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6. 下列说法中正确的是 （
A.有理数的平方一定是正数
B.小于1的有理数的平方一定小于原数
C.$-5^2$ 是5的平方的相反数
D.一个负数的偶次幂一定大于这个数的相反数
C
）A.有理数的平方一定是正数
B.小于1的有理数的平方一定小于原数
C.$-5^2$ 是5的平方的相反数
D.一个负数的偶次幂一定大于这个数的相反数
答案
6. C.
解析
【分析】
这是一道考查有理数乘方相关概念的选择题，解题时可采用逐个排查选项的方法：首先回忆乘方的定义、运算顺序、有理数乘方的性质以及相反数的概念，对每个选项要么直接推导判断，要么通过举特殊值（如0、负有理数）的方式验证，最终筛选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：有理数包含0，0的平方是0，0既不是正数也不是负数，因此“有理数的平方一定是正数”的说法错误。
B选项：举反例，有理数-2小于1，它的平方为$(-2)^2=4$，$4＞-2$，大于原数；另外0的平方是0，等于原数，因此该说法错误。
C选项：根据乘方的运算顺序，$-5^2$先计算$5^2=25$，再添加负号得$-25$；5的平方是25，25的相反数是$-25$，因此$-5^2$是5的平方的相反数，该说法正确。
D选项：举反例，负数-1的偶次幂为$(-1)^2=1$，-1的相反数是1，二者相等，不满足“大于”，因此该说法错误。
综上，只有C选项表述正确。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；有理数乘方的性质；相反数的概念
【点评】
本题重点考查乘方的相关概念和性质，易错点在于混淆$-a^2$和$(-a)^2$的运算顺序，以及忽略0、负有理数等特殊值的情况，做题时结合特殊值法验证选项可以快速排除错误答案，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
这是一道考查有理数乘方相关概念的选择题，解题时可采用逐个排查选项的方法：首先回忆乘方的定义、运算顺序、有理数乘方的性质以及相反数的概念，对每个选项要么直接推导判断，要么通过举特殊值（如0、负有理数）的方式验证，最终筛选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：有理数包含0，0的平方是0，0既不是正数也不是负数，因此“有理数的平方一定是正数”的说法错误。
B选项：举反例，有理数-2小于1，它的平方为$(-2)^2=4$，$4＞-2$，大于原数；另外0的平方是0，等于原数，因此该说法错误。
C选项：根据乘方的运算顺序，$-5^2$先计算$5^2=25$，再添加负号得$-25$；5的平方是25，25的相反数是$-25$，因此$-5^2$是5的平方的相反数，该说法正确。
D选项：举反例，负数-1的偶次幂为$(-1)^2=1$，-1的相反数是1，二者相等，不满足“大于”，因此该说法错误。
综上，只有C选项表述正确。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；有理数乘方的性质；相反数的概念
【点评】
本题重点考查乘方的相关概念和性质，易错点在于混淆$-a^2$和$(-a)^2$的运算顺序，以及忽略0、负有理数等特殊值的情况，做题时结合特殊值法验证选项可以快速排除错误答案，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
7. 计算：
(1) $(-3)^4 - (-3)^3$；
(2) $|-2^2 - 3| - (-9) ÷ (-3)$。
(1) $(-3)^4 - (-3)^3$；
(2) $|-2^2 - 3| - (-9) ÷ (-3)$。
答案
7. (1) 108；(2) 4.
