5. 算式$2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2$可化为 （）

A.$2^4$
B.$8^2$
C.$2^8$
D.$2^{16}$

5. A.

【分析】
解题时可以从两个思路入手：一是先根据乘法的意义，把几个相同加数的加法运算转化为乘法运算，再结合乘方的定义计算出结果，和选项对比得出答案；二是先分别计算出原式和各选项的数值，再匹配对应的选项，两种方法都适合当前学段的知识要求，可根据自己的掌握情况选择。
【解析】
我们选择直接计算数值的方法验证，更直观易理解：
第一步：先计算原式的结果
首先根据乘方的定义计算$2^2=2×2=4$，则原式可转化为4个4相加：
$2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 = 4+4+4+4=16$
第二步：分别计算各选项的结果对比
A选项：$2^4=2×2×2×2=16$，和原式结果相等；
B选项：$8^2=8×8=64$，和16不相等，排除；
C选项：$2^8=2×2×2×2×2×2×2×2=256$，和16不相等，排除；
D选项：$2^{16}$的结果远大于16，排除。
因此符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
乘方的意义；乘法的意义
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的核心是熟练掌握乘方的计算方法，以及乘法和加法之间的转化关系，只要细心计算就能拿到分数。
【难度系数】
0.9

6. 计算：
(1) $(-\dfrac{4}{5})^2 × (-1\dfrac{1}{4})$；
(2) $-(-2)^2 - 3 ÷ (-1)^3 × (-2)^4$。

6. (1) $-\dfrac{4}{5}$；(2) 44.

【分析】
这是两道有理数混合运算题，解题时遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；带分数要先转化为假分数方便计算，全程重点注意符号的判断，避免符号出错。对于第(1)题，先计算乘方项，再将带分数化假分数后计算乘法即可；对于第(2)题，先分别计算各个乘方项，再按照从左到右的顺序计算乘除，最后计算加减得到结果。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算乘法：
$\begin{aligned}(-\dfrac{4}{5})^2 × (-1\dfrac{1}{4})&=\dfrac{16}{25}×(-\dfrac{5}{4})\\&=-(\dfrac{16}{25}×\dfrac{5}{4})\\&=-\dfrac{4}{5}\end{aligned}$
(2) 先计算各乘方项，再算乘除，最后算加减：
$\begin{aligned}-(-2)^2 - 3 ÷ (-1)^3 × (-2)^4&=-4 - 3÷(-1)×16\\&=-4 - (-3)×16\\&=-4 - (-48)\\&=-4 + 48\\&=44\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{4}{5}$；(2) $44$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算；符号运算规则
【点评】
本题侧重考察有理数混合运算的运算顺序和符号判断能力，计算时要严格遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的顺序，遇到带分数先化假分数，运算过程中多留意负号的运算规则，避免因符号疏漏出错。
【难度系数】
0.7

已知下列等式:① $2^2 - 1^2 = 3$;② $3^2 - 2^2 = 5$;③ $4^2 - 3^2 = 7$……
(1) 请仔细观察前三个等式的规律,写出第⑥个等式:;
(2) 请你找出规律,写出第 $n$ 个等式,并说明等式成立;
(3) 利用(2)中发现的规律计算:$1+3+5+7+\dots+99$.

(1) $7^2-6^2=13$；
(2) 第$n$个式子为$(n+1)^2-n^2=2n+1$；$\because$ 左边$=n^2+2n+1-n^2=2n+1=$右边，$\therefore (n+1)^2-n^2=2n+1$；
(3) 由(2)的规律可知，$1+3+5+7+\dots+99=1+(2^2-1^2)+(3^2-2^2)+(4^2-3^2)+\dots+(50^2-49^2)=50^2=2500$.

