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9.(河北中考)如图,若x为正整数,则表示$\frac{(x+2)^2}{x^2+4x+4}-\frac{1}{x+1}$的值的点落在 (
A.段①
B.段②
C.段③
D.段④
B
)A.段①
B.段②
C.段③
D.段④
答案
B
解析
【分析】
解题时先对分式进行化简：第一步观察第一个分式的分母是完全平方式，可与分子约分，再进行异分母分式的减法运算，得到最简结果；再结合x为正整数的条件，确定代数式的取值范围，最后对照数轴上的区间判断对应段即可。
【解析】
先化简代数式：
首先对分母因式分解：$x^2+4x+4=(x+2)^2$，且x是正整数，$x+2≠0$，因此：
$\frac{(x+2)^2}{x^2+4x+4}=\frac{(x+2)^2}{(x+2)^2}=1$
代入原式得：
原式$=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}$
因为x为正整数，即$x≥1$（x取1,2,3...）：
当$x=1$时，$\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}=0.5$；
当x增大时，$\frac{1}{x+1}$逐渐减小，$\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$逐渐接近1，但始终小于1。
因此代数式的取值范围是$0.5≤\frac{x}{x+1}＜1$，对照数轴可知，该范围落在段②（0.4~1）内。
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算，分式的约分，完全平方公式
【点评】
本题核心是先化简分式再判断取值范围，解题时要先对可因式分解的部分变形，通过约分简化计算，再结合未知数的限制条件确定代数式的区间，是分式运算的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时先对分式进行化简：第一步观察第一个分式的分母是完全平方式，可与分子约分，再进行异分母分式的减法运算，得到最简结果；再结合x为正整数的条件，确定代数式的取值范围，最后对照数轴上的区间判断对应段即可。
【解析】
先化简代数式：
首先对分母因式分解：$x^2+4x+4=(x+2)^2$，且x是正整数，$x+2≠0$，因此：
$\frac{(x+2)^2}{x^2+4x+4}=\frac{(x+2)^2}{(x+2)^2}=1$
代入原式得：
原式$=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}$
因为x为正整数，即$x≥1$（x取1,2,3...）：
当$x=1$时，$\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}=0.5$；
当x增大时，$\frac{1}{x+1}$逐渐减小，$\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$逐渐接近1，但始终小于1。
因此代数式的取值范围是$0.5≤\frac{x}{x+1}＜1$，对照数轴可知，该范围落在段②（0.4~1）内。
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算，分式的约分，完全平方公式
【点评】
本题核心是先化简分式再判断取值范围，解题时要先对可因式分解的部分变形，通过约分简化计算，再结合未知数的限制条件确定代数式的区间，是分式运算的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
10.[新定义问题]定义一种新运算：$x*y=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$，则$(m+1)*(m-1)$的结果为（
A.$\frac{2m}{m^2 -1}$
B.$-\frac{2m}{m^2 -1}$
C.$-\frac{2}{m^2 -1}$
D.$\frac{2}{m^2 -1}$
C
）A.$\frac{2m}{m^2 -1}$
B.$-\frac{2m}{m^2 -1}$
C.$-\frac{2}{m^2 -1}$
D.$\frac{2}{m^2 -1}$
答案
C
解析
【分析】
解本题首先要准确理解题干给出的新运算规则$x*y=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$，第一步先将新运算中的$x$替换为$(m+1)$，$y$替换为$(m-1)$，得到分式减法算式；再按照分式减法的运算步骤，先确定最简公分母通分，再对分子去括号、合并化简，最后结合平方差公式整理分母，对应选项选出答案即可，计算时需注意去括号的符号变化。
【解析】
根据新运算的定义可得：
$\begin{aligned}(m+1)*(m-1)&=\frac{1}{m+1}-\frac{1}{m-1}\\&=\frac{m-1}{(m+1)(m-1)}-\frac{m+1}{(m+1)(m-1)}\\&=\frac{(m-1)-(m+1)}{(m+1)(m-1)}\\&=\frac{m-1-m-1}{m^2-1}\\&=-\frac{2}{m^2-1}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，分式加减运算，平方差公式
