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10. 如图，BD是$△ ABC$的角平分线，$DE // BC$，交AB于点E.若$∠ A=72°$，$∠ C=58°$，则$∠ BDE$的度数为 （
A.$25°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$
第10题图 第11题图
A
）A.$25°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$
第10题图 第11题图
答案
10.A
解析
【分析】
要求∠BDE的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC的度数；再根据角平分线的定义得到∠CBD的度数；最后结合DE//BC的条件，利用平行线内错角相等的性质，即可求出∠BDE的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 72° - 58° = 50°$
∵BD是△ABC的角平分线
∴$∠ CBD = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 50° = 25°$
∵$DE // BC$
∴$∠ BDE = ∠ CBD$（两直线平行，内错角相等）
∴$∠ BDE = 25°$
故选：A
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，综合考查了三角形内角和、角平分线性质和平行线性质，解题关键是理清各角度之间的转化关系。
【难度系数】
0.8
要求∠BDE的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC的度数；再根据角平分线的定义得到∠CBD的度数；最后结合DE//BC的条件，利用平行线内错角相等的性质，即可求出∠BDE的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 72° - 58° = 50°$
∵BD是△ABC的角平分线
∴$∠ CBD = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 50° = 25°$
∵$DE // BC$
∴$∠ BDE = ∠ CBD$（两直线平行，内错角相等）
∴$∠ BDE = 25°$
故选：A
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，综合考查了三角形内角和、角平分线性质和平行线性质，解题关键是理清各角度之间的转化关系。
【难度系数】
0.8
11.(教材习题变式)如图,在$△ ABC$中,点P是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线的交点,若$∠ P=2∠ A$,则$∠ A$的度数为 (
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
B
)A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
11.B
解析
【分析】
解决本题首先利用三角形内角和定理得到△ABC中∠ABC与∠ACB的和和∠A的关系，再结合角平分线的定义，推出△PBC中两个底角的和与∠A的关系，再次利用三角形内角和定理得到∠P和∠A的数量关系，最后结合题目给出的∠P=2∠A列方程求解即可。
【解析】
解：在△ABC中，由三角形内角和定理可得：
$∠ ABC + ∠ ACB + ∠ A = 180°$，即$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$。
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴$∠ PBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB = \frac{1}{2}∠ ACB$，
∴$∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° - \frac{1}{2}∠ A$。
在△PBC中，由三角形内角和定理可得：
$∠ P = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - (90° - \frac{1}{2}∠ A) = 90° + \frac{1}{2}∠ A$。
又
∵$∠ P = 2∠ A$，
∴$2∠ A = 90° + \frac{1}{2}∠ A$，
解得$∠ A = 60°$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内角相关的典型考题，核心是推导双内角平分线的夹角与三角形第三个内角的数量关系，解题过程两次运用三角形内角和定理，结合角平分线定义即可建立方程求解，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
解决本题首先利用三角形内角和定理得到△ABC中∠ABC与∠ACB的和和∠A的关系，再结合角平分线的定义，推出△PBC中两个底角的和与∠A的关系，再次利用三角形内角和定理得到∠P和∠A的数量关系，最后结合题目给出的∠P=2∠A列方程求解即可。
【解析】
解：在△ABC中，由三角形内角和定理可得：
$∠ ABC + ∠ ACB + ∠ A = 180°$，即$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$。