【分析】
(1) 观察已知的三个等式：第①个等式为$(1+1)^2-1^2=2×1+1$，第②个等式为$(2+1)^2-2^2=2×2+1$，第③个等式为$(3+1)^2-3^2=2×3+1$，可总结出第$k$个等式的结构为$(k+1)^2-k^2=2k+1$，将$k=6$代入即可得到第⑥个等式。
(2) 将上述规律中的$k$替换为$n$，即可得到第$n$个等式；验证等式成立时，将左侧式子展开合并同类项，判断是否与右侧相等即可。
(3) 根据(2)的规律，可将$3、5、7……99$分别转化为对应的平方差形式，代入原式后中间项会相互抵消，仅剩余最后一项即可快速求出结果。
【解析】
(1) 把$k=6$代入规律式，可得第⑥个等式为$7^2-6^2=13$。
(2) 第$n$个等式为$(n+1)^2-n^2=2n+1$。
验证：左边$=n^2+2n+1-n^2=2n+1=$右边，因此等式成立。
(3) 由规律可得$3=2^2-1^2$，$5=3^2-2^2$，……，$99=50^2-49^2$，代入原式：
$\begin{aligned}1+3+5+7+\dots+99&=1+(2^2-1^2)+(3^2-2^2)+(4^2-3^2)+\dots+(50^2-49^2)\\&=50^2\\&=2500\end{aligned}$
【答案】
(1) $7^2-6^2=13$
(2) 第$n$个等式为$(n+1)^2-n^2=2n+1$，证明见解析
(3) $2500$
【知识点】
数字规律探究；整式运算；简便计算
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，侧重考查观察归纳能力和规律的灵活运用能力，需要先从已知等式中提炼通用规律，再通过整式运算验证规律，最后利用规律简化求和运算，能够很好地锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7

1. 下列结果为0的是 （）

A.$-4^2 - 4^2$
B.$-4^2 + (-4)^2$
C.$(-4)^2 + 4^2$
D.$-4^2 - 4 × 4$

1. B.

【分析】
本题考查有理数乘方的运算，解题的关键是明确带负号的乘方的运算规则：$-a^2$表示先计算$a$的平方，再取结果的相反数，结果为负；$(-a)^2$表示$-a$整体乘方，负号也参与乘方运算，结果为正。我们只需要分别计算四个选项的结果，找出结果为0的选项即可。
【解析】
先明确两个基础运算的结果：
$-4^2 = -(4×4) = -16$，$(-4)^2 = (-4)×(-4) = 16$
接下来逐一计算选项：
A选项：$-4^2 - 4^2 = -16 - 16 = -32$，不符合要求；
B选项：$-4^2 + (-4)^2 = -16 + 16 = 0$，符合要求；
C选项：$(-4)^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$，不符合要求；
D选项：$-4^2 - 4×4 = -16 - 16 = -32$，不符合要求。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方运算，有理数混合运算
【点评】
本题是乘方运算的经典易错题，核心考点是区分负号是否在乘方的底数内，掌握正确的运算顺序是解题的关键。
【难度系数】
0.7

2. 计算:(1) $(-\dfrac{1}{3})^{2} ÷ (-\dfrac{1}{2})^{2} =$ ; (2) $-|-3| × 2 ÷ (-3)^{2} =$ .

2. (1) $\dfrac{4}{9}$；(2) $-\dfrac{2}{3}$.

【分析】
这两道题均属于有理数混合运算，解题时需遵循有理数混合运算顺序：先算乘方、绝对值运算，再进行乘除同级运算，同级运算按照从左到右的顺序计算，除法运算可转化为乘法运算简化计算，过程中需注意符号的判断。第(1)小题先分别计算两个乘方的结果，再将除法转化为乘法计算即可；第(2)小题先计算绝对值和乘方，再按从左到右的顺序计算乘除即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：
$(-\dfrac{1}{3})^2 = \dfrac{1}{9}$，$(-\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{1}{4}$
再计算除法：
$\dfrac{1}{9} ÷ \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{9} × 4 = \dfrac{4}{9}$
(2) 先计算绝对值和乘方：
$-|-3| = -3$，$(-3)^2 = 9$
再按从左到右顺序计算乘除：
$-3 × 2 ÷ 9 = -6 ÷ 9 = -\dfrac{2}{3}$
【答案】
(1) $\dfrac{4}{9}$；(2) $-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
乘方运算，有理数混合运算，绝对值化简
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的运算顺序，解题关键是先完成乘方、绝对值的运算，再处理乘除运算，计算时要特别注意符号的判定，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8

3. 某种细胞经过30 min便由1个分裂成2个，经过3 h这种细胞由1个分裂成个.

3. 64.

