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1. 在$△ OAB$中，$∠ O=90°$，$∠ A=35°$，则$∠ B=$（
A.$35°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$145°$
B
）A.$35°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$145°$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查直角三角形内角的计算，解题思路如下：首先明确三角形的内角和为180°，而直角三角形中有一个内角为90°，因此剩余两个锐角的和为90°（即两锐角互余）。已知其中一个锐角∠A的度数，直接用90°减去∠A的度数即可求出∠B的度数，也可以用三角形内角和180°减去已知两个角的度数求解，两种方法都简便易操作。
【解析】
方法1：利用三角形内角和定理求解
三角形内角和为180°，因此在△OAB中：
$∠ O + ∠ A + ∠ B = 180°$
已知$∠ O=90°$，$∠ A=35°$，代入得：
$90° + 35° + ∠ B = 180°$
$∠ B = 180° - 90° - 35° = 55°$
方法2：利用直角三角形两锐角互余求解
因为△OAB中$∠ O=90°$，所以△OAB是直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，即：
$∠ A + ∠ B = 90°$
代入$∠ A=35°$得：
$∠ B = 90° - 35° = 55°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，侧重对直角三角形内角性质的直接考查，掌握直角三角形两锐角和为90°的性质即可快速得出答案，是三角形内角相关的常见基础考点。
【难度系数】
0.9
本题考查直角三角形内角的计算，解题思路如下：首先明确三角形的内角和为180°，而直角三角形中有一个内角为90°，因此剩余两个锐角的和为90°（即两锐角互余）。已知其中一个锐角∠A的度数，直接用90°减去∠A的度数即可求出∠B的度数，也可以用三角形内角和180°减去已知两个角的度数求解，两种方法都简便易操作。
【解析】
方法1：利用三角形内角和定理求解
三角形内角和为180°，因此在△OAB中：
$∠ O + ∠ A + ∠ B = 180°$
已知$∠ O=90°$，$∠ A=35°$，代入得：
$90° + 35° + ∠ B = 180°$
$∠ B = 180° - 90° - 35° = 55°$
方法2：利用直角三角形两锐角互余求解
因为△OAB中$∠ O=90°$，所以△OAB是直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，即：
$∠ A + ∠ B = 90°$
代入$∠ A=35°$得：
$∠ B = 90° - 35° = 55°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，侧重对直角三角形内角性质的直接考查，掌握直角三角形两锐角和为90°的性质即可快速得出答案，是三角形内角相关的常见基础考点。
【难度系数】
0.9
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A - ∠ B = 10°$，则$∠ A$的度数为（
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
A
）A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先结合直角三角形的性质得到两个锐角的数量关系，再结合题目给出的两角差的条件，通过联立两个关系即可求出∠A的度数。第一步先回忆直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角之和为90°，得到∠A+∠B=90°；第二步结合已知∠A-∠B=10°，两个式子联立就可以消去∠B，直接计算出∠A的大小。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
根据直角三角形两锐角互余的性质，可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$ ①
又已知 $∠ A - ∠ B = 10°$ ②
①+②得：$2∠ A = 100°$
解得：$∠ A = 50°$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 角度和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查直角三角形两锐角互余的性质，只要熟练掌握该基础性质，结合给出的角度差条件，通过简单的运算就能得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先结合直角三角形的性质得到两个锐角的数量关系，再结合题目给出的两角差的条件，通过联立两个关系即可求出∠A的度数。第一步先回忆直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角之和为90°，得到∠A+∠B=90°；第二步结合已知∠A-∠B=10°，两个式子联立就可以消去∠B，直接计算出∠A的大小。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
根据直角三角形两锐角互余的性质，可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$ ①
又已知 $∠ A - ∠ B = 10°$ ②
①+②得：$2∠ A = 100°$
解得：$∠ A = 50°$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 角度和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查直角三角形两锐角互余的性质，只要熟练掌握该基础性质，结合给出的角度差条件，通过简单的运算就能得出结果。
【难度系数】
0.9
3. 如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，$∠ 1 = ∠ 2$，$∠ C = 68°$，则$∠ BAC$的度数为（
A.$68°$
B.$67°$
C.$77°$
D.$78$
B
）A.$68°$
B.$67°$
C.$77°$
D.$78$
答案
3.B
解析
【分析】
首先由AD⊥BC可得△ABD和△ACD都是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，先在Rt△ABD中结合∠1=∠2求出∠1的度数，再在Rt△ACD中结合∠C的度数求出∠DAC的度数，最后将∠1和∠DAC相加即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，
∴∠1+∠2=90°，
又
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=45°。
