1. 化简$(a - \frac{1}{a}) ÷ \frac{a + 1}{a}$的结果是 （）

A.$a - 1$
B.$a + 1$
C.$\frac{1}{a - 1}$
D.$\frac{1}{a + 1}$

1.A

【分析】
这是分式混合运算的基础题，解题遵循分式运算顺序：先算括号内的运算，再算除法。第一步先把括号里的整式$a$转化为分母为$a$的分式，通分后做减法运算；第二步将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数）；第三步对分子因式分解后约分，即可得到化简结果。
【解析】
解：先计算括号内的部分，通分可得：
$a-\frac{1}{a}=\frac{a^2}{a}-\frac{1}{a}=\frac{a^2-1}{a}$
利用平方差公式分解分子：$a^2-1=(a+1)(a-1)$，因此括号内结果为$\frac{(a+1)(a-1)}{a}$。
再将除法转化为乘法运算：
$(a-\frac{1}{a})÷\frac{a+1}{a}=\frac{(a+1)(a-1)}{a}×\frac{a}{a+1}$
约掉分子分母的公因式$a$和$a+1$（隐含$a≠0$且$a≠-1$，保证分式有意义），最终结果为$a-1$。
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算、通分约分、平方差公式因式分解
【点评】
本题考察分式运算的核心规则，属于基础题型，重点需要掌握分式运算的顺序，以及因式分解在约分中的应用，熟练通分、约分方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8

2. 计算：
(1)$(\frac{1}{x^2} -1)·\frac{x}{3x+3}=$；
(2)$(\frac{1}{a} +b)÷(a+\frac{1}{b})=$。

2.(1)$\frac{1-x}{3x}$ (2)$\frac{b}{a}$

【分析】
分式混合运算需遵循“先括号内，后括号外，乘除运算优先”的顺序，解题时先将括号内的分式通分化简，再对多项式进行因式分解，最后通过约分得到最简结果。
第(1)题：先对括号内的式子通分计算，再将含公因式的多项式提公因式、对分子用平方差公式因式分解，最后约去公因式即可。
第(2)题：先分别计算两个括号内的分式加法，再将除法转化为乘法，约去相同的因式后得到结果。
【解析】
(1) 步骤如下：
$\begin{aligned}(\frac{1}{x^2} -1)·\frac{x}{3x+3}&=\frac{1 - x^2}{x^2}·\frac{x}{3(x+1)}\\&=\frac{(1-x)(1+x)}{x^2}·\frac{x}{3(x+1)}\\&=\frac{1-x}{3x}\end{aligned}$
(2) 步骤如下：
$\begin{aligned}(\frac{1}{a} +b)÷(a+\frac{1}{b})&=\frac{1 + ab}{a}÷\frac{ab + 1}{b}\\&=\frac{ab+1}{a}·\frac{b}{ab+1}\\&=\frac{b}{a}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{1-x}{3x}$；(2)$\frac{b}{a}$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握分式运算的基本规则，通分、因式分解、约分是解决这类问题的常用方法，计算时注意识别公因式，避免因漏看符号或者漏约分出错。
【难度系数】
0.8

3.如果$a+b=2$，那么$(a-\dfrac{b^2}{a})·\dfrac{a}{a-b}$的值是

3.2

【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题时无需单独求出a、b的具体值，先对原式进行化简即可：第一步先计算括号内的分式减法，通分后将分子利用平方差公式因式分解，再和括号外的分式相乘，通过约分得到最简结果，最后代入已知条件a+b=2即可求出答案。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}(a-\frac{b^2}{a})·\frac{a}{a-b}&=\frac{a^2 - b^2}{a}·\frac{a}{a-b}\\&=\frac{(a+b)(a-b)}{a}·\frac{a}{a-b}\\&=a+b\end{aligned}$
已知$a+b=2$，因此原式的值为2。（注：本题隐含条件$a≠0$且$a≠ b$，保证原式有意义）
【答案】
2
【知识点】
分式的混合运算；平方差公式；化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是先化简代数式再代入已知条件，能有效减少计算量，掌握通分、因式分解、约分的基本方法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8

