1.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ A=30°,AB+BC=12\ \mathrm{cm}$,则AB的长为().

A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm

1.C

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先这是含30°角的直角三角形，回忆对应性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半。本题中∠A=30°，它所对的直角边为BC，斜边为AB，可得到BC与AB的数量关系；再结合给出的AB+BC=12cm，将BC用含AB的式子代换，建立方程就能求出AB的长度。
【解析】
解：
∵在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°,∠ A=30°$，
∴30°角∠A所对的直角边BC等于斜边AB的一半，即$\displaystyle BC=\frac{1}{2}AB$，
又已知$AB+BC=12\ \mathrm{cm}$，将$\displaystyle BC=\frac{1}{2}AB$代入得：
$\displaystyle AB+\frac{1}{2}AB=12$，
合并同类项得$\displaystyle \frac{3}{2}AB=12$，
解得$\displaystyle AB=12×\frac{2}{3}=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；方程法求线段长
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是牢记含30°角的直角三角形的边的关系，结合已知条件建立等式即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8

2.下列三角形：
①有两个角等于$60°$的三角形；
②有一个角等于$60°$的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。
其中是等边三角形的有()。

A.①②③
B.①②④
C.①③
D.①②③④

2.D

【分析】
本题考查等边三角形的判定，解题时需结合等边三角形的判定定理、等腰三角形的性质、三角形内角和与外角和性质，逐一验证4个条件是否能推出三角形是等边三角形即可。
【解析】
我们逐个分析四个条件：
1. 对于①：三角形内角和为$180°$，若两个角等于$60°$，则第三个角为$180°-60°-60°=60°$，三个内角均为$60°$，符合等边三角形的判定，是等边三角形。
2. 对于②：根据等边三角形的判定定理，有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形，无论这个$60°$的角是顶角还是底角，剩余两个角也均为$60°$，是等边三角形。
3. 对于③：三角形外角和为$360°$，若三个外角都相等，则每个外角为$360°÷3=120°$，对应的每个内角为$180°-120°=60°$，三个内角均为$60°$，是等边三角形。
4. 对于④：一腰上的中线也是这条腰上的高，说明这条线段垂直平分该腰，根据垂直平分线的性质，等腰三角形的底边与腰长度相等，即该三角形三边相等，是等边三角形。
综上①②③④都是等边三角形。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形外角和
【点评】
本题考查等边三角形的多种判定方式，解题时需结合三角形的基础性质逐一分析条件，避免对特殊等腰三角形的性质理解不到位导致漏选。
【难度系数】
0.7

3.如图,在等边三角形ABC中,D,E分别为AB,BC上的点,AD=BE,AE与CD相交于点F,AG⊥CD于点G,则$\frac{FG}{AF}$的值为().

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

3.A

【分析】
首先观察题干条件，已知等边△ABC且AD=BE，第一步可利用等边三角形的边角相等的性质，证明包含AD、BE的两个三角形全等，得到对应角相等；第二步结合三角形外角的性质，求出线段AE、CD的夹角∠AFG的度数；最后结合AG⊥CD的垂直条件，在直角三角形中利用30°角的特殊性质即可求出FG与AF的比值。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠CAD=∠CAB=60°，
在△ABE和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}AB=CA \\∠B=∠CAD \\BE=AD\end{array} $
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠BAE=∠ACD。
∵∠AFG是△AFC的外角，
∴∠AFG=∠ACD + ∠CAE，
将∠ACD替换为∠BAE可得：
∠AFG=∠BAE + ∠CAE = ∠CAB=60°。
∵AG⊥CD，
∴∠AGF=90°，
在Rt△AFG中，∠FAG=90°-∠AFG=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$FG=\frac{1}{2}AF$，
∴$\frac{FG}{AF}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是通过全等三角形实现角的等量转化，得到直角三角形中的特殊角度，再利用特殊直角三角形的边角关系求解，熟练掌握特殊三角形的性质和全等判定定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7

4.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$CD$是斜边$AB$上的高.若$∠ B=30°$，$AD=2\ \mathrm{cm}$，则$AB$的长是（）.

A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$8\ \mathrm{cm}$
D.$16\ \mathrm{cm}$

4.C

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先Rt△ABC中∠B=30°，CD是斜边的高，可利用直角三角形两锐角互余推导出∠ACD=∠B=30°；再结合含30°角的直角三角形的性质，先在小Rt△ACD中求出AC的长度，最后在Rt△ABC中求出斜边AB的长度即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，
$\therefore ∠ A=90°-∠ B=60°$，
$\because CD$是斜边$AB$上的高，$\therefore ∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ ACD=90°-∠ A=30°$，
根据含$30°$角的直角三角形的性质：$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，
$\because ∠ ACD$对的直角边是$AD=2\ \mathrm{cm}$，$\therefore AC=2AD=2×2=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ B=30°$，$∠ B$对的直角边是$AC=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=2AC=2×4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余；2. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题侧重考查含特殊角的直角三角形性质的应用，解题的核心是通过直角三角形锐角互余的关系推导出相等的30°角，分两次应用30°角对应的边的关系求解，解题时要注意区分不同直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，避免对应错误。
【难度系数】
0.7

5.如图，E是等边三角形ABC中边AC上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准确的判断是().