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴$∠ PBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB = \frac{1}{2}∠ ACB$，
∴$∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° - \frac{1}{2}∠ A$。
在△PBC中，由三角形内角和定理可得：
$∠ P = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - (90° - \frac{1}{2}∠ A) = 90° + \frac{1}{2}∠ A$。
又
∵$∠ P = 2∠ A$，
∴$2∠ A = 90° + \frac{1}{2}∠ A$，
解得$∠ A = 60°$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内角相关的典型考题，核心是推导双内角平分线的夹角与三角形第三个内角的数量关系，解题过程两次运用三角形内角和定理，结合角平分线定义即可建立方程求解，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
12.如图，$∠ FAE=100°$，线段GD分别交AF，AE于点C，B，连接GF，ED，则$∠ D+∠ G+∠ F+∠ E$的度数为
280°
。答案
12.280°
解析
【分析】
解题时可先从已知角∠A所在的△ABC入手，利用三角形内角和定理求出△ABC中另外两个内角的和；再结合对顶角相等的性质，得到下方两个小三角形△GCF、△BDE的顶角之和；最后分别在两个小三角形中运用内角和定理，将四个待求角的和转化为两个三角形内角和减去两个顶角的和，即可求出结果。
【解析】
在△ABC中，∠A=100°，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ACB + ∠ ABC = 180° - ∠ A = 180° - 100° = 80°$
由对顶角相等可知，$∠ GCF = ∠ ACB$，$∠ EBD = ∠ ABC$，因此：
$∠ GCF + ∠ EBD = ∠ ACB + ∠ ABC = 80°$
在△GCF中，$∠ G + ∠ F + ∠ GCF = 180°$，即$∠ G + ∠ F = 180° - ∠ GCF$；
在△BDE中，$∠ D + ∠ E + ∠ EBD = 180°$，即$∠ D + ∠ E = 180° - ∠ EBD$。
将两式相加得：
$∠ G + ∠ F + ∠ D + ∠ E = 180° - ∠ GCF + 180° - ∠ EBD = 360° - (∠ GCF + ∠ EBD) = 360° - 80° = 280°$
【答案】
$280°$
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题是三角形内角相关的典型题型，核心是通过对顶角搭建已知角和未知角之间的关联，将分散的待求角整合到可计算的式子中，熟练掌握基础定理就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可先从已知角∠A所在的△ABC入手，利用三角形内角和定理求出△ABC中另外两个内角的和；再结合对顶角相等的性质，得到下方两个小三角形△GCF、△BDE的顶角之和；最后分别在两个小三角形中运用内角和定理，将四个待求角的和转化为两个三角形内角和减去两个顶角的和，即可求出结果。
【解析】
在△ABC中，∠A=100°，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ACB + ∠ ABC = 180° - ∠ A = 180° - 100° = 80°$
由对顶角相等可知，$∠ GCF = ∠ ACB$，$∠ EBD = ∠ ABC$，因此：
$∠ GCF + ∠ EBD = ∠ ACB + ∠ ABC = 80°$
在△GCF中，$∠ G + ∠ F + ∠ GCF = 180°$，即$∠ G + ∠ F = 180° - ∠ GCF$；
在△BDE中，$∠ D + ∠ E + ∠ EBD = 180°$，即$∠ D + ∠ E = 180° - ∠ EBD$。
将两式相加得：
$∠ G + ∠ F + ∠ D + ∠ E = 180° - ∠ GCF + 180° - ∠ EBD = 360° - (∠ GCF + ∠ EBD) = 360° - 80° = 280°$
【答案】
$280°$
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题是三角形内角相关的典型题型，核心是通过对顶角搭建已知角和未知角之间的关联，将分散的待求角整合到可计算的式子中，熟练掌握基础定理就能快速求解。
【难度系数】
0.7
13. 如图，AD，AE分别是$△ ABC$的高和角平分线，$∠ B＝40°$，$∠ ACB＝80°$.点F在BC的延长线上，$FG ⊥ AE$，垂足为H，FG与AB相交于点G.
(1)求$∠ AGF$的度数；
(2)求$∠ EAD$的度数.
(1)求$∠ AGF$的度数；
(2)求$∠ EAD$的度数.
答案
13. 解:(1)
∵∠B=40°,∠ACB=80°,
∴∠BAC=180°-40°-80°=60°.
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠CAE= 1/2∠BAC=30°.
∵FG⊥AE,
∴∠AHG=90°.
∴∠AGF=180°-90°-30°=60°.
(2)
∵AD是△ABC的高,
∴∠ADC=90°.
∵∠ACB=80°,
∴∠CAD=180°-90°-80°=10°.
∵∠CAE=30°,
∴∠EAD=∠CAE-∠CAD=30°-10°=20°.
∵∠B=40°,∠ACB=80°,
∴∠BAC=180°-40°-80°=60°.