在Rt△ACD中，∠DAC+∠C+∠ADC=180°，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵∠C=68°，
∴∠DAC=90°-68°=22°。
∴∠BAC=∠1+∠DAC=45°+22°=67°。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角度和差计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直角三角形性质的应用，解题时要先从垂直条件入手得到直角三角形，再结合已知角的数量关系分步计算目标角的度数，计算过程细心即可得分。
【难度系数】
0.7
首先由AD⊥BC可得△ABD和△ACD都是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，先在Rt△ABD中结合∠1=∠2求出∠1的度数，再在Rt△ACD中结合∠C的度数求出∠DAC的度数，最后将∠1和∠DAC相加即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，
∴∠1+∠2=90°，
又
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=45°。
在Rt△ACD中，∠DAC+∠C+∠ADC=180°，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵∠C=68°，
∴∠DAC=90°-68°=22°。
∴∠BAC=∠1+∠DAC=45°+22°=67°。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角度和差计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直角三角形性质的应用，解题时要先从垂直条件入手得到直角三角形，再结合已知角的数量关系分步计算目标角的度数，计算过程细心即可得分。
【难度系数】
0.7
4.如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$于点$D$，$BE$平分$∠ ABC$，交$AC$于点$E$。若$∠ BAD=34°$，则$∠ AEB$的度数为
62°
。答案
4.$62°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用AD⊥BC得到Rt△ABD，根据直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠BAD=34°，可求出∠ABC的度数；再根据角平分线的定义求出∠ABE的度数；最后在Rt△ABE中，再次利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD+∠ABD=90°，
∵∠BAD=34°，
∴∠ABD=90°-34°=56°，即∠ABC=56°。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×56°=28°。
∵∠BAC=90°，
∴在Rt△ABE中，∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠AEB=90°-28°=62°。
【答案】
62°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是熟练运用直角三角形的性质和角平分线的定义，逐步推导未知角的度数，计算量较小，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用AD⊥BC得到Rt△ABD，根据直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠BAD=34°，可求出∠ABC的度数；再根据角平分线的定义求出∠ABE的度数；最后在Rt△ABE中，再次利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD+∠ABD=90°，
∵∠BAD=34°，
∴∠ABD=90°-34°=56°，即∠ABC=56°。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×56°=28°。
∵∠BAC=90°，
∴在Rt△ABE中，∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠AEB=90°-28°=62°。
【答案】
62°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是熟练运用直角三角形的性质和角平分线的定义，逐步推导未知角的度数，计算量较小，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
5.在$△ ABC$中，已知$∠ A=28°$，$∠ B=62°$，则$△ ABC$为（
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都有可能
C
）A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都有可能
答案
5.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路推导：首先回忆三角形内角和的基本性质，三角形三个内角的和固定为180°；其次利用已知的两个内角度数，计算出第三个内角的度数；最后根据三角形按角分类的判定标准，确定三角形的类型。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°。
已知∠A=28°，∠B=62°，因此第三个内角∠C的度数为：
$\begin{aligned}∠C&=180°-∠A-∠B\\&=180°-28°-62°\\&=90°\end{aligned}$
有一个内角为90°（直角）的三角形是直角三角形，因此△ABC为直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题是基础类题目，核心考察三角形内角和定理的直接应用，只要熟练掌握三角形内角和性质以及不同类型三角形的角的特征，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们可以按照以下思路推导：首先回忆三角形内角和的基本性质，三角形三个内角的和固定为180°；其次利用已知的两个内角度数，计算出第三个内角的度数；最后根据三角形按角分类的判定标准，确定三角形的类型。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°。
已知∠A=28°，∠B=62°，因此第三个内角∠C的度数为：
$\begin{aligned}∠C&=180°-∠A-∠B\\&=180°-28°-62°\\&=90°\end{aligned}$
