要求；第三问需要将直线与抛物线相切的性质转化为代数关系，结合三角形面积公式化简，考察代数变形能力，整体需要熟练掌握数形结合的思想方法，能灵活转化几何与代数条件。
【难度系数】
0.3