【点评】
本题属于新定义类基础运算题，解题核心是将新运算转化为已学的分式减法运算，计算过程中要注意通分规范、去括号的符号变化，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
解本题首先要准确理解题干给出的新运算规则$x*y=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$，第一步先将新运算中的$x$替换为$(m+1)$，$y$替换为$(m-1)$，得到分式减法算式；再按照分式减法的运算步骤，先确定最简公分母通分，再对分子去括号、合并化简，最后结合平方差公式整理分母，对应选项选出答案即可，计算时需注意去括号的符号变化。
【解析】
根据新运算的定义可得：
$\begin{aligned}(m+1)*(m-1)&=\frac{1}{m+1}-\frac{1}{m-1}\\&=\frac{m-1}{(m+1)(m-1)}-\frac{m+1}{(m+1)(m-1)}\\&=\frac{(m-1)-(m+1)}{(m+1)(m-1)}\\&=\frac{m-1-m-1}{m^2-1}\\&=-\frac{2}{m^2-1}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，分式加减运算，平方差公式
【点评】
本题属于新定义类基础运算题，解题核心是将新运算转化为已学的分式减法运算，计算过程中要注意通分规范、去括号的符号变化，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
11.若$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$，则$\frac{2x -14xy -2y}{x -2xy -y}$的值为（
A.1
B.2
C.3
D.4
D
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
D
解析
【分析】首先观察已知条件和待求分式的结构，已知是x、y的倒数差，待求分式的分子分母均是x、y的一次式与xy的组合，无需单独求出x、y的值，可利用整体代入思想求解：先将已知条件通分变形得到x-y与xy的数量关系，再把待求分式整理成含(x-y)和xy的形式，整体代入后约分化简即可；也可将待求分式的分子分母同时除以不为0的xy，转化为含1/x、1/y的式子，代入已知值计算。
【解析】
已知$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=3$，左边通分得：
$\frac{y-x}{xy}=3$，
两边同乘$xy$（$x、y$均不为0，故$xy≠0$）得：$y-x=3xy$，即$x-y=-3xy$。
将待求分式整理变形：
分子$2x-14xy-2y=2(x-y)-14xy$，
分母$x-2xy-y=(x-y)-2xy$，
把$x-y=-3xy$代入得：
原式=$\frac{2×(-3xy)-14xy}{(-3xy)-2xy}=\frac{-6xy-14xy}{-3xy-2xy}=\frac{-20xy}{-5xy}$，
约去非零的$xy$，得原式=4。
【答案】D
【知识点】分式的基本性质；分式加减运算；整体代入求值
【点评】本题是分式运算的典型常考题，核心考查整体代入的数学思想，无需求解单个未知数的值，通过对已知条件和待求式进行适当变形，整体代入即可快速简化计算，熟练掌握该思路能提升同类代数式求值题的解题效率。
【难度系数】0.7
【解析】
已知$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=3$，左边通分得：
$\frac{y-x}{xy}=3$，
两边同乘$xy$（$x、y$均不为0，故$xy≠0$）得：$y-x=3xy$，即$x-y=-3xy$。
将待求分式整理变形：
分子$2x-14xy-2y=2(x-y)-14xy$，
分母$x-2xy-y=(x-y)-2xy$，
把$x-y=-3xy$代入得：
原式=$\frac{2×(-3xy)-14xy}{(-3xy)-2xy}=\frac{-6xy-14xy}{-3xy-2xy}=\frac{-20xy}{-5xy}$，
约去非零的$xy$，得原式=4。
【答案】D
【知识点】分式的基本性质；分式加减运算；整体代入求值
【点评】本题是分式运算的典型常考题，核心考查整体代入的数学思想，无需求解单个未知数的值，通过对已知条件和待求式进行适当变形，整体代入即可快速简化计算，熟练掌握该思路能提升同类代数式求值题的解题效率。
【难度系数】0.7
12. 计算：$\frac{1}{x-3} - \frac{6}{x^2 -9} - \frac{x-1}{6+2x}$
答案
原式$=\frac{2(x+3)-12-(x-1)(x-3)}{2(x+3)(x-3)}$
$=\frac{2x+6-12-x^2+4x-3}{2(x+3)(x-3)}$
$=\frac{-(x-3)^2}{2(x+3)(x-3)}=\frac{3-x}{2x+6}$.
