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1. (2025·广东中考改编)如图,某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km,主塔高0.27 km,主缆可视为抛物线,主缆垂度0.178 5 km,主缆最低处距离桥面0.001 5 km,桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系,并求该抛物线的表达式.
答案
建立平面直角坐标系,如图所示：
则抛物线顶点坐标为(0,0.001 5),A(1.7/2,0.27-0.09),即A(0.85,0.18).设该抛物线的表达式为y=ax²+0.001 5,将A(0.85,0.18)代入y=ax²+0.001 5得0.18=0.85²a+0.001 5,解得a=21/85,
∴该抛物线的表达式为y=21/85 x²+0.001 5.
2.（2026·成都期中）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系$h=-5t^2+mt+n$，其图象如图所示，物体运动的初始高度为15米，最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒。设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则m的值是
10
；当$2≤t≤3$时，w的取值范围是5≤w≤20
。答案
m的值是10；当2≤t≤3时，w的取值范围是5≤w≤20。
解析:
∵物体运动的初始高度为15米,物体从发射到落地的运动时间为3秒,
∴抛物线h=-5t²+mt+n经过(0,15),(3,0)两点,
∴$\begin{cases} n=15, \\ -5×3^2+3m+n=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=10, \\ n=15, \end{cases}$
∴抛物线的表达式为h=-5t²+10t+15.
∵h=-5t²+10t+15=-5(t-1)²+20,
∴抛物线的最高点的坐标为(1,20).当t=2时,h=15,当t=3时,h=0,
∵20-15=5,20-0=20,
∴当2≤t≤3时,w的取值范围是5≤w≤20.
解析:
∵物体运动的初始高度为15米,物体从发射到落地的运动时间为3秒,
∴抛物线h=-5t²+mt+n经过(0,15),(3,0)两点,
∴$\begin{cases} n=15, \\ -5×3^2+3m+n=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=10, \\ n=15, \end{cases}$
∴抛物线的表达式为h=-5t²+10t+15.
∵h=-5t²+10t+15=-5(t-1)²+20,
∴抛物线的最高点的坐标为(1,20).当t=2时,h=15,当t=3时,h=0,
∵20-15=5,20-0=20,
∴当2≤t≤3时,w的取值范围是5≤w≤20.
3. (2026·西安期末)某跳水运动员起跳后的运动路线可近似看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)在日常训练中，该运动员从点$A(3,10)$起跳后，竖直高度$y$(米)与水平距离$x$(米)近似满足函数关系式$y=a(x-h)^2+k(a＜0)$.
根据上表数据，可得$h=$
(2)在一次比赛中，该运动员该动作的竖直高度$y$(米)与水平距离$x$(米)近似满足函数关系式$y=-5x^2+40x-60$. 记她日常训练入水点的水平距离为$d_1$，比赛当天入水点的水平距离为$d_2$，试通过计算比较$d_1$与$d_2$的大小.
(1)在日常训练中，该运动员从点$A(3,10)$起跳后，竖直高度$y$(米)与水平距离$x$(米)近似满足函数关系式$y=a(x-h)^2+k(a＜0)$.
根据上表数据，可得$h=$
3.5
；直接写出$y$与$x$满足的函数关系式：y=-5(x-3.5)²+11.25
；(2)在一次比赛中，该运动员该动作的竖直高度$y$(米)与水平距离$x$(米)近似满足函数关系式$y=-5x^2+40x-60$. 记她日常训练入水点的水平距离为$d_1$，比赛当天入水点的水平距离为$d_2$，试通过计算比较$d_1$与$d_2$的大小.
答案
(1)h=3.5，y与x满足的函数关系式为y=-5(x-3.5)²+11.25。
解析:设抛物线表达式为y=ax²+bx+c,抛物线过点(3,10),(4,10),(4.5,6.25),代入得$\begin{cases} 9a+3b+c=10, \\ 16a+4b+c=10, \\ 20.25a+4.5b+c=6.25, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-5, \\ b=35, \\ c=-50, \end{cases}$则y=-5x²+35x-50,即y=-5(x-3.5)²+11.25.将(h,11.25)代入表达式得11.25=-5(h-3.5)²+11.25,解得h=3.5.
(2)
∵在日常训练中,y=-5(x-3.5)²+11.25,当y=0时,0=-5(x-3.5)²+11.25,解得x₁=5或x₂=2(不合题意,舍去),
∴d₁=5米.
∵在一次比赛中,y=-5x²+40x-60,当y=0时,-5x²+40x-60=0,解得x₃=6,x₄=2(不合题意,舍去),
∴d₂=6米,
∴d₁＜d₂.