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠CAE= 1/2∠BAC=30°.
∵FG⊥AE,
∴∠AHG=90°.
∴∠AGF=180°-90°-30°=60°.
(2)
∵AD是△ABC的高,
∴∠ADC=90°.
∵∠ACB=80°,
∴∠CAD=180°-90°-80°=10°.
∵∠CAE=30°,
∴∠EAD=∠CAE-∠CAD=30°-10°=20°.
解析
【分析】
(1)求解∠AGF时，先利用三角形内角和定理算出△ABC的∠BAC度数，再结合角平分线的性质得到∠BAE的度数，最后在直角△AGH中用三角形内角和即可求出∠AGF。
(2)求解∠EAD时，先根据三角形高的性质得到∠ADC=90°，结合∠ACB的度数求出∠CAD的度数，再用∠CAE的度数减去∠CAD的度数即可得到结果。
【解析】
(1)
∵∠B=40°，∠ACB=80°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-40°-80°=60°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∵FG⊥AE，
∴∠AHG=90°，
在△AGH中，∠AGF=180°-∠AHG-∠BAE=180°-90°-30°=60°。
(2)
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
在△ADC中，∠CAD=180°-∠ADC-∠ACB=180°-90°-80°=10°，
∵∠CAE=30°，
∴∠EAD=∠CAE - ∠CAD=30°-10°=20°。
【答案】
(1)$∠ AGF=60°$；(2)$∠ EAD=20°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高线的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，核心是灵活运用三角形的相关基础性质，逐步推导未知角的度数，熟练掌握对应知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1)求解∠AGF时，先利用三角形内角和定理算出△ABC的∠BAC度数，再结合角平分线的性质得到∠BAE的度数，最后在直角△AGH中用三角形内角和即可求出∠AGF。
(2)求解∠EAD时，先根据三角形高的性质得到∠ADC=90°，结合∠ACB的度数求出∠CAD的度数，再用∠CAE的度数减去∠CAD的度数即可得到结果。
【解析】
(1)
∵∠B=40°，∠ACB=80°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-40°-80°=60°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∵FG⊥AE，
∴∠AHG=90°，
在△AGH中，∠AGF=180°-∠AHG-∠BAE=180°-90°-30°=60°。
(2)
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
在△ADC中，∠CAD=180°-∠ADC-∠ACB=180°-90°-80°=10°，
∵∠CAE=30°，
∴∠EAD=∠CAE - ∠CAD=30°-10°=20°。
【答案】
(1)$∠ AGF=60°$；(2)$∠ EAD=20°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高线的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，核心是灵活运用三角形的相关基础性质，逐步推导未知角的度数，熟练掌握对应知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
14.[数学建模]问题情景:如图,在同一平面内,点B和点C分别位于一块直角三角尺PMN的两条直角边PM,PN上,点A与点P在直线BC的同侧,点P在△ABC内部.
(1)特殊探究:若∠A=55°,则∠ABC+∠ACB=
(2)类比探索:请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的数量关系,并说明理由.
(1)特殊探究:若∠A=55°,则∠ABC+∠ACB=
125
°,∠PBC+∠PCB=90
°,∠ABP+∠ACP=35
°;(2)类比探索:请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的数量关系,并说明理由.
答案
14. 解:(1)125 90 35.
(2)∠ABP+∠ACP=90°-∠A.
理由如下：
在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A.
∵∠ABC=∠ABP+∠PBC,
∠ACB=∠ACP+∠PCB,
∴(∠ABP+∠PBC)+(∠ACP+∠PCB)=180°-∠A,
即(∠ABP+∠ACP)+(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A.
在△PBC中,∠P=90°,
∴∠PBC+∠PCB=180°-90°=90°.
∴(∠ABP+∠ACP)+90°=180°-∠A.
∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A.
(2)∠ABP+∠ACP=90°-∠A.
理由如下：
在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A.
∵∠ABC=∠ABP+∠PBC,
∠ACB=∠ACP+∠PCB,
∴(∠ABP+∠PBC)+(∠ACP+∠PCB)=180°-∠A,
即(∠ABP+∠ACP)+(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A.