解析
【分析】
这两道题属于有理数混合运算，解题时严格遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有绝对值的先计算绝对值内部的运算。第(1)题先分别计算两个乘方的结果，再根据有理数减法法则计算即可；第(2)题先计算乘方，再算绝对值内部的减法、外部的除法，最后计算绝对值结果与除法结果的差即可，解题时需特别注意乘方的符号判断，避免混淆带括号和不带括号的乘方运算。
【解析】
(1) 先计算乘方：
$(-3)^4 = 81$，$(-3)^3 = -27$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=81 - (-27)\\&=81 + 27\\&=108\end{aligned}$
(2) 分步计算乘方、绝对值、除法：
首先计算绝对值内部：$-2^2 = -4$，因此$-2^2 - 3 = -4 - 3 = -7$，可得$|-7|=7$；
再计算除法：$(-9)÷(-3)=3$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=7 - 3\\&=4\end{aligned}$
【答案】
(1) 108；(2) 4
【知识点】
有理数乘方运算，有理数混合运算，绝对值化简
【点评】
本题重点考察有理数混合运算的运算顺序与符号法则，易错点是容易错误判断乘方的符号，比如将$-2^2$误算为$4$，运算时按照优先级分步计算，注意核对每一步的符号，即可有效降低错误率。
【难度系数】
0.75
这两道题属于有理数混合运算，解题时严格遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有绝对值的先计算绝对值内部的运算。第(1)题先分别计算两个乘方的结果，再根据有理数减法法则计算即可；第(2)题先计算乘方，再算绝对值内部的减法、外部的除法，最后计算绝对值结果与除法结果的差即可，解题时需特别注意乘方的符号判断，避免混淆带括号和不带括号的乘方运算。
【解析】
(1) 先计算乘方：
$(-3)^4 = 81$，$(-3)^3 = -27$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=81 - (-27)\\&=81 + 27\\&=108\end{aligned}$
(2) 分步计算乘方、绝对值、除法：
首先计算绝对值内部：$-2^2 = -4$，因此$-2^2 - 3 = -4 - 3 = -7$，可得$|-7|=7$；
再计算除法：$(-9)÷(-3)=3$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=7 - 3\\&=4\end{aligned}$
【答案】
(1) 108；(2) 4
【知识点】
有理数乘方运算，有理数混合运算，绝对值化简
【点评】
本题重点考察有理数混合运算的运算顺序与符号法则，易错点是容易错误判断乘方的符号，比如将$-2^2$误算为$4$，运算时按照优先级分步计算，注意核对每一步的符号，即可有效降低错误率。
【难度系数】
0.75
问题 下列各组数:① $-2^2$ 与 $(-2)^2$;② $(-3)^3$ 与 $-3^3$;③ $-(-0.3)^5$ 与 $0.3^5$;④ $0^{100}$ 与 $0^{200}$;⑤ $(-1)^3$ 与 $-(-1)^2$.其中,相等的共有 ()
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
名师指导
根据乘方的意义进行计算,再判定.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
名师指导
根据乘方的意义进行计算,再判定.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
答案
D
解析
【分析】
要判断各组数是否相等，首先要明确乘方的运算规则：注意区分带括号和不带括号的乘方的底数，负数的奇次幂是负数、偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的正整数次幂都是0。我们只需要逐个计算每组两个数的结果，再对比是否相等，最后统计相等的组数即可。
【解析】
我们逐一计算每组两个数的数值，再进行判断：
① 计算$-2^2$：底数为2，先算乘方再取负，得$-2^2=-(2×2)=-4$；
计算$(-2)^2$：底数为$-2$，得$(-2)^2=(-2)×(-2)=4$，$-4≠4$，此组不相等。
② 计算$(-3)^3$：底数为$-3$，得$(-3)^3=(-3)×(-3)×(-3)=-27$；
计算$-3^3$：底数为3，先算乘方再取负，得$-3^3=-(3×3×3)=-27$，两数相等。
③ 计算$-(-0.3)^5$：先算$(-0.3)^5$，负数的奇次幂为负，得$(-0.3)^5=-0.3^5$，因此$-(-0.3)^5=-(-0.3^5)=0.3^5$，和$0.3^5$相等。
④ 0的任何正整数次幂都是0，因此$0^{100}=0$，$0^{200}=0$，两数相等。
⑤ 计算$(-1)^3$，得$(-1)^3=-1$；
计算$-(-1)^2$：先算$(-1)^2=1$，再取负得$-1$，两数相等。
综上，相等的共有4组，故选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算；乘方符号规律；0的幂的性质
【点评】
本题是乘方运算的基础常考题，核心易错点是区分底数带括号和不带括号的运算差异，熟练掌握乘方的符号法则就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
要判断各组数是否相等，首先要明确乘方的运算规则：注意区分带括号和不带括号的乘方的底数，负数的奇次幂是负数、偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的正整数次幂都是0。我们只需要逐个计算每组两个数的结果，再对比是否相等，最后统计相等的组数即可。
【解析】
我们逐一计算每组两个数的数值，再进行判断：
① 计算$-2^2$：底数为2，先算乘方再取负，得$-2^2=-(2×2)=-4$；
计算$(-2)^2$：底数为$-2$，得$(-2)^2=(-2)×(-2)=4$，$-4≠4$，此组不相等。
② 计算$(-3)^3$：底数为$-3$，得$(-3)^3=(-3)×(-3)×(-3)=-27$；
计算$-3^3$：底数为3，先算乘方再取负，得$-3^3=-(3×3×3)=-27$，两数相等。
③ 计算$-(-0.3)^5$：先算$(-0.3)^5$，负数的奇次幂为负，得$(-0.3)^5=-0.3^5$，因此$-(-0.3)^5=-(-0.3^5)=0.3^5$，和$0.3^5$相等。
④ 0的任何正整数次幂都是0，因此$0^{100}=0$，$0^{200}=0$，两数相等。
⑤ 计算$(-1)^3$，得$(-1)^3=-1$；
计算$-(-1)^2$：先算$(-1)^2=1$，再取负得$-1$，两数相等。
综上，相等的共有4组，故选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算；乘方符号规律；0的幂的性质
【点评】
本题是乘方运算的基础常考题，核心易错点是区分底数带括号和不带括号的运算差异，熟练掌握乘方的符号法则就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
1. 计算：$(-1)^{2027} + (-1)^{2026} =$
0
.答案
1. 0.