4.一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要小时。

4.$\frac{xy}{x+y}$

【分析】
解决这道题首先要明确工程问题的基本解题思路：通常将总工作量看作单位“1”，再根据“工作效率=总工作量÷单独完成时间”分别求出甲、乙的工作效率，两人合作的工作效率为两人效率之和，最后根据“工作时间=总工作量÷合作工作效率”列式，再通过分式的混合运算化简得到结果即可。
【解析】
首先把这项工程的总工作量看作单位“1”。
1. 求甲、乙的工作效率：
甲单独做x小时完成，因此甲的工作效率为$\frac{1}{x}$；
乙单独做y小时完成，因此乙的工作效率为$\frac{1}{y}$。
2. 求两人合作的工作效率：
两人合作的效率为甲、乙效率之和，即$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$，通分计算得：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}$。
3. 求两人合作完成的时间：
根据工作时间=总工作量÷工作效率，可得合作时间为$1÷\frac{x+y}{xy}$，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，计算得：$1×\frac{xy}{x+y}=\frac{xy}{x+y}$。
【答案】
$\frac{xy}{x+y}$
【知识点】
工程问题数量关系、分式的混合运算
【点评】
本题是工程问题与分式运算的结合类基础题，解题的核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，再正确进行分式的通分、除法运算即可得到结果。
【难度系数】
0.8

5. 计算：
(1) $\dfrac{2}{a-1} ÷ \dfrac{2a-4}{a^2-1} + \dfrac{1}{2-a}$；
(2) $(m+2+\dfrac{1}{m}) · \dfrac{m}{m+1}$；
(3) $\dfrac{m}{m^2-4} ÷ (1+\dfrac{2}{m-2})$。

5.解:(1)原式$=\frac{2}{a-1}·\frac{(a-1)(a+1)}{2(a-2)}-\frac{1}{a-2}$
$=\frac{a+1}{a-2}-\frac{1}{a-2}=\frac{a}{a-2}.$
(2)原式$=\frac{m^2+2m+1}{m}·\frac{m}{m+1}=\frac{(m+1)^2}{m}·\frac{m}{m+1}=m+1.$
(3)原式$=\frac{m}{(m+2)(m-2)}÷\frac{m-2+2}{m-2}$
$=\frac{m}{(m+2)(m-2)}·\frac{m-2}{m}=\frac{1}{m+2}.$

【分析】
分式混合运算遵循先乘除后加减、有括号先算括号内的运算顺序，解题思路如下：①除法运算先转化为乘法运算，同时对分子分母能因式分解的先因式分解，便于约分；②异分母分式加减先通分化为同分母分式再计算，注意处理互为相反数的分母时的符号变化；③括号内的整式与分式加减，将整式看作分母为1的分式通分计算，最终结果要化为最简分式。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，同时因式分解各部分，处理符号：
原式$=\frac{2}{a-1}·\frac{(a-1)(a+1)}{2(a-2)}-\frac{1}{a-2}$
约分后得到同分母分式，分子相减分母不变：
$=\frac{a+1}{a-2}-\frac{1}{a-2}=\frac{a+1-1}{a-2}=\frac{a}{a-2}$
(2) 先将括号内的整式通分，计算加法：
原式$=\frac{m^2+2m+1}{m}·\frac{m}{m+1}$
分子用完全平方公式因式分解后约分：
$=\frac{(m+1)^2}{m}·\frac{m}{m+1}=m+1$
(3) 先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法：
原式$=\frac{m}{(m+2)(m-2)}÷\frac{m-2+2}{m-2}$
$=\frac{m}{(m+2)(m-2)}·\frac{m-2}{m}$
约分后得到最简结果：
$=\frac{1}{m+2}$
【答案】
(1) $\dfrac{a}{a-2}$；(2) $m+1$；(3) $\dfrac{1}{m+2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式通分约分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，核心考察分式运算的基本规则，解题时需注意运算顺序，以及分母互为相反数时的符号转换，熟练运用因式分解可大幅简化运算过程，避免计算错误。
【难度系数】
0.7

