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8. 如果$m=\frac{y}{x}-\frac{x}{y},n=\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$，那么$m^2 -n^2$等于（
A.4
B.$\frac{2y^2}{x^2}$
C.0
D.$-4$
D
）A.4
B.$\frac{2y^2}{x^2}$
C.0
D.$-4$
答案
8.D
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式$m^2 - n^2$的结构，符合平方差公式的形式，优先用平方差公式因式分解简化计算，避免直接展开两个完全平方的繁琐。第一步先利用平方差公式将$m^2 - n^2$分解为$(m-n)(m+n)$，第二步分别代入$m$、$n$的表达式计算$m-n$和$m+n$的值，第三步将两个结果相乘化简即可得到最终答案。
【解析】
首先利用平方差公式对所求式子变形：
$m^2 - n^2=(m-n)(m+n)$
已知$m=\frac{y}{x}-\frac{x}{y}$，$n=\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$，分别计算$m-n$和$m+n$：
1. 计算$m-n$：
$m-n=(\frac{y}{x}-\frac{x}{y})-(\frac{y}{x}+\frac{x}{y})=\frac{y}{x}-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=-\frac{2x}{y}$
2. 计算$m+n$：
$m+n=(\frac{y}{x}-\frac{x}{y})+(\frac{y}{x}+\frac{x}{y})=\frac{y}{x}-\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{2y}{x}$
将两个结果相乘：
$(m-n)(m+n)=(-\frac{2x}{y})×\frac{2y}{x}=-4$
【答案】
D
【知识点】
平方差公式、分式的混合运算
【点评】
本题解题的关键是灵活运用平方差公式对所求式子先变形，能大幅降低计算量，计算分式加减时要注意去括号的符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察所求代数式$m^2 - n^2$的结构，符合平方差公式的形式，优先用平方差公式因式分解简化计算，避免直接展开两个完全平方的繁琐。第一步先利用平方差公式将$m^2 - n^2$分解为$(m-n)(m+n)$，第二步分别代入$m$、$n$的表达式计算$m-n$和$m+n$的值，第三步将两个结果相乘化简即可得到最终答案。
【解析】
首先利用平方差公式对所求式子变形：
$m^2 - n^2=(m-n)(m+n)$
已知$m=\frac{y}{x}-\frac{x}{y}$，$n=\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$，分别计算$m-n$和$m+n$：
1. 计算$m-n$：
$m-n=(\frac{y}{x}-\frac{x}{y})-(\frac{y}{x}+\frac{x}{y})=\frac{y}{x}-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=-\frac{2x}{y}$
2. 计算$m+n$：
$m+n=(\frac{y}{x}-\frac{x}{y})+(\frac{y}{x}+\frac{x}{y})=\frac{y}{x}-\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{2y}{x}$
将两个结果相乘：
$(m-n)(m+n)=(-\frac{2x}{y})×\frac{2y}{x}=-4$
【答案】
D
【知识点】
平方差公式、分式的混合运算
【点评】
本题解题的关键是灵活运用平方差公式对所求式子先变形，能大幅降低计算量，计算分式加减时要注意去括号的符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
9. 试卷上一个正确的式子 $(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b})÷★=\frac{2}{a+b}$ 被小颖同学不小心滴上墨汁. 被墨汁遮住部分的代数式为 （
A.$\frac{a}{a-b}$
B.$\frac{a-b}{a}$
C.$\frac{a}{a+b}$
D.$\frac{4a}{a^2 - b^2}$
A
）A.$\frac{a}{a-b}$
B.$\frac{a-b}{a}$
C.$\frac{a}{a+b}$
D.$\frac{4a}{a^2 - b^2}$