解析
【分析】
解题时首先回忆-1的乘方运算规律：-1的奇次幂等于-1，-1的偶次幂等于1。接下来先判断两个指数的奇偶性，分别求出两个乘方的结果，最后把两个结果相加即可得到最终答案。
【解析】
步骤1：根据指数奇偶性计算两个乘方的值
2027是奇数，因此$(-1)^{2027}=-1$；
2026是偶数，因此$(-1)^{2026}=1$。
步骤2：计算两项的和
$(-1)^{2027} + (-1)^{2026} = -1 + 1 = 0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 乘方的运算规律
2. 有理数的加法运算
【点评】
本题属于乘方运算的基础题型，核心考查对-1的奇次幂、偶次幂取值规律的掌握，牢记规律、做好符号判断即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆-1的乘方运算规律：-1的奇次幂等于-1，-1的偶次幂等于1。接下来先判断两个指数的奇偶性，分别求出两个乘方的结果，最后把两个结果相加即可得到最终答案。
【解析】
步骤1：根据指数奇偶性计算两个乘方的值
2027是奇数，因此$(-1)^{2027}=-1$；
2026是偶数，因此$(-1)^{2026}=1$。
步骤2：计算两项的和
$(-1)^{2027} + (-1)^{2026} = -1 + 1 = 0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 乘方的运算规律
2. 有理数的加法运算
【点评】
本题属于乘方运算的基础题型，核心考查对-1的奇次幂、偶次幂取值规律的掌握，牢记规律、做好符号判断即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9
2. 对于$(-2)^6$与$-2^6$，下列说法不正确的是 （
A.它们的意义不同
B.它们的意义不同，结果不同
C.它们的结果不同
D.它们的意义不同，结果相等
D
）A.它们的意义不同
B.它们的意义不同，结果不同
C.它们的结果不同
D.它们的意义不同，结果相等
答案
2. D.
解析
【分析】
解题时首先要明确乘方的定义，区分底数带括号和不带括号的负有理数乘方的差异：第一步先分别明确$(-2)^6$和$-2^6$的意义，第二步计算两个式子的结果，第三步逐一对比选项判断说法是否正确，选出符合题意的选项。
【解析】
首先辨析两个式子的意义：
1. $(-2)^6$的意义是6个$-2$相乘，底数是$-2$，指数是6；
2. $-2^6$的意义是6个$2$相乘的相反数，底数是$2$，指数是6，因此二者意义不同。
接下来计算两个式子的结果：
$(-2)^6=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=64$
$-2^6=-(2×2×2×2×2×2)=-64$
因此二者结果也不同。
逐一判断选项：
A选项“它们的意义不同”说法正确，不符合题意；
B选项“它们的意义不同，结果不同”说法正确，不符合题意；
C选项“它们的结果不同”说法正确，不符合题意；
D选项“它们的意义不同，结果相等”说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
乘方的意义、有理数乘方运算
【点评】
本题是乘方模块的典型易错题，核心考查带负号的乘方的底数辨析，解题关键是明确负号在括号内时属于底数的一部分，在括号外时不属于底数，避免混淆底数导致意义理解和计算错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确乘方的定义，区分底数带括号和不带括号的负有理数乘方的差异：第一步先分别明确$(-2)^6$和$-2^6$的意义，第二步计算两个式子的结果，第三步逐一对比选项判断说法是否正确，选出符合题意的选项。
【解析】
首先辨析两个式子的意义：
1. $(-2)^6$的意义是6个$-2$相乘，底数是$-2$，指数是6；
2. $-2^6$的意义是6个$2$相乘的相反数，底数是$2$，指数是6，因此二者意义不同。
接下来计算两个式子的结果：
$(-2)^6=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=64$
$-2^6=-(2×2×2×2×2×2)=-64$
因此二者结果也不同。
逐一判断选项：
A选项“它们的意义不同”说法正确，不符合题意；
B选项“它们的意义不同，结果不同”说法正确，不符合题意；
C选项“它们的结果不同”说法正确，不符合题意；
D选项“它们的意义不同，结果相等”说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
乘方的意义、有理数乘方运算
【点评】
本题是乘方模块的典型易错题，核心考查带负号的乘方的底数辨析，解题关键是明确负号在括号内时属于底数的一部分，在括号外时不属于底数，避免混淆底数导致意义理解和计算错误。