$=\frac{2x+6-12-x^2+4x-3}{2(x+3)(x-3)}$
$=\frac{-(x-3)^2}{2(x+3)(x-3)}=\frac{3-x}{2x+6}$.
解析
【分析】
解决分式加减运算题，首先要对各分母因式分解，找到最简公分母，再将各分式通分为同分母分式，之后分母不变，分子相加减，最后把结果化简为最简分式。本题先对后两个分式的分母因式分解：$x^2-9$用平方差公式分解为$(x+3)(x-3)$，$6+2x$提公因式得$2(x+3)$，可确定最简公分母为$2(x+3)(x-3)$；通分时注意每一项分子要乘对应补充的因式，分子运算时注意减号后的多项式要整体变号，最后将分子因式分解后约分即可得到结果。
【解析】
先对各分母因式分解：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，$6+2x=2(x+3)$，可得最简公分母为$2(x+3)(x-3)$，对原式通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2(x+3)}{2(x+3)(x-3)} - \frac{12}{2(x+3)(x-3)} - \frac{(x-1)(x-3)}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2(x+3)-12-(x-1)(x-3)}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x+6-12-x^2+4x-3}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{-x^2+6x-9}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{-(x-3)^2}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{3-x}{2x+6}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3-x}{2x+6}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的常规题型，解题核心是先通过分母因式分解确定最简公分母，通分过程中要注意不要漏乘常数项，分子合并时要注意符号变化，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.6
解决分式加减运算题，首先要对各分母因式分解，找到最简公分母，再将各分式通分为同分母分式，之后分母不变，分子相加减，最后把结果化简为最简分式。本题先对后两个分式的分母因式分解：$x^2-9$用平方差公式分解为$(x+3)(x-3)$，$6+2x$提公因式得$2(x+3)$，可确定最简公分母为$2(x+3)(x-3)$；通分时注意每一项分子要乘对应补充的因式，分子运算时注意减号后的多项式要整体变号，最后将分子因式分解后约分即可得到结果。
【解析】
先对各分母因式分解：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，$6+2x=2(x+3)$，可得最简公分母为$2(x+3)(x-3)$，对原式通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2(x+3)}{2(x+3)(x-3)} - \frac{12}{2(x+3)(x-3)} - \frac{(x-1)(x-3)}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2(x+3)-12-(x-1)(x-3)}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x+6-12-x^2+4x-3}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{-x^2+6x-9}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{-(x-3)^2}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{3-x}{2x+6}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3-x}{2x+6}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的常规题型，解题核心是先通过分母因式分解确定最简公分母，通分过程中要注意不要漏乘常数项，分子合并时要注意符号变化，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.6
13.已知:$M=\frac{x+1}{2},N=\frac{2x}{x+1}$.
(1)当$x＞0$时,判断$M-N$与0的关系,并说明理由;
(2)设$y=\frac{2}{M}+N$.若$x$是整数,求$y$的正整数值.
(1)当$x＞0$时,判断$M-N$与0的关系,并说明理由;
(2)设$y=\frac{2}{M}+N$.若$x$是整数,求$y$的正整数值.
答案
(1)当$x＞0$时,$M-N≥0$.
理由:$M-N=\frac{x+1}{2}-\frac{2x}{x+1}=\frac{(x-1)^2}{2(x+1)}$.
$\because x＞0,\therefore (x-1)^2≥0,2(x+1)＞0$,
$\therefore \frac{(x-1)^2}{2(x+1)}≥0$.