有一个内角为90°（直角）的三角形是直角三角形，因此△ABC为直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题是基础类题目，核心考察三角形内角和定理的直接应用，只要熟练掌握三角形内角和性质以及不同类型三角形的角的特征，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
6. 具备下列条件的$△ ABC$中,不是直角三角形的是 （
A.$∠ A+∠ B=∠ C$
B.$∠ A-∠ B=∠ C$
C.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
D.$∠ A=∠ B=3∠ C$
D
）A.$∠ A+∠ B=∠ C$
B.$∠ A-∠ B=∠ C$
C.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
D.$∠ A=∠ B=3∠ C$
答案
6.D
解析
【分析】
本题可根据三角形内角和为180°的性质，结合各选项给出的角的数量关系，计算三角形最大内角的度数，若最大内角等于90°则为直角三角形，反之则不是，据此逐一判断选项即可。
【解析】
三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和为180°，即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$。
选项A：已知$∠ A + ∠ B = ∠ C$，代入内角和公式得：$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，是直角三角形，不符合题意。
选项B：已知$∠ A - ∠ B = ∠ C$，变形得$∠ A = ∠ B + ∠ C$，代入内角和公式得：$∠ A + ∠ A = 180°$，解得$∠ A=90°$，是直角三角形，不符合题意。
选项C：已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入内角和公式得：$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，是直角三角形，不符合题意。
选项D：已知$∠ A=∠ B=3∠ C$，设$∠ C=x$，$∠ A=∠ B=3x$，代入内角和公式得：$3x+3x+x=180°$，解得$x=\frac{180°}{7}$，最大角$∠ A=∠ B=\frac{540°}{7}\approx77.1°＜90°$，不是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是将角的数量关系与三角形内角和定理结合，通过计算最大角的度数判断三角形是否为直角三角形，熟练掌握内角和定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题可根据三角形内角和为180°的性质，结合各选项给出的角的数量关系，计算三角形最大内角的度数，若最大内角等于90°则为直角三角形，反之则不是，据此逐一判断选项即可。
【解析】
三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和为180°，即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$。
选项A：已知$∠ A + ∠ B = ∠ C$，代入内角和公式得：$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，是直角三角形，不符合题意。
选项B：已知$∠ A - ∠ B = ∠ C$，变形得$∠ A = ∠ B + ∠ C$，代入内角和公式得：$∠ A + ∠ A = 180°$，解得$∠ A=90°$，是直角三角形，不符合题意。
选项C：已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入内角和公式得：$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，是直角三角形，不符合题意。
选项D：已知$∠ A=∠ B=3∠ C$，设$∠ C=x$，$∠ A=∠ B=3x$，代入内角和公式得：$3x+3x+x=180°$，解得$x=\frac{180°}{7}$，最大角$∠ A=∠ B=\frac{540°}{7}\approx77.1°＜90°$，不是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是将角的数量关系与三角形内角和定理结合，通过计算最大角的度数判断三角形是否为直角三角形，熟练掌握内角和定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
7. 在直角三角形ABC中，∠A:∠B:∠C=1:m:2，则m的值是（
A.1
B.2
C.1或3
D.1或2
C
）A.1
B.2
C.1或3
D.1或2
答案
7.C
解析
【分析】
本题考查直角三角形的角度计算，解题关键是明确直角三角形的直角未明确对应哪个比例项时，需分类讨论求解：首先根据角度比设三个角的度数分别为x、mx、2x，结合直角三角形最大角为90°的性质，分两种情况讨论：①比例为2的角是直角；②比例为m的角是直角（比例为1的角最小，不可能是直角，否则其余角会超过90°，不符合三角形内角和），分别计算m的值后验证是否符合条件即可。
【解析】
设∠A=x，∠B=mx，∠C=2x，
∵△ABC是直角三角形，
∴必有一个内角为90°，且三角形内角和为180°，分情况讨论：
情况1：若∠C是直角，即2x=90°，解得x=45°，
此时两个锐角和为90°，即∠A+∠B=x+mx=90°，
代入x=45°得：45°+45°m=90°，解得m=1，符合条件；
情况2：若∠B是直角，即mx=90°，
此时两个锐角为∠A和∠C，和为90°，即x+2x=90°，解得x=30°，
代入mx=90°得：30°×m=90°，解得m=3，符合条件；
综上，m的值为1或3。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略直角的位置不确定，未进行分类讨论导致漏解，解题时遇到角度比相关的直角三角形计算问题，若未明确直角对应项，一定要先分情况讨论，再结合三角形内角和验证结果是否合理。
【难度系数】
0.7
本题考查直角三角形的角度计算，解题关键是明确直角三角形的直角未明确对应哪个比例项时，需分类讨论求解：首先根据角度比设三个角的度数分别为x、mx、2x，结合直角三角形最大角为90°的性质，分两种情况讨论：①比例为2的角是直角；②比例为m的角是直角（比例为1的角最小，不可能是直角，否则其余角会超过90°，不符合三角形内角和），分别计算m的值后验证是否符合条件即可。
【解析】
设∠A=x，∠B=mx，∠C=2x，
∵△ABC是直角三角形，
∴必有一个内角为90°，且三角形内角和为180°，分情况讨论：
情况1：若∠C是直角，即2x=90°，解得x=45°，
此时两个锐角和为90°，即∠A+∠B=x+mx=90°，
代入x=45°得：45°+45°m=90°，解得m=1，符合条件；
情况2：若∠B是直角，即mx=90°，
此时两个锐角为∠A和∠C，和为90°，即x+2x=90°，解得x=30°，
代入mx=90°得：30°×m=90°，解得m=3，符合条件；