【难度系数】
0.6
3. 下列计算正确的是 （
A.$-(-3)=-3$
B.$|-3|=-3$
C.$(-3)^2=6$
D.$-3^2=-9$
D
）A.$-(-3)=-3$
B.$|-3|=-3$
C.$(-3)^2=6$
D.$-3^2=-9$
答案
3. D.
解析
【分析】
这道题需要逐一验证每个选项的运算结果是否正确，解题时先回忆相反数化简、绝对值性质、有理数乘方的运算规则，再分别计算每个选项的结果，和选项给出的结论对比即可选出正确答案，要重点区分乘方运算中带括号和不带括号的底数差异。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据相反数的运算规则，负负得正，$-(-3)=3≠-3$，因此A错误。
选项B：根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，$|-3|=3≠-3$，因此B错误。
选项C：根据乘方的定义，$(-3)^2$表示2个$-3$相乘，即$(-3)×(-3)=9≠6$，因此C错误。
选项D：$-3^2$表示$3^2$的相反数，先计算$3^2=9$，再添加负号得$-9$，运算正确，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
相反数化简、绝对值性质、有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点是混淆有括号和无括号的负数乘方的运算顺序，学习时要牢记乘方的运算优先级高于负号，带括号时负数整体作为底数参与乘方运算。
【难度系数】
0.8
这道题需要逐一验证每个选项的运算结果是否正确，解题时先回忆相反数化简、绝对值性质、有理数乘方的运算规则，再分别计算每个选项的结果，和选项给出的结论对比即可选出正确答案，要重点区分乘方运算中带括号和不带括号的底数差异。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据相反数的运算规则，负负得正，$-(-3)=3≠-3$，因此A错误。
选项B：根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，$|-3|=3≠-3$，因此B错误。
选项C：根据乘方的定义，$(-3)^2$表示2个$-3$相乘，即$(-3)×(-3)=9≠6$，因此C错误。
选项D：$-3^2$表示$3^2$的相反数，先计算$3^2=9$，再添加负号得$-9$，运算正确，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
相反数化简、绝对值性质、有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点是混淆有括号和无括号的负数乘方的运算顺序，学习时要牢记乘方的运算优先级高于负号，带括号时负数整体作为底数参与乘方运算。
【难度系数】
0.8
4. 设 $ n $ 是自然数，则$\frac{(-1)^n + (-1)^{n+2}}{2}$的值为 （
A.1或－1
B.0
C.－1
D.0或1
A
）A.1或－1
B.0
C.－1
D.0或1
答案
4. A.
解析
【分析】
解题时首先回忆-1的乘方规律：-1的偶次幂为1，奇次幂为-1。观察式子中两个幂的指数分别是n和n+2，可知n和n+2的奇偶性是相同的（自然数加2不改变奇偶性），因此只需要分n为偶数、n为奇数两种情况讨论计算即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当n为偶数时，n+2也为偶数：
此时$(-1)^n=1$，$(-1)^{n+2}=1$，代入原式得：
$\frac{1+1}{2}=1$
2. 当n为奇数时，n+2也为奇数：
此时$(-1)^n=-1$，$(-1)^{n+2}=-1$，代入原式得：
$\frac{(-1)+(-1)}{2}=-1$
综上，原式的值为1或-1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. -1的乘方规律
2. 奇偶性判断
3. 有理数混合运算
【点评】
本题是乘方相关的基础常考题，核心是掌握-1的乘方的符号规律，解题时抓住n和n+2奇偶性一致的特点，通过分类讨论就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆-1的乘方规律：-1的偶次幂为1，奇次幂为-1。观察式子中两个幂的指数分别是n和n+2，可知n和n+2的奇偶性是相同的（自然数加2不改变奇偶性），因此只需要分n为偶数、n为奇数两种情况讨论计算即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当n为偶数时，n+2也为偶数：
此时$(-1)^n=1$，$(-1)^{n+2}=1$，代入原式得：
$\frac{1+1}{2}=1$
2. 当n为奇数时，n+2也为奇数：
此时$(-1)^n=-1$，$(-1)^{n+2}=-1$，代入原式得：
$\frac{(-1)+(-1)}{2}=-1$
综上，原式的值为1或-1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. -1的乘方规律
2. 奇偶性判断
3. 有理数混合运算
【点评】
本题是乘方相关的基础常考题，核心是掌握-1的乘方的符号规律，解题时抓住n和n+2奇偶性一致的特点，通过分类讨论就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
