1.如图,在$△ ABC$中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若$△ AFC$是等边三角形,则$∠ B$的度数为().

A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$

1.B

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到EF是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得FB=FC，由等边对等角可推出∠B=∠FCB；再结合△AFC是等边三角形的条件，可知等边三角形的内角∠AFC=60°；最后观察角的位置，∠AFC是△BFC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合∠B和∠FCB相等的关系，即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵EF是BC的垂直平分线，
∴FB=FC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠B=∠FCB（等边对等角）。
∵△AFC是等边三角形，
∴∠AFC=60°（等边三角形的每个内角都为60°）。
又
∵∠AFC是△BFC的外角，
∴∠AFC=∠B+∠FCB（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
将∠FCB替换为∠B，可得∠AFC=2∠B，
∴2∠B=60°，
解得∠B=30°。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握各基本图形的性质，找到角之间的等量关系，代入计算即可求解。
【难度系数】
0.7

2.如图，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可，衣架杆OA=OB=18 cm.若衣架收拢时，∠AOB=60°，则此时A，B之间的距离为cm.

2.18

【分析】
解题时首先观察已知条件：OA=OB，说明△AOB是等腰三角形，又已知夹角∠AOB=60°，结合等边三角形的判定定理，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，因此△AOB为等边三角形，根据等边三角形三边相等的性质，即可直接得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ OA=OB=18 cm，
∴ △AOB是等腰三角形，
又
∵ ∠AOB=60°，
∴ △AOB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AB=OA=18 cm。
【答案】
18
【知识点】
等腰三角形定义；等边三角形判定；等边三角形性质
【点评】
本题是基础几何应用题，核心是利用已知的边相等和角的度数判定等边三角形，熟练掌握等边三角形的判定规则是解题的关键，这类题型是三角形性质部分的常见基础考法。
【难度系数】
0.9

3.如图，已知$△ ABC$是边长为3的等边三角形，E是边AC上一点，再以BE为边作等边三角形BEF，连接CF，则$∠ FCB$的大小等于。

3.60°

【分析】
要确定∠FCB的度数，可通过全等三角形将其与已知等边三角形的内角建立联系。首先回忆等边三角形的性质：三边相等，每个内角均为60°。观察图形，△ABC和△BEF都是等边三角形，可先推导得到∠ABE=∠CBF，再结合两组相等的边，利用SAS证明△ABE≌△CBF，最后根据全等三角形对应角相等，即可得到∠FCB的度数。
【解析】
∵△ABC是边长为3的等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=60°，
∵△BEF是等边三角形，
∴BE=BF，∠EBF=60°，
∴∠ABC - ∠EBC = ∠EBF - ∠EBC，即∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中：
$\{\begin{array}{l}AB=CB \\∠ABE=∠CBF \\BE=BF\end{array} $
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠BCF=∠A=60°，即∠FCB=60°。
【答案】
60°
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础题，解题的关键是利用等边三角形的性质找到全等三角形的判定条件，通过全等三角形实现未知角和已知角的转化，是等边三角形相关题型中的典型考法。
【难度系数】
0.7

4.如图，$△ ABC$和$△ CDE$均为等边三角形，$∠ EBD=63°$，则$∠ AEB$的度数为。

4.123°

【分析】
遇到共顶点的两个等边三角形，首先考虑利用等边三角形边相等、角为60°的性质构造全等三角形。首先证明△ACE和△BCD全等，实现角的等量转化，再结合三角形内角和定理即可推出∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵$△ ABC$和$△ CDE$均为等边三角形，
∴$AC=BC$，$CE=CD$，$∠ ACB=∠ ECD=∠ BAC=∠ ABC=60°$，
∴$∠ ACB-∠ ECB=∠ ECD-∠ ECB$，即$∠ ACE=∠ BCD$。
在$△ ACE$和$△ BCD$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACE=∠ BCD \\CE=CD\end{cases}$
∴$△ ACE≌△ BCD(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ CAE=∠ CBD$。
∵$∠ EBD=∠ CBD+∠ CBE=63°$，
∴$∠ CAE+∠ CBE=63°$。
又
∵$∠ BAC+∠ ABC=∠ BAE+∠ CAE+∠ ABE+∠ CBE=60°+60°=120°$，
∴$∠ BAE+∠ ABE=120°-(∠ CAE+∠ CBE)=120°-63°=57°$。
在$△ ABE$中，根据三角形内角和定理：
$∠ AEB=180°-(∠ BAE+∠ ABE)=180°-57°=123°$。
【答案】
$123°$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题考查等边三角形和全等三角形的综合应用，核心是利用“手拉手”全等模型完成角的转化，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.65

5.如图,已知点 D,E 在△ABC 的边 BC 上,AB=AC,AD=AE.
(1)求证 BD=CE;
(2)若 AD=BD=DE=CE,求∠BAE 的度数.

5.(1)证明:如图,过点 A 作 AF⊥BC 于 F.

∵AB=AC,AD=AE.
∴BF=CF,DF=EF.
∴BF-DF=CF-EF.
∴BD=CE.
(2)解:
∵AD=DE=AE，
∴△ADE 是等边三角形，
∴∠DAE=∠ADE=60°.
∵AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA.
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠ADE=30°.
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°.

【分析】
(1)要证明BD=CE，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，等腰三角形“三线合一”是处理底边上线段等量关系的常用思路，因此可过点A作BC的垂线AF，利用等腰三角形底边上的高同时是底边上的中线，得到BF=CF、DF=EF，两式作差即可推导出BD=CE。
(2)求∠BAE的度数可将其拆分为∠BAD与∠DAE的和求解：首先由AD=DE=AE可判定△ADE是等边三角形，得到∠DAE、∠ADE的度数；再根据AD=BD，结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质，求出∠BAD的度数，将两个角度相加即可得到∠BAE的度数。
【解析】
(1)证明：过点A作AF⊥BC于F。

∵AB=AC，AF⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，可得BF=CF。
又
∵AD=AE，AF⊥DE，同理可得DF=EF。
∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE。
(2)解：
∵AD=DE=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=∠ADE=60°。
∵AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
又
∵∠ADE是△ABD的外角，即∠ADE=∠DAB+∠DBA=2∠DAB，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠ADE=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=30°+60°=90°。
【答案】
(1)证明:如图,过点 A 作 AF⊥BC 于 F.

∵AB=AC,AD=AE.
∴BF=CF,DF=EF.
∴BF-DF=CF-EF.
∴BD=CE.
(2)解:
∵AD=DE=AE，
∴△ADE 是等边三角形，
∴∠DAE=∠ADE=60°.
∵AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA.
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠ADE=30°.
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°.
【知识点】
等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题主要考查特殊三角形性质的应用，第一问中作等腰三角形底边上的高是解决等腰三角形线段等量问题的常用辅助线作法；第二问将所求角度拆分，结合等边三角形、等腰三角形性质和外角性质求解，逻辑连贯，能较好地考查学生对特殊三角形相关知识的掌握情况。
【难度系数】
0.7