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7. (十堰中考)“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒.
(1)当$x=60$时，$p=\_\_\_\_\_\_$.
(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润$w$(元)最大？最大利润是多少？
(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大.”你认为他的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论.
(1)当$x=60$时，$p=\_\_\_\_\_\_$.
(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润$w$(元)最大？最大利润是多少？
(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大.”你认为他的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论.
答案
7. (1)400 解析:当$x=60$时,$p=500-10(60-50)=400$,故答案为400.
(2)由题意得$w=p(x-40)=[500-10(x-50)](x-40)=-10x^2+1400x-40000=-10(x-70)^2+9000$.$\because p ≥ 350$,即$500-10(x-50) ≥ 350$,解得$x ≤ 65$.又$\because x ≥ 50$,$\therefore 50 ≤ x ≤ 65$.
$\because -10＜0$,$\therefore$ 函数图象开口向下,$\therefore$ 当$x=65$时,$w$最大,最大值为8 750,$\therefore$ 当每盒售价定为65元时,日销售利润$w$(元)最大,最大利润是8 750元.
(3)小强的说法正确,理由如下:设日销售额为$y$元,则$y=[500-10(x-50)]x=-10x^2+1000x=-10(x-50)^2+25000$.
$\because -10＜0$,$\therefore$ 函数图象开口向下,$\therefore$ 当$x=50$时,$y$最大,最大值为25 000,$\because$ 当$x=65$时,$w$最大,最大为8 750,$\therefore$ 当日销售利润最大时,日销售额不是最大,即小强的说法正确.
(2)由题意得$w=p(x-40)=[500-10(x-50)](x-40)=-10x^2+1400x-40000=-10(x-70)^2+9000$.$\because p ≥ 350$,即$500-10(x-50) ≥ 350$,解得$x ≤ 65$.又$\because x ≥ 50$,$\therefore 50 ≤ x ≤ 65$.
$\because -10＜0$,$\therefore$ 函数图象开口向下,$\therefore$ 当$x=65$时,$w$最大,最大值为8 750,$\therefore$ 当每盒售价定为65元时,日销售利润$w$(元)最大,最大利润是8 750元.
(3)小强的说法正确,理由如下:设日销售额为$y$元,则$y=[500-10(x-50)]x=-10x^2+1000x=-10(x-50)^2+25000$.
$\because -10＜0$,$\therefore$ 函数图象开口向下,$\therefore$ 当$x=50$时,$y$最大,最大值为25 000,$\because$ 当$x=65$时,$w$最大,最大为8 750,$\therefore$ 当日销售利润最大时,日销售额不是最大,即小强的说法正确.
8. 某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用$y$(万元)与年产量$x$(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图所示).该产品的总销售额$z$(万元)=预售总额(万元)+波动总额(万元),预售总额=每件产品的预售额(元)×年销售量$x$(万件),波动总额与年销售量$x$的平方成正比,部分数据如下表所示.生产出的该产品都能在当年销售完,达到产销平衡,所获年毛利润为$w$(万元)(年毛利润=总销售额-生产费用).
(1)求$y$与$x$以及$z$与$x$之间的函数表达式；
(2)若要使该产品的年毛利润最高,求该产品的年销售量；
(3)受市场经济的影响,需下调每件产品的预售额(生产费用与波动总额均不变),在此基础上,若要使2026年的最高毛利润为720万元,直接写出每件产品的预售额下调多少元.
(1)求$y$与$x$以及$z$与$x$之间的函数表达式；
(2)若要使该产品的年毛利润最高,求该产品的年销售量；
(3)受市场经济的影响,需下调每件产品的预售额(生产费用与波动总额均不变),在此基础上,若要使2026年的最高毛利润为720万元,直接写出每件产品的预售额下调多少元.
答案
8. (1)设$y=ax^2$,把$(100,1000)$代入,得$100^2a=1000$,解得$a=\dfrac{1}{10}$,$\therefore y=\dfrac{1}{10}x^2$.设预售总额为$z_1$(万元),每件产品的预售额为$k_1$(元),则$z_1=k_1x$.设波动总额为$z_2$(万元),$\because$ 波动总额与年销售量$x$的平方成正比,$\therefore$ 设$z_2=k_2x^2$,$\therefore z=z_1+z_2=k_1x+k_2x^2$,把$x=20$,$z=560$和$x=40$,$z=1040$分别代入,得$\begin{cases}20k_1+400k_2=560,\\40k_1+1600k_2=1040,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=30,\\k_2=-\dfrac{1}{10},\end{cases}$$\therefore z=30x-\dfrac{1}{10}x^2$.
(2)$w=z-y=30x-\dfrac{1}{10}x^2-\dfrac{1}{10}x^2=-\dfrac{1}{5}x^2+30x=-\dfrac{1}{5}(x-75)^2+1125$,$\therefore$ 该产品的年毛利润最高为1 125万元,此时该产品的年销售量为75万件.
(3)每件产品的预售额下调6元. 解析:设每件产品的预售额下调$m$元,则$z=(30-m)x-\dfrac{1}{10}x^2$,$\therefore w=-\dfrac{1}{5}x^2+(30-m)x$.
$\because 2026$年的最高毛利润为720万元,$\therefore w$的最大值为720,$\therefore \dfrac{0-(30-m)^2}{4×(-\dfrac{1}{5})}=720$,解得$m_1=54$(不符合题意,舍去),$m_2=6$,故下调了6元.
(2)$w=z-y=30x-\dfrac{1}{10}x^2-\dfrac{1}{10}x^2=-\dfrac{1}{5}x^2+30x=-\dfrac{1}{5}(x-75)^2+1125$,$\therefore$ 该产品的年毛利润最高为1 125万元,此时该产品的年销售量为75万件.
(3)每件产品的预售额下调6元. 解析:设每件产品的预售额下调$m$元,则$z=(30-m)x-\dfrac{1}{10}x^2$,$\therefore w=-\dfrac{1}{5}x^2+(30-m)x$.
$\because 2026$年的最高毛利润为720万元,$\therefore w$的最大值为720,$\therefore \dfrac{0-(30-m)^2}{4×(-\dfrac{1}{5})}=720$,解得$m_1=54$(不符合题意,舍去),$m_2=6$,故下调了6元.