A.等腰三角形
B.等边三角形
C.不等边三角形
D.不能确定

(第5题) (第6题)

5.B

【分析】
要判断△ADE的形状，可按以下思路推导：首先利用等边△ABC的性质得到边相等、角的度数；再结合已知的角相等、边相等的条件，证明△ABE和△ACD全等；最后根据全等的性质得到△ADE的边和角的特征，结合等边三角形的判定定理得出结论。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°。
在△ABE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠1=∠2 \\BE=CD\end{array} $
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AE=AD，∠CAD=∠BAE=60°。
∵AE=AD，且∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题是几何基础典型题，解题的关键是先通过SAS证明三角形全等，得到边相等与对应角相等的结论，再结合等边三角形的判定定理推出最终结果。
【难度系数】
0.7

6.如图，已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，D为OC上一点，过点D作直线DE⊥OA，垂足为E，且直线DE交OB于点F。若DE=3，则DF=。

6.6

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据角平分线的定义，得出∠AOC和∠BOC的度数；再结合DE⊥OA的垂直条件，在直角三角形OED中利用30°角对应的直角边是斜边一半的性质求出OD的长度；接着通过三角形内角和求出∠OFE的度数，发现∠OFE和∠BOC相等，利用等角对等边得到DF和OD相等，即可求出DF的长度。
【解析】
1.
∵ OC是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，

∴ $∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=30°$。
2.
∵ DE⊥OA，
∴ $∠ OED=90°$，
在Rt$△ OED$中，$∠ EOD=30°$，$DE=3$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$OD=2DE=2×3=6$。
3. 在Rt$△ OEF$中，$∠ OEF=90°$，$∠ EOF=60°$，

∴ $∠ OFE=180°-90°-60°=30°$。
4.
∴ $∠ BOC=∠ OFE=30°$，
根据等角对等边，可得$DF=OD=6$。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的定义；含30°角的直角三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是灵活运用角平分线、特殊直角三角形和等腰三角形的性质，找到已知线段和待求线段之间的等量关系，是角平分线与三角形性质结合的典型考题。
【难度系数】
0.7

7.已知三角形三个内角的度数之比为1：2：3，如果最长边的长度是8 cm，那么最短边的长度是.

7.4 cm

【分析】
解题时首先根据三角形内角和为180°，结合给出的内角度数比，计算出三个内角的具体度数，判断三角形为含30°角的直角三角形；再依据三角形大边对大角的性质，明确最长边是直角三角形的斜边，最短边是30°角所对的直角边；最后利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质计算最短边长度。
【解析】
设三角形三个内角的度数分别为$x$、$2x$、$3x$，
根据三角形内角和定理得：$x + 2x + 3x = 180°$，
合并同类项得$6x = 180°$，解得$x = 30°$，
因此三个内角的度数分别为$30°$、$60°$、$90°$，该三角形为直角三角形。
根据三角形大边对大角的性质，最长边对应$90°$角，即斜边长为8cm；最短边对应$30°$锐角，是30°角所对的直角边。
由直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得最短边长度为$8÷2 = 4\mathrm{cm}$。
【答案】
4 cm
【知识点】
三角形内角和；直角三角形性质；大边对大角
【点评】
本题是特殊三角形性质的基础应用，解题核心是先通过角度比例确定三角形的类型，再结合边角对应关系找到边长的数量关系，熟练掌握特殊直角三角形的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

8.顶角为$30°$的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高为.

8.1

【分析】
解题时先结合题意画出等腰三角形示意图，明确已知条件：顶角为30°，腰长为2，要求腰上的高。我们可以过等腰三角形的一个底角顶点向对应腰作垂线，即可得到腰上的高，此时会形成一个含30°角的直角三角形，该直角三角形的斜边为等腰三角形的腰，腰上的高恰好是30°角所对的直角边，结合直角三角形30°角的性质即可计算出高的长度。
【解析】
设等腰三角形为$△ ABC$，其中顶角$∠ A=30°$，腰$AB=AC=2$。
过点$B$作$BD⊥ AC$，垂足为$D$，则$BD$就是腰$AC$上的高。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$∠ A=30°$，斜边$AB=2$。
根据“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$
即腰上的高为1。
【答案】
1
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是通过作高构造含30°角的直角三角形，将所求高与已知腰长建立关联，只要熟练掌握直角三角形30°角的性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8