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9.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上，种植某种草皮以美化环境.已知AC=30 m，AB=20 m，∠BAC=150°，这种草皮每平方米的售价是a元，则购买这种草皮至少需要花费
150a
元.答案
9.150a
解析
【分析】
要计算购买草皮的总花费，需先求出三角形空地的面积，总花费=面积×每平方米售价a。已知三角形两边AC=30m、AB=20m，夹角∠BAC=150°，由于150°是钝角，对应边上的高在三角形外部，因此我们可以通过作辅助线构造直角三角形：延长CA，过B作CA延长线的垂线，得到含30°角的直角三角形，利用直角三角形30°角的性质求出高，再代入三角形面积公式计算面积，最终即可得到总花费。
【解析】
解：延长CA，过点B作BD⊥CA，交CA的延长线于点D。
∵∠BAC=150°，
∴∠BAD=180°-∠BAC=30°。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=20m，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10(\mathrm{m})$。
三角形ABC的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×30×10=150(\mathrm{m}^2)$。
已知草皮每平方米售价为a元，因此总花费为$150×a=150a$元。
【答案】
150a
【知识点】
三角形面积计算，直角三角形30°角的性质，邻补角的性质
【点评】
本题结合实际场景考查三角形面积的求解，解题的关键是通过作辅助线构造含30°角的直角三角形，求出钝角三角形对应底边上的高，注意钝角三角形的高可以落在三角形外部，不要忽略这一点导致无法求出高。
【难度系数】
0.7
要计算购买草皮的总花费，需先求出三角形空地的面积，总花费=面积×每平方米售价a。已知三角形两边AC=30m、AB=20m，夹角∠BAC=150°，由于150°是钝角，对应边上的高在三角形外部，因此我们可以通过作辅助线构造直角三角形：延长CA，过B作CA延长线的垂线，得到含30°角的直角三角形，利用直角三角形30°角的性质求出高，再代入三角形面积公式计算面积，最终即可得到总花费。
【解析】
解：延长CA，过点B作BD⊥CA，交CA的延长线于点D。
∵∠BAC=150°，
∴∠BAD=180°-∠BAC=30°。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=20m，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10(\mathrm{m})$。
三角形ABC的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×30×10=150(\mathrm{m}^2)$。
已知草皮每平方米售价为a元，因此总花费为$150×a=150a$元。
【答案】
150a
【知识点】
三角形面积计算，直角三角形30°角的性质，邻补角的性质
【点评】
本题结合实际场景考查三角形面积的求解，解题的关键是通过作辅助线构造含30°角的直角三角形，求出钝角三角形对应底边上的高，注意钝角三角形的高可以落在三角形外部，不要忽略这一点导致无法求出高。
【难度系数】
0.7
10.如图,先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把点B折叠在折痕MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为H,沿AH和DH剪下得到$△ ADH$,有下列选项:
①AE垂直平分HB;②$∠ HBN=15°$;③$DH=DC$;④$△ ADH$是一个等边三角形.
其中正确的是
①AE垂直平分HB;②$∠ HBN=15°$;③$DH=DC$;④$△ ADH$是一个等边三角形.