$\therefore M-N≥0$.
(2)由题意,得 $y=\frac{2x+4}{x+1}=\frac{2x+2+2}{x+1}=2+\frac{2}{x+1}$.
$\because x,y$是整数,$\therefore \frac{2}{x+1}$是整数,
$\therefore x+1$可以取$\pm1,\pm2$.
当$x+1=1$,即$x=0$时,$y=2+\frac{2}{1}=4＞0$;
当$x+1=-1$,即$x=-2$时,$y=2+\frac{2}{-1}=0$(舍去);
当$x+1=2$,即$x=1$时,$y=2+\frac{2}{2}=3＞0$;
当$x+1=-2$,即$x=-3$时,$y=2+\frac{2}{-2}=1＞0$.
综上所述,当$x$为整数时,$y$的正整数值是4或3或1.
理由:$M-N=\frac{x+1}{2}-\frac{2x}{x+1}=\frac{(x-1)^2}{2(x+1)}$.
$\because x＞0,\therefore (x-1)^2≥0,2(x+1)＞0$,
$\therefore \frac{(x-1)^2}{2(x+1)}≥0$.
$\therefore M-N≥0$.
(2)由题意,得 $y=\frac{2x+4}{x+1}=\frac{2x+2+2}{x+1}=2+\frac{2}{x+1}$.
$\because x,y$是整数,$\therefore \frac{2}{x+1}$是整数,
$\therefore x+1$可以取$\pm1,\pm2$.
当$x+1=1$,即$x=0$时,$y=2+\frac{2}{1}=4＞0$;
当$x+1=-1$,即$x=-2$时,$y=2+\frac{2}{-1}=0$(舍去);
当$x+1=2$,即$x=1$时,$y=2+\frac{2}{2}=3＞0$;
当$x+1=-2$,即$x=-3$时,$y=2+\frac{2}{-2}=1＞0$.
综上所述,当$x$为整数时,$y$的正整数值是4或3或1.
解析
【分析】
(1)要判断M-N与0的大小关系，可采用作差法：先计算M-N的表达式，通过通分化简为最简分式，再结合x＞0的条件，分别判断分子、分母的正负性，即可得到M-N的符号，从而确定其与0的关系。
(2)先将M、N代入y的表达式，通过分式的加法运算化简y的表达式，将其拆分为“整数+分式”的形式；根据x、y均为整数的条件，可知分式的分母是分子的整数因数，列举出所有可能的分母取值，分别计算对应的y值，再筛选出正整数的结果即可。
【解析】
(1)当$x＞0$时，$M-N≥0$，理由如下：
计算$M-N$：
$M-N=\frac{x+1}{2}-\frac{2x}{x+1}=\frac{(x+1)^2 - 4x}{2(x+1)}=\frac{x^2 + 2x + 1 - 4x}{2(x+1)}=\frac{x^2 - 2x + 1}{2(x+1)}=\frac{(x-1)^2}{2(x+1)}$
∵$x＞0$，
∴$(x-1)^2≥0$（平方数的非负性），$2(x+1)＞2×(0+1)=2＞0$
∴$\frac{(x-1)^2}{2(x+1)}≥0$，即$M-N≥0$。
(2)由题意$y=\frac{2}{M}+N$，代入$M=\frac{x+1}{2}$，$N=\frac{2x}{x+1}$得：
$y=\frac{2}{\frac{x+1}{2}}+\frac{2x}{x+1}=\frac{4}{x+1}+\frac{2x}{x+1}=\frac{2x + 4}{x+1}$
将分子拆分变形：$\frac{2x + 4}{x+1}=\frac{2(x+1)+2}{x+1}=2+\frac{2}{x+1}$
∵x、y均为整数，
∴$\frac{2}{x+1}$必须是整数，即$x+1$是2的整数因数，因此$x+1$可取$\pm1、\pm2$：
①当$x+1=1$，即$x=0$时，$y=2+\frac{2}{1}=4$，是正整数，符合要求；