在△PBC中,∠P=90°,
∴∠PBC+∠PCB=180°-90°=90°.
∴(∠ABP+∠ACP)+90°=180°-∠A.
∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A.
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，首先利用三角形内角和为180°，在△ABC中已知∠A的度数，可直接求出∠ABC+∠ACB的度数；再结合直角三角尺的直角∠P=90°，在△PBC中再次用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数；最后将∠ABP+∠ACP转化为(∠ABC+∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)，代入数值计算即可。
(2) 求解第二问时，遵循从特殊到一般的思路，先写出△ABC的内角和表达式，再将∠ABC拆分为∠ABP+∠PBC、∠ACB拆分为∠ACP+∠PCB，代入后结合△PBC中∠PBC+∠PCB=90°的结论，整理即可得到∠ABP+∠ACP与∠A的数量关系。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和定理，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，已知∠A=55°，因此：
∠ABC+∠ACB=180°-55°=125°；
∵三角尺PMN为直角三角尺，
∴∠P=90°，在△PBC中，∠P+∠PBC+∠PCB=180°，因此：
∠PBC+∠PCB=180°-90°=90°；
又
∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，
∴∠ABP+∠ACP=(∠ABC-∠PBC)+(∠ACB-∠PCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=125°-90°=35°。
(2) 猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A，理由如下：
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，
∴(∠ABP+∠PBC)+(∠ACP+∠PCB)=180°-∠A，
整理得：(∠ABP+∠ACP)+(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A，
在Rt△PBC中，∠P=90°，因此∠PBC+∠PCB=180°-90°=90°，
代入上式得：(∠ABP+∠ACP)+90°=180°-∠A，
化简得：∠ABP+∠ACP=90°-∠A。
【答案】
(1) 125；90；35
(2) ∠ABP+∠ACP=90°-∠A，理由见解析
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题以直角三角尺为背景，考查三角形内角和定理的应用，通过特殊值探究到一般规律推导的过程，锻炼学生的逻辑推理能力和角的转化能力，解题的关键是掌握三角形内角和为180°，并能合理对角进行拆分重组。
【难度系数】
0.75
(1) 求解第一问时，首先利用三角形内角和为180°，在△ABC中已知∠A的度数，可直接求出∠ABC+∠ACB的度数；再结合直角三角尺的直角∠P=90°，在△PBC中再次用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数；最后将∠ABP+∠ACP转化为(∠ABC+∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)，代入数值计算即可。
(2) 求解第二问时，遵循从特殊到一般的思路，先写出△ABC的内角和表达式，再将∠ABC拆分为∠ABP+∠PBC、∠ACB拆分为∠ACP+∠PCB，代入后结合△PBC中∠PBC+∠PCB=90°的结论，整理即可得到∠ABP+∠ACP与∠A的数量关系。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和定理，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，已知∠A=55°，因此：
∠ABC+∠ACB=180°-55°=125°；
∵三角尺PMN为直角三角尺，
∴∠P=90°，在△PBC中，∠P+∠PBC+∠PCB=180°，因此：
∠PBC+∠PCB=180°-90°=90°；
又
∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，
∴∠ABP+∠ACP=(∠ABC-∠PBC)+(∠ACB-∠PCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=125°-90°=35°。
(2) 猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A，理由如下：
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，
∴(∠ABP+∠PBC)+(∠ACP+∠PCB)=180°-∠A，
整理得：(∠ABP+∠ACP)+(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A，
在Rt△PBC中，∠P=90°，因此∠PBC+∠PCB=180°-90°=90°，
代入上式得：(∠ABP+∠ACP)+90°=180°-∠A，
化简得：∠ABP+∠ACP=90°-∠A。
【答案】
(1) 125；90；35
(2) ∠ABP+∠ACP=90°-∠A，理由见解析
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题以直角三角尺为背景，考查三角形内角和定理的应用，通过特殊值探究到一般规律推导的过程，锻炼学生的逻辑推理能力和角的转化能力，解题的关键是掌握三角形内角和为180°，并能合理对角进行拆分重组。
【难度系数】
0.75
