8. 如图,将抛物线$y=x^2 -2x -3$在x轴下方部分沿x轴翻折,其余部分保持不变,得到图象$C_1$,当直线$y=x+b$与图象$C_1$恰有两个公共点时,b的取值范围是.

8. $b＞\dfrac{13}{4}$或$-3＜b＜1$ 解析:当$y=0$时,$x^2-2x-3=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=3$,则$A(-1,0)$,$B(3,0)$,$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,则顶点坐标为$(1,-4)$,把$y=(x-1)^2-4(-1＜x＜3)$的图象沿$x$轴翻折所得图象的表达式为$y=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3(-1＜x＜3)$.如图,当直线$y=x+b$与$y=-x^2+2x+3(-1＜x＜3)$相切时,直线与图象$C_1$有三个交点,此时$x+b=-x^2+2x+3$有两个相等的实数解,方程整理得$x^2-x+b-3=0$,$\Delta=(-1)^2-4(b-3)=0$,解得$b=\dfrac{13}{4}$,$\therefore$ 当$b＞\dfrac{13}{4}$时,直线$y=x+b$与图象$C_1$恰有两个公共点.当直线$y=x+b$过$A(-1,0)$时,$-1+b=0$,解得$b=1$,当直线$y=x+b$过$B(3,0)$时,$3+b=0$,解得$b=-3$,$\therefore$ 当$-3＜b＜1$时,直线$y=x+b$与此图象有且只有两个公共点.综上可知,当直线$y=x+b$与图象$C_1$恰有两个公共点时,$b$的取值范围是$b＞\dfrac{13}{4}$或$-3＜b＜1$.

9. 在平面直角坐标系中,如果点 M 的横坐标与纵坐标互为相反数,则称点 M 为智慧点,例如:点$(1,-1),(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}),(\sqrt{3},-\sqrt{3})······$都是智慧点.
(1) 判断函数$y=2x-1$的图象上是否存在智慧点,若存在,求出其智慧点的坐标;
(2) 若二次函数$y=ax^2 -5x + c(a≠0)$的图象上有且只有一个智慧点$(2,-2)$,当$1≤ x≤ n$时,函数$y=ax^2 -5x + c(a≠0)$的最小值为$-\dfrac{9}{4}$,最大值为$0$,求实数$n$的取值范围.

9. (1)存在.$\because$ 点$M$的横坐标和纵坐标互为相反数,则称点$M$为智慧点,$\therefore$ 智慧点都在$y=-x$上,则$\begin{cases}y=-x,\\y=2x-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\dfrac{1}{3},\\y=-\dfrac{1}{3},\end{cases}$$\therefore y=2x-1$的图象上的智慧点的坐标为$(\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{3})$.
(2)$\because$ 二次函数$y=ax^2-5x+c(a≠0)$的图象上有且只有一个智慧点$(2,-2)$,$\therefore \begin{cases}y=-x,\\y=ax^2-5x+c,\end{cases}$即$ax^2-4x+c=0$有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=16-4ac=0$,解得$ac=4$ ①.将$(2,-2)$代入$y=ax^2-5x+c(a≠0)$,得$-2=4a-10+c$ ②,联立①②,得$\begin{cases}ac=4,\\-2=4a-10+c,\end{cases}$即$a^2-2a+1=0$,解得$a=1$,则$c=4$,$\therefore y=ax^2-5x+c=x^2-5x+4=(x-\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}$,其顶点坐标为$(\dfrac{5}{2},-\dfrac{9}{4})$.$\because 1＞0$,$\therefore$ 二次函数$y=(x-\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}$开口向上,当$x=\dfrac{5}{2}$时,函数$y=(x-\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}$有最小值$-\dfrac{9}{4}$,令$y=(x-\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}=0$,解得$x=1$或$x=4$,$\therefore 1≤ x≤4$时,函数$y=(x-\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}$有最小值$-\dfrac{9}{4}$,最大值为$0$.$\because 1≤ x≤ n$时,函数$y=(x-\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}$的最小值为$-\dfrac{9}{4}$,最大值为$0$,$\therefore$ 实数$n$的取值范围为$\dfrac{5}{2}≤ n≤4$.

10. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $.
(1) 当 $ a = 2 $ 时,
①若该函数图象的对称轴为直线 $ x = 1 $, 且过点 $ (0,3) $, 求该函数的表达式;
②若方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 有两个相等的实数根, 求证: $ 2b + 8c ≥ -1 $.
(2) 若 $ a = -\frac{b}{4} = \frac{c}{3} $, 已知点 $ M(2, \frac{a}{2} + 2) $, 点 $ N(4, \frac{a}{2} + 2) $, 当二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象与线段 $ MN $ 有交点时, 直接写出 $ a $ 的取值范围.

10. (1) ① $\because a=2$,对称轴为直线$x=1$,$\therefore -\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{b}{4}=1$,$\therefore b=-4$.把点$(0,3)$代入$y=2x^2-4x+c$,得$c=3$,$\therefore$ 该函数的表达式为$y=2x^2-4x+3$.
② $\because$ 方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=b^2-4ac=b^2-8c=0$,$\therefore b^2=8c$,$\therefore 2b+8c=2b+b^2=b^2+2b+1-1=(b+1)^2-1$.$\because (b+1)^2≥0$,$\therefore (b+1)^2-1≥-1$,$\therefore 2b+8c≥-1$.
(2)$a≤-\dfrac{4}{3}$或$a≥\dfrac{4}{5}$. 解析:$\because a=-\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{3}$,$\therefore b=-4a$,$c=3a$,$\therefore y=ax^2-4ax+3a=a(x-2)^2-a$,$\therefore$ 抛物线的顶点为$(2,-a)$.把$y=0$代入$y=ax^2-4ax+3a$,得$ax^2-4ax+3a=0$,解得$x=1$或$x=3$,$\therefore$ 抛物线与$x$轴的交点为$(1,0)$、$(3,0)$.当抛物线$y=ax^2-4ax+3a$过点$M(2,\dfrac{a}{2}+2)$时,$4a-8a+3a=\dfrac{a}{2}+2$,解得$a=-\dfrac{4}{3}$,如图①,根据$|a|$越大,抛物线的开口越小,当$a≤-\dfrac{4}{3}$时,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与线段$MN$有交点.当抛物线$y=ax^2-4ax+3a$过点$N(4,\dfrac{a}{2}+2)$时,$16a-16a+3a=\dfrac{a}{2}+2$,解得$a=\dfrac{4}{5}$,如图②,当$a≥\dfrac{4}{5}$时,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与线段$MN$有交点.综上所述,当$a≤-\dfrac{4}{3}$或$a≥\dfrac{4}{5}$时,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与线段$MN$有交点.