②当$x+1=-1$，即$x=-2$时，$y=2+\frac{2}{-1}=0$，不是正整数，舍去；
③当$x+1=2$，即$x=1$时，$y=2+\frac{2}{2}=3$，是正整数，符合要求；
④当$x+1=-2$，即$x=-3$时，$y=2+\frac{2}{-2}=1$，是正整数，符合要求。
综上，y的正整数值为4、3、1。
【答案】
(1)$M-N≥0$，理由见解析；
(2)y的正整数值为4或3或1。
【知识点】
1.分式的加减运算
2.作差法比较大小
3.分式整数解求值
【点评】
本题聚焦分式的运算应用，第一问的作差法是比较代数式大小的常用方法，需熟练掌握通分化简的技巧；第二问需要结合整数的性质列举所有可能的取值，同时注意按要求筛选结果，避免多解或漏解，对运算能力和分类讨论意识有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1)要判断M-N与0的大小关系，可采用作差法：先计算M-N的表达式，通过通分化简为最简分式，再结合x＞0的条件，分别判断分子、分母的正负性，即可得到M-N的符号，从而确定其与0的关系。
(2)先将M、N代入y的表达式，通过分式的加法运算化简y的表达式，将其拆分为“整数+分式”的形式；根据x、y均为整数的条件，可知分式的分母是分子的整数因数，列举出所有可能的分母取值，分别计算对应的y值，再筛选出正整数的结果即可。
【解析】
(1)当$x＞0$时，$M-N≥0$，理由如下：
计算$M-N$：
$M-N=\frac{x+1}{2}-\frac{2x}{x+1}=\frac{(x+1)^2 - 4x}{2(x+1)}=\frac{x^2 + 2x + 1 - 4x}{2(x+1)}=\frac{x^2 - 2x + 1}{2(x+1)}=\frac{(x-1)^2}{2(x+1)}$
∵$x＞0$，
∴$(x-1)^2≥0$（平方数的非负性），$2(x+1)＞2×(0+1)=2＞0$
∴$\frac{(x-1)^2}{2(x+1)}≥0$，即$M-N≥0$。
(2)由题意$y=\frac{2}{M}+N$，代入$M=\frac{x+1}{2}$，$N=\frac{2x}{x+1}$得：
$y=\frac{2}{\frac{x+1}{2}}+\frac{2x}{x+1}=\frac{4}{x+1}+\frac{2x}{x+1}=\frac{2x + 4}{x+1}$
将分子拆分变形：$\frac{2x + 4}{x+1}=\frac{2(x+1)+2}{x+1}=2+\frac{2}{x+1}$
∵x、y均为整数，
∴$\frac{2}{x+1}$必须是整数，即$x+1$是2的整数因数，因此$x+1$可取$\pm1、\pm2$：
①当$x+1=1$，即$x=0$时，$y=2+\frac{2}{1}=4$，是正整数，符合要求；
②当$x+1=-1$，即$x=-2$时，$y=2+\frac{2}{-1}=0$，不是正整数，舍去；
③当$x+1=2$，即$x=1$时，$y=2+\frac{2}{2}=3$，是正整数，符合要求；
④当$x+1=-2$，即$x=-3$时，$y=2+\frac{2}{-2}=1$，是正整数，符合要求。
综上，y的正整数值为4、3、1。
【答案】
(1)$M-N≥0$，理由见解析；
(2)y的正整数值为4或3或1。
【知识点】
1.分式的加减运算
2.作差法比较大小
3.分式整数解求值
【点评】
本题聚焦分式的运算应用，第一问的作差法是比较代数式大小的常用方法，需熟练掌握通分化简的技巧；第二问需要结合整数的性质列举所有可能的取值，同时注意按要求筛选结果，避免多解或漏解，对运算能力和分类讨论意识有一定要求。
【难度系数】
0.7
14. 定义:若两个分式的和为$n$($n$为正整数),则称这两个分式互为“$n$阶分式”.例如,分式$\frac{3}{x+1}$与$\frac{3x}{1+x}$互为“3阶分式”.