答案
9.A
解析
【分析】
首先根据除法运算中“除数=被除数÷商”的关系，确定被墨汁遮住的部分★等于括号内的分式和除以等号右侧的结果。解题时第一步先计算括号内的分式加法，通过通分化简得到分子分母的最简形式，第二步将分式除法转化为乘法，约分后即可得到结果。
【解析】
根据题意可得，被遮住的代数式为：
$★=( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b} )÷\frac{2}{a+b}$
第一步：计算括号内的分式加法，通分（最简公分母为$(a+b)(a-b)$）：
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}=\frac{a-b}{(a+b)(a-b)}+\frac{a+b}{(a+b)(a-b)}=\frac{(a-b)+(a+b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{2a}{(a+b)(a-b)}$
第二步：计算分式除法，转化为乘以倒数：
$★=\frac{2a}{(a+b)(a-b)}×\frac{a+b}{2}$
第三步：约分，约去分子分母的公因式2和$(a+b)$，得：
$★=\frac{a}{a-b}$
【答案】
A
【知识点】
分式的混合运算；分式的加减运算；分式的乘除运算
【点评】
本题是分式运算的基础常考题，解题核心是利用除法各部分的关系列出所求代数式，再严格按照分式运算的规则逐步化简，计算时注意通分、约分的正确性即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先根据除法运算中“除数=被除数÷商”的关系，确定被墨汁遮住的部分★等于括号内的分式和除以等号右侧的结果。解题时第一步先计算括号内的分式加法，通过通分化简得到分子分母的最简形式，第二步将分式除法转化为乘法，约分后即可得到结果。
【解析】
根据题意可得，被遮住的代数式为：
$★=( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b} )÷\frac{2}{a+b}$
第一步：计算括号内的分式加法，通分（最简公分母为$(a+b)(a-b)$）：
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}=\frac{a-b}{(a+b)(a-b)}+\frac{a+b}{(a+b)(a-b)}=\frac{(a-b)+(a+b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{2a}{(a+b)(a-b)}$
第二步：计算分式除法，转化为乘以倒数：
$★=\frac{2a}{(a+b)(a-b)}×\frac{a+b}{2}$
第三步：约分，约去分子分母的公因式2和$(a+b)$，得：
$★=\frac{a}{a-b}$
【答案】
A
【知识点】
分式的混合运算；分式的加减运算；分式的乘除运算
【点评】
本题是分式运算的基础常考题，解题核心是利用除法各部分的关系列出所求代数式，再严格按照分式运算的规则逐步化简，计算时注意通分、约分的正确性即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
10.如果$a - 3b = 0$，那么$(a - \frac{2ab - b^2}{a}) ÷ \frac{a^2 - b^2}{a}$的结果是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{4}$
D.1
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{4}$
D.1
答案
10.A
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先根据分式混合运算规则，先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，通过因式分解、约分把原式化简为最简形式，避免直接代入复杂原式计算出错；第二步根据已知条件$a-3b=0$得到$a$和$b$的数量关系，代入最简式即可算出结果。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&(a - \frac{2ab - b^2}{a}) ÷ \frac{a^2 - b^2}{a}\\=&(\frac{a^2}{a} - \frac{2ab - b^2}{a}) × \frac{a}{a^2 - b^2} \quad \mathrm{（括号内通分，除法转化为乘法）}\\=&\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a} × \frac{a}{(a+b)(a-b)} \quad \mathrm{（分子合并，分母用平方差公式因式分解）}\\=&\frac{(a-b)^2}{a} × \frac{a}{(a+b)(a-b)} \quad \mathrm{（分子用完全平方公式因式分解）}\\=&\frac{a-b}{a+b} \quad \mathrm{（约分化为最简形式）}\end{aligned}$
