5. (2026·青岛期中)为推进节能减排,某公司投资20万元购得某项节能产品的生产技术后,再投资85万元购买生产设备,进行该产品的生产加工.已知生产这种产品的成本价为每件20元.经过市场调查发现,该产品的销售单价定为$x$元,在$25≤x≤30$时才合理,并且该产品的年销售量$y$(万件)与销售单价$x$(元)之间的函数关系式为$y=40-x$.(年获利=年销售收入-生产成本-投资成本)
(1)当销售单价定为28元时,该产品年销售量为多少万件?
(2)求该公司第一年的年获利$w$(万元)与销售单价$x$(元)之间的函数关系式,并说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损了?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最少亏损是多少?

(1)当x=28时,y=40-28=12.答:当销售单价定为28元时,该产品年销售量为12万件.
(2)年销售收入为xy=x(40-x)万元,生产成本为20y=20(40-x)万元,投资成本为20+85=105(万元),年获利w=x(40-x)-20(40-x)-105,化简得w=(x-20)(40-x)-105=-x²+60x-800-105=-x²+60x-905=-(x-30)²-5.
∵a=-1＜0,
∴当x=30时,w取得最大值-5.答:在25≤x≤30的范围内,投资第一年,公司处于亏损状态,最少亏损是5万元.

6. 某景区为吸引游客,沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观(如图①).为保持绿道地面干燥,水柱呈抛物线状喷入母亲河中.图②是其截面图,已知绿道路面宽$OA=3.5$米,河道坝高$AE=5$米,坝面$AB$的坡比$i=1:0.5$(其中$i=\frac{AE}{EB}$),当水柱离喷水口$O$处水平距离为2米时,水柱离地平面的距离达到最大值3米.以$O$为原点建立平面直角坐标系,解决问题:
(1)求水柱所在抛物线的函数表达式.
(2)出于安全考虑,在河道的坝边$A$处安装护栏,若护栏高度为1.2米,判断水柱能否喷射到护栏上,说明理由.
(3)河中常年有水,但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化,水柱落入水中能荡起美丽的水花,从美观角度考虑,水柱落水点要在水面上.
①河水离地平面$AD$距离为多少时,刚好使水柱落在坝面截线$AB$与水面截线的交点处?
②为保证水柱的落水点始终在水面上,决定安装可上下伸缩的喷水口,设坝中水面离地平面距离为$h$米,喷水口离地平面的最小高度$m$随着$h$的变化而变化,请写出$m$与$h$的关系式是.

(1)由题意得二次函数的顶点坐标为(2,3).设该二次函数的表达式为y=a(x-2)²+3(a≠0).
∵二次函数经过原点,
∴4a+3=0,解得a=-$\dfrac{3}{4}$,
∴该水柱所在抛物线的函数表达式为y=-$\dfrac{3}{4}$(x-2)²+3.
(2)水柱不能喷射到护栏上,理由:当x=3.5时,y=-$\dfrac{3}{4}$×(3.5-2)²+3=$\dfrac{21}{16}$=1.312 5.
∵1.312 5＞1.2,
∴水柱不能喷射到护栏上.
(3)①
∵河道坝高AE=5米,坝面AB的坡比i=1:0.5,
∴$\dfrac{AE}{BE}$=i=1:0.5,即BE=2.5米,则点B与原点O的水平距离为3.5+2.5=6(米),
∴点B的坐标为(6,-5).又
∵点A的坐标为(3.5,0),设AB的函数表达式为y₁=kx+b(k≠0),
∴$\begin{cases} 3.5k+b=0, \\ 6k+b=-5, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-2, \\ b=7, \end{cases}$
∴y₁=-2x+7(3.5≤x≤6),
∴-2x+7=-$\dfrac{3}{4}$(x-2)²+3,解得x₁=2(不合题意,舍去),x₂=$\dfrac{14}{3}$,当x=$\dfrac{14}{3}$时,y=-$\dfrac{7}{3}$,即河水离地平面AD距离为$\dfrac{7}{3}$米时,刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处.
②m与h的关系式为3h²+2h-21=16m。
解析:将抛物线y=-$\dfrac{3}{4}$(x-2)²+3向上平移m米,则可得新的抛物线表达式为y=-$\dfrac{3}{4}$(x-2)²+3+m,当坝中水面离地平面距离为h米,坝面截线AB与水面截线的交点G的纵坐标为-h,如图,结合坝面AB的坡比i=1:0.5,根据①中求解点B坐标的方法同理可求出点G的坐标为$(3.5+\dfrac{1}{2}h,-h)$.
∵点G在抛物线y=-$\dfrac{3}{4}$(x-2)²+3+m的图象上,
∴-$\dfrac{3}{4}(3.5+\dfrac{1}{2}h-2)^2+3+m=-h$,整理得3h²+2h-21=16m,即m与h的关系式为3h²+2h-21=16m.