8. (2026·西安模拟)如图,抛物线$y=x^2+bx+c$与$x$轴交于$A,B$两点(点$A$在点$B$的左边),与$y$轴交于点$C$,且$OB=OC=3$.点$P$是线段$BC$上一动点(点$P$不与点$B$,点$C$重合),过$P$作$x$轴的垂线交抛物线于点$M$,连接$CM$.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当$△ PCM$与$△ ABC$相似时,求此时$△ PCM$的面积.

(1)
∵OB=OC=3,
∴点B(3,0),C(0,-3).
∵抛物线$y=x^2+bx+c$经过点B(3,0),C(0,-3),
∴$\begin{cases}9+3b+c=0,\\c=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-2,\\c=-3,\end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=x^2-2x-3$.
(2)令y=0,则$x^2-2x-3=0$,解得x=-1或x=3,
∴点A(-1,0).设直线BC的表达式为y=kx+a,
∵B(3,0),C(0,-3),
∴$\begin{cases}3k+a=0,\\a=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\a=-3,\end{cases}$
∴直线BC的表达式为y=x-3.设点M(m,m²-2m-3),
∵PM⊥x轴,
∴P(m,m-3),
∴PM=m-3-(m²-2m-3)=-m²+3m.
∵OB=OC=3,∠BOC=90°,
∴$CB=\sqrt{OB^2+OC^2}=3\sqrt{2}$,∠OBC=∠OCB=45°.如图,过点P作PE⊥OC,交OC于点E,
∴PE=m,∠CEP=90°,
∴∠ECP=∠EPC=45°,
∴CE=PE=m,则$CP=\sqrt{CE^2+EP^2}=\sqrt{2}m$.
∵A(-1,0),B(3,0),
∴AB=4.
∵PM⊥x轴,
∴∠OCB=∠OBC=45°=∠MPC.△PCM和△ABC相似,分两种情况:当△CPM∽△CBA时,
∴$\frac{PC}{BC}=\frac{PM}{AB}$,即$\frac{\sqrt{2}m}{3\sqrt{2}}=\frac{-m^2+3m}{4}$,解得$m=\frac{5}{3}$,
∴$P(\frac{5}{3},-\frac{4}{3})$,$M(\frac{5}{3},-\frac{32}{9})$,
∴$S_{△ CMP}=\frac{1}{2}·PM·x_P=\frac{1}{2}×(-\frac{4}{3}+\frac{32}{9})×\frac{5}{3}=\frac{50}{27}$;当△CPM∽△ABC时,
∴$\frac{PC}{AB}=\frac{PM}{BC}$,即$\frac{\sqrt{2}m}{4}=\frac{-m^2+3m}{3\sqrt{2}}$,解得$m=\frac{3}{2}$,
∴$P(\frac{3}{2},-\frac{3}{2})$,$M(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$,
∴$S_{△ CMP}=\frac{1}{2}·PM·x_P=\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2}+\frac{15}{4})×\frac{3}{2}=\frac{27}{16}$.综上所述,△PCM的面积为$\frac{50}{27}$或$\frac{27}{16}$.

9. 如图①,一段高架桥的两墙A,B由抛物线的一部分ACB连接,为确保安全,在抛物线的一部分ACB内修建了一个菱形支架ODCE,抛物线的最高点C到AB的距离OC=4米,∠ODC=60°,点D,E在抛物线的一部分ACB上,以AB所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,规定一个单位长度为1米.
(1)求此抛物线对应的函数表达式;
(2)如图②,现在将菱形ODCE做成广告牌,且在菱形内再做一个内接矩形MNPQ广告牌,设边EP长度为m米,试求内接矩形MNPQ的面积S(用含m的式子表示);
(3)在(2)的条件下,若已知矩形MNPQ广告牌的价格为80元/平方米,广告牌其余部分的价格为160元/平方米,试求完成菱形广告牌所需的最低费用.

(1)过点D作DM⊥x轴于点M,作DN⊥y轴于点N,
∵四边形ODCE是菱形,
∴CD=OD.
∵∠ODC=60°,
∴△OCD是等边三角形,
∴OD=OC=4米,∠ODN=$\frac{1}{2}$∠ODC=30°.在Rt△ODN中,DN⊥y轴,∠ODN=30°,
∴$ON=\frac{1}{2}OD=2$米,$DN=\sqrt{OD^2-ON^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$米,
∴$D(2\sqrt{3},2)$.
∵OC=4米,
∴C(0,4).设抛物线对应的函数表达式为$y=ax^2+c(a≠0)$,将点C(0,4),$D(2\sqrt{3},2)$的坐标分别代入,得$\begin{cases}c=4,\\12a+c=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{6},\\c=4,\end{cases}$
∴抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{6}x^2+4$.
(2)设直线OD的表达式为y=kx,将点$D(2\sqrt{3},2)$的坐标代入,得$2\sqrt{3}k=2$,解得$k=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴直线OD的表达式为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$.设直线CD的表达式为y=hx+n,将点C(0,4),$D(2\sqrt{3},2)$的坐标分别代入,得$\begin{cases}n=4,\\2\sqrt{3}h+n=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}h=-\frac{\sqrt{3}}{3},\\n=4,\end{cases}$
∴直线CD的表达式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+4$.设矩形MNPQ中,QM=PN=x米,则$x_M=x_N=\frac{x}{2}$,分别代入$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$和$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+4$中,得$M(\frac{x}{2},\frac{\sqrt{3}x}{6})$,$N(\frac{x}{2},4-\frac{\sqrt{3}x}{6})$,
∴$MN=4-\frac{\sqrt{3}x}{6}-\frac{\sqrt{3}x}{6}=4-\frac{\sqrt{3}}{3}x$,由轴对称得DN=EP=m米.
∵MN//y轴,
∴∠MND=∠OCD=60°,∠NMD=∠COD=60°,
∴△MND是等边三角形,
∴MN=DN=m米,
∴$4-\frac{\sqrt{3}}{3}x=m$,解得$x=4\sqrt{3}-\sqrt{3}m$,
∴$PN=(4\sqrt{3}-\sqrt{3}m)$米,
∴内接矩形MNPQ的面积$S=MN·PN=m(4\sqrt{3}-\sqrt{3}m)=(-\sqrt{3}m^2+4\sqrt{3}m)$(平方米).
(3)由(2)得内接矩形MNPQ的面积$S=(-\sqrt{3}m^2+4\sqrt{3}m)$平方米,由(1)可得$S_{△ OCD}=\frac{\sqrt{3}}{4}OC^2=4\sqrt{3}$平方米,
∴菱形ODCE的面积=$2S_{△ OCD}=2×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$(平方米),
∴总费用$w=80·(-\sqrt{3}m^2+4\sqrt{3}m)+160[8\sqrt{3}-(-\sqrt{3}m^2+4\sqrt{3}m)]=80\sqrt{3}(m-2)^2+960\sqrt{3}$,
∴当m=2时,w最小,最小值为$960\sqrt{3}$,
∴完成菱形广告牌所需的最低费用为$960\sqrt{3}$元.