6.先化简,再求值:$(1+\dfrac{1}{m-1})·\dfrac{m^2 -1}{m}$,其中$m=2.$

6.解:原式$=(\frac{m-1}{m-1}+\frac{1}{m-1})·\frac{(m+1)(m-1)}{m}$
$=\frac{m}{m-1}·\frac{(m+1)(m-1)}{m}=m+1.$
当$m=2$时,原式$=2+1=3.$

【分析】
这是分式化简求值类题目，需遵循“先化简，再代入求值”的思路解题。首先计算括号内的分式加法：将1转化为与$\frac{1}{m-1}$同分母的分式$\frac{m-1}{m-1}$，通分后求和；再对第二个分式的分子$m^2-1$用平方差公式因式分解，方便后续约分；之后将括号内的计算结果与因式分解后的分式相乘，约去分子分母的公因式得到最简结果；最后将$m=2$代入最简式计算最终数值即可。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{m-1}{m-1}+\frac{1}{m-1})·\frac{(m+1)(m-1)}{m}\\&=\frac{m}{m-1}·\frac{(m+1)(m-1)}{m}\\&=m+1\end{aligned}$
将$m=2$代入化简后的式子，得：
原式$=2+1=3$
【答案】
3
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题，主要考查分式通分、约分的规则以及因式分解的应用，先化简再代入的计算思路可以有效降低计算量，运算过程中要注意保证分式的分母不为0，本题给定的$m=2$满足所有分母有意义的要求。
【难度系数】
0.85

7. 先化简$\frac{x-2}{x^2 - 2x + 1} ÷ ( \frac{2x - 1}{x - 1} - x - 1 )$，再从$-2, -1, 0, 1, 2$中选一个合适的数作为$x$的值代入求值。

7.解:原式$=\frac{x-2}{(x-1)^2}÷\frac{-x(x-2)}{x-1}$
$=\frac{x-2}{(x-1)^2}·\frac{x-1}{-x(x-2)}=-\frac{1}{x(x-1)}.$
$\because x≠0,x≠1,x≠2,$
$\therefore x$只能取$-2$或$-1.$
当$x=-1$时,
原式$=-\frac{1}{(-1)×(-1-1)}=-\frac{1}{2}.$
[或当$x=-2$时,原式$=-\frac{1}{-2×(-2-1)}=-\frac{1}{6}.$]

【分析】
这是分式化简求值类常考题，解题思路可分三步：第一步先计算括号内的分式减法，通过通分将异分母分式转化为同分母分式计算；第二步将分式除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简结果；第三步先根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0）排除不符合要求的x值，再选合适的x代入最简式计算结果。
【解析】
1. 对原式因式分解并处理括号内运算：
原式$=\frac{x-2}{(x-1)^2} ÷ [ \frac{2x-1}{x-1} - \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} ]$
2. 计算括号内的分式减法，合并分子：
括号内分子$=2x-1-(x^2-1)=2x-1-x^2+1=-x^2+2x=-x(x-2)$
即括号内结果为$\frac{-x(x-2)}{x-1}$
3. 除法变乘法，约分化简：
原式$=\frac{x-2}{(x-1)^2}·\frac{x-1}{-x(x-2)}=-\frac{1}{x(x-1)}$
4. 确定x的可取范围：要使原式有意义，需满足所有分母、除式不为0，即$x≠0,x≠1,x≠2$，因此x只能取-2或-1。
5. 代入求值：
当$x=-1$时，原式$=-\frac{1}{(-1)×(-1-1)}=-\frac{1}{2}$；
当$x=-2$时，原式$=-\frac{1}{(-2)×(-2-1)}=-\frac{1}{6}$。
【答案】
化简结果为$-\frac{1}{x(x-1)}$；当x=-1时，值为$-\frac{1}{2}$（或当x=-2时，值为$-\frac{1}{6}$）
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；代数式求值
【点评】
本题重点考查分式运算的顺序和分式有意义的隐含条件，解题时要注意先化简再求值，选取x值时必须保证原式所有部分都有意义，不能仅验证化简后的式子，避免出错。
【难度系数】
0.7