1. 若抛物线$y=x^2 -6x +m$与$x$轴没有交点，则$m$的取值范围是（）

A.$m＞9$
B.$m≥9$
C.$m＜-9$
D.$m≤-9$

1. A 解析:
∵ 抛物线$y=x^2-6x+m$与$x$轴没有交点,$\therefore \Delta =b^2-4ac＜0,\therefore (-6)^2-4×1· m＜0$,解得$m＞9$,$\therefore m$的取值范围是$m＞9$.故选 A.

2. (2026·青岛期中)抛物线$y=-x^2+bx+3$的部分图象如图所示，则一元二次方程$-x^2+bx=0$的根为 ()

A.$x_1=1,x_2=-3$
B.$x_1=0,x_2=-3$
C.$x_1=0,x_2=-2$
D.$x_1=1,x_2=2$
（第2题）

2. C 解析:由图象可知$-x^2+bx=0$的根即为直线$y=3$与抛物线$y=-x^2+bx+3$的交点横坐标,$x_1=0$是其中一个根,$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=-1$,$\therefore$ 另一个根为$x_2=-2$.故选 C.

3. 抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图所示，其与$x$轴的一个交点坐标为$(-3,0)$，对称轴为直线$x=-1$，则当$y＞0$时，$x$的取值范围是。

3. $x＜-3$ 或 $x＞1$ 解析:$\because$ 抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与$x$轴的一个交点为$(-3,0)$,对称轴为直线$x=-1$,$\therefore$ 抛物线与$x$轴的另一个交点为$(1,0)$,由图象可知,当$y＞0$时,$x$的取值范围是$x＜-3$ 或 $x＞1$.故答案为 $x＜-3$ 或 $x＞1$.

4. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=x^2+mx$交$x$轴的负半轴于点$A$.点$B$是$y$轴正半轴上一点,点$A$关于点$B$的对称点$A'$恰好落在抛物线上.过点$A'$作$x$轴的平行线交抛物线于另一点$C$.若点$A'$的横坐标为$1$,则$A'C$的长为.

4. 3 解析:当$y=0$时,$x^2+mx=0$,解得$x_1=0$,$x_2=-m$,则$A(-m,0)$,$\because$ 点$A$关于点$B$的对称点为$A'$,点$A'$的横坐标为$1$,$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-1,0)$,$\therefore$ 抛物线表达式为$y=x^2+x$,当$x=1$时,$y=x^2+x=2$,则$A'(1,2)$,当$y=2$时,$x^2+x=2$,解得$x_1=-2$,$x_2=1$,则$C(-2,2)$,$\therefore A'C$的长为$1-(-2)=3$,故答案为 3.

5. 新情境 数学文化 我国著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好,隔离分家万事非”,“数”与“形”反映了事物两个方面的属性.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过抽象思维与形象思维的结合,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而实现优化解题途径的目的.
请你结合所学的数学知识解决下列问题.
在平面直角坐标系中,若一个点的横坐标、纵坐标都为整数,则称这样的点为整点,已知直线$y=x$,设$y=kx^2 -kx +1$的图象为$G$.
(1)若$y=kx^2 -kx +1$的图象经过点$(-1,2)$,求它的函数表达式;
(2)求证:无论$k$取何实数,该函数图象与直线$y=x$总有交点.

5. (1)$\because y=kx^2-kx+1$的图象经过点$(-1,2)$,$\therefore$ 将点$(-1,2)$代入,解得$k=\dfrac{1}{2}$,$\therefore y=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x+1$.
(2)①当$k=0$时,此时函数表达式为$y=1$,该函数图象与直线$y=x$交于点$(1,1)$;②当$k≠0$时,联立$\begin{cases}y=kx^2-kx+1,\\y=x,\end{cases}$得$kx^2-(k+1)x+1=0$,$\therefore \Delta=[-(k+1)]^2-4k=k^2+2k+1-4k=(k-1)^2≥0$,$\therefore$ 该函数图象与直线$y=x$有交点.综上所述,无论$k$取何实数,该函数图象与直线$y=x$总有交点.

6. 在平面直角坐标系$xOy$中,已知抛物线$y=x^2-2mx+m^2-1$,直线$y=-x+3$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,过点$B$作垂直于$y$轴的直线$l$与抛物线$y=x^2-2mx+m^2-1$有两个交点,在抛物线对称轴右侧的交点记为$P$,当$△ OAP$为锐角三角形时,则$m$的取值范围是 ()

A.$m＞-1$
B.$m＜-2$
C.$m＜-2$或$m＞1$
D.$-2＜m＜1$

6. D 解析:如图,$\because$ 直线$y=-x+3$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,当$x=0$时,得$y=3$;当$y=0$时,得$x=3$,$\therefore A(3,0)$,$B(0,3)$,$\therefore OA=3$.$\because$ 过点$B$作垂直于$y$轴的直线$l$与抛物线$y=x^2-2mx+m^2-1$有两个交点,在抛物线对称轴右侧的交点记为$P$,当$y=3$时,$y=x^2-2mx+m^2-1=3$,解得$x=m+2$或$m-2$,$\therefore$ 点$P(m+2,3)$.$\because △ OAP$为锐角三角形,$\therefore 0＜m+2＜3$,$\therefore -2＜m＜1$.故选 D.

7. (2026·西安期末)二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图所示，图象过点$(-1,0)$，对称轴为直线$x=2$. 下列结论：①$4a+b=0$；②$4a+c＞2b$；③若点$A(-3,y_1)$、点$B(-\dfrac{1}{2},y_2)$、点$C(\dfrac{7}{2},y_3)$在该函数图象上，则$y_1＜y_3＜y_2$；④若方程$a(x+1)(x-5)=-3$的两根为$x_1$和$x_2$，且$x_1＜x_2$，则$x_1＜-1＜5＜x_2$. 其中正确的结论有.(填序号)

7. ①④ 解析:对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$,对称轴为直线$x=2$,图象过点$(-1,0)$,根据对称性,抛物线与$x$轴的另一个交点为$(5,0)$.
①由$-\dfrac{b}{2a}=2$,得$-b=4a$,即$4a+b=0$,故①正确;
②观察题图,抛物线在对称轴左侧,$y$随着$x$的增大而增大,当$x=-1$时,$y=0$,$\therefore$ 当$x=-2$时,$y＜0$,即$4a-2b+c＜0$,即$4a+c＜2b$,故②错误;
③对称轴为直线$x=2$,开口向下,离对称轴越近,函数值越大.点$A(-3,y_1)$到对称轴的距离为$5$,点$B(-\dfrac{1}{2},y_2)$到对称轴的距离为$2.5$,点$C(\dfrac{7}{2},y_3)$到对称轴的距离为$1.5$.
$\because 5＞2.5＞1.5$,$\therefore y_1＜y_2＜y_3$,故③错误;
④抛物线的表达式可以表示为$y=a(x+1)(x-5)$,方程$a(x+1)(x-5)=-3$的根可视为函数$y=a(x+1)(x-5)$的图象与直线$y=-3$的交点横坐标.$\because$ 抛物线开口向下,且$x=-1$或$5$时$y=0$,$-3＜0$,$\therefore$ 直线$y=-3$与抛物线的交点横坐标满足$x_1＜-1＜5＜x_2$,故④正确.综上,正确的结论有①④.