【分析】
解题时首先需要统一时间单位，计算3小时内包含多少个30分钟的分裂周期，细胞每经过一个周期数量就扩大为原来的2倍，分裂n次后总数量就是2的n次方，据此代入数据计算即可。
【解析】
第一步：统一时间单位，将3小时换算为分钟：
$3\mathrm{h}=3× 60\mathrm{min}=180\mathrm{min}$
第二步：计算分裂次数，每次分裂间隔30min，所以分裂次数为：
$180\mathrm{min}÷30\mathrm{min}=6$（次）
第三步：根据乘方的意义，1个细胞分裂6次后的数量为2的6次方：
$2^6=2×2×2×2×2×2=64$
【答案】
64
【知识点】
乘方的应用；有理数乘方运算；时间单位换算
【点评】
本题是乘方在实际生活中的应用类题目，解题核心是先准确求出细胞的分裂次数，再结合乘方的含义列式计算，理清数量关系即可正确作答。
【难度系数】
0.75

4. 在$(-1)^3, (-1)^2, -2^2, (-3)^2$四个数中，最大数与最小数的和是。

4. 5.

【分析】
要解决这道题，首先需要根据乘方的运算规则分别计算出四个数的具体值，注意区分带括号的负数乘方和不带括号的负号加乘方的运算差异；再将计算出的四个数比较大小，找出最大数和最小数；最后将最大数与最小数相加即可得到结果。
【解析】
第一步：分别计算四个数的值：
1. 计算$(-1)^3$：表示3个$-1$相乘，即$(-1)^3=(-1)×(-1)×(-1)=-1$；
2. 计算$(-1)^2$：表示2个$-1$相乘，即$(-1)^2=(-1)×(-1)=1$；
3. 计算$-2^2$：先计算$2^2$，再添加负号，即$-2^2=-(2×2)=-4$；
4. 计算$(-3)^2$：表示2个$-3$相乘，即$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$。
第二步：比较四个数的大小：$-4 ＜ -1 ＜ 1 ＜ 9$，可得最大数是$9$，最小数是$-4$。
第三步：计算最大数与最小数的和：$9 + (-4) = 5$。
【答案】
5
【知识点】
乘方的运算；有理数大小比较；有理数的加法
【点评】
本题重点考查乘方的运算规则，其中底数是否带括号是运算的易错点，熟练掌握乘方的定义和有理数相关运算规则即可准确作答。
【难度系数】
0.7

5. 下列说法:① 若$|a|=-a$,则$a＜0$;② 若$a^2 - b^2 = 0$,则$|a|=|b|$;③ 若$-1 ＜ a ＜ 0$,则$a^2 ＜ -\dfrac{1}{a}$;④ 若$b ＜ a ＜ 0$,且$|a| ＜ |b|$,则$|a - b| = -|a| + |b|$.其中正确的有(填序号).

5. ②③④.

【分析】
要判断4个说法的正确性，我们逐个分析每个命题：①结合绝对值的性质判断，注意不要遗漏a=0的特殊情况；②根据乘方的非负性推导平方相等和绝对值相等的关系；③可以用特殊值代入或者根据有理数取值范围推导大小；④先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值化简验证等式是否成立。
【解析】
我们逐个判断：
1. 对于说法①：根据绝对值的性质，若$|a|=-a$，则$a$为非正数，即$a≤0$，包含$a=0$的情况，并非只有$a＜0$，故①错误；
2. 对于说法②：若$a^2 - b^2=0$，则$a^2=b^2$，因为互为相反数的两个数平方相等，因此$a$和$b$要么相等要么互为相反数，可得$|a|=|b|$，故②正确；
3. 对于说法③：已知$-1＜a＜0$，取特殊值$a=-\frac{1}{2}$验证：$a^2=(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，$-\frac{1}{a}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$，显然$\frac{1}{4}＜2$；也可推导：$-1＜a＜0$时$0＜a^2＜1$，同时$\frac{1}{a}＜-1$，因此$-\frac{1}{a}＞1$，所以$a^2＜-\frac{1}{a}$成立，故③正确；
4. 对于说法④：已知$b＜a＜0$，则$a-b＞0$，因此$|a-b|=a-b$；又因为$a＜0,b＜0$，所以$|a|=-a$，$|b|=-b$，则$-|a|+|b|=-(-a)+(-b)=a-b$，左右两边相等，故④正确。
综上，正确的是②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
绝对值的性质，有理数的乘方，有理数大小比较
【点评】
本题综合考查有理数的基础性质，解题时可灵活使用特殊值法降低判断难度，要注意特殊值0的取值情况，避免漏判。
【难度系数】
0.6