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1. 如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则两边靠墙所围成的矩形ABCD的最大面积是 (
A.60 m²
B.63 m²
C.64 m²
D.66 m²
C
)A.60 m²
B.63 m²
C.64 m²
D.66 m²
答案
设BC=x m,则AB=(16-x)m,设矩形ABCD面积为y m²,则y=(16-x)x=-x²+16x=-(x-8)²+64,利用二次函数性质即可求出当x=8时,y_max=64,即所围成矩形ABCD的最大面积是64 m².故答案选C.
2.（天津中考）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26 m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40 m.有下列结论：①AB的长可以为6 m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192 m²；③菜园ABCD面积的最大值为200 m².其中，正确结论的个数是（
A.0
B.1
C.2
D.3
C
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
设AB的长为x m,矩形ABCD的面积为y m²,则BC的长为(40-2x)m,由题意得y=x(40-2x)=-2x²+40x=-2(x-10)²+200,其中0＜40-2x≤26,即7≤x＜20.①AB的长不可以为6 m,原结论错误;③菜园ABCD面积的最大值为200 m²,原结论正确;②当y=-2(x-10)²+200=192时,解得x=8或x=12,
∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192 m²,结论正确.综上,正确结论的个数是2,故选C.
∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192 m²,结论正确.综上,正确结论的个数是2,故选C.
3. 如图是一个长20 m、宽16 m的矩形花园,根据需要将它的长缩短x m、宽增加x m,要想使修改后的花园面积达到最大,则x的值为
2
.答案
由题意得修改后的花园面积=(20-x)(16+x)=-(x-2)²+324,
∵-1＜0,
∴当x=2时,修改后的花园面积达到最大,故答案为2.
∵-1＜0,
∴当x=2时,修改后的花园面积达到最大,故答案为2.
4. 用8 m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，则做成的窗框的最大透光面积是
2
m².(透光面积指的是整个矩形面积)答案
设窗框的宽为x m,则长为$\frac{8-4x}{2}$m,透光面积为y m²,
∴$y=\frac{8-4x}{2}·x=(4-2x)x=-2x²+4x$,
∵-2＜0,
∴y有最大值,即当$x=-\frac{4}{2×(-2)}=1$时,$y_{最大}=-2×1²+4×1=2$,则$\frac{8-4x}{2}=\frac{8-4×1}{2}=2$,
∴做成宽为1 m、长为2 m的矩形窗框的透光面积最大,最大透光面积是2 m²,故答案为2.
∴$y=\frac{8-4x}{2}·x=(4-2x)x=-2x²+4x$,
∵-2＜0,
∴y有最大值,即当$x=-\frac{4}{2×(-2)}=1$时,$y_{最大}=-2×1²+4×1=2$,则$\frac{8-4x}{2}=\frac{8-4×1}{2}=2$,
∴做成宽为1 m、长为2 m的矩形窗框的透光面积最大,最大透光面积是2 m²,故答案为2.
5. (2025·巴中中考)如图,计划用长为40 m的绳子围一个矩形围栏,其中一边靠墙(墙长25 m).
(1)矩形围栏的面积为$150\ \mathrm{m}^2$时,三边分别长多少米?
(2)矩形围栏的面积最大时,三边分别长多少米?
(1)矩形围栏的面积为$150\ \mathrm{m}^2$时,三边分别长多少米?
(2)矩形围栏的面积最大时,三边分别长多少米?
答案
(1)设垂直于墙的一边长x m,则x(40-2x)=150,解得x₁=5,x₂=15,当x=5时,40-2x=30＞25,不符合题意,舍去;当x=15时,40-2x=10＜25,符合题意,
∴三边长分别为10 m、15 m、15 m.
(2)设矩形围栏的面积为S,则有S=x(40-2x)=-2(x-10)²+200,
∵-2＜0,
∴当x=10时,S有最大值200.当x=10时,40-2x=20＜25(符合题意).
∴三边长分别为20 m、10 m、10 m.
∴三边长分别为10 m、15 m、15 m.
(2)设矩形围栏的面积为S,则有S=x(40-2x)=-2(x-10)²+200,
∵-2＜0,
∴当x=10时,S有最大值200.当x=10时,40-2x=20＜25(符合题意).
∴三边长分别为20 m、10 m、10 m.