解析:设抛物线表达式为y=ax²+bx+c,抛物线过点(3,10),(4,10),(4.5,6.25),代入得$\begin{cases} 9a+3b+c=10, \\ 16a+4b+c=10, \\ 20.25a+4.5b+c=6.25, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-5, \\ b=35, \\ c=-50, \end{cases}$则y=-5x²+35x-50,即y=-5(x-3.5)²+11.25.将(h,11.25)代入表达式得11.25=-5(h-3.5)²+11.25,解得h=3.5.
(2)
∵在日常训练中,y=-5(x-3.5)²+11.25,当y=0时,0=-5(x-3.5)²+11.25,解得x₁=5或x₂=2(不合题意,舍去),
∴d₁=5米.
∵在一次比赛中,y=-5x²+40x-60,当y=0时,-5x²+40x-60=0,解得x₃=6,x₄=2(不合题意,舍去),
∴d₂=6米,
∴d₁＜d₂.
4. 工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中,裁出一块矩形铁皮制作工件,如图所示.经测量,AB//DE,AB与DE之间的距离为2米,AB=3米,AF=BC=1米,∠A=∠B=90°,∠C=∠F=135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.矩形铁皮MNGH的面积最大是
25/8
平方米,此时MH的长度为5/4
米.答案
矩形铁皮MNGH的面积最大是25/8平方米，此时MH的长度为5/4米。
解析:连接CF,分别交MH于点P,交GN于点Q,
∵∠A=∠B=90°,
∴AF//BC.
∵AF=BC=1米,
∴四边形ABCF是平行四边形.又
∵∠A=∠B=90°,
∴四边形ABCF是矩形,
∴∠AFC=∠BCF=90°,CF//AB.
∵∠BCD=∠AFE=135°,
∴∠EFC=∠DCF=45°.
∵四边形MNGH是矩形,
∴MH⊥AB,GN⊥AB,GN=MH,
∴四边形AMPF和四边形BCQN都是矩形,
∴PM=AF=BC=QN=1米,AM=PF,BN=CQ,MH⊥CF,GN⊥CF,
∴Rt△PFH和Rt△QCG都是等腰直角三角形,
∴PH=PF,GQ=CQ,
∴AM=PH,BN=GQ.设矩形MNGH的面积为y平方米,MH=GN=x米,则AM=PH=(x-1)米,BN=GQ=(x-1)米.
∵AB=3米,
∴MN=AB-AM-BN=(5-2x)米,
∴y=MH·MN=x(5-2x)=$-2(x-\dfrac{5}{4})^2+\dfrac{25}{8}$.又
∵AB//DE,AB与DE之间的距离为2米,AF=BC=1米,
∴1≤x≤2,由二次函数的性质可知,当1≤x≤$\dfrac{5}{4}$时,y随x的增大而增大;当$\dfrac{5}{4}$＜x≤2时,y随x的增大而减小,则当x=$\dfrac{5}{4}$时,y取得最大值,最大值为$\dfrac{25}{8}$,
∴当MH的长度为$\dfrac{5}{4}$米时,矩形铁皮MNGH的面积最大,最大面积是$\dfrac{25}{8}$平方米.
解析:连接CF,分别交MH于点P,交GN于点Q,
∵∠A=∠B=90°,
∴AF//BC.
∵AF=BC=1米,
∴四边形ABCF是平行四边形.又
∵∠A=∠B=90°,
∴四边形ABCF是矩形,
∴∠AFC=∠BCF=90°,CF//AB.
∵∠BCD=∠AFE=135°,
∴∠EFC=∠DCF=45°.
∵四边形MNGH是矩形,
∴MH⊥AB,GN⊥AB,GN=MH,
∴四边形AMPF和四边形BCQN都是矩形,
∴PM=AF=BC=QN=1米,AM=PF,BN=CQ,MH⊥CF,GN⊥CF,
∴Rt△PFH和Rt△QCG都是等腰直角三角形,
∴PH=PF,GQ=CQ,
∴AM=PH,BN=GQ.设矩形MNGH的面积为y平方米,MH=GN=x米,则AM=PH=(x-1)米,BN=GQ=(x-1)米.
∵AB=3米,
∴MN=AB-AM-BN=(5-2x)米,
∴y=MH·MN=x(5-2x)=$-2(x-\dfrac{5}{4})^2+\dfrac{25}{8}$.又
∵AB//DE,AB与DE之间的距离为2米,AF=BC=1米,
∴1≤x≤2,由二次函数的性质可知,当1≤x≤$\dfrac{5}{4}$时,y随x的增大而增大;当$\dfrac{5}{4}$＜x≤2时,y随x的增大而减小,则当x=$\dfrac{5}{4}$时,y取得最大值,最大值为$\dfrac{25}{8}$,
∴当MH的长度为$\dfrac{5}{4}$米时,矩形铁皮MNGH的面积最大,最大面积是$\dfrac{25}{8}$平方米.