由已知$a-3b=0$可得$a=3b$，结合分式有意义的条件可知$b≠0$，代入最简式得：
$\frac{a-b}{a+b}=\frac{3b - b}{3b + b}=\frac{2b}{4b}=\frac{1}{2}$
【答案】
A
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题核心考查分式的化简求值，先化简再代入的解题思路既能简化计算步骤，也能降低运算出错的概率，熟练掌握分式运算规则、完全平方公式和平方差公式是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先根据分式混合运算规则，先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，通过因式分解、约分把原式化简为最简形式，避免直接代入复杂原式计算出错；第二步根据已知条件$a-3b=0$得到$a$和$b$的数量关系，代入最简式即可算出结果。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&(a - \frac{2ab - b^2}{a}) ÷ \frac{a^2 - b^2}{a}\\=&(\frac{a^2}{a} - \frac{2ab - b^2}{a}) × \frac{a}{a^2 - b^2} \quad \mathrm{（括号内通分，除法转化为乘法）}\\=&\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a} × \frac{a}{(a+b)(a-b)} \quad \mathrm{（分子合并，分母用平方差公式因式分解）}\\=&\frac{(a-b)^2}{a} × \frac{a}{(a+b)(a-b)} \quad \mathrm{（分子用完全平方公式因式分解）}\\=&\frac{a-b}{a+b} \quad \mathrm{（约分化为最简形式）}\end{aligned}$
由已知$a-3b=0$可得$a=3b$，结合分式有意义的条件可知$b≠0$，代入最简式得：
$\frac{a-b}{a+b}=\frac{3b - b}{3b + b}=\frac{2b}{4b}=\frac{1}{2}$
【答案】
A
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题核心考查分式的化简求值，先化简再代入的解题思路既能简化计算步骤，也能降低运算出错的概率，熟练掌握分式运算规则、完全平方公式和平方差公式是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
11. 已知 $ P = \frac{6a + 6}{a^2 - 2a + 1} $，$ Q = \frac{2}{a - 1} $，计算 $ P ÷ (1 + Q) = $
$\frac{6}{a-1}$
；若 $ P ÷ (1 + Q) $ 的值为正整数，则满足条件的所有整数 $ a $ 的和为 16
。答案
11.$\frac{6}{a-1}$；16
解析
【分析】
本题分为两步求解：第一步计算分式混合运算，按照运算顺序先算括号内的加法，再将除法转化为乘法，结合因式分解约分即可得到化简结果；第二步根据结果为正整数，先确定分母的取值范围，同时结合分式有意义的条件排除不符合的整数a，最后求和即可。
【解析】
1. 计算$P ÷ (1 + Q)$：
首先化简括号内的$1+Q$：
$1+Q=1+\frac{2}{a-1}=\frac{a-1}{a-1}+\frac{2}{a-1}=\frac{a+1}{a-1}$
对$P$因式分解：$P=\frac{6a+6}{a^2-2a+1}=\frac{6(a+1)}{(a-1)^2}$
将除法转化为乘法计算：
$P ÷ (1 + Q)=\frac{6(a+1)}{(a-1)^2} ÷ \frac{a+1}{a-1}=\frac{6(a+1)}{(a-1)^2} × \frac{a-1}{a+1}$
约分（注意$a+1≠0$，$a-1≠0$，即$a≠-1$且$a≠1$）后得：$\frac{6}{a-1}$
2. 求满足条件的整数$a$的和：
已知$\frac{6}{a-1}$是正整数，说明$a-1$是6的正约数，6的正约数为1、2、3、6，因此：
当$a-1=1$时，$a=2$；
当$a-1=2$时，$a=3$；
当$a-1=3$时，$a=4$；
当$a-1=6$时，$a=7$；
上述$a$的值均满足$a≠-1$且$a≠1$，符合要求。
求和得：$2+3+4+7=16$
【答案】
$\frac{6}{a-1}$；16
