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9.如图，$△ ABC$是等边三角形，$AD⊥ BC$于点$D$，点$E$在$AC$上，且$AE=AD$，则$∠ DEC$的度数为
105°
。答案
9.105°
解析
【分析】
解题时先利用等边三角形的性质得到内角的度数，再结合AD⊥BC，由等边三角形三线合一的性质求出∠DAC的度数；接着根据AD=AE判断△ADE为等腰三角形，利用三角形内角和定理求出∠AED的度数，最后根据邻补角的和为180°，即可求出∠DEC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
∵AD⊥BC，△ABC为等边三角形，
∴AD平分∠BAC，即$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
又
∵AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形，
∴$∠ AED=\frac{1}{2}×(180°-∠ DAC)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$，
∵∠AED与∠DEC互为邻补角，
∴∠DEC=180°-∠AED=180°-75°=105°。
【答案】
$105°$
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是特殊三角形角度计算的基础题，核心是熟练运用等边三角形三线合一、等腰三角形两底角相等的性质，结合角度的和差关系求解，是等腰、等边三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时先利用等边三角形的性质得到内角的度数，再结合AD⊥BC，由等边三角形三线合一的性质求出∠DAC的度数；接着根据AD=AE判断△ADE为等腰三角形，利用三角形内角和定理求出∠AED的度数，最后根据邻补角的和为180°，即可求出∠DEC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
∵AD⊥BC，△ABC为等边三角形，
∴AD平分∠BAC，即$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
又
∵AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形，
∴$∠ AED=\frac{1}{2}×(180°-∠ DAC)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$，
∵∠AED与∠DEC互为邻补角，
∴∠DEC=180°-∠AED=180°-75°=105°。
【答案】
$105°$
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是特殊三角形角度计算的基础题，核心是熟练运用等边三角形三线合一、等腰三角形两底角相等的性质，结合角度的和差关系求解，是等腰、等边三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
10.如图,在等边三角形ABC中,点D在边AB上,点E在边AC上,将△ADE折叠,使点A落在BC边上的点F处,则∠BDF+∠CEF的大小等于
120°
.答案
10.120° 【提示】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°.
∴∠ADE+∠AED=120°.
∵将△ADE折叠,点A落在BC边上的点F处，
∴∠ADE=∠EDF,∠AED=∠DEF.
∴∠ADF+∠AEF=2(∠ADE+∠AED)=240°.
∴∠BDF+∠CEF=360°-(∠ADF+∠AEF)=
360°-240°=120°.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°.
∴∠ADE+∠AED=120°.
∵将△ADE折叠,点A落在BC边上的点F处，
∴∠ADE=∠EDF,∠AED=∠DEF.
∴∠ADF+∠AEF=2(∠ADE+∠AED)=240°.
∴∠BDF+∠CEF=360°-(∠ADF+∠AEF)=
360°-240°=120°.
解析
【分析】
本题是等边三角形结合折叠的角度计算问题，解题思路如下：首先利用等边三角形内角为60°的性质，得到△ADE中两个锐角的和；再根据折叠前后对应角相等的性质，推出∠ADF与∠ADE、∠AEF与∠AED的倍数关系，算出∠ADF+∠AEF的度数；最后结合邻补角和为180°的性质，用两个平角的和减去∠ADF+∠AEF的度数，即可求出所求角度的和。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
在△ADE中，由三角形内角和定理得：
∠ADE+∠AED=180°-∠A=180°-60°=120°，
∵将△ADE折叠，点A落在BC边上的点F处，
∴∠ADE=∠EDF，∠AED=∠DEF，
∴∠ADF=∠ADE+∠EDF=2∠ADE，∠AEF=∠AED+∠DEF=2∠AED，
∴∠ADF+∠AEF=2(∠ADE+∠AED)=2×120°=240°，
又
∵∠BDF+∠ADF=180°，∠CEF+∠AEF=180°，
∴∠BDF+∠CEF=180°+180°-(∠ADF+∠AEF)=360°-240°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
等边三角形的性质；折叠的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，主要考查角度的转化计算，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和、邻补角的性质进行推导，是折叠类角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题是等边三角形结合折叠的角度计算问题，解题思路如下：首先利用等边三角形内角为60°的性质，得到△ADE中两个锐角的和；再根据折叠前后对应角相等的性质，推出∠ADF与∠ADE、∠AEF与∠AED的倍数关系，算出∠ADF+∠AEF的度数；最后结合邻补角和为180°的性质，用两个平角的和减去∠ADF+∠AEF的度数，即可求出所求角度的和。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
在△ADE中，由三角形内角和定理得：
∠ADE+∠AED=180°-∠A=180°-60°=120°，
∵将△ADE折叠，点A落在BC边上的点F处，
∴∠ADE=∠EDF，∠AED=∠DEF，
∴∠ADF=∠ADE+∠EDF=2∠ADE，∠AEF=∠AED+∠DEF=2∠AED，
∴∠ADF+∠AEF=2(∠ADE+∠AED)=2×120°=240°，
又
∵∠BDF+∠ADF=180°，∠CEF+∠AEF=180°，
∴∠BDF+∠CEF=180°+180°-(∠ADF+∠AEF)=360°-240°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
等边三角形的性质；折叠的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，主要考查角度的转化计算，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和、邻补角的性质进行推导，是折叠类角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
11.如图，$△ ABC$是等边三角形，$D$，$E$在直线$BC$上，且$DB=EC$.求证$∠ D=∠ E$.
答案
11.证明:
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC,∠ABC=∠ACB.
∴180°-∠ABC=180°-∠ACB，
即∠ABD=∠ACE.
在△ADB和△AEC中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABD=∠ACE, \\ DB=EC, \end{cases}$
∴△ADB≌△AEC(SAS).