6. 新农村建设示范村“幸福村”为配合上级部门做好春耕防汛工作,进一步推进美丽乡村建设,计划重修一条标准化示范水渠(如图①),水渠的横截面是一个等腰梯形(如图②).根据工程造价预算,水渠的湿周(即图②中的$AB+BC+CD$的长)为10米,当汛情来临时,为使得水渠的泄洪量达到最大,水渠横截面的底边长$BC$应设计成($CE$为水渠高,$\frac{CE}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{DE}{CD}=\frac{1}{2}$) (
A.5米
B.$\frac{10}{3}$米
C.$\frac{5}{2}$米
D.$\frac{12}{5}$米
B
)A.5米
B.$\frac{10}{3}$米
C.$\frac{5}{2}$米
D.$\frac{12}{5}$米
答案
设底边长BC为x米,则$AB=CD=\frac{1}{2}(10-x)$米,
∴$DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{4}(10-x)$米,$CE=CD·\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}(10-x)$米,$AD=BC+2DE=x+\frac{1}{2}(10-x)=\frac{1}{2}(10+x)$米,
∴$S=\frac{1}{2}(AD+BC)·CE=\frac{1}{2}[\frac{1}{2}(10+x)+x]×\frac{\sqrt{3}}{4}(10-x)=\frac{\sqrt{3}}{16}(-3x²+20x+100)$,
∴$S=\frac{\sqrt{3}}{16}[-3·(x-\frac{10}{3})^2+\frac{400}{3}](0＜x＜10)$,故当$x=\frac{10}{3}$时,S最大,即水渠的泄洪量达到最大,此时$BC=\frac{10}{3}$米.
∴$DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{4}(10-x)$米,$CE=CD·\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}(10-x)$米,$AD=BC+2DE=x+\frac{1}{2}(10-x)=\frac{1}{2}(10+x)$米,
∴$S=\frac{1}{2}(AD+BC)·CE=\frac{1}{2}[\frac{1}{2}(10+x)+x]×\frac{\sqrt{3}}{4}(10-x)=\frac{\sqrt{3}}{16}(-3x²+20x+100)$,
∴$S=\frac{\sqrt{3}}{16}[-3·(x-\frac{10}{3})^2+\frac{400}{3}](0＜x＜10)$,故当$x=\frac{10}{3}$时,S最大,即水渠的泄洪量达到最大,此时$BC=\frac{10}{3}$米.
7. 新题型 双空题 某品牌果冻的高为3 cm，底面圆的直径为4 cm，两个果冻倒装在一个长方体盒子内，如图为横截面示意图，两个果冻的截面可以近似地看成两条抛物线。以左侧抛物线的顶点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系。
(1)以O为顶点的抛物线的函数表达式是
(2)制作该长方体盒子所需纸张面积最小值是
(1)以O为顶点的抛物线的函数表达式是
$y=\frac{3}{4}x^2$
；(2)制作该长方体盒子所需纸张面积最小值是
$28\sqrt{2}+80$
cm².(不计重叠部分)答案
(1)设抛物线的函数表达式是$y=ax^2$.
∵高为3 cm,底面圆的直径为4 cm,
∴E(2,3),把点E(2,3)的坐标代入$y=ax^2$,解得$a=\frac{3}{4}$,
∴函数表达式是$y=\frac{3}{4}x^2$.
(2)如图①,过点K作KH⊥OC于点H,过点G作GM⊥OC于点M,根据题意可知,$K(x,\frac{3}{2})$,又
∵点K在$y=\frac{3}{4}x^2$的图象上,令$y=\frac{3}{2}$,得$\frac{3}{2}=\frac{3}{4}x^2$,解得$x_1=\sqrt{2}$,$x_2=-\sqrt{2}$(舍去),
∴$OH=HM=\sqrt{2}$ cm,
∴$BC=BO+OM+MC=2+2\sqrt{2}+2=(4+2\sqrt{2})$ cm,
∴$S_{长方形ABCD}=AB·BC=(12+6\sqrt{2})$ cm².底面长方形如图②,$S_{长方形AB'CD}=AB'·AD=4×(4+2\sqrt{2})=(16+8\sqrt{2})$ cm²,$2S_{长方形ABCD}+2S_{长方形AB'CD}+4×3×2=(28\sqrt{2}+80)$ cm²,
∴长方体盒子所需纸张面积最小值是$(28\sqrt{2}+80)$ cm².