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题考查分式的化简求值和整数解的求解，解题时要严格遵循分式运算顺序，同时注意不要忽略分式有意义的隐含条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
本题分为两步求解：第一步计算分式混合运算，按照运算顺序先算括号内的加法，再将除法转化为乘法，结合因式分解约分即可得到化简结果；第二步根据结果为正整数，先确定分母的取值范围，同时结合分式有意义的条件排除不符合的整数a，最后求和即可。
【解析】
1. 计算$P ÷ (1 + Q)$：
首先化简括号内的$1+Q$：
$1+Q=1+\frac{2}{a-1}=\frac{a-1}{a-1}+\frac{2}{a-1}=\frac{a+1}{a-1}$
对$P$因式分解：$P=\frac{6a+6}{a^2-2a+1}=\frac{6(a+1)}{(a-1)^2}$
将除法转化为乘法计算：
$P ÷ (1 + Q)=\frac{6(a+1)}{(a-1)^2} ÷ \frac{a+1}{a-1}=\frac{6(a+1)}{(a-1)^2} × \frac{a-1}{a+1}$
约分（注意$a+1≠0$，$a-1≠0$，即$a≠-1$且$a≠1$）后得：$\frac{6}{a-1}$
2. 求满足条件的整数$a$的和：
已知$\frac{6}{a-1}$是正整数，说明$a-1$是6的正约数，6的正约数为1、2、3、6，因此：
当$a-1=1$时，$a=2$；
当$a-1=2$时，$a=3$；
当$a-1=3$时，$a=4$；
当$a-1=6$时，$a=7$；
上述$a$的值均满足$a≠-1$且$a≠1$，符合要求。
求和得：$2+3+4+7=16$
【答案】
$\frac{6}{a-1}$；16
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题考查分式的化简求值和整数解的求解，解题时要严格遵循分式运算顺序，同时注意不要忽略分式有意义的隐含条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
12. 甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800 kg，乙每次用去600元，设两次购买的面粉单价分别为a元/kg和b元/kg(a,b是正数，且a≠b)，那么甲所购面粉的平均单价是
$\frac{a+b}{2}$
元/kg，乙所购面粉的平均单价是$\frac{2ab}{a+b}$
元/kg；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
元/kg.(结果用含a,b的代数式表示，需化为最简形式)答案
12.$\frac{a+b}{2}$；$\frac{2ab}{a+b}$；$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
解析
【分析】
要计算平均单价，需牢记公式：平均单价=购买总费用÷购买总质量。①计算甲的平均单价：先算出甲两次购买的总质量和总费用，代入公式化简即可；②计算乙的平均单价：先算出乙两次购买的总费用和总质量，代入公式进行分式除法运算化简；③计算单价差值：用较大的平均单价减去较小的，通过通分、因式分解将结果化为最简形式即可。
【解析】
1. 计算甲所购面粉的平均单价：
甲两次购买的总质量为 $800 + 800 = 1600\ \mathrm{kg}$，
两次购买的总费用为 $800a + 800b$ 元，
则甲的平均单价为：$\frac{800a + 800b}{1600} = \frac{800(a+b)}{1600} = \frac{a+b}{2}$ 元/kg。
2. 计算乙所购面粉的平均单价：
乙两次购买的总费用为 $600 + 600 = 1200$ 元，
两次购买的总质量为 $\frac{600}{a} + \frac{600}{b} = \frac{600b + 600a}{ab} = \frac{600(a+b)}{ab}\ \mathrm{kg}$，
则乙的平均单价为：$1200 ÷ \frac{600(a+b)}{ab} = 1200 × \frac{ab}{600(a+b)} = \frac{2ab}{a+b}$ 元/kg。
3. 计算两个平均单价的差值：
用作差法计算 $\frac{a+b}{2} - \frac{2ab}{a+b}$，通分得：
$\begin{aligned}\frac{a+b}{2} - \frac{2ab}{a+b}&=\frac{(a+b)^2 - 4ab}{2(a+b)}\\&=\frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{2(a+b)}\\&=\frac{a^2 - 2ab + b^2}{2(a+b)}\\&=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\end{aligned}$