∴∠D=∠E.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC,∠ABC=∠ACB.
∴180°-∠ABC=180°-∠ACB，
即∠ABD=∠ACE.
在△ADB和△AEC中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABD=∠ACE, \\ DB=EC, \end{cases}$
∴△ADB≌△AEC(SAS).
∴∠D=∠E.
解析
【分析】
要证明∠D=∠E，可通过证明两角所在的三角形全等来实现。首先根据等边三角形的性质得到边相等、角相等的条件，再推导得到∠ABD=∠ACE，结合已知的DB=EC，即可通过SAS判定△ADB和△AEC全等，最后利用全等三角形对应角相等得到结论。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，
∴180°-∠ABC=180°-∠ACB，即∠ABD=∠ACE，
在△ADB和△AEC中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABD=∠ACE, \\ DB=EC, \end{cases}$
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠D=∠E。
【答案】
∠D=∠E，得证。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考察通过全等三角形证明角相等的思路，解题关键是结合等边三角形的性质推导全等所需的边、角条件，需熟练掌握全等三角形的判定方法和相关几何图形的基本性质。
【难度系数】
0.8
要证明∠D=∠E，可通过证明两角所在的三角形全等来实现。首先根据等边三角形的性质得到边相等、角相等的条件，再推导得到∠ABD=∠ACE，结合已知的DB=EC，即可通过SAS判定△ADB和△AEC全等，最后利用全等三角形对应角相等得到结论。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，
∴180°-∠ABC=180°-∠ACB，即∠ABD=∠ACE，
在△ADB和△AEC中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABD=∠ACE, \\ DB=EC, \end{cases}$
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠D=∠E。
【答案】
∠D=∠E，得证。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考察通过全等三角形证明角相等的思路，解题关键是结合等边三角形的性质推导全等所需的边、角条件，需熟练掌握全等三角形的判定方法和相关几何图形的基本性质。
【难度系数】
0.8
12.如图，$△ ABC$是等边三角形，AD是中线，$△ ADE$也是等边三角形.求证$BD=BE$.
答案
12.证明:
∵△ABC是等边三角形,AD是中线，
∴AD也是∠BAC的平分线.
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°.
∵△ADE也是等边三角形，
∴∠EAD=60°,AE=AD.
∴∠EAB=∠EAD-∠BAD=60°-30°=30°.
∴∠EAB=∠BAD.
在△ABE和△ABD中，
$\begin{cases} AE=AD, \\ ∠EAB=∠BAD, \\ AB=AB, \end{cases}$
∴△ABE≌△ABD(SAS).
∴BE=BD.
∵△ABC是等边三角形,AD是中线，
∴AD也是∠BAC的平分线.
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°.
∵△ADE也是等边三角形，
∴∠EAD=60°,AE=AD.
∴∠EAB=∠EAD-∠BAD=60°-30°=30°.
∴∠EAB=∠BAD.
在△ABE和△ABD中，
$\begin{cases} AE=AD, \\ ∠EAB=∠BAD, \\ AB=AB, \end{cases}$
∴△ABE≌△ABD(SAS).
∴BE=BD.
解析
【分析】
要证明两条线段相等，通常可证明它们所在的三角形全等，本题可尝试证明$△ ABE≌△ ABD$。首先根据等边三角形的性质，结合AD是等边$△ ABC$的中线，可知AD同时是$∠ BAC$的角平分线，可求出$∠ BAD$的度数；再结合等边$△ ADE$的性质，得到$AE=AD$、$∠ EAD=60°$，进而推导得出$∠ EAB=∠ BAD$，最后利用SAS判定定理即可证明两个三角形全等，得到对应边相等的结论。
【解析】
证明:
$\because△ ABC$是等边三角形，AD是中线，
$\therefore$AD也是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
$\because△ ADE$也是等边三角形，
$\therefore∠ EAD=60°$，$AE=AD$，
$\therefore∠ EAB=∠ EAD-∠ BAD=60°-30°=30°$，
$\therefore∠ EAB=∠ BAD$。
在$△ ABE$和$△ ABD$中：
$\begin{cases} AE=AD, \\ ∠ EAB=∠ BAD, \\ AB=AB, \end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ ABD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BE=BD$。
【答案】
$BD=BE$
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是结合等边三角形的性质挖掘出相等的边和角，找到证明三角形全等的条件，通过全等的性质得到对应边相等，是对全等三角形和等边三角形相关知识的常规考查。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段相等，通常可证明它们所在的三角形全等，本题可尝试证明$△ ABE≌△ ABD$。首先根据等边三角形的性质，结合AD是等边$△ ABC$的中线，可知AD同时是$∠ BAC$的角平分线，可求出$∠ BAD$的度数；再结合等边$△ ADE$的性质，得到$AE=AD$、$∠ EAD=60°$，进而推导得出$∠ EAB=∠ BAD$，最后利用SAS判定定理即可证明两个三角形全等，得到对应边相等的结论。
【解析】
证明:
$\because△ ABC$是等边三角形，AD是中线，
$\therefore$AD也是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
$\because△ ADE$也是等边三角形，
$\therefore∠ EAD=60°$，$AE=AD$，
$\therefore∠ EAB=∠ EAD-∠ BAD=60°-30°=30°$，
$\therefore∠ EAB=∠ BAD$。
在$△ ABE$和$△ ABD$中：
$\begin{cases} AE=AD, \\ ∠ EAB=∠ BAD, \\ AB=AB, \end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ ABD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BE=BD$。
【答案】
$BD=BE$
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是结合等边三角形的性质挖掘出相等的边和角，找到证明三角形全等的条件，通过全等的性质得到对应边相等，是对全等三角形和等边三角形相关知识的常规考查。
【难度系数】
0.8