综上，m的值为1或3。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略直角的位置不确定，未进行分类讨论导致漏解，解题时遇到角度比相关的直角三角形计算问题，若未明确直角对应项，一定要先分情况讨论，再结合三角形内角和验证结果是否合理。
【难度系数】
0.7
8.(教材例题变式)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AE$平分$∠ BAC$,$BD⊥ AE$交$AE$的延长线于点$D$.若$∠ 1=24°$,则$∠ EAB=$（
A.$66°$
B.$33°$
C.$24°$
D.$12°$
C
）A.$66°$
B.$33°$
C.$24°$
D.$12°$
答案
8.C
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：已知两个直角三角形Rt△ACE和Rt△BDE，有一组对顶角∠AEC与∠BED相等，首先利用直角三角形两锐角互余的性质，结合对顶角相等推出∠CAE与∠1相等，再根据AE是∠BAC的角平分线，即可得到∠EAB的度数。
【解析】
解：
∵BD⊥AE，
∴∠D=90°，在Rt△BDE中，∠1 + ∠BED = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
又
∵∠C=90°，在Rt△ACE中，∠CAE + ∠AEC = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
∵∠AEC与∠BED是对顶角，
∴∠AEC=∠BED。
根据等角的余角相等，可得∠CAE=∠1=24°。
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB=∠CAE=24°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；对顶角相等；角平分线定义
【点评】
本题是基础类题目，综合考查直角三角形的性质与角平分线的定义，解题的突破口是利用等角的余角相等推导角的等量关系，掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征：已知两个直角三角形Rt△ACE和Rt△BDE，有一组对顶角∠AEC与∠BED相等，首先利用直角三角形两锐角互余的性质，结合对顶角相等推出∠CAE与∠1相等，再根据AE是∠BAC的角平分线，即可得到∠EAB的度数。
【解析】
解：
∵BD⊥AE，
∴∠D=90°，在Rt△BDE中，∠1 + ∠BED = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
又
∵∠C=90°，在Rt△ACE中，∠CAE + ∠AEC = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
∵∠AEC与∠BED是对顶角，
∴∠AEC=∠BED。
根据等角的余角相等，可得∠CAE=∠1=24°。
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB=∠CAE=24°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；对顶角相等；角平分线定义
【点评】
本题是基础类题目，综合考查直角三角形的性质与角平分线的定义，解题的突破口是利用等角的余角相等推导角的等量关系，掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$∠ A = 52°$，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则$∠ EDB$的度数是
14°
。答案
9.$14°$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据直角三角形两锐角互余的性质，求出△ABC中∠B的度数；第二步，根据折叠的性质，得到折叠前后对应角相等，即∠CED=∠A；第三步，结合三角形外角的性质，∠CED是△BED的外角，等于不相邻的两个内角∠B和∠EDB的和，代入已知角度即可求出∠EDB的度数。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=52°，
根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 52° = 38°$，
由折叠的性质可知，$△ CDE ≌ △ CDA$，因此对应角相等：
$∠ CED = ∠ A = 52°$，
又
∵∠CED是△BED的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ CED = ∠ B + ∠ EDB$，
则$∠ EDB = ∠ CED - ∠ B = 52° - 38° = 14°$。
【答案】
$14°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；折叠的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础的角度计算问题，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合直角三角形和三角形外角的角度关系进行推导计算，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先根据直角三角形两锐角互余的性质，求出△ABC中∠B的度数；第二步，根据折叠的性质，得到折叠前后对应角相等，即∠CED=∠A；第三步，结合三角形外角的性质，∠CED是△BED的外角，等于不相邻的两个内角∠B和∠EDB的和，代入已知角度即可求出∠EDB的度数。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=52°，
根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 52° = 38°$，
由折叠的性质可知，$△ CDE ≌ △ CDA$，因此对应角相等：
$∠ CED = ∠ A = 52°$，
又
∵∠CED是△BED的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ CED = ∠ B + ∠ EDB$，
则$∠ EDB = ∠ CED - ∠ B = 52° - 38° = 14°$。
【答案】
$14°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；折叠的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础的角度计算问题，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合直角三角形和三角形外角的角度关系进行推导计算，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
10.(教材习题变式)如图，$AB// CD$，直线$EF$分别交$AB$，$CD$于点$E$，$F$，$∠ BEF$的平分线与$∠ DFE$的平分线相交于点$P$.求证：$△ EPF$是直角三角形.