其中正确的是
①②③④
.(请将正确选项的序号都填上)答案
10.①②③④
解析
【分析】
解题需结合折叠的性质、正方形的性质，逐一验证4个结论：①根据折叠的基本性质直接判断；②先利用折叠得AB=AH，结合正方形边长相等得AH=AD，再在直角三角形AMH中推导角度，进而求出∠HBN的度数；③④先判断△ADH的形状，再结合等边三角形的性质和正方形边长相等的性质判断。
【解析】
已知四边形ABCD是正方形，因此AB=BC=CD=DA，∠DAB=∠ABC=90°。
1. 判断①：将点B折叠到H，折痕为AE，根据折叠的性质，折痕垂直平分对应点的连线，因此AE垂直平分HB，①正确。
2. 由第一次对折可知MN是正方形的对称轴，M为AD中点，故$AM=\frac{1}{2}AD$；由折叠性质得AB=AH，结合正方形AB=AD，可得$AH=AD=2AM$。
在$Rt△AMH$中，直角边$AM=\frac{1}{2}AH$，因此$∠AHM=30°$，可得$∠MAH=90°-30°=60°$。
3. 判断④：因为AD=AH，且$∠DAH=∠MAH=60°$，所以△ADH是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，④正确。
4. 判断③：因为△ADH是等边三角形，故DH=AD，又正方形中AD=DC，因此DH=DC，③正确。
5. 判断②：$∠BAH=∠DAB - ∠DAH=90°-60°=30°$，在△ABH中，AB=AH，因此$∠ABH=(180°-∠BAH)÷2=75°$，可得$∠HBN=∠ABC - ∠ABH=90°-75°=15°$，②正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
折叠的性质；正方形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，将折叠变换与正方形、特殊三角形的性质结合考查，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等、折痕是对应点连线的垂直平分线的性质，逐步推导角度和边长关系，能较好地考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题需结合折叠的性质、正方形的性质，逐一验证4个结论：①根据折叠的基本性质直接判断；②先利用折叠得AB=AH，结合正方形边长相等得AH=AD，再在直角三角形AMH中推导角度，进而求出∠HBN的度数；③④先判断△ADH的形状，再结合等边三角形的性质和正方形边长相等的性质判断。
【解析】
已知四边形ABCD是正方形，因此AB=BC=CD=DA，∠DAB=∠ABC=90°。
1. 判断①：将点B折叠到H，折痕为AE，根据折叠的性质，折痕垂直平分对应点的连线，因此AE垂直平分HB，①正确。
2. 由第一次对折可知MN是正方形的对称轴，M为AD中点，故$AM=\frac{1}{2}AD$；由折叠性质得AB=AH，结合正方形AB=AD，可得$AH=AD=2AM$。
在$Rt△AMH$中，直角边$AM=\frac{1}{2}AH$，因此$∠AHM=30°$，可得$∠MAH=90°-30°=60°$。
3. 判断④：因为AD=AH，且$∠DAH=∠MAH=60°$，所以△ADH是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，④正确。
4. 判断③：因为△ADH是等边三角形，故DH=AD，又正方形中AD=DC，因此DH=DC，③正确。
5. 判断②：$∠BAH=∠DAB - ∠DAH=90°-60°=30°$，在△ABH中，AB=AH，因此$∠ABH=(180°-∠BAH)÷2=75°$，可得$∠HBN=∠ABC - ∠ABH=90°-75°=15°$，②正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
折叠的性质；正方形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，将折叠变换与正方形、特殊三角形的性质结合考查，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等、折痕是对应点连线的垂直平分线的性质，逐步推导角度和边长关系，能较好地考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
11.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是$AB$边上的高,$∠ A=30°$.
(1)求$∠ BCD$的度数;
(2)若$BD=a$,求$AB$的长度.(用含$a$的式子表示)
(1)求$∠ BCD$的度数;
(2)若$BD=a$,求$AB$的长度.(用含$a$的式子表示)
答案
11.解:(1)
∵CD是AB边上的高,∠A=30°,
∴∠ACD=90°−∠A=90°−30°=60°.
又∠ACB=90°,
∴∠BCD=90°−∠ACD=90°−60°=30°.
(2)在Rt△BCD中,∠BCD=30°,∠CDB=90°,BD=a,
∴BC=2BD=2a.
在Rt△ACB中,∠A=30°,∠ACB=90°,
∴AB=2BC=4a.
∵CD是AB边上的高,∠A=30°,
∴∠ACD=90°−∠A=90°−30°=60°.
又∠ACB=90°,
∴∠BCD=90°−∠ACD=90°−60°=30°.
(2)在Rt△BCD中,∠BCD=30°,∠CDB=90°,BD=a,
∴BC=2BD=2a.
在Rt△ACB中,∠A=30°,∠ACB=90°,
∴AB=2BC=4a.