因为 $a ≠ b$，所以 $(a-b)^2＞0$，即甲的平均单价比乙高，差值为 $\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$ 元/kg。
【答案】
$\frac{a+b}{2}$；$\frac{2ab}{a+b}$；$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
【知识点】
分式的混合运算；平均单价计算；作差法比较大小
【点评】
本题结合生活采购场景考查分式的化简运算，解题核心是明确平均单价的计算逻辑，熟练掌握分式通分、完全平方公式因式分解等化简方法，最终结果需注意化为最简分式。
【难度系数】
0.7
要计算平均单价，需牢记公式：平均单价=购买总费用÷购买总质量。①计算甲的平均单价：先算出甲两次购买的总质量和总费用，代入公式化简即可；②计算乙的平均单价：先算出乙两次购买的总费用和总质量，代入公式进行分式除法运算化简；③计算单价差值：用较大的平均单价减去较小的，通过通分、因式分解将结果化为最简形式即可。
【解析】
1. 计算甲所购面粉的平均单价：
甲两次购买的总质量为 $800 + 800 = 1600\ \mathrm{kg}$，
两次购买的总费用为 $800a + 800b$ 元，
则甲的平均单价为：$\frac{800a + 800b}{1600} = \frac{800(a+b)}{1600} = \frac{a+b}{2}$ 元/kg。
2. 计算乙所购面粉的平均单价：
乙两次购买的总费用为 $600 + 600 = 1200$ 元，
两次购买的总质量为 $\frac{600}{a} + \frac{600}{b} = \frac{600b + 600a}{ab} = \frac{600(a+b)}{ab}\ \mathrm{kg}$，
则乙的平均单价为：$1200 ÷ \frac{600(a+b)}{ab} = 1200 × \frac{ab}{600(a+b)} = \frac{2ab}{a+b}$ 元/kg。
3. 计算两个平均单价的差值：
用作差法计算 $\frac{a+b}{2} - \frac{2ab}{a+b}$，通分得：
$\begin{aligned}\frac{a+b}{2} - \frac{2ab}{a+b}&=\frac{(a+b)^2 - 4ab}{2(a+b)}\\&=\frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{2(a+b)}\\&=\frac{a^2 - 2ab + b^2}{2(a+b)}\\&=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\end{aligned}$
因为 $a ≠ b$，所以 $(a-b)^2＞0$，即甲的平均单价比乙高，差值为 $\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$ 元/kg。
【答案】
$\frac{a+b}{2}$；$\frac{2ab}{a+b}$；$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
【知识点】
分式的混合运算；平均单价计算；作差法比较大小
【点评】
本题结合生活采购场景考查分式的化简运算，解题核心是明确平均单价的计算逻辑，熟练掌握分式通分、完全平方公式因式分解等化简方法，最终结果需注意化为最简分式。
【难度系数】
0.7
13. 先化简，再求值：$( \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+3} ) · \dfrac{x^2 -9}{3}$，其中$x$为整数且满足不等式组$\begin{cases} 2 - x ＜ 1, \\ 2x -1 ≤ 3. \end{cases}$
答案
13.解:原式$=\frac{x+3-x}{x(x+3)}·\frac{(x+3)(x-3)}{3}$
$=\frac{3}{x(x+3)}·\frac{(x+3)(x-3)}{3}=\frac{x-3}{x}.$
解不等式组$\begin{cases} 2-x＜1, \\ 2x-1≤3, \end{cases}$得$1＜x≤2.$
又$\because x$为整数,$\therefore x=2.$
$\therefore$原式$=\frac{2-3}{2}=-\frac{1}{2}.$
$=\frac{3}{x(x+3)}·\frac{(x+3)(x-3)}{3}=\frac{x-3}{x}.$
解不等式组$\begin{cases} 2-x＜1, \\ 2x-1≤3, \end{cases}$得$1＜x≤2.$
又$\because x$为整数,$\therefore x=2.$