答案
10. 证明：$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ BEF+∠ DFE=180°$.
又 EP,FP 分别平分$∠ BEF,∠ DFE$,
$\therefore ∠ PEF=\frac{1}{2}∠ BEF,∠ PFE=\frac{1}{2}∠ DFE$.
$\therefore ∠ PEF+∠ PFE=\frac{1}{2}(∠ BEF+∠ DFE)=\frac{1}{2}×180°=90°$.
$\therefore △ EPF$ 是直角三角形.
$\therefore ∠ BEF+∠ DFE=180°$.
又 EP,FP 分别平分$∠ BEF,∠ DFE$,
$\therefore ∠ PEF=\frac{1}{2}∠ BEF,∠ PFE=\frac{1}{2}∠ DFE$.
$\therefore ∠ PEF+∠ PFE=\frac{1}{2}(∠ BEF+∠ DFE)=\frac{1}{2}×180°=90°$.
$\therefore △ EPF$ 是直角三角形.
解析
【分析】要证明△EPF是直角三角形，根据直角三角形的判定定理，只需证明它的两个锐角之和为90°即可。首先由AB//CD，利用平行线同旁内角互补的性质，可得到∠BEF与∠DFE的和为180°；再结合EP、FP分别是∠BEF和∠DFE的角平分线，可推出∠PEF、∠PFE分别等于对应角的一半，进而计算出∠PEF与∠PFE的和为90°，即可完成证明。
【解析】
证明：$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ BEF+∠ DFE=180°$（两直线平行，同旁内角互补）.
又$\because$ EP、FP分别平分$∠ BEF$、$∠ DFE$,
$\therefore ∠ PEF=\frac{1}{2}∠ BEF$，$∠ PFE=\frac{1}{2}∠ DFE$（角平分线的定义）.
$\therefore ∠ PEF+∠ PFE=\frac{1}{2}(∠ BEF+∠ DFE)=\frac{1}{2}×180°=90°$.
$\therefore △ EPF$是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）.
【答案】$△ EPF$是直角三角形。
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义；直角三角形的判定
【点评】本题属于基础几何证明题，核心考查平行线性质、角平分线定义与直角三角形判定的综合应用，解题的关键是通过平行线得到两角和，再结合角平分线推导三角形内角的关系，是平行线与三角形结合的典型常考题。
【难度系数】0.8
【解析】
证明：$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ BEF+∠ DFE=180°$（两直线平行，同旁内角互补）.
又$\because$ EP、FP分别平分$∠ BEF$、$∠ DFE$,
$\therefore ∠ PEF=\frac{1}{2}∠ BEF$，$∠ PFE=\frac{1}{2}∠ DFE$（角平分线的定义）.
$\therefore ∠ PEF+∠ PFE=\frac{1}{2}(∠ BEF+∠ DFE)=\frac{1}{2}×180°=90°$.
$\therefore △ EPF$是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）.
【答案】$△ EPF$是直角三角形。
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义；直角三角形的判定
【点评】本题属于基础几何证明题，核心考查平行线性质、角平分线定义与直角三角形判定的综合应用，解题的关键是通过平行线得到两角和，再结合角平分线推导三角形内角的关系，是平行线与三角形结合的典型常考题。
【难度系数】0.8