(1)分式$\frac{10x}{3+2x}$与________互为“5阶分式”;
(2)设正数$x,y$互为倒数,求证:分式$\frac{2x}{x+y^2}$与$\frac{2y}{y+x^2}$互为“2阶分式”;
(3)若分式$\frac{a}{a+4b^2}$与$\frac{2b}{a^2+2b}$互为“1阶分式”(其中$a,b$为正数),直接写出$ab$的值.
(1)分式$\frac{10x}{3+2x}$与________互为“5阶分式”;
(2)设正数$x,y$互为倒数,求证:分式$\frac{2x}{x+y^2}$与$\frac{2y}{y+x^2}$互为“2阶分式”;
(3)若分式$\frac{a}{a+4b^2}$与$\frac{2b}{a^2+2b}$互为“1阶分式”(其中$a,b$为正数),直接写出$ab$的值.
答案
(1) $\frac{15}{3+2x}$
(2)证明:由题意,得$xy=1$,则$y=\frac{1}{x}$,
把$y=\frac{1}{x}$代入$\frac{2x}{x+y^2}+\frac{2y}{y+x^2}$,得
原式$=\frac{2x}{x+\frac{1}{x^2}}+\frac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{x}+x^2}=\frac{2x^3}{x^3+1}+\frac{2}{x^3+1}=2$,
$\therefore \frac{2x}{x+y^2}$与$\frac{2y}{y+x^2}$互为“2阶分式”.
(3) $ab$的值为$\frac{1}{2}$.
(2)证明:由题意,得$xy=1$,则$y=\frac{1}{x}$,
把$y=\frac{1}{x}$代入$\frac{2x}{x+y^2}+\frac{2y}{y+x^2}$,得
原式$=\frac{2x}{x+\frac{1}{x^2}}+\frac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{x}+x^2}=\frac{2x^3}{x^3+1}+\frac{2}{x^3+1}=2$,
$\therefore \frac{2x}{x+y^2}$与$\frac{2y}{y+x^2}$互为“2阶分式”.
(3) $ab$的值为$\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
(1)根据“n阶分式”的定义，两个分式的和为n，因此所求分式等于5减去已知分式，通过通分化简即可得到结果；
(2)要证明两个分式互为“2阶分式”，只需证明两个分式的和为2即可。首先根据x,y互为倒数得到xy=1，将$y=\frac{1}{x}$代入两个分式的和中，按照分式加减的法则化简，验证结果为2即可；
(3)根据“1阶分式”的定义可得两个分式的和为1，列出等式后去分母转化为整式方程，整理化简，结合a,b为正数的条件即可求出ab的值。
【解析】
(1)设所求分式为A，由题意得：
$A + \frac{10x}{3+2x} = 5$
$\therefore A = 5 - \frac{10x}{3+2x} = \frac{5(3+2x)}{3+2x} - \frac{10x}{3+2x} = \frac{15 + 10x - 10x}{3+2x} = \frac{15}{3+2x}$
(2)证明：
∵正数x,y互为倒数，
∴$xy=1$，即$y=\frac{1}{x}$，
将$y=\frac{1}{x}$代入两个分式的和，得：
$\frac{2x}{x+y^2} + \frac{2y}{y+x^2} = \frac{2x}{x+\frac{1}{x^2}} + \frac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{x} + x^2}$
化简得：
$=\frac{2x^3}{x^3 + 1} + \frac{2}{x^3 + 1} = \frac{2x^3 + 2}{x^3 +1} = \frac{2(x^3 +1)}{x^3 +1} = 2$
∴分式$\frac{2x}{x+y^2}$与$\frac{2y}{y+x^2}$互为“2阶分式”。
(3)由题意得：$\frac{a}{a+4b^2} + \frac{2b}{a^2 + 2b} = 1$，
去分母，两边同乘$(a+4b^2)(a^2 + 2b)$得：
$a(a^2 + 2b) + 2b(a + 4b^2) = (a + 4b^2)(a^2 + 2b)$
展开左右两边：