$\therefore$原式$=\frac{2-3}{2}=-\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
解题可分为两步完成：第一步化简分式，先对括号内的异分母分式通分计算减法，再将第二个因式的分子因式分解，通过约分化为最简分式，化简过程要注意保证原分式有意义；第二步求解不等式组，结合x是整数的要求确定符合条件的x的取值，最后将x代入最简分式计算结果即可。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x+3 - x}{x(x+3)} · \frac{(x+3)(x-3)}{3}\\&=\frac{3}{x(x+3)} · \frac{(x+3)(x-3)}{3}\\&=\frac{x-3}{x}\end{aligned}$
再解不等式组$\begin{cases}2 - x ＜ 1 \\2x - 1 ≤ 3 \end{cases}$：
解不等式$2 - x ＜ 1$，移项得$-x ＜ -1$，解得$x ＞ 1$；
解不等式$2x - 1 ≤ 3$，移项得$2x ≤ 4$，解得$x ≤ 2$；
所以不等式组的解集为$1 ＜ x ≤ 2$。
因为x为整数，且原分式分母不为0（$x≠0,x≠-3$），所以x=2。
将x=2代入$\frac{x-3}{x}$得：
原式$=\frac{2-3}{2}=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式混合运算；一元一次不等式组的解法；分式化简求值
【点评】
本题是分式运算与不等式组的综合基础题，既考查分式通分、约分、因式分解等运算基本功，也考查不等式组的求解能力，解题时需注意代入的x值必须使原分式所有分母不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.8
解题可分为两步完成：第一步化简分式，先对括号内的异分母分式通分计算减法，再将第二个因式的分子因式分解，通过约分化为最简分式，化简过程要注意保证原分式有意义；第二步求解不等式组，结合x是整数的要求确定符合条件的x的取值，最后将x代入最简分式计算结果即可。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x+3 - x}{x(x+3)} · \frac{(x+3)(x-3)}{3}\\&=\frac{3}{x(x+3)} · \frac{(x+3)(x-3)}{3}\\&=\frac{x-3}{x}\end{aligned}$
再解不等式组$\begin{cases}2 - x ＜ 1 \\2x - 1 ≤ 3 \end{cases}$：
解不等式$2 - x ＜ 1$，移项得$-x ＜ -1$，解得$x ＞ 1$；
解不等式$2x - 1 ≤ 3$，移项得$2x ≤ 4$，解得$x ≤ 2$；
所以不等式组的解集为$1 ＜ x ≤ 2$。
因为x为整数，且原分式分母不为0（$x≠0,x≠-3$），所以x=2。
将x=2代入$\frac{x-3}{x}$得：
原式$=\frac{2-3}{2}=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式混合运算；一元一次不等式组的解法；分式化简求值
【点评】
本题是分式运算与不等式组的综合基础题，既考查分式通分、约分、因式分解等运算基本功，也考查不等式组的求解能力，解题时需注意代入的x值必须使原分式所有分母不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.8
14.阅读材料：
运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$；
立方差公式：$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$。
根据材料和已学知识解答下列问题：
(1)因式分解：$a^3 - 8$；
(2)先化简，再求值：$( \frac{3x}{x^2 - 2x} - \frac{x^2 + 2x + 4}{x^3 - 8} ) ÷ \frac{2}{x^2 - 4}$，其中 $x = 3$。
运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$；
立方差公式：$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$。
根据材料和已学知识解答下列问题：
(1)因式分解：$a^3 - 8$；
(2)先化简，再求值：$( \frac{3x}{x^2 - 2x} - \frac{x^2 + 2x + 4}{x^3 - 8} ) ÷ \frac{2}{x^2 - 4}$，其中 $x = 3$。
答案
14.解:(1)原式$=(a-2)(a^2+2a+4).$