解析
【分析】
(1) 要求∠BCD的度数，首先根据CD是AB边上的高可知△ACD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，结合已知∠A=30°先求出∠ACD的度数，再结合∠ACB=90°，用∠ACB减去∠ACD即可得到∠BCD的度数，也可直接利用同角的余角相等推导∠BCD和∠A相等。
(2) 要求AB的长度，先在Rt△BCD中，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，结合BD=a和第(1)问求出的∠BCD=30°得到BC的长度，再在Rt△ABC中，再次利用该性质即可由BC的长度求出AB的长度。
【解析】
(1)
∵CD是AB边上的高，∠A=30°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°−∠A=90°−30°=60°，
又
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°−∠ACD=90°−60°=30°。
(2) 在Rt△BCD中，∠BCD=30°，∠CDB=90°，BD=a，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得BC=2BD=2a，
在Rt△ACB中，∠A=30°，∠ACB=90°，
同理可得AB=2BC=2×2a=4a。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；(2) $\boldsymbol{4a}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题时要注意准确对应30°角和其所对的直角边，避免混淆两个直角三角形中边和角的对应关系，熟练掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 要求∠BCD的度数，首先根据CD是AB边上的高可知△ACD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，结合已知∠A=30°先求出∠ACD的度数，再结合∠ACB=90°，用∠ACB减去∠ACD即可得到∠BCD的度数，也可直接利用同角的余角相等推导∠BCD和∠A相等。
(2) 要求AB的长度，先在Rt△BCD中，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，结合BD=a和第(1)问求出的∠BCD=30°得到BC的长度，再在Rt△ABC中，再次利用该性质即可由BC的长度求出AB的长度。
【解析】
(1)
∵CD是AB边上的高，∠A=30°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°−∠A=90°−30°=60°，
又
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°−∠ACD=90°−60°=30°。
(2) 在Rt△BCD中，∠BCD=30°，∠CDB=90°，BD=a，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得BC=2BD=2a，
在Rt△ACB中，∠A=30°，∠ACB=90°，
同理可得AB=2BC=2×2a=4a。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；(2) $\boldsymbol{4a}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题时要注意准确对应30°角和其所对的直角边，避免混淆两个直角三角形中边和角的对应关系，熟练掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,P是AC的中点,过点A作AD⊥BP,交BP的延长线于点E,交BC的延长线于点D.若∠DBE=30°,BE=10,求PE,PB的长.
答案
12.解:如图,设PE=a.
∵AD⊥BP,
∴∠DBE+∠D=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠DAC+∠D=90°.
∴∠DAC=∠DBE=30°.
∴AP=2a.
∵P是AC的中点,
∴CP=AP=2a.
在Rt△PBC中,∠CBP=30°,∠BCP=90°,
∴BP=2CP=4a.
∴BE=BP+PE=4a+a=5a.
∵BE=10,
∴5a=10,a=2.
∴PE=2,PB=8.
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：已知存在多个直角和30°角，首先可利用“同角的余角相等”推导得到∠DAC=∠DBE=30°；再结合直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，以及P是AC中点的条件，设PE为未知数，将PB也用该未知数表示；最后根据BE的总长度列方程求解即可。
【解析】
设PE=a，
∵AD⊥BP，
∴∠DBE+∠D=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠D=90°，
∴∠DAC=∠DBE=30°，
∴在Rt△AEP中，AP=2PE=2a，
∵P是AC的中点，
∴CP=AP=2a，
在Rt△PBC中，∠CBP=30°，∠BCP=90°，
∴BP=2CP=4a，
∴BE=BP+PE=4a+a=5a，
∵BE=10，
∴5a=10，解得a=2，
∴PE=2，PB=4×2=8。
【答案】
PE=2，PB=8
【知识点】
直角三角形30°角性质，余角的性质，线段中点定义
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心考查直角三角形相关性质的应用，解题关键是通过角的等量关系得到30°角，再结合线段关系设未知数列方程求解，能很好地锻炼学生的几何逻辑推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：已知存在多个直角和30°角，首先可利用“同角的余角相等”推导得到∠DAC=∠DBE=30°；再结合直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，以及P是AC中点的条件，设PE为未知数，将PB也用该未知数表示；最后根据BE的总长度列方程求解即可。
【解析】
设PE=a，
∵AD⊥BP，
∴∠DBE+∠D=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠D=90°，
∴∠DAC=∠DBE=30°，
∴在Rt△AEP中，AP=2PE=2a，
∵P是AC的中点，
∴CP=AP=2a，
在Rt△PBC中，∠CBP=30°，∠BCP=90°，
∴BP=2CP=4a，
∴BE=BP+PE=4a+a=5a，
∵BE=10，
∴5a=10，解得a=2，
∴PE=2，PB=4×2=8。
【答案】
PE=2，PB=8
【知识点】
直角三角形30°角性质，余角的性质，线段中点定义
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心考查直角三角形相关性质的应用，解题关键是通过角的等量关系得到30°角，再结合线段关系设未知数列方程求解，能很好地锻炼学生的几何逻辑推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