左边：$a^3 + 2ab + 2ab + 8b^3 = a^3 + 4ab + 8b^3$
右边：$a^3 + 2ab + 4a^2b^2 + 8b^3$
移项合并同类项：
$a^3 +4ab +8b^3 - a^3 -2ab -4a^2b^2 -8b^3 = 0$
整理得：$2ab - 4a^2b^2 = 0$，即$2ab(1 - 2ab) = 0$
∵a,b为正数，
∴$2ab ≠ 0$，
∴$1 - 2ab = 0$，解得$ab = \frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{15}{3+2x}$；(2) 证明见解析；(3) $\frac{1}{2}$
【知识点】
分式的加减运算，倒数的性质，分式化简求值
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的核心是准确理解“n阶分式”的定义，将新定义转化为熟悉的分式加减运算问题，计算过程中要注意通分、约分的正确性，第三小问需要结合正数的条件排除无效解，重点考查知识迁移应用能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
(1)根据“n阶分式”的定义，两个分式的和为n，因此所求分式等于5减去已知分式，通过通分化简即可得到结果；
(2)要证明两个分式互为“2阶分式”，只需证明两个分式的和为2即可。首先根据x,y互为倒数得到xy=1，将$y=\frac{1}{x}$代入两个分式的和中，按照分式加减的法则化简，验证结果为2即可；
(3)根据“1阶分式”的定义可得两个分式的和为1，列出等式后去分母转化为整式方程，整理化简，结合a,b为正数的条件即可求出ab的值。
【解析】
(1)设所求分式为A，由题意得：
$A + \frac{10x}{3+2x} = 5$
$\therefore A = 5 - \frac{10x}{3+2x} = \frac{5(3+2x)}{3+2x} - \frac{10x}{3+2x} = \frac{15 + 10x - 10x}{3+2x} = \frac{15}{3+2x}$
(2)证明：
∵正数x,y互为倒数，
∴$xy=1$，即$y=\frac{1}{x}$，
将$y=\frac{1}{x}$代入两个分式的和，得：
$\frac{2x}{x+y^2} + \frac{2y}{y+x^2} = \frac{2x}{x+\frac{1}{x^2}} + \frac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{x} + x^2}$
化简得：
$=\frac{2x^3}{x^3 + 1} + \frac{2}{x^3 + 1} = \frac{2x^3 + 2}{x^3 +1} = \frac{2(x^3 +1)}{x^3 +1} = 2$
∴分式$\frac{2x}{x+y^2}$与$\frac{2y}{y+x^2}$互为“2阶分式”。
(3)由题意得：$\frac{a}{a+4b^2} + \frac{2b}{a^2 + 2b} = 1$，
去分母，两边同乘$(a+4b^2)(a^2 + 2b)$得：
$a(a^2 + 2b) + 2b(a + 4b^2) = (a + 4b^2)(a^2 + 2b)$
展开左右两边：
左边：$a^3 + 2ab + 2ab + 8b^3 = a^3 + 4ab + 8b^3$
右边：$a^3 + 2ab + 4a^2b^2 + 8b^3$
移项合并同类项：
$a^3 +4ab +8b^3 - a^3 -2ab -4a^2b^2 -8b^3 = 0$
整理得：$2ab - 4a^2b^2 = 0$，即$2ab(1 - 2ab) = 0$
∵a,b为正数，
∴$2ab ≠ 0$，
∴$1 - 2ab = 0$，解得$ab = \frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{15}{3+2x}$；(2) 证明见解析；(3) $\frac{1}{2}$
【知识点】
分式的加减运算，倒数的性质，分式化简求值
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的核心是准确理解“n阶分式”的定义，将新定义转化为熟悉的分式加减运算问题，计算过程中要注意通分、约分的正确性，第三小问需要结合正数的条件排除无效解，重点考查知识迁移应用能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