(2)原式$=[\frac{3x}{x(x-2)}-\frac{x^2+2x+4}{(x-2)(x^2+2x+4)}]·\frac{(x+2)(x-2)}{2}$
$=(\frac{3}{x-2}-\frac{1}{x-2})·\frac{(x+2)(x-2)}{2}$
$=\frac{2}{x-2}·\frac{(x+2)(x-2)}{2}=x+2.$
当$x=3$时,原式$=5.$
(2)原式$=[\frac{3x}{x(x-2)}-\frac{x^2+2x+4}{(x-2)(x^2+2x+4)}]·\frac{(x+2)(x-2)}{2}$
$=(\frac{3}{x-2}-\frac{1}{x-2})·\frac{(x+2)(x-2)}{2}$
$=\frac{2}{x-2}·\frac{(x+2)(x-2)}{2}=x+2.$
当$x=3$时,原式$=5.$
解析
【分析】
(1) 观察式子$a^3-8$，发现8可写成$2^3$，原式符合立方差公式的结构特征，直接套用立方差公式，将公式中的$x$换为$a$、$y$换为2即可完成因式分解。
(2) 分式化简求值类题目，第一步先对所有分式的分子、分母因式分解：$x^2-2x$提取公因式得$x(x-2)$，$x^3-8$套用立方差公式分解为$(x-2)(x^2+2x+4)$，$x^2-4$套用平方差公式分解为$(x+2)(x-2)$；再将除法转化为乘法，先对括号内的分式约分后做减法，最后整体约分得到最简结果，代入$x=3$计算即可。
【解析】
(1) 根据立方差公式$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$，代入$x=a$，$y=2$：
原式$=a^3 - 2^3 = (a-2)(a^2+2a+4)$
(2) 先因式分解各部分，再按分式运算规则计算：
原式$=[ \frac{3x}{x(x-2)} - \frac{x^2 + 2x + 4}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} ] · \frac{(x + 2)(x - 2)}{2}$
对括号内分式约分：
$=( \frac{3}{x-2} - \frac{1}{x-2} ) · \frac{(x + 2)(x - 2)}{2}$
计算括号内减法：
$=\frac{2}{x-2} · \frac{(x + 2)(x - 2)}{2}$
约去公因式得最简式：
$=x+2$
将$x=3$代入最简式，得原式$=3+2=5$
【答案】
(1) $(a-2)(a^2+2a+4)$
(2) 化简结果为$x+2$，求值结果为$5$
【知识点】
1. 公式法因式分解
2. 分式混合运算
3. 化简求值
【点评】
本题结合新给出的立方差公式，考查因式分解与分式运算的综合应用，解题核心是准确对多项式因式分解，再严格按照分式运算规则逐步约分计算，注意运算顺序，避免因式分解错误导致后续计算出错。
【难度系数】
0.7
(1) 观察式子$a^3-8$，发现8可写成$2^3$，原式符合立方差公式的结构特征，直接套用立方差公式，将公式中的$x$换为$a$、$y$换为2即可完成因式分解。
(2) 分式化简求值类题目，第一步先对所有分式的分子、分母因式分解：$x^2-2x$提取公因式得$x(x-2)$，$x^3-8$套用立方差公式分解为$(x-2)(x^2+2x+4)$，$x^2-4$套用平方差公式分解为$(x+2)(x-2)$；再将除法转化为乘法，先对括号内的分式约分后做减法，最后整体约分得到最简结果，代入$x=3$计算即可。
【解析】
(1) 根据立方差公式$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$，代入$x=a$，$y=2$：
原式$=a^3 - 2^3 = (a-2)(a^2+2a+4)$
(2) 先因式分解各部分，再按分式运算规则计算：
原式$=[ \frac{3x}{x(x-2)} - \frac{x^2 + 2x + 4}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} ] · \frac{(x + 2)(x - 2)}{2}$
对括号内分式约分：
$=( \frac{3}{x-2} - \frac{1}{x-2} ) · \frac{(x + 2)(x - 2)}{2}$
计算括号内减法：
$=\frac{2}{x-2} · \frac{(x + 2)(x - 2)}{2}$
约去公因式得最简式：
$=x+2$
将$x=3$代入最简式，得原式$=3+2=5$
【答案】
(1) $(a-2)(a^2+2a+4)$
(2) 化简结果为$x+2$，求值结果为$5$
【知识点】
1. 公式法因式分解
2. 分式混合运算
3. 化简求值
【点评】
本题结合新给出的立方差公式，考查因式分解与分式运算的综合应用，解题核心是准确对多项式因式分解，再严格按照分式运算规则逐步约分计算，注意运算顺序，避免因式分解错误导致后续计算出错。
【难度系数】
0.7
